第一章
概述
第一節 數學是什么
一. 數學的“定義”
1．古今數學家的說法
（美）R·柯朗：
“數學，作為人類智慧的一種表達形式，反
映生動活潑的意念，深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，它
的基礎是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性。
”
（法）E·波萊爾：
“數學是我們確切知道我們在說什么，并
肯定我們說的是否對的唯一的一門科學。
”
（英）羅素：
“數學是所有形如 p 蘊含 q 的命題的類”
，而最
前面的命題 p 是否對，卻無法判斷。因此“數學是我們永遠不知
道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學科。
”
2．數學的 15 個“定義”《數學文化導論》的收集）
（
這十五種“定義”都有它的道理，也都有片面性，但可使我
們從各個角度考察、理解數學。
1） 哲學說
來自古希臘；亞里士多德、歐幾里德。
哲學是研究最廣泛的事物，數學也是研究最廣泛的事物，這
是它們的共同點。但是，數學與哲學的研究對象不同，研究方法
也不同。兩者雖有相似之處，但數學不是哲學的一部分，哲學也
不是數學的一部分?，F在有人說“哲學從一門學科中退出，那就
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意味著這門學科的建立；而數學進入一門學科，就意味著這門學
科的成熟。
”
2） 符號說
3） 科學說
4） 工具說
5） 邏輯說
6） 創新說
7） 直覺說
8） 集合說
9） 結構說（或關系說）
10） 模型說
11） 活動說
12） 精神說
13） 審美說
14） 藝術說
15） 萬物皆數說
方延明：
數學是研究現實世界中數與形之間各種形式模型的
結構的一門科學。
徐利治：
數學是
“實在世界的最一般的量與空間形式的科學，
同時又作為實在世界中最具有特殊性、
實踐性及多樣性的量與空
間形式的科學”
。
[思]：請你在學習“數學文化”課的過程中，始終帶著下面
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的問題——在學完
“數學文化”
課后，
給出一個你自己對
“數學”
的定義。
二、數學的特點
第一是抽象性，第二是精確性，第三是應用的廣泛性。
1．抽象性
從中學和大學數學的學習中我們已經體會到數學的抽象性
了。直線、平面、空間都是抽象的概念， n 維空間以至無窮維
空間更是抽象的概念。
不過，抽象不是數學獨有的特性，任何一門科學都具有這一
特性。數學抽象的特點在于：第一，在數學的抽象中只保留量的
關系和空間形式而舍棄了其他一切；第二，數學的抽象是一級一
級逐步提高的，
它們所達到的抽象程度大大超過了其它學科中的
抽象；
第三，
數學本身幾乎全在處理抽象概念和它們的相互關系。
2．精確性
數學的精確性表現在數學推理的邏輯嚴格性和數學結論的
確定無疑性。
數學的精確性不同于物理、化學等其它大多數學科。漢克爾
說：
“在大多數科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，
只有數學，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓。
”
兩個例子：
① 地心說→日心說→開普勒三定律
② 高溫超導的上界（朱棣文）30º→90º→120ºK
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3．應用的廣泛性
華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球
之變，生物之謎，日用之繁，數學無處不在。
例子：①哈雷彗星的發現；②海王星的發現；③電磁波的發
現。
三、 數學與其它領域的聯系
數學文化的外延廣泛，數學與物理、化學、生物、天文等學
科的聯系是大家比較了解的。我們從另外幾個學科來看。
1.數學與教育
數學對于受教育者，不僅僅是學會一門課程、一門知識、更
重要的是學習數學的思想、方法、精神，把數學作為成才的基本
素質要求。
1） 波利亞：
“讓我們教猜想吧！
”
波利亞還說：
“在數學家證明一個定理之前，必須猜想到這
個定理；在他完成證明的細節之前，必須先猜想出證明的主導思
想。
”
事實上，教育并不總是在讓學生認知，教育在很大程度上是
讓學生欣賞，只有這樣，才有最佳的教育效益。
2）作為數學教授的大學校長：丁石孫——北大，蘇步青—
—復旦，谷超豪——科大，潘承洞——山東大學，齊民友——武
漢大學，伍卓群——吉林大學，侯自新——南開大學，李岳生—
—中山大學，曹策問——鄭州大學，楊思明——湘潭大學，展濤
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——山東大學，黃達人——中山大學，吳傳喜——湖北大學，周
明儒——徐州師大，王梓坤——北師大，陸善鎮——北師大，王
建磐——華東師大，史寧中——東北師大，路鋼——華中師大，
邱玉輝——西南師大，王國俊——陜西師大。
大學校長是綜合素質比較好的學者；
眾多大學校長都是數學
教授，這也說明數學教育對人的綜合素質的提高影響很大。
2.數學與文學
1）用數學方法對作品和語言進行寫作風格分析和句型頻譜
分析
《紅樓夢》 80 回與后 40 回的作者不同；
例：
前
《靜靜的頓河》
的作者是肖洛霍夫。
2） 語言學好比一個公理系統
（語法好比法則和定理）
3）語音學（關于語調）的研究
計算機模擬人的語調，
是南開大學中文系與計算機系合作的
一個成果，曾獲得國家級教學成果二等獎。
3.數學與史學
1）史衡學
數學的介入，使史學的研究成果更加客觀、嚴謹，較多地排
除了人為因素。
2）考古對數學史的推進
1986 年上海陸家咀發現元朝玉掛，談祥柏教授研究后發現，
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它是一個四階完全幻方。過去以為只有印度歷史上才有這種“完
全幻方”
。
4.數學與哲學
1）數學中無限的概念、連續的概念，一出現，便成了哲學
研究的對象。
2） “沒有數學，我們無法看透哲學的深度，沒有哲學，人
們也無法看透數學的深度，而若沒有兩者，人們就什么也看不
透。
”
3）哲學系的“邏輯學”與數學系的“數理邏輯”
5.數學與經濟
1）普遍運用數學建立經濟模型
2）獲諾貝爾經濟學獎的學者中，數學家出身的和有數學背
景的人占一半以上
6.數學與社會學
1）定量社會學、實證社會學已經形成了一套邏輯嚴密的研
究模式
2） “社會科學的許多重要領域已經發展到不懂數學的人望
塵莫及的階段。
”
7.數學與工程技術
“1991 年的海灣戰爭就是信息戰爭、數學戰爭”
1）
2）數學與工程技術的相互滲透，非常廣泛、深刻
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2000 年是聯合國宣布的“世界數學年”
，聯合國教科文組織
指出：
“純粹數學與應用數學是理解世界及其發展的一把主要鑰
匙。
”
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