大約400年前，伽利略就曾表達(dá)過(guò)，自然是由數(shù)學(xué)的語(yǔ)言書(shū)寫成的。從那以后，數(shù)學(xué)和科學(xué)——尤其是物理學(xué)——之間的關(guān)系就變得越來(lái)越緊密。然而不幸的是，宇宙并沒(méi)有一本指南，告訴我們哪些數(shù)學(xué)思想可以用來(lái)解釋哪些自然現(xiàn)象。
數(shù)學(xué)與物理
有時(shí)候，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的聯(lián)系相對(duì)簡(jiǎn)單。例如，伽利略發(fā)現(xiàn)了控制單擺運(yùn)動(dòng)和小球滾下斜坡的數(shù)學(xué)公式。但隨著物理學(xué)變得越來(lái)越難，數(shù)學(xué)也變得越來(lái)越難。當(dāng)牛頓試圖理解，從一個(gè)時(shí)刻到下一個(gè)時(shí)刻，一個(gè)變量如何隨著另一個(gè)變量的變化而變化時(shí)，他發(fā)現(xiàn)需要一種全新的數(shù)學(xué)，也就是我們現(xiàn)在稱之為微積分的數(shù)學(xué)工具。當(dāng)愛(ài)因斯坦發(fā)展廣義相對(duì)論時(shí)，他發(fā)現(xiàn)需要使用非歐幾何——幸好在大約60年前，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼就已經(jīng)發(fā)明了它。
事實(shí)上，今天的數(shù)學(xué)如此復(fù)雜，就連判斷兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支是否有所關(guān)聯(lián)都困難重重，更不用說(shuō)數(shù)學(xué)和物理世界的聯(lián)系了。反之亦然：在一些物理學(xué)領(lǐng)域，我們?nèi)栽谔剿餍枰男?shù)學(xué)工具，并學(xué)習(xí)如何發(fā)展它們。
這種糾纏不清的現(xiàn)象使得不同學(xué)科間產(chǎn)生了復(fù)雜的相互作用，物理學(xué)家可以向數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)家也可以向物理學(xué)家學(xué)習(xí)。這就是大衛(wèi)·蓋奧托（Davide Gaiotto）正在做的事情，恰好，他在圓周研究所擔(dān)任的是伽利略講座教授。
蓋奧托研究的領(lǐng)域是量子場(chǎng)論（QFT），這是模擬亞原子粒子行為的理論框架。量子場(chǎng)論的起源可以追溯到近100年前，當(dāng)時(shí)人們首次嘗試將量子力學(xué)與電磁學(xué)等理論相結(jié)合。從那以后，量子場(chǎng)論在描述現(xiàn)實(shí)世界方面非常成功，量子場(chǎng)論的理論預(yù)測(cè)與觀測(cè)結(jié)果幾乎完美吻合。量子場(chǎng)論是粒子物理學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)，這個(gè)框架解釋了物理學(xué)中除引力之外已知的基本力——電磁力、強(qiáng)核力和弱核力。
然而，事實(shí)上，我們對(duì)量子場(chǎng)論仍然知之甚少。幸好，大約在20年前，弦論同時(shí)引起了物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的廣泛注意。弦論是構(gòu)建一種量子引力理論的嘗試，因?yàn)橄艺摚瑪?shù)學(xué)家開(kāi)始對(duì)量子場(chǎng)論產(chǎn)生興趣，而物理學(xué)家則對(duì)一些數(shù)學(xué)工具躍躍欲試。
朗蘭茲綱領(lǐng)
這些數(shù)學(xué)工具很多都涉及所謂的朗蘭茲綱領(lǐng)——以加拿大數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）的名字命名。朗蘭茲綱領(lǐng)提議，在許多看似不相干的數(shù)學(xué)分支之間可以建立聯(lián)系，或者橋梁，例如，在研究整數(shù)尤其是質(zhì)數(shù)的數(shù)論，和涉及連續(xù)曲線和曲面的概念的分析（微積分是最著名的例子）之間建立橋梁。
○ 羅伯特·朗蘭茲。| 圖片來(lái)源：[2]
數(shù)論和分析看起來(lái)是完全不同的，數(shù)字是離散的，而曲線和曲面是連續(xù)的；它們?yōu)槭裁磿?huì)有關(guān)聯(lián)，并不是顯而易見(jiàn)的。但是朗蘭茲認(rèn)為，我們只是不夠努力。
1967年朗蘭茲30歲的時(shí)候，給當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)巨匠安德烈·韋伊（André Weil）寫了一封長(zhǎng)達(dá)17頁(yè)信。在這封信中，朗蘭茲將橋梁的性質(zhì)描述為一系列猜想。在附隨的封面說(shuō)明中，他謙虛地寫道：“如果您愿意把它看作是純粹的推測(cè)，我會(huì)很感激；如果不愿意，我相信您身邊就有一個(gè)廢紙簍。”
○ 1967年1月16日，朗蘭茲給安德烈·韋伊寫了一封信，這是附隨的封面說(shuō)明。| 圖片來(lái)源：Rich Schultz/AP
顯然，廢紙簍是多余的，因?yàn)槔侍m茲的論述說(shuō)到點(diǎn)子上了。事實(shí)上，在過(guò)去半個(gè)世紀(jì)的大部分時(shí)間里，數(shù)學(xué)家們都在試圖證明構(gòu)成朗蘭茲綱領(lǐng)的各種各樣的猜想。朗蘭茲綱領(lǐng)有時(shí)被稱為“數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一理論”。今年早些時(shí)候，朗蘭茲獲得了阿貝爾獎(jiǎng)。（進(jìn)一步閱讀《數(shù)學(xué)中的大統(tǒng)一理論 | 2018年阿貝爾獎(jiǎng)》）
