翻翻幫助文檔，學(xué)習(xí)使用Abaqus的單元?jiǎng)h除功能模擬材料的斷裂和損傷。
這篇，和之前許多文章一樣，也是一篇學(xué)習(xí)筆記。
我們來學(xué)習(xí)一下，Abaqus等有限元軟件中，是如何用單元?jiǎng)h除的方式來模擬斷裂和損傷行為的。
所以……你問我有限元該怎么學(xué)？帶著給別人講出來的心態(tài)去學(xué)。邊學(xué)邊講。能給別人講明白，就說明你這部分知識(shí)已經(jīng)學(xué)會(huì)了。
話不多說，我們開始。
找到幫助文檔頁
用單元生死的方式來模擬斷裂，首先能夠想到的肯定是Abaqus軟件。
因?yàn)樵贏baqus的單元選擇對(duì)話框里，赫然有四個(gè)大字：“單元?jiǎng)h除”。
Abaqus的單元類型選擇界面，支持單元?jiǎng)h除功能。
實(shí)際上，Abaqus/CAE單元類型選擇窗口的這些單元控制屬性，在關(guān)鍵字里其實(shí)被稱為 Section control 截面控制。這挺讓人費(fèi)解的。但至少 還能在幫助文檔里查到。
首先在界面上點(diǎn)擊那個(gè)小問號(hào)，點(diǎn)擊單元類型窗口。會(huì)打開 Abaqus/CAE 圖形界面的幫助文檔。定位在
Abaqus > Abaqus/CAE > Creating and analyzing a model using the Abaqus/CAE modules > The Mesh module > Controlling mesh characteristics > Associating Abaqus elements with mesh regions
一如既往、不出所料 —— 這一頁上沒啥有用的信息。只有這么一行小字：想看更多單元控制相關(guān)選項(xiàng)嗎？去 Section controls 頁面找找吧。
好的，跟著超鏈接，來到了 Section controls 頁面。
Abaqus > Elements > Introduction > Section controls
這一頁內(nèi)容可豐富了。有這么多主題：
那既然軟件界面上都擺出來 單元?jiǎng)h除功能了，文檔里肯定會(huì)有對(duì)應(yīng)功能的介紹嘛。
這個(gè)主題下 —— 還是沒啥真正有用的信息。只告訴了你，界面上的 “單元?jiǎng)h除” 和 “最大下降” 選項(xiàng)在哪。它倆分別用來控制 1）“單元?jiǎng)h除”選項(xiàng) 決定在計(jì)算中是否要保留完全損壞的單元；2）“最大下降”選項(xiàng) 確定單元何時(shí)被認(rèn)為是完全破壞了。
——摔，“最大下降”，這翻譯的誰能猜到是啥意思嘛。Max degradation，準(zhǔn)確來說應(yīng)該翻譯為“最大剛度退化值”。
好在，這一頁里，給出了更多的詳情頁鏈接。來列舉一下：
1）在Abaqus 幫助文檔的材料卷，介紹漸進(jìn)損傷和失效的頁面：
Abaqus > Materials > Progressive Damage and Failure > About progressive damage and failure
2）材料卷的介紹部分中，有一小節(jié)是關(guān)于材料失效與單元?jiǎng)h除的：
Abaqus > Materials > Introduction > Material data definition > Material failure and element deletion
3）還是材料卷，延性金屬的損傷與失效：
Abaqus > Materials > Progressive Damage and Failure > Damage and failure for ductile metals > Damage evolution and element removal for ductile metals
4）以及在Connector單元行為的文檔里：
Abaqus > Elements > Connector Elements > Connector element behavior > Connector damage behavior > Maximum degradation and choice of element removal in Abaqus/Standard
