本文結(jié)合材料知識與工程應(yīng)用，從理論到實踐，從書本到實操、從動腦到動手，保姆式手把手介紹非線性材料本構(gòu)使用方法！這也可能是您在網(wǎng)上能找到的關(guān)于Ansys Workbench非線性材料蕞啰嗦（xiangxi）的一篇基礎(chǔ)性文章。

材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一般用材料本構(gòu)來表示，本構(gòu)模型又稱材料的力學(xué)本構(gòu)方程，或材料的應(yīng)力-應(yīng)變模型，是描述材料的力學(xué)特性（應(yīng)力-應(yīng)變-強(qiáng)度-時間關(guān)系）的數(shù)學(xué)表達(dá)式。Ansys Workbench提供了豐富的非線性材料本構(gòu)，用戶也可基于試驗數(shù)據(jù)定義自己的非線性材料。

材料的響應(yīng)與載荷或變形施加的速率無關(guān)的材料稱為率不相關(guān)材料，如彈塑性、超彈性（橡膠等）、混凝土等材料，大多數(shù)金屬在低溫（≤30%左右的熔點）和低應(yīng)變速率時，為率無關(guān)材料，通常所說的塑性也就是率無關(guān)塑性。材料的響應(yīng)與載荷或變形施加的速率相關(guān)的材料稱為率相關(guān)材料，如蠕變、黏彈性材料等。

材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線也稱為材料的響應(yīng)曲線，是通過材料試驗得到的，主要材料試驗有單軸試驗、等雙軸試驗、平面剪切試驗、體積試驗、松散試驗等。最常見的為單軸試驗，可以測試?yán)煲部梢詼y試壓縮，下圖為某些塑形材料單軸拉伸試驗的工程應(yīng)力應(yīng)變曲線。

1.1.1 比例極限與屈服極限

結(jié)構(gòu)的塑性響應(yīng)基于單軸實驗結(jié)果獲得。通過單軸應(yīng)力-應(yīng)變實驗，可以得到材料的比例極限、屈服極限（或彈性極限）、應(yīng)變強(qiáng)化。

對于塑形材料，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時，材料呈現(xiàn)線性; 當(dāng)應(yīng)力小于屈服點時，材料呈彈性，載荷卸除后，所有應(yīng)變可以完全恢復(fù)；當(dāng)應(yīng)力大于屈服點時，材料呈塑性，載荷卸除后，應(yīng)變不能完全恢復(fù)。

由于比例極限和屈服點非常接近，有限元軟件假設(shè)兩者值相等。

1.1.2 應(yīng)力應(yīng)變的工程曲線與真實曲線

您一定很好奇，為什么材料力學(xué)課本中的塑形材料σ-ε曲線有下降段，而有限元分析軟件中設(shè)置塑形材料不定義下降段，這不是因為忽然誤差，而是因為材料力學(xué)課本上使用的是工程σ-ε曲線，也稱名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線，而有限元計算中往往使用切線斜率直線代替真實σ-ε曲線，他們的關(guān)系如下圖。

工程應(yīng)力σ=F/A0，A0為初始截面積，當(dāng)發(fā)生縮頸現(xiàn)象時，隨著應(yīng)變ε增加，能承受的負(fù)載F不再增加而是減小。而真實應(yīng)力σt=F/A，A為實際截面積。在拉伸過程中，試件的橫截面積不斷減小，截面上的實際應(yīng)力值要大于工程應(yīng)力。工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線和真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線在小應(yīng)變時相差很小，在大應(yīng)變時，相差明顯。所以在小應(yīng)變計算中可以使用工程應(yīng)力應(yīng)變曲線，而在大應(yīng)變計算中，應(yīng)使用真實應(yīng)力應(yīng)變曲線。真實應(yīng)力應(yīng)變與工程應(yīng)力應(yīng)變換算關(guān)系如下：

1.1.3 切線斜率

在不同段，切線斜率各不相同，塑形應(yīng)變越小，切線斜率越大，對于這種模型，如果要追求計算精度，最好采用輸入應(yīng)力應(yīng)變曲線方式，或者使用多線性本構(gòu)模擬真實曲線。

但是在實際工程中，我們常用雙線性本構(gòu)簡化計算，由于切線斜率不好確定，工程中經(jīng)常以割線斜率代替，優(yōu)先采用真實應(yīng)力應(yīng)變曲線的割線。

小應(yīng)變計算中，我們可以采用靠近σs處的割線，如上圖的割線1；大應(yīng)變計算中，我們可以采用遠(yuǎn)離σs處的割線，割線n斜率為：

根據(jù)圖惜的經(jīng)驗，普通結(jié)構(gòu)鋼的割線斜率一般可設(shè)置為800~8000MPa，微小塑性應(yīng)變（≤0.5%）時可達(dá)到100GPa。

需要注意的是，應(yīng)力應(yīng)變圖形的橫坐標(biāo)是總應(yīng)變ε，它包括了彈性應(yīng)變εe和塑性應(yīng)變εp，即ε=εe+εp，由于強(qiáng)化發(fā)生在塑性階段，所以應(yīng)力應(yīng)變圖形的橫坐標(biāo)也常使用塑性應(yīng)變εp，程序的工程材料庫有時需要用戶使用塑性應(yīng)變，它們的關(guān)系如下圖。塑性應(yīng)變與總應(yīng)變轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

