對于矩陣
可以直接根據矩陣乘法和與行列式兩者的定義計算出
行列式|AB|也可以根據柯西—比內公式(柯西–比內公式)展開
從而有
上式稱為比內—柯西恒等式。
若令
當n=3時，不難看出上述比內—柯西恒等式可以寫成
便可以得到?比內—柯西恒等式的一種比較常見的特殊情形上式也稱為拉格朗日恒等式。顯然拉格朗日恒等式等號右邊的項大于0，從而有這就是著名的柯西不等式。只有當向量a和b共線時，a∧b=0,從而柯西恒等式等號右邊的項為零，這就是柯西不等式中等號成立的條件。將柯西不等式中的向量用坐標表示就可以得到柯西不等式較常見的形式??柯西不等式在數學和物理的很多領域都有非常重要的應用(柯西不等式與不確定關系)，包括均值不等式在內的很多常見不等式都可以根據柯西不等式證明。根據向量內積和外積的定義，當a和b是單位向量時，柯西不等式就變成
其中θ為兩向量的夾角。上式其實就是勾股定理。