Cohesive單元的文檔里也有這么一段。纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的文檔里也有，內(nèi)容都差不多。最后是低周疲勞分析的相關(guān)文檔里，有低周疲勞分析的損傷演化計(jì)算方式。
延性金屬與損傷演化
在翻譯之前，先聊一句題外話。ductile metal，中文翻譯為延性金屬。我在Science Direct上面搜索了一下dectile metal的定義，還是很全面、很有趣的。
一些脆性材料，如鑄鐵和混凝土，在其結(jié)構(gòu)中含有大量的孔和微觀裂縫。這些被認(rèn)為會(huì)產(chǎn)生高應(yīng)力集中，從而導(dǎo)致材料的局部失效。相對(duì)于抗壓強(qiáng)度來說，這些應(yīng)力集中對(duì)抗拉強(qiáng)度的影響可能更大;脆性材料的一個(gè)一般特征是它們?cè)谑芾瓡r(shí)顯得很脆弱。因此，脆性材料的彈性斷裂和失效主要由最大主拉應(yīng)力控制。作為一個(gè)例子，考慮一個(gè)混凝土塊：在單軸拉伸下，其斷裂應(yīng)力約為1.5 MPa，而在壓縮時(shí)，它約為30 MPa，或20倍大；在純剪切下，斷裂應(yīng)力約為1.5 MPa，因?yàn)橹鲬?yīng)力具有相同的大小，其中一個(gè)應(yīng)力是拉伸?；炷林械拈_裂將發(fā)生在與施加的剪切應(yīng)力方向成45°的平面上。
Science Direct
（天吶，我學(xué)材料力學(xué) 第一強(qiáng)度理論的時(shí)候怎么沒人這么給我講過？該不會(huì)是老師自己也不知道吧。唉，我要是有機(jī)會(huì)能給學(xué)生講課，我可得把這一段加上。多滿足好奇心呀。）
首先是Section controls 截面控制的文檔頁里，與單元?jiǎng)h除和損傷演化相關(guān)的內(nèi)容：
Abaqus > Elements > Introduction > Section controls > Controlling element deletion and maximum degradation for materials with damage evolution
Abaqus提供了一種通用的功能，用于對(duì)材料漸進(jìn)損傷和失效進(jìn)行建模。在Abaqus/Standard求解器中，這種功能僅適用于：內(nèi)聚力單元、連接器單元、平面應(yīng)力公式單元（包括平面應(yīng)力單元、殼單元、固體殼單元和膜單元）、可用于韌性金屬損傷演化模型的任何單元、以及可以在低周疲勞分析中包含損傷演化準(zhǔn)則的任何單元。
在Abaqus/Explicit求解器中，適用的單元類型則更多，所有具有漸進(jìn)損傷行為的單元都可以使用單元?jiǎng)h除功能。
截面控制選項(xiàng)，可用來指定材料失效的最大剛度退化值，D_max，這個(gè)值用來描述材料的失效，以及判斷啥時(shí)候該把這個(gè)單元?jiǎng)h除掉。默認(rèn)情況下，單元完全失效時(shí)會(huì)被刪除。單元?jiǎng)h除方式的選擇也會(huì)影響到損傷施加的方式，詳見各種詳情頁面。
漸進(jìn)損傷和破壞
在Abaqus中，漸進(jìn)損傷主要應(yīng)用于下面幾類問題：
Abaqus中，提供了一個(gè)用于描述損傷和失效的通用框架，它允許多種損傷失效機(jī)制同時(shí)作用于同一種材料。材料失效，指的就是由于剛度逐漸退化而導(dǎo)致失去承載能力。
比如，一個(gè)典型的金屬 單軸拉伸試件：
典型的金屬單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系
a-b，大家都知道是初始的線彈性段；
b-c，是熟悉的塑性屈服和應(yīng)變硬化階段；
c-d，超過c點(diǎn)后，承載能力下降，直到材料破壞。
在點(diǎn)c處，激活某一損傷準(zhǔn)則。這一點(diǎn)處的狀態(tài)稱為損傷啟動(dòng)準(zhǔn)則。超過它以后，應(yīng)力-應(yīng)變的響應(yīng)將改為受局部化的剛度退化演化行為控制。
如果沒有損傷行為，材料在c點(diǎn)以后，正常來說應(yīng)該按照c-d'的路線繼續(xù)強(qiáng)化。
