一、建立意義
師：你們喜歡體育運動嗎?
生：(齊)喜歡!
師：如果張老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運動是籃球，你們相信嗎?
生：不相信。籃球運動員通常都很強壯，就像姚明和喬丹那樣。張老師，您也太瘦了點。
師：真是哪壺不開提哪壺啊。不過還別說，和你們一樣，我們班上的小強、小林、小剛對我的投籃技術也深表懷疑。就在上星期，他們三人還約我進行了一場“1分鐘投籃挑戰賽”。怎么樣，想不想了解現場的比賽情況?
生：(齊)想!
師：首先出場的是小強，他1分鐘投中了5個球。可是，小強對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發揮出自己的真實水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎?
生：我不同意。萬一他后面兩次投中的多了，那我不就危險啦!
生：我會同意的。做老師的應該大度一點。
師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過，小強后兩次的投籃成績很有趣。
(師出示小強的后兩次投籃成績：5個，5個。生會心地笑了)
師：還真巧，小強三次都投中了5個?，F在看來，要表示小強1分鐘投中的個數，用哪個數比較合適?
生：5。
師：為什么?
生：他每次都投中5個，用5來表示他1分鐘投中的個數最合適了。
師：說得有理!接著該小林出場了。小林1分鐘又會投中幾個呢?我們也一起來看看吧。
(師出示小林第一次投中的個數：3個)
師：如果你是小林，會就這樣結束嗎?
生：不會!我也會要求再投兩次的。
師：為什么?
生：這也太少了，肯定是發揮失常。
師：正如你們所說的，小林果然也要求再投兩次。不過，麻煩來了。(出示小林的后兩次成績：5個，4個)三次投籃，結果怎么樣?
生：(齊)不同。
師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個數來表示小林1分鐘投籃的一般水平呢?
生：我覺得可以用5來表示，因為他最多，二次投中了5個。
生：我不同意川、強每次都投中5個，所以用5來表示他的成績。但小林另外兩次分別投中4個和3個，怎么能用5來表示呢?
師：也就是說，如果也用5來表示，對小強來說——
生：(齊)不公平!
師：該用哪個數來表示呢?
生：可以用4來表示，因為3、4、5三個數，4正好在中間，最能代表他的成績。
師：不過，小林一定會想，我畢竟還有一次投中5個，比4個多1呀。
生：(齊)那他還有一次投中3個，比4個少1呀。
師：哦，一次比4多1，一次比4少1……
生：那么，把5里面多的1個送給3，這樣不就都是4個了嗎?
(師結合學生的交流，呈現移多補少的過程，如圖1)
師：數學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數都一樣多。這一過程就叫“移多補少”。移完后，小林每分鐘看起來都投中了幾個?
生：(齊)4個。
師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎?
生：(齊)能!
師：輪到小剛出場了。(出示圖2)小剛也投了三次，成績同樣各不相同。這一回，又該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平呢?同學們先獨立思考，然后在小組里交流自己的想法。
生：我覺得可以用4來代表他1分鐘的投籃水平。他第二次投中7個，可以移1個給第一次，再移2個給第三次，這樣每一次看起來好像都投中了4個。所以用4來代表比較合適。
(結合學生交流，師再次呈現移多補少過程，如圖3)
師：還有別的方法嗎?
生：我們先把小剛三次投中的個數相加，得到12個，再用12除以3等于4個。所以，我們也覺得用4來表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。
[師板書：3+7+2=12(個)，12÷3=4(個)]
師：像這樣先把每次投中的個數合起來，然后再平均分給這三次(板書：合并、平分)，能使每一次看起來一樣多嗎?
生：能!都是4個。
師：能不能代表小剛1分鐘投籃的一般水平?
生：能!
師：其實，無論是剛才的移多補少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個，那就是——
生：使原來幾個不相同的數變得同樣多。
師：數學上，我們把通過移多補少后得到的同樣多的這個數，就叫做原來這幾個數的平均數。(板書課題：平均數)比如，在這里(出示圖1)，我們就說4是3、4、5這三個數的平均數。那么，在這里(出示圖3)，哪個數是哪幾個數的平均數呢?在小組里說說你的想法。
生：在這里，4是3、7、2這三個數的平均數。
師：不過，這里的平均數4能代表小剛第一次投中的個數嗎?
生：不能!
師：能代表小剛第二次、第三次投中的個數嗎?
生：也不能!
師：奇怪，這里的平均數4既不能代表小剛第一次投中的個數，也不能代表他第二次、第三次投中的個數，那它究竟代表的是哪一次的個數呢?
