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大家好，我是陳玲玲，來自浙江溫州市籀園小學，是朱樂平名師工作站第14組的成員，很高興再次與您在一課研究相遇。
本期內容有哪些
聽一聽：《展現過程 挖掘本質》——談小學數學概念教學
讀一讀：《認識底和高》教學設計
笑一笑：《乘法分配律》
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聽一聽：《展現過程 挖掘本質》——談小學數學概念教學
本文節選自雜志《學科教學》陳朝暉 葉婉貞
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概念教學是小學數學教學的重要組成部分。表象和定義是一個概念的兩個側面，前者表示概念的內部表征，后者是概念的外部表征，它們是概念形成過程中必須重視的方面。教學中，存在“重視定義本身，而忽視表象對本質把握的作用”或“重視表象，而未深入定義本質”等現象。怎樣才能在概念教學中處理好表象和定義的關系，讓概念教學更有效呢？筆者以“認識底和高”的教學為例，談談具體的做法。
一、教材與學情分析
“認識底和高”這節課安排在人教版四上《平行四邊形和梯形》單元之后學習。學生之前學習了梯形、平行四邊形和三角形的特征，初步認識平行四邊形和梯形的高，學習了運用三角尺或直尺畫垂線的方法。是進一步學習平行四邊形、三角形和梯形面積計算的基礎。幾何圖形的“高”是較為抽象的幾何知識，小學生理解起來比較困難。之前的教材，這一內容分散在四、五年級各冊教材中。如果能集中安排一節課學習高的認識，具有很強的系統性，對幫助學生全面、深入理解“高”的本質有重要的意義。
在學習《平行四邊形和梯形》后，筆者就“高的認識”對學生進行了簡單的前測。測試數據顯示，當所給的平行四邊形和梯形的平行線屬于上下平行，大多數學生能畫出多條高，部分認為高就是平行線之間的距離。如下圖：
當所給的平行四邊形和梯形的平行線屬于左右平行時，有50%的學生不能正確畫出高，有的學生不能解釋為什么梯形的兩條腰之間不能作高。
通過學生的個別訪談，發現部分學生雖然理解了高的概念，但是只抓住了高的“具象特征”即“垂線段”，但未抓住高是“從哪里出發到哪里”的垂直線段，所以雖然學過畫高技能卻仍然會錯。小部分學生雖然學了高，但是仍然將生活中的高和數學中的高混淆，即認為高就是垂直于地平面的線段。
從中可知，雖然已經學習過高的定義和畫高技能，大部分學生能掌握一定“高”的簡單作圖技能，但對“高”這一概念的認識仍停留在直觀、模糊的層次上。
教學啟示：
小學階段的數學，不少概念沒有給出嚴格的定義或者只是給出模糊的定義，幾何圖形的“高”也如此。盡管如此，數學概念教學也不能“只能意會，不能言傳”，而丟失了數學本身最重要的“對客觀世界的定性把握和定量刻畫”的意義，教師應當準確把握“高”的概念本質，尋找合理的教學方法，引導學生對概念的理解從“適當模糊”走向“趨向本質”。
二、教材目標與重難點
1.教學目標
1.復習平行四邊形、梯形的底和高，認識三角形的高，會畫高三角形、平行四邊形和梯形的高；
2.經歷觀察、操作、對比、交流等活動，深入理解高的概念；
3.在學習過程中，體會點到直線的垂線段與三種圖形的高的聯系，感悟轉化思想。
教學重、難點
重點：從定義的角度認識高、會畫高。
難點：體會點到直線的垂線段與三種圖形的高的聯系。
三、教學過程
(一)回顧與辨析，舊知識新起點
1.判斷圖中的線段是不是平行四邊形或梯形的高，若是，請找出對應的底。
2.（1）平行四邊形的高辨析。
學生可能的情況如下：①號圖的第一條線段不是高，理由是：高必須是對邊上的一個點向對邊作垂線。②號圖，兩組不同方向的高影響判斷，學生意見出現分歧。
引導：平行四邊形的高必須從哪里找點？找到點之后向哪里作垂直線段？
小結：平行四邊形的高，平行四邊形邊上任意一點到對邊的距離。
（2）梯形的高辨析。
學生容易判斷③是正確的。但對④、⑤表示的線段是否為高，不能給出合理的解釋。
引導：梯形中的高從哪里找點？梯形的高和平行四邊形有什么相同和不同？
小結：梯形的高：夾在兩底之間的垂線段。即平行邊上的一點到對邊的距離，簡單地說是：上底與下底之間的垂線段。相同點是從平行邊上的一點到對邊的距離，不同點是梯形的兩腰之間所作的垂線段不是梯形的高。
3.嘗試總結平行四邊形的高和梯形的高的定義。
板貼高的定義：
【設計意圖：盡管學生學過平行四邊形和梯形的高，但受到生活中的高是“豎著的”“垂直于地面”的經驗影響，且學生對高的認識仍停留在較為表面的層面，因而上面的復習題中錯誤率仍然較高。在此設置辨析，很有必要。這有利于真正理解兩種圖形高的定義，讓學生對高的理解更貼近數學本質。】
（二）嘗試與理解，新方法促認知
1.猜：請你猜一猜，你覺得三角形的高是什么樣子的？
2.畫：根據你的理解，請嘗試動手畫一個三角形，并畫出它的一條高。
3.辨：反饋學生所畫的高。
學生畫后，交流討論，說出特征。然后教師引導歸納，形成結論。
