對于不太懂數理邏輯的人來說，邏輯推演就像是魔術。把奇怪的符號擺弄一通，竟然可以從正確的前提導出無比復雜，但卻必然正確絲毫不爽的結論。這是為什么呢？
首先要搞清楚一點，當我們談到邏輯的時候，這種指意幾乎都是不明確的，因為邏輯不止一個，而是有無數種不同的可能性，我們將其稱為不同的邏輯體系。在數理邏輯中，這些不同的體系描述了不同的數學系統，有著不同的性質。有的比較弱，但足以解答很多問題，也可以讓我們能利用計算機進行自動推理；有的比較強，能解答的問題更多，甚至能成為幾乎所有現代數學的邏輯基礎，但在這樣的系統中，對于某些命題，雖然我們知道它是真的，卻沒有辦法在有限的時間內在體系中給出證明。
但所有這些系統，幾乎都擁有同一個性質：如果前提是正確的，那么結論也必定是正確的。
作者David Rosenthal，來自http://facpub.stjohns.edu/~rosenthd/
不過，即使這種說法也很模糊。正確，是相對于什么來說正確？一串符號本身是沒有正確錯誤之分的，要分出這一點，必然要將符號和外部的某些東西來比較。
這種東西就是數理邏輯中所謂的“模型”。比如說皮亞諾公理，它的模型就是自然數，因為人們提出這套公理就是為了將自然數這個體系公理化。為了做到這一點，所有公理都是被設計好，能恰當地刻畫相應的模型，而從公理推出的結論也都是正確的，而這種正確，指的就是在模型內正確，也就是說相應的命題，無論它的自由變量在模型中取什么值，得到的結論在模型中都是正確的。在數理邏輯中，邏輯體系的這種屬性又叫可靠性（soundness）。
當然，你可能會說，我們有很多邏輯體系，有描述自然數的，有描述實數的，有描述集合的，它們用到的推理規則都是一樣的。那么，為什么不同的邏輯體系，即使描述的東西不一樣，它們也都滿足可靠性，也就是說從符合模型的公理推出的結論也必定符合模型？
這是因為，推理規則本身也是一種邏輯體系，或者更加準確地說，邏輯體系就是推理規則加上公理，而推理規則本身也是可以變化的。現在常用的推理規則，它的選擇并非漫無目的，而正是因為它滿足可靠性的條件，我們才選用了它。
那么問題又回來了。我們之前說過，正確性之類的性質，需要跟外部的某個東西作比較，才能得到結論，而可靠性也是這樣。那么，對于推理規則來說，“外部的某種東西”又是什么呢？
答案就是命題結構本身。舉個例子，命題邏輯的模型就是對于命題真假的賦值，以及如何計算復合命題（A蘊含B之類的命題）的真值。用這個模型很容易就能證明命題邏輯演算的可靠性。一階邏輯的模型就是所謂的Herbrand結構，它實際上就是命題真假賦值的一種延伸，通過這個結構可以將一階邏輯演算的可靠性歸結為命題邏輯演算的可靠性。對于更高階的邏輯，或者其他種類的邏輯（比如線性邏輯），我們也能找出類似的結構。
說來說去，為什么邏輯演算絕對能得到正確的命題，答案其實很簡單。為了探索世界，我們需要判斷命題的真假，還有一些邏輯運算。而我們定義對應邏輯體系的方法，就是構造一個能滿足我們的需求，也就是從真命題必然推出真命題的邏輯體系。正是因為我們希望邏輯體系是可靠的，所以我們才去定義了可靠的邏輯體系，而邏輯體系也因此而可靠。
要記住，邏輯體系不是天上掉下來的，它也是人類心血的結晶。對世界的探索是因，邏輯體系的出現才是果。
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