因此，在Abaqus中，描述一個(gè)失效機(jī)制就需要輸入四個(gè)部分：
定義一個(gè)有效的材料響應(yīng)（a-b-c-d'），即沒有損傷時(shí)是啥樣。
定義損傷的起始準(zhǔn)則（c點(diǎn)）
定義一個(gè)損傷演化的規(guī)律（c-d）
損傷完全發(fā)生后（d點(diǎn)處），選擇是否要將單元?jiǎng)h除。
網(wǎng)格依賴性
在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，本構(gòu)模型通常用應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系表示。當(dāng)材料出現(xiàn)軟化行為，導(dǎo)致應(yīng)變局部化時(shí)（即大量的應(yīng)變出現(xiàn)在局部一個(gè)小區(qū)域里），這種形式會(huì)導(dǎo)致極強(qiáng)的有限元網(wǎng)格依賴性。其結(jié)果是能量耗散隨著網(wǎng)格的細(xì)化而減少。（據(jù)我理解，就是單元畫的越密，發(fā)生應(yīng)變軟化的單元體積就越小，因?yàn)橹挥辛鸭y尖端的單元會(huì)破壞）
在Abaqus中，所有可用的損傷演化模型，都采用了一種旨在減輕網(wǎng)格依賴性的列式。這是通過在公式中引入特征長度來實(shí)現(xiàn)的。在Abaqus中，這與單元的大小有關(guān)，并且將本構(gòu)中的軟化部分改為用 應(yīng)力-位移 關(guān)系描述。這種情況下，損傷過程消耗的能量就是按單位面積，而不是單位體積來指定的。這一能量作為一個(gè)附加材料參數(shù)，用于計(jì)算材料發(fā)生完全損傷時(shí)的位移。這個(gè)概念和臨界能量釋放率（斷裂力學(xué)中的一個(gè)材料參數(shù)）一致，以確保正確的能量消耗，并大大減輕網(wǎng)格依賴。
Abaqus中的使用方法
前面我們提到，描述失效機(jī)制，需要定義四個(gè)部分：
前面，定義正常材料響應(yīng)這里就不提了，就和定義普通的彈-塑性材料一樣。至于這個(gè)損傷起始的準(zhǔn)則，可以在Abaqus定義材料參數(shù)的界面里看到：
Abaqus中定義損傷起始準(zhǔn)則
這個(gè)菜單里，有延性金屬損傷、有牽引-分離模型，還有纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的損傷。再后面的“彈性體損傷(T)”，菜單里只有Mullins效應(yīng)，它其實(shí)指的是類似橡膠的彈性體在準(zhǔn)靜態(tài)循環(huán)載荷下的應(yīng)力軟化現(xiàn)象。
定義了任何一個(gè)損傷起始準(zhǔn)則后，都可以繼續(xù)在 子選項(xiàng) 中看到 損傷演化。
在子選項(xiàng)中，進(jìn)一步定義損傷演化準(zhǔn)則
損傷演化子選項(xiàng)輸入窗口
三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，理論與仿真對(duì)比
Abaqus中的延性金屬損傷起始準(zhǔn)則，其背后的理論來源于BMW集團(tuán)工程師與MATFEM公司工程師合作發(fā)表于2004年的一篇論文。
所以我才說，仿真軟件是最好的教科書。
當(dāng)材料完全損傷以后，可以將相應(yīng)的單元?jiǎng)h除。損傷演化公式使用了一些方法來盡量減少網(wǎng)格依賴性；定義損傷模型，需要定義四部分信息，其中最主要的就是兩條：
1. 損傷起始準(zhǔn)則；
2. 損傷演化準(zhǔn)則。
這部分文檔，位于Abaqus文檔-材料卷。漸進(jìn)損傷章節(jié)里，延性金屬損傷主題下，只有三個(gè)部分：1）簡介；2）損傷起始準(zhǔn)則；3）損傷演化準(zhǔn)則。
關(guān)于延性金屬損傷，對(duì)應(yīng)的幫助文檔位置
損傷起始準(zhǔn)則
回顧一下：損傷起始準(zhǔn)則，描述的是什么時(shí)候達(dá)到圖中的c點(diǎn)。達(dá)到c點(diǎn)之前，材料沒發(fā)生損傷；達(dá)到c點(diǎn)之后，損傷開始。至于后面損傷如何演化，c-d曲線部分，那不歸起始準(zhǔn)則管，而是損傷演化關(guān)心的事兒。
單軸拉伸曲線，c-d描述損傷過程.
