A老師可不是一般人，他有著多年帶領國家級別奧數隊伍的第一手經驗，平時的本職工作也是數學教育研究。對于家長們萬分關心的奧數問題，他無疑是提供了一個信息量十足、富有啟發性的視角。
講座中，不少家長都忍不住做起了筆記，但仍強烈要求我們能對講座內容有個回顧。在此，我們將整個講座的精華做了整理，并分成“奧數到底該不該學”、“如何判斷孩子是否適合奧數”、“奧數該怎么學”三部分，以Q&A的形式原汁原味的呈現在大家面前。
我們相信，看了這篇文章，各位家長一定能打消不少對于奧數的困惑與誤解，為孩子選定一條合適的數學學習之路。
奧數到底該不該學？
普娃學奧數有用嗎
Q1
現在對奧數的評論褒貶不一，那么學奧數對普通孩子真的是弊大于利嗎？
A 我們先來定義一下奧數。有的人認為，所謂的“全民奧數”主要指小學階段的奧數，它并不是真正的奧數，只是“歪門邪道”；也有人認為，奧數本身就是“歪門邪道”，和數學學習以及數學研究沒啥關系。
這些說法都有些極端，其實，無論是“小學”奧數、奧數還是數學學習，之間一定是有貫穿性的。如果真要對奧數做個區分，我想可以分為“狹義”和“廣義”兩種說法：
狹義的奧數
指的是初等數學范圍內具有較高水平和挑戰性的競賽（如全國高中數學聯賽加試、各國的國家級數學奧林匹克、IMO等）及其相關活動和相關內容。
廣義的奧數
培養學生思維的，拓寬他們眼界的一種數學呈現形式，在不涉及高等數學的前提下，提出有一定數學思想和深度的數學問題，供有能力、有聰明才智的學生思考。
需要說明的是，奧數不是“腦筋急轉彎”，它和數學當然是有聯系的。而且并不是說所有的超出課本又跟數學沾邊的，都能夠稱為奧數。
我之前看到過一道所謂小學奧數題，問怎樣畫一條直線，把五邊形切成兩個三角形，答案居然是這樣的：
▲你看懂了嗎，只要“直線”夠粗，切成什么形狀都沒有問題
你說它是數學題嗎？好像是的，但其實數學的成分比較淡，更多的是非數學的趣味，這就不太符合奧數的標準。
但有一點是肯定的，奧數一定是對于學生的創造力、洞察力要求比較高的。對你的思維或數學學習是有發展性幫助的。
Q2
奧數和學校數學到底是什么樣的關系？
A 這個問題還是要結合“廣義奧數”和“狹義奧數”來講。
我對高中這塊了解更多，我認為高中的奧數和學校數學之間應該是“中等相關”的程度。
從廣義、普及的角度說
關聯度很高
我們國家的高中聯賽一試的題目，其實是比較親民的。這些題目里面有相當一部分的題用到的就是我們平時學的知識，會多繞一點彎，對能力要求更高一些，但總體來說課內知識掌握扎實的同學，都可以完成其中較簡單的問題，不會完全沒方向。
其實低學段的比如希望杯、迎春杯，包括國外的AMC等都是如此，它們的目的還是在普及數學，是對學校數學的加深和靈活化。
▲美國數學競賽AMC官網
從狹義、競賽的角度說
關聯度較低
但是，到了高中數學聯賽加試這種級別的比賽，不用說課內成績了，就算是接觸數學競賽時間較長的學生也可能完全懵住，因為它是從競技、選拔的角度來看的。
另外，雖然兩者都是初等數學，但內容上也是有較大不同的。
比如我們競賽中經常會有離散數學，包括組合數學、初等數論等內容。這些在目前國內的中學教育中并不是重點，但又是很多熱門專業，比如計算機、生物研究等必備的。
所以說，競賽內容也可以是以后想從事理工科工作的學生非常好的補充。
▲離散數學簡介
最后再補充一點，學校數學有一個“天花板效應”，比如中考150滿分，你的水平本是145，而花初三一整年的時間來把你的成績訓練到148，這其實是有些浪費的。