生：這里的4代表的是小剛三次投籃的平均水平。
生：是小剛1分鐘投籃的一般水平。
(師板書：一般水平)
師：最后，該我出場了。知道自己投籃水平不怎么樣，所以正式比賽前，我主動提出投四次的想法。沒想到，他們竟一口答應了。前三次投籃已經結束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況?
(師呈現前三次投籃成績：4個、6個、5個，如圖4)
師：猜猜看，三位同學看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想?
生：他們可能會想：完了完了，肯定輸了。
師：從哪兒看出來的?
生：你們看，光前三次，張老師平均1分鐘就投中了5個，和小強并列第一。更何況，張老師還有一次沒投呢。
生：我覺得不一定。萬一張老師最后一次發揮失常，一個都沒投中，或只投中一兩個，張老師也可能會輸。
生：萬一張老師最后一次發揮超常，投中10個或更多，那豈不贏定了?
師：情況究竟會怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績吧。
(師出示圖5)
師：憑直覺，張老師最終是贏了還是輸了?
生：輸了。因為你最后一次只投中1個，也太少了。
師：不計算，你能大概估計一下，張老師最后的平均成績可能是幾個嗎?
生：大約是4個。
生：我也覺得是4個。
師：英雄所見略同呀。不過，第二次我明明投中了6個，為什么你們不估計我最后的平均成績是6個?
生：不可能，因為只有一次投中6個，又不是次次都投中6個。
生：前三次的平均成績只有5個，而最后一次只投中1個，平均成績只會比5個少，不可能是6個。
生：再說，6個是最多的一次，它還要移一些補給少的。所以不可能是6個。
師：那你們為什么不估計平均成績是1個呢?最后一次只投中1個呀!
生：也不可能。這次盡管只投中1個，但其他幾次都比1個多，移一些補給它后，就不止1個了。
師：這樣看來，盡管還沒得出結果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績應該比這里最大的數——
生：小一些。
生：還要比最小的數大一些。
生：應該在最大數和最小數之間。
師：是不是這樣呢?趕緊想辦法算算看吧。
[生列式計算，并交流計算過程：4+6+5+1=16(個)，16÷4=4(個)]
師：和剛才估計的結果比較一下，怎么樣?
生：的確在最大數和最小數之間。
師：現在看來，這場投籃比賽是我輸了。你們覺得問題主要出在哪兒?
生：最后一次投得太少了。
生：如果最后一次多投幾個，或許你就會贏了。
師：試想一下：如果張老師最后一次投中5個，甚至更多一些，比如9個，比賽結果又會如何呢?同學們可以通過觀察來估一估，也可以動筆算一算，然后在小組里交流你的想法。
(生估計或計算，隨后交流結果)
生：如果最后一次投中5個，那么只要把第二次多投的1個移給第一次，很容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個。
師：你是通過移多補少得出結論的。還有不同的方法嗎?
生：我是列式計算的。4+6+5+5=20(個)，20÷4=5(個)。
生：我還有補充!其實不用算也能知道是5個。大家想呀，原來第四次只投中1個，現在投中了5個，多出4個。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個，結果自然就是5個了。
師：那么，最后一次如果從原來的1個變成9個，平均數又會增加多少呢?
生：應該增加2。因為9比1多8，多出的8個再平均分到四次上，每一次只增加了2個。所以平均數應增加2個。
生：我是列式計算的，4+6+5+9=24(個)，24÷4=6(個)。結果也是6個。
二、深化理解
師：現在，請大家觀察下面的三幅圖，你有什么發現?把你的想法在小組里說一說。
(師出示圖6、圖7、圖8，三圖并排呈現)
(生獨立思考后，先組內交流想法，再全班交流)
生：我發現，每一幅圖中，前三次成績不變，而最后一次成績各不相同。
師：最后的平均數——
生：也不同。
師：看來，要使平均數發生變化，只需要改變其中的幾個數?
生：一個數。
師：瞧，前三個數始終不變，但最后一個數從1變到5再變到9，平均數——
生：也跟著發生了變化。
師：難怪有人說，平均數這東西很敏感，任何一個數據的“風吹草動”，都會使平均數發生變化?，F在看來，這話有道理嗎?(生：有)其實呀，善于隨著每一個數據的變化而變化，這正是平均數的一個重要特點。在未來的數學學習中，我們將就此作更進一步的研究。大家還有別的發現嗎?
生：我發現平均數總是比最大的數小，比最小的數大。
師：能解釋一下為什么嗎?
生：很簡單。多的要移一些補給少的，最后的平均數當然要比最大的小，比最小的大了。
師：其實，這是平均數的又一個重要特點。利用這一特點，我們還可以大概地估計出一組數據的平均數。
生：我還發現，總數每增加4，平均數并不增加4，而是只增加1。
師：那么，要是這里的每一個數都增加4，平均數又會增加多少呢?還會是1嗎?
