| §3. 問題的推廣Ⅰ——加權費馬問題和費馬點 §4. 問題的推廣Ⅱ——斯坦納點和斯坦納樹 |
平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業余數學家之王的皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat,1601–1665）提出的一個著名的幾何問題。
費馬（Pierre de Fermat）
1643年，在一封寫給意大利數學家和物理學家托里拆利（Evangelista Torricelli,1608–1647)的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答（也有一種說法是費馬本人實際上已經找到了這個問題的答案，他是為了挑戰托里拆利才寫信向他“請教”的）：
給定不在一條直線上的三個點 A,B,C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點的位置。[1]
托里拆利因為發明水銀氣壓計而聞名于世（水銀氣壓計也稱為托里拆利管，其原理簡單地說就是把一根約1米長的玻璃管灌滿水銀，然后將它倒轉過來豎直放在一個水銀槽中，托里拆利用它在人類歷史上第一個成功地測出了大氣的壓強——沒有忘掉初中物理的朋友應該還記得一個大氣壓約等于760毫米汞柱，如果換成水的話有10米多高，因為汞即水銀的密度是水的13.6倍），但他同時也是一個卓越的數學家，特別在幾何方面有很深的造詣。
托里拆利和當時意大利的第一號科學家伽利略（Galileo, 1564-1642）過從密切，深受伽利略器重。在伽利略去世后，受意大利托斯卡納大公國（Grand Duchy of Tuscany）費迪南多二世大公（Ferdinando II de' Medici）的邀請，托里拆利繼任伽利略擔任比薩大學的數學教授和大公的專聘宮廷數學家（根據最近數學史家的研究，倘若托里拆利不是英年早逝，他很可能先于牛頓和萊布尼茨發現微積分）。
鑒于托里拆利不但是意大利、而且是當時全歐洲的知名“職業數學家”，“業余數學家”、職業為律師的費馬寫信向他請教是很自然的。
托里拆利（Torricelli）
沒有令費馬失望，托里拆利成功地解決了費馬的問題。他給出的答案是：
對 △ABC 三條邊的張角都等于120°，即滿足∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝ 120°的點 P（如下圖所示）就是到點 A,B,C 的距離之和最小的點。[2]
托里拆利給出的解答費馬本人可能早已知道——如果他寫信向托里拆利“請教”真的是為了挑戰托里拆利，那樣的話他們倆就是不謀而合，“英雄所見略同”了（實際上，由于數學中真理的絕對性和唯一性，英雄所見豈止是“略同”，必定是全同的）。
后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點 A,B,C 距離之和最小的點稱為△ABC的費馬-托里拆利點（Fermat-Torricelli point），也簡稱為費馬點（Fermat point）或托里拆利點（Torricelli point）。
……
費馬問題有多種不同的解法，最簡單最快捷最漂亮的還是純幾何解法。
要用幾何方法解決費馬問題，一個很自然的想法是想辦法把問題中的三條線段 PA, PB, PC“加”在一起或者說拼接在一起，最好是把它們拼接成連接兩個定點的一條折線（這樣一來，因為兩點之間直線最短，我們就能很快地確定 PA + PB + PC 的最小值）。
那么，用什么辦法能實現 PA, PB, PC 這三條線段的這種加法呢？
要一下子把三條線段“加在一起”看起來是一件難度比較大的事情，我們先來看一個更簡單的關于兩條線段的類似問題，看看能從中得到什么啟發。
下面這個問題也許很多讀者都非常熟悉，它也被俗稱為“將軍飲馬”問題，在精神上它和費馬問題可以說是“一脈相承”、“息息相通”的。