而且，對于有些孩子來說，題目越簡單，對他們其實越不公平。我們所說的教育公平有兩層意思：一方面就是每個人都得到均等的發展機會，另一層是每個人得到適合他自己的發展機會。那么對于這樣的學生來說，學校的數學顯然是滿足不到的，所以需要有一些課外的補充。
奧數適合你家娃嗎？幾個問題初步判斷孩子是否有天賦
Q1
都說只有5%的學生適合學奧數，那么這5%學生都有什么特質？
A 這其實涉及到一個“資優教育”的概念。
首先我們要明確，我們通常所說的“資優”其實是個人造的概念，資優生的標準，也是人為界定的。但人腦是個黑箱子，一個人的潛力有多少，很難精確地測試出來。智商測試好的人，不見得數學才能就高。所以，我們很難預先就斷定這個孩子有沒有數學天賦。
我們在選學生的時候，一般不會、也不敢用“5%”這樣的比例來做劃分，更傾向于把范圍放寬一點。有中等以上的數學能力，有高度的執著精神，再加上比較好的創造力，就具備了好的發展的基礎，這是美國非常著名的“資優三環”理論。
所以說，我覺得其實中等偏上的學生，都可以用數學競賽的內容去對他進行教育和引導。
當然，如果上升到競技層面，要用競賽給自己貼標簽，那么千里挑一水平的學生，和二十里挑一的學生，也是不太一樣的。而且不同的資優生天賦特點也不一樣，比如說以下幾個例子：
1??看體育比賽，孩子瞬間就把比賽的得分或成績記住了，過兩天問還能說出來。
2??只要教過孩子乘除法，馬上知道這個數字怎么分解質因數，或者一看到數字就反應出這是一個平方數。
3??去商場有很多路，孩子能通過對比找到最近的一條路。
4??孩子有一些很奇怪的習慣，比如說一直在房間里走來走去，然后突然間一屁股坐到床上。
5??孩子解題時經常有非常奇特的解法，而且也能自洽。
如果要做解讀，那前兩種說明這個孩子對于數字非常敏感，第三種說明孩子有很強的優化意識，第四種說明孩子能沉浸在自己的思維世界中，最后一種說明孩子有著很強的創造力。
當然，并不是說要拿這些去對號入座，更不是說孩子沒有這些表現就是沒天賦。我想說的是，越高水平的孩子越容易在平時給你一些意外驚喜。這些驚喜不需要每天都發生，但家長們要有心留意。
另外，在觀察小朋友的時候，也不要定死在數學上，可能一個數學只能打到聯賽水平的孩子，在別的比賽上會是國家隊級別的。
當然，驚喜有時候也會帶來困擾，因為有時候孩子說的東西你都聽不懂，到底是說胡話，還是真的有天才，家長不好判斷，這個時候我想最好是有專業人士稍微來判別一下。
另外，數學有天賦也并不代表會偏科。比如今年國家隊的鄧明揚同學，除了數學厲害以外，信息學也是高手，前兩年的金牌選手俞辰捷非常全面發展，他的文筆好到甚至讓人忘了他在數學上的天分。
我想，資優生的特征是開放性的，不是封閉的標準。
Q2
能做難題，是不是就有數學天賦？
A 目前國內的檢測手段還是比較單一的，而且更多以競賽為導向。因為競賽確實是一個能夠鑒別數學才能的比較好的手段。最基本的辦法，就是出一張比較難的卷子，然后看做的怎么樣？
這里重點說一說“比較難”這三個字，其實也是分不同情況的：
第一種：你今年6年級，那我出個8年級的內容，也就是我們所說的“超前”。
第二種：你是6年級，那我也出6年級的內容，只不過我會多繞幾個彎。也就是我們所說的“復雜度”。
第三種：你是6年級，我出2年級的內容，但對思維要求非常高，這就往往是在看思維的深度、靈活性、獨創性等品質了。
體驗小題目：請拿一副撲克牌（包含大小王），按如下步驟操作：
1??將撲克牌分成三堆，點出每堆的數量。
2??每堆的數字個位和十位相加，例如如果是15張，就是1+5=6。
3??相加出來的三個數字加到一起，得出一個數字。
4??最后這個數字重復步驟2的方法，個位和十位相加。
重復幾次，你會有什么發現？為什么？（提示：這個問題只需要用到2年級知識。）
