數學與物理學從來就是一對孿生兄弟，可靠的數學工具是物理學家研究的一大助力，物理學發展的現實需要也不斷刺激著數學的發展。
數學與物理學包括力學的關系源遠流長。數學的大部分內容，包括微積分在內，基本上是在與物理學和力學的聯系中發展的。物理學家處理的問題，從數學的角度看往往是極其有趣、困難和富有挑戰性的。因此，尋求這些問題的客案及其解決方法一直是數學的活力的來源，這一點連孤傲的“純粹”數學家哈代也贊同，他甚至把麥克斯韋、愛因斯坦等人都視為數學家。
早在17世紀，牛頓就是數學與物理、力學緊密結合的化身。牛頓發明微積分具有明顯的運動學背景，其“流數(fluxion,即導數)概念就是以速度為原型的。反過來，微積分成為牛頓解決天文力學問題的有力武器。特別是在《自然哲學的數學原理》書中，牛頓借助微積分證明了在與到引力中心的距離平方成反比的引力作用下，被吸引天體必沿橢圓軌道運行，而引力中心在其一個焦點上(當初始速度足夠大時,物體也可能沿其他圓錐曲線——拋物線或雙曲線——運動)。事實上，牛頓使全部開普勒的行星運動經驗定律變成為嚴密的數學推論，在世人面前打開了本地道用數學語言寫成的宇宙之書。18世紀的數學家們繼續譜寫著這本宇宙之書，到19世紀，這本書的內容擴充到了電學和電磁學，而進入20世紀以后，隨著物理學的發展，數學相繼在應用于相對論量子力學以及基本粒子理論等方面取得了一個又一個突破。
行星軌道
在狹義相對論和廣義相對論的創立過程中，數學都建有奇功。1907年，德國數學家閔可夫斯基(H·Minkowski, 1864~ 1909)提出“閔可夫斯基空間”。即將時間和空間融合在一起的四維時空。閔可夫斯基幾何為愛因斯坦狹義相對論提供了合適的數學模型。有了閔可夫斯基時空模型后，愛因斯坦又進一步研究引力場理論以建立廣義相對論。1912年夏，他已經概括出新的引力理論的基本物理原理，但為了實現廣義相對論的目標，還必須尋求理論的數學結構，一個很重要的要求是使引力定律在坐標變換下保持不變(即所謂協變)。愛因斯坦為此徘徊彷徨了3年時間，最后在他的大學同學數學家格羅斯曼(M·Grossman)介紹下學習掌握了意大利數學家勒維奇維塔等在黎曼幾何基礎上發展起來的絕對微分學，亦即愛因斯坦后來所稱的張量分析，并很快發現這正是建立廣義相對論引力理論的合適的數學工具。在1915年11月25日發表的一篇論文中，愛因斯坦終于導出了廣義協變的引力方程：
（是黎曼度規張量）
愛因斯坦指出，“由于這組方程，廣義相對論作為一種邏輯結構終于大功告成”。廣義相對論這幢大廈現在可以蓋上金頂了，而這個金頂依靠的恰恰是數學。
后來，在回顧這段歷史時，愛因斯坦坦率地承認了他過去輕視數學是一個極大的錯誤，他反省道:“在幾年獨立的科學研究之后,我才逐漸明白了在科學探索的過程中，通向更深入的道路是同最精密的數學方法聯系在一起的。”這是愛因斯坦自己的話是作為一個科學家的深切體會。
愛因斯坦
根據愛因斯坦的引力場方程從數學上推導出來的結論，有一些后來被實驗證實了，例如光線在引力場中的彎曲行為(1919年一次日全食過程中觀察到的星光彎曲曾轟動世界)。按照愛因斯坦理論，空間是彎曲的，上列方程中的未知量是度規張量gμv，空間的形式是靠這個張量來描述的，一旦知道了空間的物質分布，從理論上就可解出這些度規張量，這個空間的形式也就知道了。按照微分幾何學，一般情況下解出的空間曲率是不等于零的，曲率不等于零表示空間有彎曲，但是空間彎曲的理論在愛因斯坦以前數學家們就已經創造出來了，那就是在19世紀初葉高斯和俄國數學家羅巴切夫斯基、匈牙利數學家波約等人創立并經黎曼等人發展的非歐幾何學。高斯曾稱這種幾何為“星空幾何”，羅巴切夫斯基也堅信自己發現的新幾何總有一天“可以像別的物理規律一樣用實驗來檢驗”，愛因斯坦的廣義相對論恰恰揭示了非歐幾何的現實意義，成為歷史上數學應用最精彩的例子之一。