損傷起始準(zhǔn)則主要分為兩大類：用于金屬斷裂和金屬薄板失穩(wěn)。
延性金屬損傷的起始準(zhǔn)則，Abaqus界面
損傷起始準(zhǔn)則的分類
每一個(gè)損傷起始準(zhǔn)則，都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的輸出變量，用于指示分析過程中是否達(dá)到了該準(zhǔn)則。1.0或更高的數(shù)值表示已經(jīng)達(dá)到對(duì)應(yīng)的損傷準(zhǔn)則了。
對(duì)于某一材料，可以同時(shí)指定好幾個(gè)損傷準(zhǔn)則。它們相互獨(dú)立，單獨(dú)計(jì)算。一旦達(dá)到了某一個(gè)損傷準(zhǔn)則，材料的剛度就開始按這個(gè)準(zhǔn)則里寫的損傷演化規(guī)律開始下降。但你要是沒定義損傷演化規(guī)律，那材料的剛度就不會(huì)下降，只會(huì)輸出該損傷準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的變量數(shù)值，告訴你這地方要破壞了。
金屬斷裂的準(zhǔn)則
主要有兩個(gè)機(jī)制會(huì)讓延性金屬發(fā)生斷裂：
金屬內(nèi) 微孔洞的成核、生長和聚合導(dǎo)致的韌性斷裂；
剪切帶局部化導(dǎo)致的剪切斷裂。
這倆機(jī)制具體是啥，有一篇2004年的論文詳細(xì)描述了這個(gè)問題。
Hooputra, H., H. Gese, H. Dell, and H. Werner, “A Comprehensive Failure Model for Crashworthiness Simulation of Aluminium Extrusions,” International Journal of Crashworthiness, vol. 9, no. 5, pp. 449–464, 2004.
天大居然沒有開通這篇文章的訪問權(quán)限。Sci-Hub，永遠(yuǎn)的神！
作者是來自BMW集團(tuán)的大佬。真的是，巴伐利亞發(fā)動(dòng)機(jī)廠在各種仿真軟件的技術(shù)文檔里出現(xiàn)頻率可太高了，不愧是世界頂級(jí)車企啊。這篇文章最早是用PAM-Crash實(shí)現(xiàn)的這些準(zhǔn)則。
另一位作者來自MATFEM公司。這是一家來自德國的材料科學(xué)與有限元分析咨詢公司。
MATFEM的業(yè)務(wù)范圍?？瓷先ナ遣皇潜葒鴥?nèi)一些小規(guī)模的仿真咨詢公司高級(jí)一點(diǎn)？
我說仿真軟件是教科書沒錯(cuò)吧。
基于現(xiàn)象學(xué)的觀察，上面提到的兩種機(jī)制需要不同的損傷起始準(zhǔn)則。所以Abaqus就引入了不同的準(zhǔn)則來描述它們。
后面如果看到了公式，別怕，它們都是紙老虎。什么叫現(xiàn)象學(xué) phenomenological??？就是做了個(gè)實(shí)驗(yàn)，測出來一條曲線，然后根據(jù)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象擬合出來一個(gè)公式和一堆系數(shù)唄。嗯，這很工程。
柔性損傷
這里我用了Abaqus中文界面上的翻譯。雖然這個(gè)翻譯的不太好吧。原文是 Ductile Damage，韌性損傷起始準(zhǔn)則?；蛘哐赜梦疑衔牡姆g，延性損傷準(zhǔn)則，都行。
延性準(zhǔn)則是一個(gè)唯象模型，來預(yù)測材料內(nèi)部孔洞成核、生長和聚集引起的損傷起始。這個(gè)模型假設(shè)，損傷開始時(shí)的等效塑性應(yīng)變，是應(yīng)力三軸度和應(yīng)變率的函數(shù)：
這個(gè)應(yīng)變頭頂帶一橫表示等效；上標(biāo)pl表示塑性，下標(biāo)D表示損傷。這都很簡單。括號(hào)表示等效應(yīng)變是里面?zhèn)z參數(shù)的函數(shù)。里面一個(gè)是應(yīng)力三軸度，另一個(gè)是應(yīng)變率。
應(yīng)力三軸度，就是靜水應(yīng)力除以Mises等效應(yīng)力。
分子是靜水應(yīng)力，分母是von-Mises應(yīng)力。這個(gè)很好理解。靜水應(yīng)力是應(yīng)力張量的第一主不變量，是三個(gè)主應(yīng)力之和。而von-Mises等效應(yīng)力則定義為：