學生可能出現的情況：②號不是三角形的高，但是如果擺正了是三角形的高。②號是三角形的高，無論三角形怎么擺放都是它的高。
引導：如果三角形的位置不移動，如何判斷這是三角形的高？三角形位置不停轉動，還是三角形的高嗎？
小結：不管三角形怎么擺放，三角形的高就是從頂點到對邊的垂直線段。
板貼：頂點到對邊的垂直線段。
4.思：三角形有幾條高？你是如何找到的？
【設計意圖：通過類比平行四邊形和梯形的高的認識的經驗，猜想三角形的高的樣子，經歷猜想、畫圖、辨析、思考四個數學活動，經歷三角形高的定義的形成過程，感悟概念的內涵。】
（三）溝通與聯系，新舊知識合一體
1.找到相同點。
學生容易發現概念中的關鍵詞：都是點到對邊的垂直線段。這條對邊就是我們所說的底，這個距離（垂直線段）就是我們要找的高。
2.找出不同點。
問：三種圖形的高為什么數量不同？
學生觀察、畫圖、對比、討論。
在辨析中發現：三角形的點是三個頂點，有3條高。平行四邊形和梯形是平行邊上的任意一點都可以，平行四邊形有2組高（無數條），梯形有1組高（無數條）。
【設計意圖：將所學的平行四邊形、梯形和三角形的高聯系起來，通過對比，發現高的本質其實就是點到線的垂直線段。將抽象的高認知轉化為過去所學的“點到線的垂直線段”這一舊知。再進一步區分不同圖形中高的不同是源于高的點的位置不同，三角形的高必須從頂點作高，只有三條高；平行四邊形和梯形的高是平行邊上任意一點作高，所以有無數條。讓高這一概念，在學生眼里不再“飄忽不定”。】
（四）應用與歸納，技能促概念深化
1.自主嘗試畫高。根據剛才我們對高的認識，試著畫出三角形指定的底上的高。
2.交流反饋學生作品，加深概念認知。
（1）學生畫指定的底上的高。
（2）學生交流：嘗試口述畫高步驟。
（3）小結：
畫高步驟：先確定底和頂點，再作頂點到底的垂直線段。
畫圖依據：根據高的概念。
板書：畫高三步驟 定點 定線 作垂直線段
3.學生修改，調整畫法。分別給出以上三種圖形，要求學生畫出指定底對應的高。
學生畫高，同桌交流畫法，全班交流。
【設計意圖：在學生已有畫平行四邊形和梯形的高的作圖技能基礎上，通過自主嘗試畫指定三角形底的高→歸納畫高要點→溝通畫高步驟與高概念之間的聯系→鞏固提升。通過畫高操作深化概念理解，同時，通過深度理解高的概念促進學生對畫高技能原理的理解和方法的掌握。】
學生畫高，同桌交流畫法，反饋。
【設計意圖：在學生已有畫平行四邊形和梯形的高的作圖技能基礎上，通過自主嘗試畫指定三角形底的高→歸納畫高要點→溝通畫高步驟與高概念之間的聯系→再次練習鞏固，既以畫高技能加深了對高概念的認知，又以高的概念促進了學生畫高技能的掌握。】
（五）練習與拓展，面積認識作鋪墊
在方格紙上畫一個底為6cm的三角形。（每個小方格的邊長表示1cm）
1.在格子圖中，給出一條長6格的線段，你能想象三角形的形狀嗎？再在線段外面給出一個點，現在你能現象這個三角形的形狀嗎？
教師動態演示點向上逐漸移動，三角形的形狀發生什么變化？高的變化是否與點的位置有關？
2.底不變，點向右移動，三角形的形狀又發生了什么變化？
【設計意圖：通過三角形高的位置變化，讓學生初步感受三角形的面的大小會隨著高的高度變化而變化，不會隨著高的位置移動而變化。】
四、教學反思
在概念教學中處理好表象和定義的關系，讓概念教學更有效呢？筆者結合“認識底和高”進行了教學實踐，并進行深入反思。
1.根據學生認知起點，發現難點、突破難點。
通過前測課，發現學生對高的認知普遍存在“高就是豎著的一條線段，斜著就不是，底就是下面的一條線段”的認知特點。教學時，通過類比舊知，形成概念。接著，對三種幾何圖形的高的畫法進行深入對比辨析，深化對概念的理解。然后，結合三角形高的概念，給定一條線段作為未知三角形的底，再給出一個動點，作為三角形的一個頂點。移動這個點，形成不同形狀的三角形，三角形的高也隨之變化。通過這樣的演示，讓學生明白：不管三角形的位置如何轉動，只要是從頂點到對邊的垂直線段，就是三角形的高”。上面的做法，有效突破教學難點。
2.通過對比辨析，打通三種圖形的高之間的聯系。
如何在一節課中讓學生建立對高的真正認知？畫高是其中一項重技能，很多老師以此來檢驗學生對高是否已經掌握扎實，但這不是對高認知唯一的一項檢驗標準。這節課通過辨析平行四邊形、梯形的高，理解高的概念，認知高的本質。引出認識三角形的高，再溝通與聯系三種圖形的高，借助高的本質，引導學生學會判斷哪些是真正的高，學會畫出三種圖形的所有高。
打通三種圖形高的聯系，發現高就是“一個點到對邊的垂直距離”，將高的認知歸到本位：點到線的垂直距離。找到了這個重要的本質特點，再結合畫高，提煉畫高可以先“定點，定線，畫垂直線段”，實現在理解畫圖依據和原理的基礎上，正確畫出三種圖形的高。
3.抓住本質，適當拓展，建立后續學習的橋梁。
數學知識并不是孤立獨立的，溝通高的本質其實就是學生已有認識的“點到線的垂直”之后，通過兩個層次為后續高的變化在面積中的變化認識做鋪墊：底不變，高度變化面積也變化；底不變，高度不變位置變化但面積不變。學生通過這樣的學習方式，能夠區分于以往對高是“孤立”“抽象”的印象，從整個知識體系建立對高更全面的認識。