生：不會，應該增加4。
師：真是這樣嗎?課后，同學們可以繼續展開研究?；蛟S你們還會有更多的新發現!不過，關于平均數，還有一個非常重要的特點隱藏在這幾幅圖當中。想不想了解?
生：想!
師：以圖6為例。仔細觀察，有沒有發現這里有些數超過了平均數，而有些數還不到平均數?(生點頭示意)比較一下超過的部分與不到的部分，你發現了什么?
生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。
師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖(指圖7、圖8)吧?
生：(觀察片刻)也是這樣的。
師：這兒還有幾幅圖，(出示圖1和圖3)情況怎么樣呢?
生：超過的部分和不到的部分還是同樣多。
師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數的部分和不到平均數的部分都一樣多呢?
生：如果不一樣多，超過的部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數了。
生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。
師：多生動的比方呀!其實，像這樣超出平均數的部分和不到平均數的部分一樣多，這是平均的第三個重要特點。把握了這一特點，我們可以巧妙地解決相關的實際問題。
(師出示如下三張紙條，如圖9)
師：張老師大概估計了一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是10厘米。(呈現圖10)不計算，你能根據平均數的特點，大概地判斷一下，張老師的這一估計對嗎?
生：我覺得不對。因為第二張紙條比10厘米只長了2厘米，而另兩張紙條比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它們的平均長度不可能是10厘米。
師：照你看來，它們的平均長度會比10厘米長還是短?
生：應該短一些。
生：大約是9厘米。
生：我覺得是8厘米。
生：不可能是8厘米。因為7比8小了1，而12比8大了4。
師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。
……
三、拓展展開
師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數的特點來解決。瞧，學?；@球隊的幾位同學正在進行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說李強所在的快樂籃球隊，隊員的平均身高是160厘米。那么，李強的身高可能是155厘米嗎?
生：有可能。
師：不對呀!不是說隊員的平均身高是160厘米嗎?
生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一李強是隊里最矮的一個，當然有可能是155厘米了。
生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里每個人的身高。李強有可能比平均身高矮，比如155厘米，當然也可能比平均身高高，比如170厘米。
師：說得好!為了使同學們對這一問題有更深刻的了解，我還給大家帶來了一幅圖。(出示中國男子籃球隊隊員的合影，圖略)畫面中的人，相信大家一定不陌生。
生：姚明!
師：沒錯，這是以姚明為首的中國男子籃球隊隊員。老師從網上查到這么一則數據，中國男子籃球隊隊員的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊每個隊員的身高都是200厘米?
生：不可能。
生：姚明的身高就不止2米。
生：姚明的身高是226厘米。
師：看來，還真有超出平均身高的人。不過，既然隊員中有人身高超過了平均數——
生：那就一定有人身高不到平均數。
師：沒錯。據老師所查資料顯示，這位隊員的身高只有178厘米，遠遠低于平均身高?？磥恚骄鶖抵环从骋唤M數據的一般水平，并不代表其中的每一個數據。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。
(師出示圖11)
師：冬冬來到一個池塘邊。低頭一看，發現了什么?
生：平均水深110厘米。
師：冬冬心想，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒危險。你們覺得冬冬的想法對嗎?
生：不對!
師：怎么不對?冬冬的身高不是已經超過平均水深了嗎?
生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米?？赡苡械牡胤奖容^淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能 會有危險。
師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實情形嗎?
(師出示池塘水底的剖面圖，如圖12)
生：原來是這樣，真的有危險!
師：看來，認識了平均數，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。當然，如果不了解平均數，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的《健康報》上查到這么一份資料。
(師出示：《2007年世界衛生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲)
師：可別小看這一數據哦。30年前，也就在張老師出生那會兒，中國男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發現了什么?
生：中國男性的平均壽命比原來長了。
師：是呀，平均壽命變長了，當然值得高興嘍?？墒?，一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點難過。這又是為什么呢?
生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經70歲了，看來只能再活1年了。
師：老伯伯之所以這么想，你們覺得他懂不懂平均數。
生：不懂!
師：你們懂不懂?(生：懂)既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你們打算怎么勸勸我?
生：老伯伯，別難過。平均壽命71歲，并不是說每個人都只能活到71歲。如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎?
師：原來，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀!(生笑)不過，還是要感謝你的勸告。別的同學又是怎么想的呢?
生：老伯伯，我覺得平均壽命71歲反映的只是中國男性壽命的一般水平，這些人中，一定會有人超過平均壽命的。弄不好，你還會長命百歲呢!