下表為某材料的試驗測得的工程數(shù)據(jù)與換算后的真實數(shù)據(jù)。

1.1.4 屈服準(zhǔn)則

應(yīng)力-應(yīng)變曲線一般是在單軸試驗下得到的數(shù)據(jù)，但是在實際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)往往處于多軸應(yīng)力狀態(tài)，如何在多軸應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)用應(yīng)力-應(yīng)變曲線？這就涉及到了屈服準(zhǔn)則。

屈服準(zhǔn)則用于將多軸應(yīng)力狀態(tài)和單軸應(yīng)力狀態(tài)聯(lián)系起來。屈服準(zhǔn)則根據(jù)材料多軸應(yīng)力狀態(tài)計算出一個標(biāo)量不變量，即等效應(yīng)力，將其與單軸應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行比較。

通常情況下，應(yīng)力狀態(tài)可以分解為兩個分量：靜水壓力與偏應(yīng)力。靜水壓力引起體積變化，偏應(yīng)力引起角變形。

最常用的是馮米塞斯Von Mises屈服準(zhǔn)則，當(dāng)馮米塞斯等效應(yīng)力超過材料單軸屈服強(qiáng)度，發(fā)生屈服。如果在三維主應(yīng)力空間中繪制，馮米塞斯屈服面是一個滿足以下公式的圓柱面。

圓柱的軸心線的方程為σ1=σ2=σ3。應(yīng)力狀態(tài)與軸線的偏移量，會產(chǎn)生馮米塞斯應(yīng)力，當(dāng)偏移量位于圓柱內(nèi)部時，不發(fā)生屈服。按此理論，如果材料處于純靜水壓力狀態(tài)（ σ1=σ2=σ3 ），無論靜水壓力多大，都不會產(chǎn)生屈服。從等軸測方向去觀看屈服柱面，屈服面應(yīng)該是一個正圓。

多軸狀態(tài)與單軸狀態(tài)對應(yīng)關(guān)系如下圖。

如果結(jié)構(gòu)只處于二向應(yīng)力狀態(tài)，將σ3=0帶入上文方程，有下圖方程，它是一個橢圓，長軸在σ1=σ2即45度方向上。

WB中的塑性默認(rèn)采用Von Mises屈服準(zhǔn)則，它是各向同性的屈服準(zhǔn)則，對于各向異性的材料，常用Hill屈服準(zhǔn)則等，將在下文介紹。

1.1.5 強(qiáng)化準(zhǔn)則

在單軸應(yīng)力-應(yīng)變圖中，屈服點之后的斜率即為切線斜率，理想的塑形材料

的切線斜率為0。但是現(xiàn)實中材料的切線斜率不為0，是因為存在應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)，應(yīng)變強(qiáng)化也稱為應(yīng)變硬化。

在屈服準(zhǔn)則中，我們學(xué)習(xí)了屈服面。對于沒有強(qiáng)化的理想彈塑性材料，屈服面保持不變。但是實際工程上，當(dāng)材料應(yīng)力超過屈服面后，卸載后重新加載，后繼屈服面的這個圓柱形狀的軸心、尺寸、形狀等都有可能發(fā)生改變，強(qiáng)化準(zhǔn)則的作用便是描述屈服面的變化，確定材料在重新加載時的屈服點。

常見的強(qiáng)化準(zhǔn)則有兩類：等向強(qiáng)化和隨動強(qiáng)化。

等向強(qiáng)化（Isotropic Hardening）：也叫各向同性硬化，“等向”指屈服面向各個方向均勻的擴(kuò)張。變化后的壓縮屈服極限等于在拉伸階段得到的最大應(yīng)力。一般用于大應(yīng)變或、單向屈服加載的計算中，而不適用于交變載荷（因為無法模擬包辛格效應(yīng)）。

隨動強(qiáng)化(Kinematic Hardening):屈服面的面積不變，中心向屈服方向移動。對于大多數(shù)受小應(yīng)變交變載荷的金屬而言，遵循隨動強(qiáng)化。隨動強(qiáng)化滿足包辛格效應(yīng)，即屈服面變化后，當(dāng)拉伸屈服極限增加的時候，壓縮屈服極限減小，兩個屈服極限之間的差2σs保持不變。

在發(fā)生屈服以后，由于產(chǎn)生隨動強(qiáng)化，各向同性材料不再保持各向同性。 對于大應(yīng)變仿真，由于包辛格效應(yīng)，材料的壓縮屈服強(qiáng)度可能移動到0線以上，明顯不合實際，所以線性隨動強(qiáng)化模型不適用于循環(huán)大應(yīng)變載荷。

雙線性隨動強(qiáng)化準(zhǔn)則一般應(yīng)用于小應(yīng)變（應(yīng)變≤5%~10%）、雙向屈服循環(huán)加載（低周疲勞）的計算中。

1.1.6 流動準(zhǔn)則

作為塑性增量理論基礎(chǔ)的三個部分(屈服準(zhǔn)則、流動準(zhǔn)則、強(qiáng)化準(zhǔn)則)之一，我們有必要了解。

流動準(zhǔn)則描述了發(fā)生屈服時塑性應(yīng)變的方向。分為關(guān)聯(lián)流動與非關(guān)聯(lián)流動。

關(guān)聯(lián)流動：塑性應(yīng)變垂直于屈服面的流動準(zhǔn)則。適用于金屬和其它呈現(xiàn)不可壓縮非彈性材料。

非關(guān)聯(lián)流動：塑性應(yīng)變不垂直于屈服面的流動準(zhǔn)則。適用于顆粒材料（摩擦材料），例如 Drucker-Prager本構(gòu)模型中剪脹角與內(nèi)摩擦角不同，DP模型在WB工程材料庫中是沒有集成的，需要通過命令添加，在此略過不表。