每年各級各類的數學競賽，我們都會給孩子們準備一些題目。對于這些題目，我們這些老師會把能想到的所有解法理一遍。可是每年都會有一些孩子，就是能想出和我們不一樣的解法，甚至可以大幅簡化解法，或作出有價值的推廣。
和這些孩子聊，你就會發現，我們定義的“難題”和他們定義的“難題”有時候是不一樣的，一道高中數學聯賽一試（高中競賽中比較簡單的階段）的題和IMO的題，我們看來肯定后者更難，但在一些天才學生的眼里，說不定是反過來的。
因此，說到判斷孩子數學的上限，第三種看思維深度、靈活性、獨創性的題目是非常重要的。它是一種觸發機制，這種題目做不出來，并不代表你數學能力一定不行；但是如果能做出來，那很可能就是一個非常有潛力的高手。
別看IMO這樣的競賽級別非常高，但很多人不知道，里面的一些題目不需要用到初中以上的知識，甚至只需要會小學數學就行。
奧數到底該怎么學？數學才能不同層次，準確定位是關鍵
Q1
學習奧數、需不需要打基礎？
A 奧數真的要說有基礎的話，那就是課程標準里要求的這些數學知識。如果課內的知識漏洞太大，肯定是不太適合學奧數的。哪怕你有天賦，如果課內不學好，你的感覺是沒法通過概念體系、公式去表達出來的。
而且，奧數也應看作數學教育的一部分，承擔育人的功能。按我個人經驗，孩子的思維水平只要不是“接近于另一個物種”，課內基礎還是第一位的。
但反過來，如果真是“另一個物種”，那他們領悟數學的方式很可能是高度跳躍式、不同于尋常人的，課內按部就班的學習方式一定會對他有所禁錮，反而可能使他無法在適宜的時間得到最好的發展，影響以后的職業道路。比如當今數學界有名的神童陶哲軒，8歲半就已經進入中學學習，9歲已經在旁聽大學課程了。
▲2014年陶哲軒（中）獲得科學突破獎照片
所以從統計意義上來看，我的建議是先讓孩子把課內學好，同時可以拿一些市面上的書看看，或者報一些輔導班，但是報這些輔導班的目的并不是說一定要在輔導班層層晉級，主要是試一下水，去了解一下輔導班在上些什么，然后跟他同水平的班級，或者是不同年級的、不同層次的班級比較一下，結合他自己的感受，在一個夠得著的地方找一個目標，讓他去發展。這樣訓練的話會比較合適。
Q2
天賦一般的孩子，該如何學習奧數？
A 認清事實是第一步，不要去和那些天才做比較。我一直覺得很觸動的一句話就是“努力決定下限，天賦決定上限。”想要打破上限，那么就要耗費巨大的努力，可能你幾年的努力，有資質的孩子一個月就捅破了，這也會給孩子帶來很大的心理壓力。
這里可以給大家一個參考，美國芝加哥大學的學者Usiskin曾經對人的數學才能劃分了0-7一共8個層次：
層次0（沒有才能）：對數學知之甚少的成人。
層次1（基本才能、文化層次）：具備作為文化使用功能的基本數學意識的成人。大概相當于6~9年級的知識技能水平。
層次2（榮譽生）：這一層次對于勤奮的中學生就可以達到，但需要好的教學指導。達到這個水平其實已經有能力可以讀數學專業本科了。
層次3（很棒的學生，美國學生的1%到2%，中國學生的5%）：SAT能達到750~800分，AP微積分4~5分的學生。對數學具有洞察力，能找到令人意外的解法，有能力發展成數學專業研究生。要達到這個層次，不僅要勤奮，還需要在常規學習以外進行拓展。對于中國學生而言，大約相當于那5%。
層次4（杰出的學生）：萬里挑一的水平，有能力做像美國數學邀請賽（AIME）那樣的問題，能在數學競賽中獲得優勝，并能和數學家交流。他們每年可能多花500小時在各類數學活動上。
層次5（有產出的數學家）：例如數學博士。需要有自己原創性的工作，需要有更多的熱愛、勤奮和決心。
層次6（杰出的數學家）：能推動自己所在領域的發展，有自己的代表作。