愛因斯坦的廣義相對論后來又有了很大的發展，這些發展大都也與數學密切相關，可以說是物理學家和數學家共同努力的結果。最突出的如英國劍橋大學應用數學系霍金教授，霍金用數學方法嚴格證明了愛因斯坦方程中奇點的存在性，并據而發展了宇宙大爆炸理論和黑洞學說，這些理論深刻地影響著人類的時空觀和宇宙觀，在社會公眾中引起了極大的興趣。霍金于2002年國際數學家大會期間在中國北京、杭州等地做通俗報告講解他的宇宙理論，可以說在當時公眾中引起了一場不小的數學熱。
20世紀數學應用與物理學的另一項經典成果是量子力學數學基礎的確立。我們知道，20世紀初,普朗克、愛因斯坦和玻爾等創立了量子力學，但到1925年為止，還沒有一種量子理論能以統一的結構來概括這一領域已經積累的知識，當時的量子力學可以說是本質上相互獨立的，有時甚至相互矛盾的部分的混合體。1925年有了重要進展，由海森堡建立的矩陣力學和由薛定諤發展的波動力學形成了兩大量子理論，而進一步將這兩大理論融合為統一的體系，便成為當時科學界的當務之急。恰恰在這時，數學又起了意想不到但卻是決定性的作用。1927年，希爾伯特和馮·諾伊曼等合作發表了論文《論量子力學基礎》，開始了用積分方程等分析工具來統一量子力學的努力。在隨后兩年中，馮·諾伊曼又進一步利用他從希爾伯特關于積分方程的工作中提煉出來的抽象希爾伯特空間理論，去解決量子力學的特征值問題并最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學中經常出現的無界算子情形，從而奠定了量子力學的嚴格的數學基礎。1932年，馮·諾伊曼發表了總結性著作《量子力學的數學基礎》，完成了量子力學的公理化。
現在越來越清楚，希爾伯特20世紀初關于積分方程的工作以及由此發展起來的無窮維空間理論，確實是量子力學的非常合適的數學工具，量子力學的奠基人之一海森堡后來說：“量子力學的數學方法原來就是希爾伯特積分方程理論的直接應用，這真是一件特別幸運的事情！”而希爾伯特本人則深有感觸地回顧道：“無窮多個變量的理論研究，完全是出于純粹數學的興趣,我甚至管這理論叫譜分析,當時根本沒有預料到它后來會在實際的物理光譜理論中獲得應用”。
微觀粒子
抽象的數學成果最終成為其他科學新理論的仿佛是事先定做的工具，在20世紀下半葉又演出了精彩的一幕，這就是大范圍微分幾何在統一場論中的應用。廣義相對論的發展，逐漸促使科學家們去尋求電磁場與引力場的統一表述，這方面第一個大膽的嘗試是數學家外爾在1918年提出的規范場理論，外爾自己稱之為“規范不變幾何”。統一場論的探索后來又擴展到基本粒子間的強相互作用和弱相互作用。1954年,物理學家楊振寧和米爾斯(R·L·Mills)提出“楊-米爾斯理論”，揭示了規范不變性可能是所有四種(電磁、引力、強、弱)相互作用的共性,開辟了用規范場論來統一自然界這四種相互作用的新途徑。數學家們很快就注意楊-米爾斯理論所需要的數學工具早已存在，物理規范實際上就是微分幾何中纖維叢上的聯絡，20世紀三四十年代以來已經得到深入的研究。不僅如此，人們還發現規范場的楊-米爾斯方程是一組在數學上有重要意義的非線性偏微分方程1975年以來，對楊米爾斯方程的研究取得了許多重要結果。