1.1.7 滯后環(huán)

對于各向同性材料，在彈性范圍內(nèi)拉伸與壓縮，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系呈現(xiàn)一條直線。

但是當(dāng)金屬材料處于周期性雙向屈服載荷下，由于隨動強(qiáng)化準(zhǔn)則的作用，應(yīng)力應(yīng)變曲線會出現(xiàn)塑形滯后環(huán)，滯后環(huán)所包圍的面積即為循環(huán)韌性，這部分的應(yīng)變能將以熱量的形式釋放，反復(fù)彎曲的鐵絲會發(fā)熱就是這種現(xiàn)象。

此處大家可以思考下，若非要采用等向強(qiáng)化計算，是否會出現(xiàn)滯后環(huán)，答案在后文實例2中。

在Wrokebch工程數(shù)據(jù)庫中，塑形本構(gòu)是在工具欄Chaboch測試數(shù)據(jù)和塑性項目下。由于這里的漢化太瓜機(jī)，所以使用英文界面。

1.2.1 Chaboch數(shù)據(jù)

通過Chaboch測試數(shù)據(jù)可以添加單軸塑形應(yīng)力應(yīng)變的測試數(shù)據(jù)（Uniaxial Plastic Strain Test Data），輸入數(shù)據(jù)為塑形應(yīng)變與真實應(yīng)力，適用于大應(yīng)變和循環(huán)載荷。應(yīng)用請參考實例1。

1.2.2 線性強(qiáng)化準(zhǔn)則

在塑形Plasticity選項下，讀者可以有多種本構(gòu)模型選擇，其中雙線性等向強(qiáng)化BISO、雙線性隨動強(qiáng)化BKIN已經(jīng)在1.1.5中詳細(xì)介紹了。多線性等向強(qiáng)化MISO、多線性隨動強(qiáng)化MKIN相比雙線性能更好地模擬真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線，但是也需要更多的數(shù)據(jù)，示意圖如下：

在WB工程數(shù)據(jù)庫中，設(shè)置多線性強(qiáng)化時，需要輸入多組塑性應(yīng)變及對應(yīng)的應(yīng)力值，第一行一般輸入屈服點，即塑性應(yīng)變?yōu)?及其對應(yīng)的應(yīng)力值，如下圖。

1.2.3 非線性等向強(qiáng)化準(zhǔn)則

不管是雙線性還是多線性強(qiáng)化，都是將塑性強(qiáng)化曲線使用線性線段逼近，除此之外，還可以使用非線性函數(shù)的曲線逼近，非線性等向強(qiáng)化包括基于Power函數(shù)和基于Voce函數(shù)的逼近。

Nonlinear Isotropic Hardening Power Law：基于Power函數(shù)的非線性等向硬化。當(dāng)前屈服應(yīng)力σ通過求解以下方程求出：

其中G是材料的剪切模量，與楊氏模量的關(guān)系為G=E/(2*(1+μ) )。 εp為塑性應(yīng)變。

用戶需要定義初始屈服應(yīng)力σ0和指數(shù)N，0≤N＜1。當(dāng)N=0時，即為σ=σ0的理想塑性模型。N越大，代表應(yīng)力應(yīng)變曲線越陡峭。根據(jù)圖惜不可靠的經(jīng)驗，結(jié)構(gòu)鋼一般取0.2以內(nèi)，而且在計算小應(yīng)變（≤5%）和計算大應(yīng)變（≥10%），應(yīng)該取不同的N值，最關(guān)鍵是需要將計算結(jié)果與單軸拉伸試驗做對比，才能確定N取值。相對于Power函數(shù)，基于Voce函數(shù)的非線性本構(gòu)應(yīng)用更廣。

Nonlinear Isotropic Hardening Voce Law：基于Voce函數(shù)的非線性等向硬化。表達(dá)式如下

εp為塑性應(yīng)變，e為自然數(shù)2.718...。

σ0、R0、R∞、b為四個材料常數(shù)。σ0為初始屈服點，取彈性極限，R0為線性系數(shù)，R∞為指數(shù)系數(shù)，b為指數(shù)飽和系數(shù)。線性系數(shù)R0一般取值為大塑性應(yīng)變時的真實應(yīng)力應(yīng)變曲線的切線斜率， σ0+ R∞即為飽和應(yīng)力。

整條曲線的含義可以理解為通過一條曲線，連接屈服點到大應(yīng)變切線。

當(dāng)指數(shù)飽和系數(shù)b=0且線性系數(shù)R0=0時，即為理想塑性模型。

當(dāng)指數(shù)飽和系數(shù)b=0時，即為切線斜率為R0的雙線性等向強(qiáng)化模型。

指數(shù)飽和系數(shù)b越大，曲線過度越劇烈，b越小，過度越平緩。

根據(jù)圖惜的經(jīng)驗，以下簡單介紹如何快速估算各項標(biāo)定值：

首先將試驗得到的應(yīng)力——塑性應(yīng)變圖形分為兩段，第二段為曲率近似不變化的大應(yīng)變段。

線性系數(shù)R0取第二段的切線或割線斜率，即

σ0+R∞為上述割線延申到σ軸的交點，即

b*R∞為塑性應(yīng)變剛開始發(fā)生時的初始切線或割線斜率Rc，即

以上標(biāo)定后，還有必要通過簡單模型驗算進(jìn)行具體調(diào)整。

在工程數(shù)據(jù)庫中，添加此硬化規(guī)則后設(shè)置選項如下。

目前非線性等向強(qiáng)化本構(gòu)還不能根據(jù)用戶輸入的應(yīng)力應(yīng)變試驗數(shù)據(jù)自動計算各參數(shù)，但是我相信這種瓜機(jī)的功能應(yīng)該很快就能實現(xiàn)了。