師：謝謝你的祝福!不過，光這么說，好像還不足以讓我徹底放心。有沒有誰家的爺爺或是老太爺，已經超過71歲的?如果有，那我可就更放心了。
生：我爺爺已經78歲了。
生：我爺爺已經85歲了。
生：我老太爺都已經94歲了。
師：真有超過71歲的呀!猜猜看，這一回老伯伯還會再難過嗎?
生：不會了。
師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命?有誰愿意大膽地猜猜看?
生：我覺得中國女性的平均壽命大約有65歲。
生：我覺得大約有73歲。
(師呈現相關資料：中國女性的平均壽命大約是74歲)
師：發現了什么?
生：女性的平均壽命要比男性長。
師：既然這樣，那么，如果有一對60多歲的老夫妻，是不是意味著，老奶奶的壽命一定會比老爺爺長?
生：不一定!
生：雖然女性的平均壽命比男性長，但并不是說每個女性的壽命都會比男性長。萬一這老爺爺特別長壽，那么，他完全有可能比老奶奶活得更長些。
師：說得真好!走出課堂，愿大家能帶上今天所學的內容，更好地認識生活中與平均數有關的各種問題。下課!
2、我為什么重上“平均數”（張齊華）
對很多人而言，超越別人容易，超越自己難。而在我，情況似乎略有不同。事實上，在很多情形下，要想判斷是否能夠或者已經超越別人，很難有一個既定的標準。既無標準，又何談對別人的超越?倒是自我超越，似乎顯得稍容易一些。畢竟，每一天的學習、思索、實踐，必然會使今天的你超越昨天的你，進而又被明天的你再次超越。人總是在這樣一次又一次的自我超越中實現進步的。而于我，這樣的體驗尤為鮮明與深刻。
如果說從2003年的“走進圓的世界”到2007年的“圓的認識”，向數學本身回歸的這一次自覺轉身，是我從教以來教學實踐層面的第一次自覺跨越的話，那么，從2000年第一次執教“平均數”，事隔八年后再度磨礪同題課，多少也算是實踐之路上的“梅開二度”吧。成敗與否先擱下不論，怎么著也得為自己再次拿自己開刀的勇氣與精神喝彩。
2000年，時值《數學課程標準(實驗稿)》即將頒布，對于即將到來的新一輪數學課程改革，正是“山雨欲來風滿樓”的關鍵時刻。清晰地記得，師傅張興華老師不知從何處為我們覓得《數學課程標準(征求意見稿)》。急急讀來，其中的種種觀念、建議、變革，對于正在數學教學改革路途中左沖右突的我們而言，無疑是一次莫大的精神洗禮與引領。印象尤其深刻的是，《數學課程標準(征求意見稿)》中對于統計與概率部分的全新闡釋，讓我們大開眼界，更是萌生出一種“試一試”的實踐沖動。
于是，趁著一次教研活動的契機，在認真通讀《數學課程標準(征求意見稿)》中關于“平均數”這一內容的相關課程目標與實施建議后，“平均數”一課以其別具一格的課題(注：以往，這一課通常都叫“平均數”是作為應用題的一類教學的)及其“作為一種統計量”這一全新的視角，在實踐層面贏得了廣泛的認同與好評。至今，我仍清晰地記得，為了使學生認識到“平均數”是一個統計量，我撇開了教材中具有應用題意味的相關題材，而是選擇從學生的平均身高、平均體重、家庭的平均收入等內容人手，進而在如何恰當估計平均數、如何強化移多補少、如何根據求出的平均數預測未來數據等問題上做出了初步的嘗試。
八年彈指一揮間?！稊祵W課程標準(實驗稿)》正式頒布后，對于“平均數”這一內容的理論認識也隨之漸人人心，相關的教學實踐更是層出不窮。而真正促使我重備這一課的契機，現在想來，恐怕還得追溯到前年的那次南通教研活動。
在那次活動中，北京市第二實驗小學的施銀燕老師執教了“眾數和中位數”一課，而其呈現的課題卻是“數據的代表”，課題一出示，當即引起臺下一片熱議?，F在想來，當時熱議的話題與內容或許早已煙消云散，但正是那一次的深入思考與交流，使我越來越清晰地認識到，平均數也好，眾數與中位數也罷，其實都是一組數據的代表。不同的是，同樣作為數據的代表，平均數受所有數據的制約，更能反映一組數據的全貌，因而也就更加顯得敏感、易變。而眾數與中位數則相對不易受極端數據的干擾，因而也就體現出其比較穩定、不受極端數據干擾等特點來。帶著這樣的認識，再重新翻看多年前的平均數教案，總覺得作為一種“反映一組數據集中趨勢的統計量”，其統計的意味并不明顯?；蛘哒f，從教學的設計線索上看，似乎已經關注到其統計的內涵，但在真正的實踐層面上，其作為一種統計量，尤其是作為數據代表的意義并沒有得到真正的開掘。從而，“形似”而“神異”的意味，便不可避免地成為那一堂“平均數”的鮮明烙印。重備這一課便顯得日漸迫切起來。
之后也聽過幾節“平均數”的研究課，較為典型的思路是：通過組織兩組人數不等的比賽，在學生初步體會到“比總數”不公平的前提下，自然過渡到“通過求出平均每人的數量，再作比較”的思路上來。“平均數”由此自然生成。作為一種較為成熟的版本，此種教學思路的優點無疑是十分明顯的。尤其是，從“比總數不公平”到“比人均數公平”的自然轉折，將平均數的來龍去脈刻畫得極為生動、細膩。但一直困擾我的問題是，當學生面對“比總數不公平”的情境，紛紛給出“先求出平均每人投中的個數再比較”的建議時，我始終不太明白：為什么求出“平均每人投中的個數”再比較就公平了?(筆者曾就此問題詢問過不少教師與學生，均未獲得十分清晰的回答)此為其一。再者，就算學生真正理解了個中的意義，那么，“平均每人投中的個數”是否就可以直接與“每人投中個數的平均數”畫上等號?細微的文字表述差異的背后，又表征著學生怎樣的微妙的思維差異?