我們知道，如果材料處于各向同性的受壓狀態(tài)（或受拉狀態(tài)），那它的von-Mises應(yīng)力為零，是不會(huì)發(fā)生屈服的。所以應(yīng)力三軸度，數(shù)值越大，就代表當(dāng)前點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)越接近各向同性靜水壓狀態(tài)；應(yīng)力三軸度的數(shù)值越小，表示當(dāng)前應(yīng)力越偏離靜水壓力狀態(tài)，因此就越危險(xiǎn)。
應(yīng)變率，具體來說是等效塑性應(yīng)變率。（如果還想深入了解這部分，不如試著讀一讀我去年翻譯的一部分Abaqus理論文檔？）
延性金屬損傷準(zhǔn)則假設(shè)，當(dāng)滿足下面條件時(shí)，損傷開始發(fā)生：
又是一個(gè)張牙舞爪的公式。別怕，你看公式里有倆等號(hào)呢。所以左邊這個(gè) \omega_D 的符號(hào)其實(shí)就是描述損傷是否發(fā)生的狀態(tài)變量。它隨塑性變形增加而單調(diào)遞增。當(dāng)它等于1的時(shí)候，即表示損傷開始發(fā)生。
這個(gè)積分，其實(shí)分子和分母都是同一個(gè)東西，就是等效塑性應(yīng)變嘛。在Abaqus計(jì)算的每一個(gè)增量步中，損傷狀態(tài)變量的增量為：
我覺得，寫成這樣 基本上就已經(jīng)很接近軟件內(nèi)部實(shí)際的代碼實(shí)現(xiàn)了。
更詳細(xì)的講一下就是，這個(gè)積分的分子，是仿真軟件求解出的塑性應(yīng)變?cè)隽?/strong>；而分母則是由用戶定義的一個(gè)準(zhǔn)則。當(dāng)結(jié)構(gòu)的變形歷史使得塑性應(yīng)變積累到一定程度，以至于塑性應(yīng)變累加到一起，超過了分母這個(gè)準(zhǔn)則，損傷就會(huì)發(fā)生。
而因?yàn)樵谧冃螝v史中，可能不同時(shí)刻的應(yīng)變率不一樣，不同時(shí)刻的應(yīng)力狀態(tài)不同從而應(yīng)力三軸度也有不同，所以每個(gè)增量中，分母的數(shù)值可能也是不同的。這樣就需要做出積分來描述損傷累積的程度。
再回頭來看看軟件界面里的輸入框：
Abaqus軟件界面，延性金屬損傷需要輸入的參數(shù)
看懂了沒？上面寫的那個(gè)等效塑性應(yīng)變，說它是應(yīng)力三軸度和應(yīng)變率的函數(shù)，實(shí)際上Abaqus也不知道這函數(shù)長啥樣。這個(gè)函數(shù)其實(shí)是由用戶來定義的。
還是開頭提到的那篇論文，Abaqus其實(shí)就是把論文里的公式實(shí)現(xiàn)而已。
熟悉嗎？這個(gè)公式(7)，就是判斷是否發(fā)生損傷的準(zhǔn)則。
在同一篇論文的下方，作者服務(wù)到位，給出公式，也給出了對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：
作者還區(qū)分了準(zhǔn)靜態(tài)加載和動(dòng)態(tài)加載兩種情況。
從畫出的圖中可以看到，應(yīng)力三軸度數(shù)值越小，這個(gè)作為準(zhǔn)則的等效塑性應(yīng)變就越大。前面提到，應(yīng)力三軸度越大，意味著應(yīng)力狀態(tài)越接近三向靜水應(yīng)力狀態(tài)。所以，這個(gè)曲線的含義是，當(dāng)一個(gè)偏應(yīng)力狀態(tài)，疊加上一個(gè)較大的靜水應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，材料內(nèi)部的微小孔洞更容易發(fā)生擴(kuò)展，從而作為準(zhǔn)則的等效塑性應(yīng)變就更小。這在物理上也是合理的。
關(guān)于這部分工作，后面還有一些研究者提出了補(bǔ)充。對(duì)鋁合金的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，除了上面提到的應(yīng)力三軸度 eta 和應(yīng)變率以外，延性金屬的斷裂還依賴于偏應(yīng)力的第三主不變量。而這與Lode角（注意這個(gè)單詞是Lode，和加載load不同，應(yīng)該是個(gè)人名）有關(guān)。Lode角，又稱偏極角，deviatoric polar angle.