1.2.4 非線性隨動強(qiáng)化準(zhǔn)則

Chaboche Kinematic Hardening：Chaboche非線性強(qiáng)化隨動強(qiáng)化本構(gòu)，主要應(yīng)用于循環(huán)加載的相關(guān)問題。可以與各種等向硬化本構(gòu)結(jié)合組成混合強(qiáng)化本構(gòu)（等向硬化與隨動硬化是兩個極端，真實的材料往往是介于兩者之間的混合硬化）。Chaboche隨動強(qiáng)化本構(gòu)可模擬包辛格效應(yīng)，且可適用于大應(yīng)變和循環(huán)加載，可用于模擬循環(huán)硬化或軟化，以及棘輪或調(diào)整行為。

后繼屈服面中心相對初始屈服面中心構(gòu)成的矢量被稱為背應(yīng)力矢量α，描述屈服中心的位置，s0表示屈服應(yīng)力，描述彈性區(qū)域的大小，是一個常量。只要γ≠0，則導(dǎo)致“α的極限值”=C/γ≠∞。這意味著，和線性隨動強(qiáng)化不同，屈服面不能在主應(yīng)力空間中無限平移，平移限制在特定區(qū)域內(nèi)。

該本構(gòu)模型允許疊加1≤n≤5個獨立的隨動模型。該模型默認(rèn)使用von Mises屈服準(zhǔn)則，如果定義了Hill屈服準(zhǔn)則則使用Hill準(zhǔn)則。

第i個背應(yīng)力由以下公式擬合

總背應(yīng)力公式為：

總應(yīng)力公式：

其中n是使用的隨動強(qiáng)化模型數(shù)量，εp是等效塑性應(yīng)變，Ci是強(qiáng)化模量，γi是強(qiáng)化模量的衰減率。

當(dāng)n=1且γ1=0時，即簡化為雙線性隨動強(qiáng)化；

當(dāng)n≥1且γi≠0處于非對稱載荷時，描述棘輪效應(yīng)，后文詳解；

當(dāng)n≥2且某一個γi=0處于非對稱載荷時，描述調(diào)整行為，后文詳解；

Chaboche本構(gòu)參數(shù)設(shè)置如下，Numbers of Kinematic Models表示隨動模型數(shù)量n，Yield Stress表示彈性極限s0。

以下簡單介紹如何快速估算Ci和γi的標(biāo)定值（文獻(xiàn)【5】中的方法）：

首先應(yīng)有材料的單軸單調(diào)拉伸試驗的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)，將應(yīng)力應(yīng)變圖形轉(zhuǎn)換到應(yīng)力——塑性應(yīng)變坐標(biāo)下。

由應(yīng)力應(yīng)變曲線的復(fù)雜程度暫取疊加模型數(shù)量n值，通常取n=2~3已經(jīng)足夠使用，如果需要更高的擬合精度，可以取n=4甚至5。

對塑性段曲線劃分n+1段，曲線陡峭處可以劃分稍密，曲線平緩處可以劃分稍疏。

計算每一段的割線（切線）斜率，分別記著Ri，如下圖。

每一段的割線斜率可以表示為

強(qiáng)化模量可以表示為每相鄰兩段割線斜率的差值

強(qiáng)化模量的衰減率為塑性應(yīng)變的倒數(shù)

上述公式中σi表示第i點的應(yīng)力，εp(i)表示第i點的塑性應(yīng)變。

除了以上方法標(biāo)定外，Workbench可以通過輸入的單軸應(yīng)力-塑性應(yīng)變數(shù)據(jù)，使用程序自動計算各參數(shù)，大大簡化了操作。以下以官方給的一組數(shù)據(jù)為例，說明自動標(biāo)定參數(shù)的方法。

實例1 chaboche非線性隨動強(qiáng)化本構(gòu)的參數(shù)標(biāo)定

Step1 數(shù)據(jù)分析。

下載ansys官網(wǎng)數(shù)據(jù)備用，讀者也可使用自己試驗的數(shù)據(jù)。下載地址為：https://storage.ansys.com/doclinks/wbtechdemos.html?code=td-31-KLU-P1a

https://ansyshelp.ansys.com/Views/Secured/Doc_Assets/v222/Workbench_showcase/td-031.zip

下載后的excle文件名為：chaboche-test-data

數(shù)據(jù)如下，其中epple表示塑性應(yīng)變，sy表示應(yīng)力。初步分析可知，在129.6MPa時，塑性應(yīng)變?yōu)?.1%，很接近于0，可以近似將此點作為材料的彈性極限，更準(zhǔn)確的取值請參考1.7.5。

此外，還可以對各強(qiáng)化段的強(qiáng)化模量C進(jìn)行估算，在1E+05 MPa到200 MPa之間，如下圖。

Step2 建立靜力學(xué)分析項目。

雙擊工程數(shù)據(jù)，進(jìn)入材料編輯界面。

Step3 材料測試數(shù)據(jù)輸入。

新建材料名稱“CHABIOCHE-KIN”，雙擊工具箱中的Chabiche Test Data——Uniaxial Plastic Strain Test Data（單軸塑性測試數(shù)據(jù)）。