事實上，“求出平均每人投中的個數”，對于一個三年級學生而言，其心理活動的表征往往是“先求總和，再除以人數”。而這一心理運算對學生而言，其直觀背景十分模糊。至于其最終運算后得出的結果又是如何成為這組數據的代表的，其意義的“聯結點”對學生而言更是很難直接建立。由此可見，僅僅從“比較的維度”揭示平均數的意義，看似順暢的教學現象背后，實則還潛藏著學生難以跨越、教師也很難察覺的認知障礙與思維斷點。
于是，備課的思維焦點再次落到“數據的代表”上來。能不能從“數據的代表”的角度，重新為平均數尋找一條誕生的新途徑?于是，便也有了這一版本的新嘗試。
真正嘗試備課時，其實還遇到不少新的障礙。比如，最初選擇的情境是：三(1)班僅小林一人參加年級組投籃比賽，1分鐘投中5個。如果你是裁判，在他們班的計分牌上，該用哪個數表示他們班的整體水平?三(2)班小剛、小強二人參加比賽，1分鐘分別投中3個、5個。他們班的計分牌上，又該用哪個數代表他們班的整體水平?結果，“數據的代表”的表面意義呈現了出來，但“公平與不公平”“求出平均每人投中幾個再比”的觀點再度浮出?！靶缕俊睂嵸|上只是換上了“老酒”而已，無本質差別。此為其一。其二，又一更現實的問題擺在面前：作為數據的代表，平均數既可以代表“不同對象呈現的一組數據”(比如，小林、小剛、小強平均每人1分鐘投中的個數)，以反映這一組對象的整體水平，也可代表“同一對象某幾次呈現的數據”(比如，小明三次量得某木棒的長度各若干厘米，該木棒長度究竟幾何)，以反映這一個對象在參差變換的隨機數據背后所潛伏著的一般水平。究竟哪種情形更有利于學生順利建立“平均數”的意義?思辨的最終結果讓我把天平傾向后者。畢竟，前者在某種情形下，完全可以用總數去表征他們的整體水平，而對于后者，求總數似乎就顯得有些“不合情理”，而找出這組數據的代表值，進而用代表值去刻畫這組數據的一般水平，似乎更合情合理些。
于是，在例題教學中，我有意設計了“小強三次均投中5個”的特殊數據組，以此促進學生自然建立起“用5代表他的一般水平最合適”的心理傾向，進而為隨后的學習活動中學生主動避開“求總數”的窠臼，而直接通過“移多補少”或“先求和再均分”的思維活動，努力尋找幾個數據的代表值，為平均數意義的建立奠定堅實的基礎。“平均數”作為“數據的代表”的真實含義，在這一過程中得到了自然而然的呈現。
當然，僅僅從正面角度凸顯平均數作為“數據的代表”的意義，顯然還不夠充分、豐富、飽滿。于是，在隨后的深化板塊中，我借助學生的觀察、比較、交流，從平均數的“敏感與易變性”(任何數據的變化都會帶來平均數的相應變化)、平均數的“齊次性”(每一數據的相同變化，如都加2，會帶來平均數的同樣變化，也加2)以及平均數的“均差之和為0”的特性(即一組數據中各個數據與平均數的差之和為0)，幫助學生從各個不同側面進一步豐富了對平均數這一“反映一組數據集中趨勢的統計量”的意義的構建，深化了學生對平均數內涵的理解與把握。
也有遺憾。尤其是，隨著備課及思考的不斷深入，我越來越強烈地感受到，自身數學素養的膚淺對“平均數”課堂的深度開掘構成了致命的制約?！敖淌裁幢仍趺唇谈匾钡拿}再一次得到驗證。期待能夠得到專家與同行的批評指正。
3、概念為本的教學——評張齊華的“平均數”一課
北京教育學院 劉加霞
學生如何學習平均數這一重要概念呢?傳統教學側重于對所給數據(有時甚至是沒有任何統計意義的抽象數)計算其平均數，即側重于從算法的水平理解平均數，這容易將平均數的學習演變為一種簡單的技能學習，忽略平均數的統計學意義。因此，新課程標準特別強調從統計學的角度來理解平均數。然而什么是“從統計學的角度”理解平均數?在教學中如何落實?如何將算法水平的理解與統計學水平的理解整合起來?如何將平均數作為一個概念來教?下面以張齊華老師執教的“平均數”一課為例研究教學實踐中 如何解決上述問題。