一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是，這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和量子場(chǎng)論物理之間聯(lián)系的本質(zhì)是什么。它到底揭示了物理世界的什么？
蓋奧托說(shuō)，數(shù)學(xué)家們還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能完全理解量子場(chǎng)論，但至少他們正在學(xué)習(xí)去做那些物理學(xué)家不知道怎么做的計(jì)算。數(shù)學(xué)家也在從中獲益，他們正慢慢接受量子場(chǎng)論中存在一大堆有待解決的知識(shí)這樣的想法。
多倫多大學(xué)的吉姆·阿瑟（Jim Arthur）同意這一觀點(diǎn)。他認(rèn)為，朗蘭茲綱領(lǐng)和量子力學(xué)之間似乎存在令人驚異的類比關(guān)系：朗蘭茲綱領(lǐng)中出現(xiàn)的方程與薛定諤方程相似。薛定諤方程支配著量子系統(tǒng)的演化。如果將物理學(xué)家應(yīng)用于薛定諤方程的同樣的分析應(yīng)用于朗蘭茲綱領(lǐng)，就會(huì)得到離散的數(shù)字——分立能級(jí)的類似物。
換句話說(shuō)，那些沉浸在朗蘭茲綱領(lǐng)中的數(shù)學(xué)家或許可以給那些依然掙扎在理解量子場(chǎng)論的物理學(xué)家一些東西；非常有可能的是，他們可以幫助物理學(xué)家更好地理解這些怪異的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
量子力學(xué)描述像原子中分立的能級(jí)這樣離散的對(duì)象，而大多數(shù)物理理論涉及的是連續(xù)的場(chǎng)。任何有助于將這兩種解析自然的方法聯(lián)系起來(lái)的東西，都可能在粒子物理學(xué)的世界獲得回報(bào)。
幾何朗蘭茲對(duì)偶
蓋奧托的主要想法是一種被稱為幾何朗蘭茲對(duì)偶（geometric Langlands duality ）的東西——對(duì)于最初以代數(shù)幾何的術(shù)語(yǔ)表述的橋梁猜想的重新表述。
2006年，高級(jí)研究所的愛(ài)德華·威滕（Edward Witten）和加州理工學(xué)院的安東·卡普斯汀（Anton Kapustin）發(fā)現(xiàn)了幾何朗蘭茲對(duì)偶和S-對(duì)偶之間的一種聯(lián)系。S-對(duì)偶是關(guān)于某些量子場(chǎng)論（如超對(duì)稱規(guī)范理論）的性質(zhì)，有點(diǎn)類似于電和磁之間的聯(lián)系，如果交換電荷和磁荷，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)保持不變，S-對(duì)偶就像是這種聯(lián)系的超對(duì)稱版本。
威滕和卡普斯汀一直在研究聯(lián)系幾何朗蘭茲綱領(lǐng)中各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的對(duì)偶，以及這些對(duì)偶與物理對(duì)象的關(guān)系。他們成功地證明量子場(chǎng)論可以預(yù)測(cè)這種關(guān)系的存在，并且某些數(shù)學(xué)對(duì)象可以編碼特定物理對(duì)象的性質(zhì)。
他們還確定了哪些物理對(duì)象負(fù)責(zé)處于對(duì)偶的一側(cè)的最重要的數(shù)學(xué)對(duì)象。然而，他們?nèi)狈σ环N通用的方法來(lái)從物理的一側(cè)轉(zhuǎn)換到數(shù)學(xué)的一側(cè)，以及對(duì)預(yù)測(cè)存在的物體做出物理描述。
蓋奧托的工作建立在威滕和卡普斯汀工作的基礎(chǔ)上。他和同事與威滕合作，發(fā)現(xiàn)了對(duì)偶的物理對(duì)象，但是他們無(wú)法立即找到一種計(jì)算相應(yīng)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法。
去年，蓋奧托終于有了避開(kāi)主要的計(jì)算障礙所需的工具，他的突破揭示了物理結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系。有了這些，就可以進(jìn)行實(shí)際的計(jì)算了。
這個(gè)突破涉及到將頂點(diǎn)算子代數(shù)（vertex operator algebra）應(yīng)用于這個(gè)問(wèn)題。頂點(diǎn)代數(shù)就像羅塞塔石碑，可以幫助數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家相互理解。蓋奧托證明，涉及物理對(duì)象的計(jì)算可以被當(dāng)作頂點(diǎn)代數(shù)計(jì)算。為了將物理對(duì)象映射到頂點(diǎn)代數(shù)對(duì)象，他創(chuàng)建了一個(gè)“字典”。這項(xiàng)結(jié)果為許多數(shù)學(xué)對(duì)偶帶來(lái)了靈感，擴(kuò)展了朗蘭茲綱領(lǐng)。
威滕認(rèn)為，這個(gè)突破相當(dāng)驚人。他在電子郵件中寫道：“蓋奧托在理解幾何朗蘭茲對(duì)偶方面取得了顯著進(jìn)步。我很驚訝他是如何能夠在物理學(xué)方法所能理解的對(duì)象和數(shù)學(xué)家所能理解的對(duì)象之間架起一座橋梁的。”
○ 2018年五月，
○ 2018年五月，威滕與蓋奧托在圓周研究所。| 圖片來(lái)源：PERIMETER INSTITUTE
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