在右上角A欄中輸入穩(wěn)定22℃，將excel中的數(shù)據(jù)復(fù)制到B和C欄。

Step4  Chaboche本構(gòu)模型的參數(shù)自動擬合。

在工具欄中雙擊Plasticity——Chaboche Kinematic Hardening，彈性模量設(shè)置為1.81E5，泊松比0.3。

Chaboche Kinematic Hardening參數(shù)下，默認(rèn)模型輸入N=1，將其改為3，表示使用3個背應(yīng)力模型，右擊Curve Fitting——Solve Curve Fit，右上角表格中將自動計算出參數(shù)，右下角圖形中將出現(xiàn)擬合曲線。

可以看到，使用擬合的曲線效果不大好，很多點沒有被包含。

要提高曲線擬合精度，需要定義材料常數(shù)的初始值。

通過前文對excle文件中的數(shù)據(jù)的分析已知，初始屈服強(qiáng)度為129.6 MPa，切線模量在 1E+05 到 1000 之間變化，將C1、C2、C3的參考種子值分別設(shè)置為1E05MPa、10000MPa、1000MPa。將每個背應(yīng)力的極限設(shè)置為1000MPa，即Ci/γi=1000MPa，從而得到每個γi的參考種子值。通過選中的Fix Seed Value 復(fù)選框可以錨定屈服應(yīng)力= 129.6 MPa 和γ3=1，其余未錨定的值將作為參考種子值。再次計算，結(jié)果如下。

從擬合曲線可以看出，本次計算的參數(shù)能很好地擬合實驗數(shù)據(jù)。

如何將計算的結(jié)果參數(shù)復(fù)制到本構(gòu)參數(shù)中？只需要右擊Curve Fitting——Copy Calculated Values to Property，右上角計算的參數(shù)將傳遞到材料本構(gòu)模型中。

1.2.5非線性等向與隨動強(qiáng)化本構(gòu)注意事項

以上非線性等向與隨動模型中，Yield Stress與Initial Yield Stress都表示材料的彈性極限σe，即塑性應(yīng)變=0時的最大應(yīng)力，由于彈性極限不好測量，一般通過屈服極限推算。對于有屈服平臺的低碳鋼、碳素/低合金結(jié)構(gòu)鋼等，可以取稍低于屈服極限σs的值作為彈性極限。對于沒有屈服平臺的中高碳鋼、合金鋼、不銹鋼、鋁合金、銅合金等，人為規(guī)定產(chǎn)生0.2%塑性變形的應(yīng)力稱為等效屈服應(yīng)力，記為σ0.2，根據(jù)文獻(xiàn)[5]的3.3節(jié)總結(jié)，可取55%*σ0.2作為彈性極限（此時的塑性應(yīng)變僅0.016%）。

由于非線性強(qiáng)化的材料參數(shù)往往無法直接通過材料的力學(xué)試驗得到，而是需要通過反復(fù)調(diào)整各參數(shù)使曲線擬合試驗數(shù)據(jù)，這個過程稱為參數(shù)的標(biāo)定，標(biāo)定的源數(shù)據(jù)大多數(shù)采用單調(diào)載荷，也可采用實例1那樣的循環(huán)載荷。正因為參數(shù)標(biāo)定較麻煩，一線工程師們往往也沒有實力深入研究，所以在工程上的使用還未普及，屬于學(xué)院派比較感興趣的高級應(yīng)用，讀者若感興趣可查詢相關(guān)資料。

1.2.6 Hill屈服準(zhǔn)則

Hill Yield Criterion：Hill屈服準(zhǔn)則，是對Von Mises屈服準(zhǔn)則的擴(kuò)展，區(qū)別在于Von Mises屈服準(zhǔn)則用于各向同性材料，而Hill屈服準(zhǔn)則用于各項異性材料。在未設(shè)置Hill屈服準(zhǔn)則時，程序使用模量的馮米塞斯屈服準(zhǔn)則，當(dāng)設(shè)置了Hill屈服準(zhǔn)則后，程序則使用Hill準(zhǔn)則。

Hill屈服準(zhǔn)則默認(rèn)情況下，Hill Potentials for Plasticity and Creep是關(guān)閉的，表示不考慮蠕變，用戶只需要設(shè)置材料6個方向的屈服應(yīng)力比率，即Rx、Ry、Rz、Rxy、Ryz、Rzx，他們分別代表各方向屈服應(yīng)力與Von Mises屈服應(yīng)力的比率，極端情況就是6個方向的屈服應(yīng)力比率相等且等于1，那就簡化稱為了各向同性Von Mises屈服準(zhǔn)則。

Hill準(zhǔn)則不描述強(qiáng)化，僅描述屈服準(zhǔn)則，Hill勢可與等向、隨動和混合強(qiáng)化模型相結(jié)合。

1.2.7 其他選項

黏塑性模型包括Anand Viscoplasticity、EVH Viscoplasticity、Perzyna Viscoplasticity、Peirce Viscoplasticity等，黏塑性類似于蠕變，材料本構(gòu)要求溫度必須大于熔點的一半，沒有明顯的屈服點，也沒有加載與卸載準(zhǔn)則。用于模擬材料的高溫塑性加工和電子器件的釬焊接頭。黏塑性是率相關(guān)塑性，將在以后的文章中詳解。