將平均數作為一個重要概念來教，重點是要解決三個問題：為什么學習平均數?平均數這個概念的本質以及性質是什么?現實生活、工作等方面是怎樣運用平均數的?張齊華老師執教的“平均數”一課正是從這三方面，并依據學生的認知特點和生活經驗實現從概念的角度理解平均數。
一、“概念為本”教學的核心：為什么學習平均數
1．憑直覺體驗平均數的“代表性”
平均數的統計學意義是它能刻畫、代表一組數據的整體水平。平均數不同于原始數據中的每一個數據(雖然碰巧可能等于某個原始數據)，但又與每一個原始數據相關，代表這組數據的平均水平。要對兩組數據的總體水平進行比較，就可以比較這兩組數據的平均數，因為平均數具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。
在張老師的課上，導人部分的問題——1分鐘投籃挑戰賽——雖然簡單，但易于引發學生對平均數的“代表性”的理解：是用一次投籃投中的個數來代表整體水平還是用幾次投籃中的某一次投中個數來代表整體水平呢?抑或是用幾次投籃的總數來代表整體水平呢?
由于教師所選擇的幾組數據經過精心設計，同時各組數據的呈現方式伴隨著教師的追問，使學生很好地理解了平均數的統計學意義。這些數據并不是一組一組地同時呈現，然后讓學生分別計算其平均數，而是動態呈現，并伴隨教師的追問，以落實研究每一組數據的教學目標。例如，先呈現小強第一次投中5個，然后追問：“小強對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發揮出自己的真實水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎?”這樣就使學生直覺體驗到由于隨機誤差的原因僅用一次的數據很難代表整體的水平，因此再給他兩次投籃的機會。而小強的投籃水平非常穩定，三次都是5個。三次數據都是“5”，這是教師精心設計的，核心是讓學生憑直覺體驗平均數的代表性，避免了學生不會計算平均數的尷尬。同樣道理，第二組數據的呈現方式仍然先呈現一個，伴隨教師的追問：“如果你是小林，會就這樣結束嗎?”這讓學生體驗一次數據，很難代表整體水平，但3、5、4到底哪個數據能代表小林的水平呢?教師設計這些活動的核心是讓學生體驗平均數的代表性。
2．兩種計算方法的背后仍強化概念理解
雖然會計算一組數據的平均數是重要的技能，但過多的、單純的練習容易變成純粹的技能訓練，妨礙學生體會平均數在數據處理過程中的價值。計算平均數有兩種方法，每種方法的教育價值各有側重點，其核心都是強化對平均數意義的理解，非僅僅計算出結果。
在張老師的課上，利用直觀形象的象形統計圖(條形統計圖也可以)，通過動態的“割補”來呈現“移多補少”的過程，為理解平均數所表示的均勻水平提供感性支撐。首先兩次在直觀水平上通過“移多補少”求得平均數，而不是先通過計算求平均數。這樣做，強化平均數“勻乎、勻乎”的產生過程，是對平均數能刻畫一組數據的整體水平的進一步直觀理解，避免學生原有思維定勢的影響，即淡化學生對“平均分”的認識，強化對平均數意義而非算法的理解。
如何讓學生理解平均數代表的是一組數據的整體水平，而不是平均分后某個體所獲得的結呆呢?平均數與平均分既有聯系更有區別，雖然二者的計算過程相同，但不同于前面所學的“平均分”，二者計算過程相同但各自的意義不同。從問題解決角度看，“平均分”有兩層含義：一是已知總數和份數，求每份數是多少；二是已知總數和每份數，求有這樣的多少份，強調的是除法運算的意義，解決的是“單位量”與“單位個數”的問題。而平均數則反映全部數據的整體水平，目的是比較兩組數據的整體水平，強化統計學意義，數據的“個數”不同于前面所說的“份數”，是根據需要所選擇的“樣本”的個數。