層次7：劃時代的偉大數學家，比如牛頓、高斯、歐拉等，或取得“菲爾茲獎”等數學大獎的那些當今數學家。
▲左-右：牛頓、高斯、歐拉
需要說明一下，這里的分層不適用于太低齡的孩子。例如對于一個幼兒園的孩子來說，當前幾乎肯定屬于層次0，未來變數也很大，談此分類暫時沒有太大意義。而對于接受初等教育的廣大青少年而言，這個理論模型中比較適用的是第1-4層。
Usiskin不但做了這個分類，還進一步論述了這8個層次的一些性質：
1??一個學生進入更高層次后的投入，將遠高于先前層次的投入。
2??大部分人認為自己將永遠停留在現有的層次。
3??相距兩個或更多層次的兩個人沒辦法在數學層面相互理解。
4??處在第n層次的人越多，就越會涌現出n+1層次的人。
第三條和第四條告訴我們：孩子學數學時，身邊的人并非水平越高越好。最佳狀態是身邊的人都處在同一水平或者高一個層次，否則反而會影響他的水平提升。
而第一條和第二條其實告訴我們：想要邁入更高層次，先要舍得投入，甚至要放棄一些其他的東西。天賦資質，還是要靠后天的努力、以及身處的環境來兌現的。
但是努力也要講究方法，比如說，有一個蘇聯的數學教育家做過研究發現：數學能力強的孩子，可以長時間投入到數學中不疲勞甚至越做數學越有勁；而數學能力差的孩子則出現完全相反的狀態，一點都無法投入。
我們大部分的孩子是介于這兩者之間的，一般來說達不到“沉浸”在數學里這個水平。所以有的孩子可能做20分鐘左右，需要放松一下，吃點東西緩一緩，這“緩一緩”對他們來說是必要的。但是大目標要確定，就是不管你用什么節奏，最終要和自己比，在學識和思維上有所提高。
對于普通資質的學生來說，建立信心、心無旁騖和保持前進節奏很重要，也許如此他的下限可以較順利地逼近上限，換言之充分兌現了自己的潛力，這樣，他就已經成功了，甚至不經意間超出了身邊的許多同伴。
Q3
學奧數，需不需超前學習高年級內容？
A 我覺得如果你感興趣，早接觸高級別的數學沒什么壞處。
我們還是以陶哲軒來舉例，曾經有人對他做過研究，記載了他的學習歷程。他七八歲的時候，把中學階段的題給他已經難不倒他了。然后問他一些大學內容，他有些知道，有些不知道。過一段時間，學者再去考他，有意無意加入一點他之前不知道的內容，卻發現，他已經非常熟悉了，很明顯他已經刻意去學習過了。就這樣，他在不斷突破自己的邊界。
當然，陶哲軒的上限之高是普通人不能比的，但他的方法類比到一些學有余力的學生身上，卻是可行的。
個人建議這個超前不必刻意求早。我自己小時候是用了暑假前的一些時間以及暑假的兩個月，把高中數學學完了。如果學習能力稍弱一些，提前學一下高一的內容也是沒問題的。另外，在學習高中知識的同時，也可以穿插回去看初中競賽的內容，找一些比較有挑戰性的問題，或者去問一些競賽班的同學找一些資源試一試水，這樣同時在速度和深度上都能有所提升。
另外有一點要強調，我覺得無論對于什么水平的學生來說，自學能力是非常重要的。
我記得我在初二前沒有嚴肅地接觸過競賽，后來老師看我比較有興趣，成績也不錯，就把我招進競賽班。當時我的幾何比較弱，老師就給了我一本他的幾何筆記。我當時如獲至寶，就用暑假頭和尾兩端時間非常用心的學習了一下，幾何水平就有突飛猛進的進步。
其實其他的知識也一樣，老師都是鼓勵我們自學的。老師也會在開學時候來一個評估，看你暑假自學能學到什么程度。
當然，超前學習之前，最好有師兄師姐，能問一下他們的經驗，去聽一些專題的講座之類的，這樣能保證自學不會跑偏。這些資源，一般好的學校會比較多，如果所在的學校里沒有，我建議去接觸一些同年級競賽傳統學校的學生或家長，間接地去了解一些信息。