Gurson Model：用來分析延性多孔金屬的塑性和損傷的模型。當(dāng)塑性和損傷發(fā)生時，延性金屬會經(jīng)歷空隙生長、成核、聚結(jié)的過程，如下圖。該模型基于空隙體積分?jǐn)?shù)（空隙率）和壓力的變化，將這些微觀的材料行為納入宏觀塑性行為，空隙率增加對應(yīng)于材料損傷的增加，導(dǎo)致承載能力降低。

單調(diào)加載僅指沒有發(fā)生卸載的情況，用于平均長期受靜載的結(jié)構(gòu)。

1.3.2 比例加載

在主應(yīng)力空間，任何通過原點的直線的載荷路徑被稱為比例加載。

換言之，若主應(yīng)力比率2/1和3/1保持不變，就是比例加載。

1.3.3 循環(huán)加載

循環(huán)加載指載荷換向的情況。用于評價結(jié)構(gòu)承受重復(fù)載荷作用的耐久性。循環(huán)加載分為循環(huán)對稱加載，和循環(huán)非對稱加載。

在循環(huán)對稱加載中，金屬呈現(xiàn)強(qiáng)化或軟化，取決于材料、溫度和初始狀態(tài)。屈強(qiáng)比≤0.7的材料容易發(fā)生循環(huán)強(qiáng)化，如退火、正火材料；屈強(qiáng)比≥0.8的材料容易發(fā)生循環(huán)軟化，如淬火、調(diào)質(zhì)材料；屈強(qiáng)比在0.7~0.8之間的材料循環(huán)強(qiáng)化或軟化現(xiàn)象不明顯。

在非對稱應(yīng)力控制情況中，會發(fā)生棘輪或調(diào)整現(xiàn)象。

（1）循環(huán)強(qiáng)化

在控制應(yīng)變循環(huán)對稱加載時，應(yīng)力范圍將增大，或控制應(yīng)力循環(huán)對稱加載時，應(yīng)變范圍將減小的現(xiàn)象稱為循環(huán)強(qiáng)化。

Chaboche (CHAB) 加上任何等向強(qiáng)化準(zhǔn)則 (雙線性, 多線性, 非線性) 用于模擬循環(huán)強(qiáng)化。等向強(qiáng)化準(zhǔn)則將增大具有循環(huán)應(yīng)變的屈服應(yīng)力 。

（2）循環(huán)軟化

在控制應(yīng)變循環(huán)對稱加載時，應(yīng)力范圍將減小，或控制應(yīng)力循環(huán)對稱加載時，應(yīng)變范圍將增大的現(xiàn)象稱為循環(huán)軟化。

Chaboche 模型 (CHAB) 加上 Voce非線性等向強(qiáng)化模型 (NLISO) 用于模擬循環(huán)軟化，只有Voce 非線性等向強(qiáng)化 (NLISO) 允許負(fù)的塑性強(qiáng)化斜率（不是材料實際的性能，只是為了模擬循環(huán)軟化而做的設(shè)置）。

（3）棘輪和調(diào)整

棘輪：在控制非對稱循環(huán)應(yīng)力加載時，材料的塑性應(yīng)變在每一個循環(huán)中累積增加。塑性應(yīng)變累積導(dǎo)致尺寸超標(biāo)或循環(huán)破壞失效。主要用于壓力容器、高壓管道、輪軌接觸和電子封裝，比例ASME-II就對核反應(yīng)堆的壓力容器有相關(guān)要求，累積塑性應(yīng)變不能超過5%。

調(diào)整：在控制非對稱循環(huán)應(yīng)力加載時，材料的塑性應(yīng)變在每一個循環(huán)中逐漸穩(wěn)定。不同于棘輪的塑性應(yīng)變累積增加，而是調(diào)整后趨于穩(wěn)定，最后保持不變。

線性隨動模型不能捕捉棘輪和調(diào)整。

Chaboche 模型的n≥1個非線性隨動疊加模型，且所有γi≠0可以捕捉棘輪，如實例3。

Chaboche 模型的n≥2個非線性隨動疊加模型，且有1~（n-1）個γi=0可以捕捉調(diào)整，如實例3。

實例2 使用雙線性本構(gòu)展現(xiàn)塑性滯后環(huán)

Step1 建模。

使用DM建立如下平面模型。

在WB主界面設(shè)置項目模型為2D分析。

Step2 材料設(shè)置。

在主界面，雙擊此項目的工程數(shù)據(jù)欄，進(jìn)入工程數(shù)據(jù)庫。

新建材料名稱“Q235-隨動強(qiáng)化”，雙擊添加toolbox中的雙線性隨動強(qiáng)化，設(shè)置參數(shù)如下：

進(jìn)入Mechanical，選擇模型，設(shè)置分析類型為平面應(yīng)力，厚度為5mm，賦予剛才設(shè)置的材料。

Step3 網(wǎng)格劃分。

采用邊份數(shù)控制，長邊18份，短邊4份，若網(wǎng)格不均勻，可以應(yīng)用面網(wǎng)格控制。

Step4 邊界條件施加。

采用邊控制，長邊18份，短邊4份，若網(wǎng)格不均勻，可以應(yīng)用面網(wǎng)格控制。

使用強(qiáng)制位移控制Y方向最小的短邊，使它在Y方向位移為0，X方向自由。

使用強(qiáng)制位移控制一條長邊，使它X方向位移為0，Y方向自由，這里也可以使用對稱約束。

在Y方向最大的短邊施加對稱循環(huán)應(yīng)力，如下表，總共10個載荷步。

求解設(shè)置中必須打開大變形，才能更準(zhǔn)確計算應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)。