因此張老師的教學中沒有單純地求平均數的練習，而是將學習平均數放在完整的統計活動中，在描述數據、進行整體水平對比的過程中深化“平均數是一種統計量”的本質，實現從統計學的角度學習平均數。例如，張老師在通過兩種方法求出平均數之后，一再追問：“哪個數是哪幾個數的平均數呢?”“這里的平均數4能代表小剛第一次投中的個數嗎?”“能代表小剛第二次、第三次投中的個數嗎?”“那它究竟代表的是哪一次的個數?”通過這樣的追問，強化平均數的統計學意義。當然，如果在此現實問題中出現平均數是小數的情形更有助于學生理解平均數只刻畫整體水平而不是真正的其中某一次投中的個數(投中的個數怎么會是小數呢?不強調小數的意義，只出現簡單小數，例如3.5個)，即有人所說的“平均數是一個虛幻的數”。學生對此理解需要比較長的“過程”，不是一節課就能達成的。
二、“概念為本”教學的深化：進一步理解平均數的本質及性質
初步認識了平均數的統計學意義后，張老師仍然進一步設計活動讓學生借助于具體問題、具體數據初步理解平均數的性質，豐富學生對平均數的理解，也為學生靈活解決有關平均數的問題提供知識和方法上的支持。算術平均數有如下性質：
1．一組數據的平均數易受這組數據中每一個數據的影響，“稍有風吹草動”就能帶來平均數的變化”，即敏感性。
2．一組數據的平均數介于這組數據的最小值與最大值之間。
3．一組數據中每一個數與算術平均數之差(稱為離均差)的總和等于0，即：
其中xi總是原始數據，x是這組數據的算術平均數。
4．給一組數據中的每一個數加上一個常數C，則所得到的新數組的平均數為原來數組的平均數加上常數C。
5．一組數據中的每一個數乘上一個常數C，則所得到的新數組的平均數為原來數組的平均數乘常數C。
這些抽象的性質如何讓小學生理解呢?張老師仍然是在巧妙的數據設計以及適時的把握本質的追問中讓學生進一步深化對平均數性質的認識。數據設計的巧妙主要體現在：
首先，在統計張老師自己的投球水平時，張老師“搞特殊”，可以投四次?；谇懊鎸W生對平均數的初步感知，學生認可用老師四次投中個數的平均數來代表老師的整體水平，但張老師在第四次投中多少個球上大做文章：前三次的平均數是5，那么老師肯定是并列第一了?一組數據中前三個數據大小不變，只是第四個數據發生變化，會導致平均數產生什么樣的變化呢?在疑問與困惑(當然有很多學生是“清醒”的)中，教師首先出示了“極端數據二”(1個球)，進一步深化學生對平均數代表性的理解，初步體驗平均數的敏感性。
其次，假設張老師第四次投中5個、9個，張老師1分鐘投球的平均數分別是多少?根據統計圖直觀估計、計算或者根據平均數的意義進行推理都能求出平均數，多種方法求解發揮了學生的聰明才智，使學生的潛能得以發揮，體驗成功感進而體驗創造學習的樂趣。
再次，將張老師1分鐘投球的三幅統計圖同時呈現，讓學生對比分析、獨立思考再小組討論。由于三幅統計圖中前三個數據相同，只有第四個數據不同，學生能夠進一步 理解平均數的敏感性：任何一個數據的風吹草動，都會使平均數發生變化。學生發現平均數總是介于最小的數與最大的數之間：多的要移一些補給少的，最后平均數當然要比最大的小比最小的大了。學生還發現：“總數每增加4，平均數并不增加4，而是只增加1。”教師適時追問：“要是這里的每一個數都增加4，平均數又會增加多少呢?還會是1嗎?”
再進一步觀察三幅統計圖中的第一幅圖，教師迫問：比較一下超過平均數的部分與不到平均數的部分，你發現了什么?
生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。
師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖吧?
