大問題系列
大問題系列
撰文：吳峙佑
數(shù)學作為現(xiàn)代科學的根基被或深或淺地廣泛應用于各行各業(yè)，普通人都或多或少地懂得基本的數(shù)學方法。然而現(xiàn)代數(shù)學卻是一個令多數(shù)人望而卻步的所在，人們對于其基本問題以及基本方法的了解程度遠遠低于其他科學，聽說過“朗蘭茲(Langlands)”的人遠遠少于聽過“冷凍電鏡”或者“弦論”的人。這篇文章將介紹現(xiàn)代數(shù)學，特別是算術幾何中的一系列猜想，它們共同構成了一幅極其宏偉壯闊的藍圖，那是一代代學者的夢想所在。
現(xiàn)代數(shù)學的多數(shù)部分層層疊疊地建立在越來越遠離日常經(jīng)驗的抽象體系上，僅僅去透過迷霧管中窺豹的一瞥也會受阻于層層門檻，為避免過份淺薄本文不可避免地將使用一系列術語。盡管如此，為了簡潔，幾乎所有的陳述都具有一定的模糊性，有時甚至故意的錯誤，精確的表述需要引進更多現(xiàn)代理論以及微妙的修正。
故事要從歐拉開始，歐拉考慮了函數(shù)：
并證明了其在 s = 2 點的值：
之后黎曼在其著名的論文中提出這一函數(shù)滿足：
① 其具有表達式：
② 其在 1-s 和 s 的值具有對稱性，滿足一定函數(shù)方程；
③ 其非平凡零點分布在直線 Re(s)=1/2 上。
① 和 ② 很容易用初等方法證明，③ 則是著名的黎曼假設——作為數(shù)學中最具挑戰(zhàn)的問題之一。這一函數(shù)，現(xiàn)在通常稱之為黎曼ζ函數(shù)(Riemann zeta function)，其實是某一類函數(shù)的特殊情形，我們稱之為L函數(shù)，我們猜測它們都具有類似 ①、② 和 ③ 的性質，同時它們在特殊點的值有類似歐拉的表達式。這一模糊的表述看似初等，實質上深刻無比，它包含了美國克萊研究所于21世紀初提出的七個千禧年百萬問題中的三個——貝赫和斯維訥通-戴爾猜想(BSD)，霍奇猜想(Hodge conjecture)和黎曼猜想(Riemann Hypothesis)，以及許多其他同樣著名的猜想。這一表述的背后，隱藏了一系列無比宏偉的數(shù)學結構，這些結構幫助我們澄清并理解問題的涵義，同時提供了強有力的解決工具，對很多人來說它們比問題本身更加迷人。
大體上來說，我們有兩種不同起源的 L 函數(shù)，我們稱之為 Motivic L 函數(shù)和自守 L 函數(shù)。
我們先解釋 Motivic L 函數(shù)，它們起源于數(shù)論和代數(shù)幾何。代數(shù)數(shù)論的一個核心問題是求解整數(shù)系數(shù)的一元多項式方程，對于每一個素數(shù)p我們可以考慮模p的情形并得到有限域上的一元多項式方程，我們原則上可以很容易地求解，模p的解如何聯(lián)系于整數(shù)解是一個數(shù)論的重要問題。高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)的著名二次互反律(Law of Quadratic Reciprocity)即為此問題在一元二次多項式的特殊情形的解。
20世紀初的一個重要發(fā)現(xiàn)——類域論(Class field theory)，對于更大一類的一元多項式方程解決了這一問題。這一類方程并不是由多項式的次數(shù)限定的，而是取決于方程的內蘊對稱性，更加精確地說，它的伽羅瓦群(Galois group)。伽羅瓦在19世紀初的革命性工作首次引進了群論，并利用它來精確地度量多項式的對稱性，我們第一次能夠繞開繁瑣的計算，用更深層次的抽象性質去處理表面更加具體的問題，它標志著現(xiàn)代代數(shù)的開端。一元多項式的復雜性在于伽羅瓦群的復雜性，而類域論處理了交換伽羅瓦群的情形，非交換的情形要復雜的多，它是現(xiàn)代朗蘭茲綱領(Langlands program)的一個重要目標。
對于每一個一元多項式我們可以定義L函數(shù)，它們通常叫做戴德金ζ函數(shù)(Dedekind zeta function)，黎曼 ζ 函數(shù)則是一元一次多項式的特殊情況。它們可以初等地證明滿足 ① 和 ②。一個自然的推廣是考慮多元多項式的情況，這里我們進入了代數(shù)幾何的領域。多項式的零點定義了一個幾何對象，我們稱之為代數(shù)簇(Algebraic variety)，對于它們的研究我們通常稱為代數(shù)幾何。
代數(shù)幾何作為一門古老的學科在20世紀經(jīng)歷了蔚為壯觀的發(fā)展，20世紀初期意大利學派對代數(shù)曲面的研究有了長足的進展，然而其不嚴格的基礎促使奧斯卡·扎里斯基(Oscar Zariski) 和 安德烈·韋伊(André Weil)重構了整個代數(shù)幾何的基礎，韋伊更是指出了代數(shù)幾何和數(shù)論與拓撲之間的驚人聯(lián)系，之后亞歷山大·格羅滕迪克(Alexander Grothendieck)為了理解韋伊的猜想更進一步用更抽象本質的方法重新構建了代數(shù)幾何的基礎并引進了一系列強大的工具，特別是他的上同調理論(cohomology)，最終導致了皮埃爾·德利涅(Pierre Deligne)完整證明了韋伊猜想并因此得到了菲爾茲獎。