那，既然等效塑性應(yīng)變還和第三個(gè)因素有關(guān)，就像前面的操作一樣，把等效塑性應(yīng)變定義成這三個(gè)量的函數(shù)唄。
文檔在這，自己讀吧。反正……這功能甚至都沒做GUI
是的，這功能引用的參考文獻(xiàn)對(duì)于Abaqus軟件來說可太新了，最新的文獻(xiàn)到達(dá)了2015年。所以——在Abaqus/CAE界面里無法訪問這個(gè)功能，也合情合理對(duì)吧？
Defining dependency of ductile criterion on Lode angle is not supported in Abaqus/CAE.
所以——講了這么半天，這功能究竟要怎么用？
我猜，寫出這篇論文的BMW集團(tuán)，肯定是知道怎么用的。軟件把功能開放給你，因?yàn)檫@功能不值錢，公式都在論文里寫著了。但輸入框里具體要填哪些數(shù)，這就需要在不同的應(yīng)變率下做相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，才能擬合出一條等效塑性應(yīng)變與應(yīng)力三軸度和應(yīng)變率的關(guān)系曲線。
漸進(jìn)損傷退化過程中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線
Abaqus中的損傷演化準(zhǔn)則。
定義了損傷的起始點(diǎn)、終點(diǎn)后，再定義損傷下降的過程，就完整的定義了全部損傷相關(guān)變量。
損傷演化
滿足任意一種損傷準(zhǔn)則以后，材料就開始發(fā)生損傷。從這時(shí)開始，損傷演化規(guī)律登場。在Abaqus中，使用了一個(gè)標(biāo)量 損傷變量，d_i，來描述剛度退化的程度。因?yàn)榭梢酝瑫r(shí)定義好幾個(gè)損傷失效機(jī)理，所以這個(gè)損傷變量也可以同時(shí)有好幾個(gè)。每一個(gè)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)損傷準(zhǔn)則。
分析過程中，任意時(shí)刻，材料的應(yīng)力張量都是根據(jù)下面的損傷方程計(jì)算：
右邊這個(gè)頭頂上帶一橫的應(yīng)力，sigma\bar，代表沒有損傷時(shí)，應(yīng)力應(yīng)該是多少。Abaqus稱它為有效應(yīng)力張量，或未損傷的應(yīng)力張量。很顯然，括號(hào)里的 D 就是總損傷變量。當(dāng)D=1時(shí)，該點(diǎn)處的應(yīng)力降低到零，說明材料已經(jīng)完全被破壞掉了。在默認(rèn)情況下，這種時(shí)候就要把這個(gè)單元?jiǎng)h除掉。
總損傷變量 D，將統(tǒng)籌計(jì)算用戶定義的每一種損傷演化機(jī)理造成的影響。
這兒有一個(gè)畫的稍微復(fù)雜一丟丟的圖，來展示損傷演化過程中的應(yīng)力-應(yīng)變情況：
漸進(jìn)損傷退化過程中的應(yīng)力-應(yīng)變曲線
在D=0那一點(diǎn)處，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力和等效塑性應(yīng)變，即為損傷開始時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變。接下來，應(yīng)變繼續(xù)增大，但應(yīng)力卻因?yàn)閾p傷的發(fā)生而開始減小。如果損傷發(fā)生一半進(jìn)行卸載，則卸載時(shí)的彈性模量也會(huì)隨損傷而變小。