通過進一步觀察其他幾幅統計圖，學生真正理解了并用自己形象生動的語言描述出：“就像山峰與山谷‘樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。”
在上述問題情境中，以“問題”為導向，借助于直觀的統計圖以及學生的估計或者計算，學生思維上、情感上經歷一籌莫展、若有所思、茅塞頓開、悠然心會的過程，對平均數的意義以及性質都有了深切的體會。
有前述對平均數意義以及性質的了解，學生是否真正理解了平均數的概念呢?敘述出概念的定義或者會計算不等于真正理解某個概念，還要看能否在不同情境中運用概念。由于平均數這個概念對小學生而言是非常抽象的(如前所說，它是“虛幻的數”，學生不能具體看到)，平均數的背景也很復雜，如果學生能在稍復雜的背景下運用平均數的概念解決問題，說明學生初步理解了平均數。
因此，張老師設計了四個復雜程度不同的問題，即“紙帶平均長短”“球員平均身高”“平均水深”“平均壽命”，這四個問題中的平均數的復雜程度不同。
前兩個問題中的平均數比較簡單，數據的個數都是有限個，而且又有直觀圖形做理解上的支撐，因此前兩個問題是簡單應用平均數的性質——離差之和為零，即有比平均數大的數據就一定有比平均數小的數據。學生可以借助于直觀圖形以及計算求出這兩個問題中的平均數。在“紙帶”問題中數據的呈現方式不同于前面，是橫向呈現，但平均數的意義不變，淡化呈現形式強化意義理解，為學生理解平均數提供另一視角?！扒騿T平均身高”問題不是讓學生計算球員的平均身高而是讓學生借助平均數的性質進行推理判斷，并通過學生熟悉的中國男子籃球隊隊員的平均身高以及姚明的特殊身高深化對平均數的理解。
最后兩個情境的平均數是比較復雜的，是以樣本的平均數代替總體的平均數。例如，平均水深到底是什么意思呢?可以是隨機選取有限個點，測量這些點到水底的距離，再求這些距離的平均數作為池塘平均水深的代表值。同樣，2008年中國男性的平均壽命也是通過計算樣本的平均年齡來表示全體中國男性的平均年齡。
真正理解這些平均數的意義對小學生而言有難度。因此，張老師在教學中呈現子池塘的截面圖，并標注出五個距離，將復雜的問題簡單化，使學生仍能借助于平均數的性質理解冬冬下水游泳仍有危險。通過平均數意義的強化，使學生能從數學的角度解釋是否有危險，避免學生從其他角度解釋。在解釋男性平均壽命問題中，借助于學生親人的年齡這樣的特殊而具體的數據，來理解平均壽命是71歲不等于每個男人都活到71歲。但不是所有的學生都能借助于前面所學平均數的意義和性質來解釋這些問題，學生很難真正理解這兩個情境下的平均數的意義。
三、引發話題：培養學生的“統計概念”還是“數據分析概念”
《數學課程標準(實驗稿)》中明確提出，學生學習統計與概率內容的重要目標是培養學生的統計觀念。那么，統計觀念的內涵是什么?是否能夠培養小學生的統計觀念?我們培養學生的應該是“統計觀念”還是“數據分析觀念”?
M．克萊因在其著作《西方文化中的數學》一書中談到：宇宙是有規律、有秩序的，還是其行為僅僅是偶然的、雜亂無章的呢……人們對這些問題卻有種種不同的解釋，其中主要有兩類答案：其一是18世紀形成的決定論觀，認為這個世界是一個有序的世界，數學定律能明白無誤地揭示這個世界的規律。直至目前，這種決定論的哲學觀仍然統治著很多人的思想，支配著他們的信仰并指導其行動。但是這種哲學觀受到了19世紀以來概率論、統計學的猛烈沖擊，形成了一種新的世界觀，即概率論觀或統計論觀，它認為自然界是混亂的、不可預測的，自然界的定律不過是對無序事件的平均效應所進行的方便的、暫時的描述。這就是眾所周知的用統計觀點看世界。陳希孺先生說：“統計規律的教育意義是看問題不可絕對化。習慣于從統計規律看問題的人在思想上不會偏執一端，他既認識到一種事物從總的方面看有其一定的規律性，也承認存在例外的個案，二者看似矛盾，其實并行不悖，反映了世界的多樣性和復雜性。如果世界上的一切都被鐵板釘釘的規律所支配，那么我們的生活將變得何等的單調乏味?！?/p>
統計觀念實際上是人的一種世界觀，是對人、生存空間甚至宇宙特點的看法，大多數成人仍堅守著決定論的觀點，形成統計觀點非常難。因此有研究者提出培養學生的“數據分析觀念”比較切合學生的認知現實和教育現實。即認為數據分析觀念包括：了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析作出判斷，體會數據中是蘊涵信息的；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能會是不同的，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。
數據分析觀念應該是態度目標的重要組成部分，態度目標的落實是在基本知識、基本技能的教學過程中完成的，一定要有學生的質疑、討論分析、探究交流等過程，否則就是“說教”，很難使學生產生積極的情緒、情感，態度的形成也就流于形式。張老師這一課，以平均數的概念為本，讓學生充分經歷了前面所分析的“過程”，才能真正有態度的培養。
數據分析觀念的培養，或者說對“態度”目標內涵的分析以及如何培養學生積極的態度，都是值得深人研究的課題。