采用默認(rèn)的子步控制，若不收斂再修改子步數(shù)量。

Step5 結(jié)果后處理。

添加等效總應(yīng)變、等效塑性應(yīng)變、法向彈性應(yīng)變，由于本例為單軸拉壓計算，所以應(yīng)變主要發(fā)生在Y方向，總應(yīng)變=塑性應(yīng)變+彈性應(yīng)變。

添加Y方向的法向應(yīng)力

生成應(yīng)力應(yīng)變圖標(biāo)：添加圖表，在對象中選擇等效總應(yīng)變和Y向應(yīng)力，不顯示時間和應(yīng)力應(yīng)變最小值，橫坐標(biāo)設(shè)置為等效總應(yīng)變最大值。

我們會發(fā)現(xiàn)這個圖并不是我們想要的，因為應(yīng)變始終為正，明顯不合實際，在壓縮時，應(yīng)變應(yīng)該為負(fù)數(shù)才正確。究其原因是因為添加的結(jié)果中的等效塑性是一個標(biāo)量，顯示的是塑性應(yīng)變的絕對值，它總是顯示為正值，從而導(dǎo)致等效總應(yīng)變也總是為正（彈性應(yīng)變相對于塑性應(yīng)變值小得多）。

要正確顯示應(yīng)力應(yīng)變圖，需要手動添加總應(yīng)變的矢量結(jié)果。選添加自定義結(jié)果：右擊求解——插入——用戶自定義結(jié)果，表達(dá)式中寫：=EPTOy，表示Y方向總應(yīng)變矢量，如果要求解Y方向塑性應(yīng)變，則表達(dá)式為EPPLy。

按照上文方法重新設(shè)置圖標(biāo)，橫坐標(biāo)為用戶自定義結(jié)果，縱坐標(biāo)為Y向應(yīng)力。

本例的擴(kuò)展：

（1）使用非對稱循環(huán)載荷+雙線性隨動強(qiáng)化后的應(yīng)力應(yīng)變圖

計算結(jié)果如下，可以發(fā)現(xiàn)無法表現(xiàn)棘輪或調(diào)整效應(yīng)。

（2）使用非對稱或?qū)ΨQ循環(huán)載荷+雙線性等向強(qiáng)化后的應(yīng)力應(yīng)變圖

材料改為雙線性等向強(qiáng)化模型，數(shù)據(jù)不變，結(jié)果如下。

由于等向強(qiáng)化無法模型包辛格現(xiàn)象，當(dāng)拉伸方向突破屈服強(qiáng)度，達(dá)到260.4MPa后，壓縮方向和拉伸方向的屈服強(qiáng)度都變?yōu)榱?60.4MPa，所以卸載、壓縮和再次拉伸都將沿著這條線運動，而且都在強(qiáng)化后的材料彈性范圍內(nèi)。這也是為什么一般不用等向強(qiáng)化模型計算雙向循環(huán)屈服加載問題的原因。

實例3 在實例2的基礎(chǔ)上，基于Chaboche本構(gòu)模型的循環(huán)強(qiáng)化、循環(huán)軟化、棘輪、調(diào)整等行為分析

以下參數(shù)只是為了模擬計算，不能作為實際的工程應(yīng)用數(shù)據(jù)。

Step1 材料設(shè)置。

修改材料為chaboche+雙線性等向強(qiáng)化，雙線性等向強(qiáng)化的切線模量設(shè)置為500MPa，表示屈服面不僅會隨著chaboche定義的參數(shù)移動中心，還會在每一次循環(huán)中，根據(jù)切線模量擴(kuò)大屈服面半徑。這里也可用多向性或非線性等向強(qiáng)化代替雙線性等向強(qiáng)化。此處若等向強(qiáng)化與chaboche中的屈服強(qiáng)度不同，將忽略等向強(qiáng)化中的屈服強(qiáng)度。

Step2 求解設(shè)置。

由于本例的邊界添加中將會使用到時間函數(shù)，所以求解設(shè)置中需要先設(shè)置時間。

右下角點擊度量標(biāo)準(zhǔn)可以查看目前的單位系統(tǒng)，注意現(xiàn)在使用的角度是度，而不是弧度。

總時間設(shè)置為1800s，自動時步——開啟，定義依據(jù)——時間，初始時步=最小時步=3s，最大時步=6s。

設(shè)置中必須打開大變形。

Step3 邊界條件。

插入x和y兩個方向的對稱，當(dāng)然也可以使用位移約束或者無摩擦約束代替。

在邊線上施加力載荷。

大小中輸入=28000*sin(time)，注意time是小寫。此處的time就是Step2中設(shè)置的時間，總共1800，單位為度，所以力為三角函數(shù)曲線。

Step4 計算與后處理。

計算后，為了更好的判斷結(jié)果，我們插入以下結(jié)果：Y向法向應(yīng)力，用戶定義的epply（y向塑性應(yīng)變實例），eptoy（y向總應(yīng)變實例），結(jié)果分別如下。

建立以上法向應(yīng)力——epply兩個結(jié)果的圖表，橫坐標(biāo)為epply的最大值，縱坐標(biāo)為法向應(yīng)力的最大值，不顯示時間。