這里有個(gè)小問題。當(dāng)D=1，完全失效的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的等效塑性應(yīng)變值，
所以，在損傷演化規(guī)律中，不再以完全失效時(shí)的等效塑性應(yīng)變來作為材料參數(shù)。取而代之的是等效塑性位移，或者以斷裂能耗散值
網(wǎng)格相關(guān)性與特征長度
當(dāng)網(wǎng)格細(xì)化時(shí)，斷裂耗散的能量會(huì)隨之降低。這樣不好。解決方法是，在初始發(fā)生損傷以后，改用應(yīng)力-位移關(guān)系曲線。使用Hillerborg在1976年提出來的斷裂能量假設(shè)，來降低網(wǎng)格相關(guān)性。
Hillerborg提出，張開單位面積的裂紋所需要的能量 G_f 是一個(gè)材料參數(shù)。
我們定義一個(gè)與單元積分點(diǎn)相關(guān)的單元特征長度 L。斷裂能的表達(dá)式為：
（哇 看Abaqus文檔里的公式用MathJax渲染出來多漂亮）
實(shí)在看不懂也沒關(guān)系。能看出來這個(gè)等式最左邊的斷裂能 G_f 和等式最右邊的 等效塑性位移，是一碼事，可以相互轉(zhuǎn)換，就行了。所以指定損傷演化的極限時(shí)，指定這二者任何一個(gè)，都是等價(jià)的。
至于公式里出現(xiàn)的一個(gè)特征長度，L，這東西則取決于單元的幾何形狀及單元類型?？傊狝baqus建議你在考慮塑性斷裂和單元?jiǎng)h除的時(shí)候，盡量使用長寬比接近的單元。因?yàn)殚L寬比太大的單元在不同的開裂方向上可能會(huì)（因?yàn)椴煌奶卣鏖L度）而產(chǎn)生不同的行為。
定義損傷演化方式
根據(jù)前面的討論，我們說采用等效塑性應(yīng)變會(huì)發(fā)生嚴(yán)重的網(wǎng)格相關(guān)性，所以增加了一個(gè)特征長度。那么，我們定義的材料參數(shù)變成了損傷時(shí)的等效塑性位移，計(jì)算方法為：
這東西腦袋頂上掛個(gè)點(diǎn)，代表對(duì)時(shí)間求導(dǎo)?？梢院唵卫斫鉃橐粋€(gè)時(shí)間步里的增量。
如果你就想讓材料在剛滿足損傷準(zhǔn)則的時(shí)候馬上失效，你當(dāng)然可以把失效時(shí)的等效塑性位移指定成0. 但……最好別這么做，因?yàn)檫@樣會(huì)發(fā)生很嚴(yán)重的收斂性問題，把靜態(tài)問題變成動(dòng)態(tài)問題。畢竟隱式靜力分析里不包含慣性項(xiàng)。
那么，接下來的問題就很簡單了。我們知道了什么時(shí)候損傷開始（損傷起始準(zhǔn)則）；又定義了什么時(shí)候損傷徹底完成（位移準(zhǔn)則或斷裂能）。還剩下的問題就是，從無損傷到完全損傷這段過程怎么走。
更具體來說，就是等效塑性位移 u^pl，和我們前面提到的損傷變量 d 之間的關(guān)系。
這里提供了三種方式：1）表格；2）線性；3）指數(shù)。
很好理解，就不再展開細(xì)說了。如果你選指數(shù)，Abaqus會(huì)讓你多輸入一個(gè)參數(shù)；選表格，會(huì)讓你自定義 u 和 d 之間的關(guān)系表格。
這些具體公式，幫助文檔里都有?？粗?fù)雜，但實(shí)際上對(duì)于物理意義來說，它們都不重要。反正真想算準(zhǔn)，這些參數(shù)都要通過實(shí)驗(yàn)來反算求出。
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