如下圖所示，直線 l 代表一條河流，沿河有兩個營地 A,B，某將軍從營地 A 出發，先到河邊給他的戰馬飲水，再去營地 B，問將軍走怎樣的路線才能使總路程最短，從而在最快的時間內趕到營地 B？
用數學語言講，就是要在上圖的直線 l 上求一點 P,使得它到點 A, B的距離之和 PA + PB 最小。
因為流傳甚廣，該問題的解法想必很多人都知道，其基本思想是利用軸對稱變換或者說反射變換或鏡像變換（第一次碰到這個問題的朋友如果能獨立地想到這一點，是相當不容易的）。
如下圖所示，設 B' 是點 B 關于直線 l 的對稱點（如果你把直線 l 想象成一個鏡子，那么 B' 就是點 B 在鏡子中的像），由對稱性可知 PB = PB' ，這樣一來就有 AP + PB = AP + PB' ≥ AB'，當且僅當點 P 在線段 AB' 上時上述不等式取到等號，即 AP + PB 取到最小值。
因此我們就得到問題的解答如下：作點 B 關于直線 l 的對稱點 B' ，連接點 A 和 B' ，線段 AB' 和 l 的交點 C 就是直線 l 上到點 A, B 距離之和最小的點。
【附注】點 B 關于直線 l 的對稱點的作法
作法1（如上圖所示）：
過點 B 作直線 l 的垂線，設垂足為 H，延長 BH 至 B'使得 B'H = BH，點 B'即為點 B 關于直線 l 的對稱點。
作法2（如下圖所示）：
在直線 l 上任取一點 E，以 E 為圓心、EB 為半徑作圓，再在直線 l 上任取一點 F，以 F 為圓心、FB 為半徑作圓，兩圓的一個交點為點 B，另一個交點即為點 B 關于直線 l 的對稱點 B'。
思考題
從上面“將軍飲馬”問題的解法中，你能得到什么樣的對于解決費馬問題有幫助的啟示或者說靈感？
前面我們看到，解決“將軍飲馬”問題的絕招是軸對稱變換（即鏡像變換或者說反射變換），這是一種最基本的幾何變換。
類似地，解決費馬問題的絕招同樣是幾何變換，只是這一回奏效的不是軸對稱變換了，而是另一種基本幾何變換——旋轉變換。
希望讀者能細細品味下面對費馬問題的解法和上面對“將軍飲馬”問題的解法之間的異曲同工之妙，兩者的具體手法和幾何圖形雖然不同，但在精神上卻如出一轍，何其相似乃爾！
正如利用軸對稱變換我們可以把“將軍飲馬”問題中的兩條線段巧妙地“加到一起”，利用旋轉變換我們就能成功地把費馬問題中的三條線段以一種非常自然的方式“加到一起”。
為此我們只要把△BPC 繞點B 旋轉60°（如上圖所示）[4]，設點P 轉到了點 P' ，點 C 轉到了點 C' ，于是就有
PC = P'C'， PB = PP' （因為 △PBP' 是等邊三角形）
因此就有
PA + PB + PC = PA + PP' + P'C'
上式的右邊是連接點A 和點C' 的一段折線的距離，它一定大于或等于線段 AC' 的長度，所以我們就得到了不等式：
| PA + PB + PC = PA + PP' + P'C' ≥ AC' | （2.1） |
顯然，如果上面的不等式能取到等號，那么這時候的點 P 就是到點 A, B, C 距離之和最小的點，也就是費馬點。
思考題
Q2. 請思考，上面的不等式（2.1）是否總能取到等號？
Q3. 若上一問的答案為否，那么在什么情況下不等式（2.1）能取到等號？
Q4. 設若不等式（2.1）能取到等號，這時候如何確定點 P（即費馬點）的位置。
未完待續（to be continued）
[1] 請讀者思考，當 A, B, C三點在一條直線上時，問題的解是什么。
[2] 正所謂“智者千慮，必有一失”，托里拆利的解答其實并不完全正確，其中有一個很大的漏洞。聰明的讀者，你能發現這個漏洞在哪里嗎？怎樣彌補它呢？
{ 注：最早指出托里拆利的解答中的漏洞的是另一個與托里拆利同時代的意大利數學家卡瓦列里 ( Bonaventura Cavalieri , 1598 –1647 )。 }