這里值得一提的是，對微分幾何纖維叢理論作出重大貢獻的數學家中，恰恰也有一位華裔學者，他就是現代微分幾何大師陳省身。早在1943~1944年在普林斯頓高等研究所作研究員時，陳省身就在微分幾何領域解決了當時“最重要和最困難”的問題——給出了高斯-博內公式一個新的內蘊證明，進而發現了“陳示性類”,將微分幾何帶人了一個新紀元。當楊振寧1954年發表關于規范場的研究結果時，楊和陳先后幾個時期都生活在同一城市，又是好友，時常討論各自的工作，開始卻都沒有意識到他們的工作相互間有密切的關系。20世紀60年代未期，楊振寧察覺到物理學中的規范場強度和數學中的黎曼幾何曲率有極密切的關系。經過一番努力，他終于弄明白了微分幾何的纖維叢和其上的“聯絡”等基本概念，并分析出麥克斯韋理論和非阿貝爾規范場論與纖維叢的關系，讀懂了陳省身韋伊定理。楊振寧說他在搞清楚這個深奧美妙的定理后，真有一種觸電的感覺，忽然間領悟到，客觀的宇宙奧秘與純粹按優美這一價值觀發展出來的數學觀念竟然完全吻合。他在一次紀念愛因斯坦誕生百周年的會議上講道：
“在1975年，明白了規范場和纖維叢理論的關系之后，我開車到陳省身教授在伯克利附近的艾爾塞雷托(EL Cerrito)寓所。我們談了許久，談到朋友、親人以及中國，當話題轉到纖維叢時，我告訴陳教授，我終于從西蒙斯那里明白了纖維叢理論和陳省身-韋伊定理的美妙。我說，物理學的規范場正好是纖維叢上的聯絡，而后者是在不涉及物理世界的情況下發展出來的，這實在令我驚異。我還加了一句：'這既使我震驚，也令我迷惑不解，因為你們數學家是憑空夢想出這些概念，’他當時馬上提出異議:'不，不。這些概念不是夢想出來的。它們是自然的，也是實在的。’”
楊振寧
另一位諾貝爾物理學獎獲得者溫伯格(S·Weinberg)也曾驚嘆過數學與物理的巧合，他認為這是不可思議的：當一物理學家得到一種思想時，然后卻發現在他之前數學家已經發現了，他舉的一個典型的例子是關于群論的。
溫伯格
群論是19世紀早期法國天才數學家E.伽羅瓦發明的，目的是解決任意多項式方程的根式可解性問題。歷史上當2次方程及順次而來的3次方程，4次方程成功地用根式解出后，數學家們曾堅定地相信5次方程也能類似地求解。兩個世紀后,J·拉格朗日才首先意識到這是不可能的；又過了半個世紀，N·阿貝爾證明了一般的5次方程不可能用根式求解。那么，什么樣的方程才能用根式來求解呢？伽羅瓦完滿地回答了這問題。他用群的概念來刻畫根的置換對稱性。伽羅瓦的置換群后被發展為一般的抽象群，這是數學中最深刻、影響最深遠的概念之一。特別是，物理學家們發現群論正是他們所需要的描述一般對稱性的精確語言：空間平移不變直接導出粒子的動量守恒，轉動對稱性則導出角動量守恒，而能量守恒則是時間平移不變的結果，對稱性維持著自然世界的秩序，群的重大意義就不言而喻了。事實上，早在19世紀末,群論已被用于晶體結構的研究。到了20世紀，群論更出人意料地成為研究基本粒子的法寶。然而正如以上所看到的，伽羅瓦當初的動機完全是數學內部的，如今他的發明卻不僅深入到數學的每個領域，而且已成為自然科學許多分支中的非常適用的語言。