我們要重點提格羅滕迪克的上同調理論，其根植于代數(shù)拓撲，格羅滕迪克同時構造了一系列上同調理論，它們具有非常類似的性質，但卻起源于非常不同的構造，格羅滕迪克試圖尋找出它們的共同本質并由此提出了Motive理論。這一理論并不完整，因為它基于一系列猜想，格羅滕迪克稱之為標準猜想。如果標準猜想被證明，我們就能得到一套非常漂亮的理論，它導出了所有上同調，同時我們能證明一系列表面無關的問題。著名的百萬問題之一霍奇猜想的重要性就在于它能導出標準猜想。
每一個Motivic L 函數(shù)都是由Motive給出的，對于這些函數(shù)，① 很容易驗證，但是 ② 我們還無法證明一般情況， 一個已知例子是有理數(shù)上橢圓曲線的情形， 安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)關于費馬大定理的證明的一個推論 (谷山-志村猜想，完整情形于01年由懷爾斯的幾位學生證明)。對于幾乎所有 L 函數(shù) ③ 都是未知的，唯一的例外是Motive在有限域的情形，③ 即是德利涅所證明的韋伊猜想。
對于Motivic L 函數(shù)的特殊值的問題，我們需要Motive的一個推廣，我們稱之為mixed motive, 這是一個更加龐大但更加遙遠的夢想，我們完全不知道如何構造它。它的存在能夠推導出一系列及其漂亮的等式，推廣歐拉對于黎曼ζ的公式，著名的貝林森猜想(Beilinson conjecture)， 百萬問題之一的BSD等都屬此類。雖然我們無法構造mixed motive，卻能夠構造它的一個弱化變形，我們稱之為導出范疇， 弗拉基米爾·沃埃沃德斯基(Vladimir Voevodsky)給出了這樣一個構造從而獲得了2002年的菲爾茲獎。
Motive是比 L 函數(shù)更本質的存在，但是我們很難直接計算它，替代的辦法是考慮Motive的不同表達。每一個Motive都能給出一系列伽羅瓦群的表示以及復幾何中的霍奇結構，它們完全決定了 L 函數(shù)，因而考慮它們是更根本的問題。我們已經(jīng)看到類域論解決了交換伽羅瓦群的情形，一個簡單但卻根本的想法是群的表示比群本身更加基本，因而我們需要考慮的不是伽羅瓦群本身，而是它的表示，這樣所有的交換伽羅瓦群就等價于一維的伽羅瓦表示，而非交換的就等價于高維的表示。為了能夠理解它們，我們必須考慮它們的內在對稱性，令人驚訝的是，這些對稱性很大程度上來源于一類完全不同的數(shù)學對象-----自守形式。
自守形式的起源可以追溯到19世紀，Klein和昂利·龐加萊(Henri Poincaré)是這一方向的先驅者。然而如果我們再往前看，仔細閱讀黎曼關于ζ函數(shù)的性質 ② 的證明，就會發(fā)現(xiàn)他實質上使用了一種非常特殊的自守形式的對稱性，我們現(xiàn)在稱之為權1/2的模形式。實際上幾乎所有的已知的關于性質 ② (整體域上的L函數(shù))的證明都使用了自守形式，我們猜測motivic L 函數(shù)都能從某類自守形式構造，這一大膽的猜測起源于志村五郎和谷山豐對于橢圓曲線的特殊情況，之后由朗蘭茲推廣到一般情況，亦即現(xiàn)代數(shù)學中如雷貫耳的朗蘭茲綱領。
志村五郎的方法很大程度上是來源于代數(shù)幾何，他從具體計算中看到了一些精致的特殊結構，他的方法太過具體以至于很難直接推廣到一般情況。朗蘭茲的洞見在于看出了這些結構背后的表示論內核，他系統(tǒng)將代數(shù)群的無窮維表示引進到數(shù)論中，找到了一個非常一般的全局性綱領，近五十年來它吸引了無數(shù)最杰出的學者。
通常認為朗蘭茲綱領由兩部分組成，第一部分稱為互反猜想，它描述了數(shù)論與表示論的對應關系，最一般的猜測是Motive是等價于相當一部分自守形式的，特別的它指出伽羅瓦表示應該等價于代數(shù)群的表示，因而motivic L 函數(shù)等價于自守 L 函數(shù)。第二部分稱之為函子性猜想，它描述了不同群之間的表示的聯(lián)系。這一綱領意義深遠，它可以對最一般的 L 函數(shù)證明②，并且導出一系列困難的猜想，如阿廷猜想。
經(jīng)過幾十年的努力，我們對這一綱領的理解有了很大進展，杰出的代表性學者包括菲爾茲獎得主弗拉基米爾·德林費而德(Vladimir Drinfeld)，洛朗·拉福格(Laurent Lafforgue)和吳寶珠，不過距離完整的綱領仍然非常遙遠。必須要提的是，朗蘭茲綱領的范圍還在不斷擴展，類比經(jīng)典的綱領，我們發(fā)展出了幾何朗蘭茲，p-adic朗蘭茲，甚至物理上愛德華·威滕(Edward Witten)都提出了類似的朗蘭茲對偶，它們牽涉到了非常不同的領域，使用非常不同的方法，但是它們都展現(xiàn)出了極深層次的相似性，從不同的角度豐富了綱領本身。一個最新的值得一提的進展來自彼得·舒爾茨(Peter Scholze)正在進行的工作，他利用由他發(fā)展的p-adic幾何類比函數(shù)域的情形去證明局部數(shù)域的情形。
我們非常粗糙地回顧了一些現(xiàn)代數(shù)學，特別是算術幾何領域的重要問題，從現(xiàn)在來看，幾乎所有以上提到的猜想都還非常遙遠(也許BSD是個例外)，每一個也許都足以耗盡一個人畢生精力，然而正是其困難和深刻吸引了無數(shù)人。某種程度上，數(shù)學家和探險家是一類人。
