第十講 全等三角形
全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發點，運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題．
利用全等三角形證明問題，關鍵在于從復雜的圖形中找到一對基礎的三角形，這對基礎的三角形從實質上來說，是由三角形全等判定定理中的一對三角形變位而來，也可能是由幾對三角形組成，其間的關系互相傳遞，應熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形：
例題求解
【例1】 如圖，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AF，給出下列結論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正確的結論是 (把你認為所有正確結論的序號填上)． (2003年廣州市中考題)
思路點撥 對一個復雜的圖形，先找出比較明顯的一對全等三角形，并發現有用的條件，進而判斷推出其他三角形全等．
注 兩個三角形的全等是指兩個圖形之間的一種‘對應”關系，“對應’兩字，有“相當”、“相應”的含意，對應關系是按一定標準的一對一的關系，“互相重合”是判斷其對應部分的標準．
實際遇到的圖形，兩個全等三角形并不重合在一起，但其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻拆、旋轉等方法得到，這種改變位置，不改變形狀大小的圖形變動叫三角形的全等變換．
【例2】 在△ABC中，AC＝5，中線AD＝4，則邊AB的取值范圍是( )
A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13
(2001年連云港市中考題)
思路點撥 線段AC、AD、AB不是同一個三角形的三條邊，通過中線倍長將分散的條件加以集中．
求證：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．
(第16屆江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)證明對應的兩個三角形全等；(2)在(1)的基礎上，證明∠PAQ=90°
【例4】 若兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應相等，試判斷這兩個三角形的第三邊所對的角之間的關系，并說明理由．
(第9屆“五羊杯”競賽題改編題)
思路點撥 運用全等三角形的判定和性質，探討兩角之間的關系，解題的關鍵是由高的特殊性，分三角形的形狀討論．
注 有時圖中并沒有直接的全等三角形，，需要通過作輔助線構造全等三角形，完成恰當添輔助線的任務，我們的思堆要經歷一個觀察、聯想、構造的過程．
邊、角、中線、角平分線、高是三角形的基本元素，從以上諸元素中選取三個條件使之組合可得到關于三角形全等判定的若干命題，其中有真有假，課本中全等三角形的判定方法只涉及邊、角兩類元素．
【例5】 如圖，已知四邊形紙片ABCD中，AD∥ BC，將∠ABC、∠DAB分別對折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點E，你能獲得哪些結論?
思路點撥 折痕前后重合的部分是全等的，從線段關系、角的關系、面積關系等不同方面進行探索，以獲得更多的結論．
注 例5融操作、觀察、猜想、推理于一體，需要一定的綜合能力．推理論證既是說明道理，也是探索、發現的逄徑．
善于在復雜的圖形中發現、分解、構造基本的全等三角形是解題的關鍵，需要注的是，通常面臨以下情況時，我們才考慮構造全等三角形：
(1)給出的圖形中沒有全等三角形，而證明結論需要全等三角形；
(2)從題設條件無法證明圖形中的三角形全等，證明需要另行構造全等三角形．
學歷訓練
1．如圖，AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C邊上的高，且AB= A′B′，AD＝A′D，若使△ABC≌△A′B′C′，請你補充條件(只需要填寫一個你
認為適當的條件) ． (2001年黑龍江省中考題)
2．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列4個論斷：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，請以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出一個真命題(用序號○○○→○的形式寫出) ． (2001年海南省中考題)
3．如圖，把大小為4×4的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形，例如圖1．請在下圖中，沿著虛線畫出四種不同的分法，把4×4的正方形方格圖形分割成兩個全等圖形．
4．如圖，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，則∠DOE的度數是 ．
5．如圖，已知OA=OB，OC=OD，下列結論中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③連OE，則OE平分∠O，正確的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．如圖，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，則DE的長等于( )
A．DC B． BC C．AB D．AE+AC (2003年武漢市選拔賽試題)
7．如圖，AE∥CD，AC∥DB，AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有( )對
A．5 B．6 C． 7 D．8
8．如圖，把△ABC繞點C順時針旋轉35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于點D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度數． (2001年貴州省中考題)
9．如圖，在△ABE和△ACD中，給出以下4個論斷：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3個論斷為題設，填人下面的“已知”欄中，一個論斷為結論，填人下面的“求證”欄中，使之組成一個真命題，并寫出證明過程．
已知：
求證：
(2002半荊州市中考題)
10．如圖，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M，
求證：∠M=
11．在△ABC中，高AD和BE交于H點，且BH＝AC，則∠ABC＝ ．
12．如圖，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED ．
(2003年河南省競賽題)
13．如圖，D是△ABC的邊AB上一點，DF交AC于點F，給出3個論斷：①DE=FE；②AE＝CE；③FC∥AB，以其中一個論斷為結論，其余兩個論斷為條件，可作出3個命題，其中正確命題的個數是 ．
(2001年武漢市選拔賽試題)
14．如圖，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2，那么AB= ．
15．如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設PB＝m，PC＝n，AB=c，AC=b，則（m+n）與(b+c)大小關系是( )
A．m+n> b+c B． m+n<b+c C．m+n= b+c D．不能確定
16．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB>AD，下列結論中正確的是( ) A．AB－AD>CB－CD B．AB－AD＝CB—CD
C．AB—AD<CB—CD D．AB－AD與CB—CD的大小關系不確定．
(第17屆江蘇省競賽題)
17．考查下列命題( )
(1) 全等三角形的對應邊上的中線、高、角平分線對應相等；
(2) 兩邊和其中一邊上的中線(或第三邊上的中線)對應相等的兩個三角形全等；
(3) 兩角和其中一角的角平分線(或第三角的角平分線)對應相等的兩個三角形全等；
(4)兩邊和其中一邊上的高(或第三邊上的高)對應相等的兩個三角形全等．
其中正確命題的個數有( )
A．4個 B．3個 C． 2個 D．1個
18．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，并且AE=
19．如圖，△ABC中，D是BC的中點，DE⊥DF，試判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論．
20．如圖，已知AB=CD=AE＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五邊形ABCDC的面積．
(第17屆江蘇省競賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AF+CD．
(2003年武漢市選拔賽試題)
22．(1)已知△ABC和△A′B′C′中，AB= A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′=100°，求證：△ABC≌△A′B′C′；
(2)上問中，若將條件改為AB＝A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C ′=70°，
結論是否成立?為什么?