可以看到，隨著等應(yīng)力循環(huán)的進(jìn)行。塑性應(yīng)變減小，即循環(huán)強(qiáng)化。

Step1 材料設(shè)置。

復(fù)制（1）案例，重命名為“循環(huán)軟化”。

修改材料為chaboche+voce等向強(qiáng)化，voce的切線模量設(shè)置為-500MPa，表示屈服面不僅會隨著chaboche定義的參數(shù)移動中心，還會在每一次循環(huán)中，根據(jù)切線模量縮小屈服面半徑。此處指數(shù)飽和參數(shù)b應(yīng)盡量設(shè)置大一點。這里不可用雙線性或多向性等向強(qiáng)化代替voce等向強(qiáng)化，因為它們不能設(shè)置負(fù)的切線模量。此處若voce等向強(qiáng)化與chaboche中的屈服強(qiáng)度不同，將忽略等向強(qiáng)化中的屈服強(qiáng)度。

Step2 其余設(shè)置均同（1）。

計算的epply如下圖。

Y向應(yīng)力——塑性應(yīng)變圖如下。

可以看到，隨著等應(yīng)力循環(huán)的進(jìn)行。塑性應(yīng)變增大，即循環(huán)軟化。

Step1 材料設(shè)置。

復(fù)制（1）案例，重命名為“棘輪”，修改材料為chaboche隨動強(qiáng)化，n≥1，且所有γi≠0。

Step2 邊界條件。

修改循環(huán)載荷為非對稱載荷：大小中輸入=5000+20000*sin(time)。

Step3 計算與后處理。

計算的epply如下圖。

Y向應(yīng)力——塑性應(yīng)變圖如下。

可以看到，隨應(yīng)力循環(huán)的進(jìn)行。塑性應(yīng)變累積增大，即棘輪效應(yīng)。

模擬調(diào)整與模擬棘輪的計算類似，只是需要在材料設(shè)置中注意：Chaboche 中至少有兩個隨動模型 (n≥2)，其中至少應(yīng)有一個γi=0（注意：不能全部γi都為0）。

此處為了讓結(jié)果更明顯，將time改為7200s。

Y向塑性應(yīng)變，Y向應(yīng)力——塑性應(yīng)力結(jié)果如下

可以看到，隨應(yīng)力循環(huán)的進(jìn)行。塑性應(yīng)變趨于穩(wěn)定，即調(diào)整效應(yīng)。

附：文獻(xiàn)【1】中的例題

實例4基于Chaboche本構(gòu)模型的棘輪行為分析

Step1 建模。

書上使用的式英制單位，本例使用公制單位進(jìn)行轉(zhuǎn)換，數(shù)據(jù)適當(dāng)取整數(shù)。

使用DM建立如下平面1/4模型。

Step2 材料設(shè)置。

進(jìn)入工程數(shù)據(jù)庫，新建材料，設(shè)置為Chaboche隨動強(qiáng)化本構(gòu)模型。參數(shù)設(shè)置如下圖，注意單位。

進(jìn)入Mechanical，選擇模型，設(shè)置分析類型為2D分析——平面應(yīng)力，厚度為10mm，賦予剛才設(shè)置的材料。

Step3 網(wǎng)格劃分。

插入尺寸控制、方法、加密，設(shè)置如下，尺寸和方法的設(shè)置對象為整個模型，加密的對象為缺口處的直邊和圓弧邊。

Step4 求解設(shè)置。

由于本例的邊界添加中將會使用到時間函數(shù)，所以求解設(shè)置中需要先設(shè)置時間。

右下角點擊度量標(biāo)準(zhǔn)可以查看目前的單位系統(tǒng)，注意現(xiàn)在使用的角度是度，而不是弧度。

總時間設(shè)置為1800s，自動時步——開啟，定義依據(jù)——時間，初始時步=最小時步=3s，最大時步=6s。

設(shè)置中必須打開大變形。

Step5 邊界條件。

插入x和y兩個方向的對稱，當(dāng)然也可以使用位移約束或者無摩擦約束代替。

在上邊線上施加壓力載荷。

大小中輸入=14.5-30*sin(time)，注意time是小寫。此處的time就是Step4中設(shè)置的時間，總共1800，單位為度，所以壓力為三角函數(shù)曲線。

Step6 計算與后處理。

計算后，為了更好的判斷結(jié)果，我們使用某一節(jié)點的數(shù)據(jù)，選中圖示尖點，右擊——創(chuàng)建命名選擇，輸入自定義名稱“point”。在結(jié)構(gòu)數(shù)中將出現(xiàn)point選擇集。

在結(jié)果中插入應(yīng)力結(jié)果——法向應(yīng)力，通過命名選擇“point”。

這一點的Y向應(yīng)力結(jié)果如下。

還需插入“point”這一點的Y向塑性應(yīng)變：在結(jié)果中右擊插入——用戶定義的結(jié)果。

右擊結(jié)構(gòu)樹中的”用戶定義的結(jié)果“——基于定義重命名。

建立以上兩個結(jié)果的圖標(biāo)，橫坐標(biāo)為EPPLy的最大值，縱坐標(biāo)為法向應(yīng)力的最大值，不顯示時間。

可以發(fā)現(xiàn)，隨著非對稱循環(huán)載荷的進(jìn)行，缺口處塑性應(yīng)變累積增加，并沒有穩(wěn)定的趨勢，這就是棘輪現(xiàn)象。

每篇文章不管好歹都寫一個結(jié)尾吧，也算有始有終。非線性材料的文章這才寫到1/3，但是圖惜明顯感覺盤不動了，非線性材料的確很難盤，就如同深淵里面的惡龍，我感覺就像背著鐮刀的砍柴娃，明知道深淵里面有惡龍，但是也想用自己很頓挫的鐮刀去盤盤它。