托勒密定理的推廣在最值問題中的使用
事情是這樣的，前些天，小澤老師在家長群里發現這樣一個題目：
如圖：△ACD中AD= √10，CD=√2,∠ACB=90°
，AC=2BC，求BD的最大值。
當然，這樣一個題目是及其普通，也不算特別難的題目，只是在群中看到了一些解法使我稍稍有點想法，為這樣的題目找一個“秒殺”解法。
解法一：
取AC的中點M,再以點C作為旋轉點將CD順時針旋轉90°，從而構造△BCM和△CDD'共頂點旋轉，可得：△BCD≌△MCD'，則BD=D'M
再取CD的中點Q，連接MQ、D'Q，則有
QM+D'Q≥D'M，解得最大值為√10
解法二：
過點C將CD順時針旋轉90°，同時在放大為CD的兩倍長，這樣構造出相似的兩個三角形ACB和DCD'共直角頂點旋轉，即：△BCD∽△ACD'
此時0.5AD'=BD,且有AD+DD'≥AD'
綜合兩種解法可知，解法二比較直接，但是基礎比較薄弱的學生就會說：輔助線可能想不到額，這該怎么辦？那么我們就說一下下面的問題，不用輔助線秒殺此題：
托勒密定理
幾何教科書中的“托勒密定理”，出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。
托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質，從這個定理我們還可以可以推出正弦、余弦的和差公式等一系列的三角恒等式，當然本文就不過分的展開了，只對其公式做出證明，對其定理進行有限的推廣。
證明：圓內接凸四邊形ABCD中，滿足公式:
AC ×BD =AD×BC+AB×CD
法一：證明：作∠BAF=∠CAD,則△ABF ∽△ACD 可得 BF×AC=AB×CD.又△ABC∽△AFD得：DF×AC=BC×AD.兩式相加，得證。
法二：令∠MAB=∠DAC,使AM交CB的延長線于點M,可證△ABM∽△ADC，則有AB×CD=AD×BM(1)
也可證△ACM∽△ADB,則有AC×BD=AD×CM(2),
由（2）-（1）得：AB×CD+BC×AD=AC×BD
托勒密定理在解決圓的內接凸四邊形的邊長關系時非常簡潔、方便，但僅限于該凸四邊形共圓。如果凸四邊形不共圓時，各邊長將滿足怎樣的關系呢？
定理的一般性使用（定理推廣）
提問：在任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD與AB·CD+AD·BC有何關系，仍然滿足等量關系嗎？
如圖，在四邊形ABCD中,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD
由輔助線可知：△ABE∽△ACD，則BE×AC=AB×CD(1),
∵∠BAE=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC
即∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△AED，則ED×AC=AD×BC(2)
由（1）+（2）得：AC.(BE+ED)=AB.CD+AD.BC
∵BE+ED≥BD ∴AC×BD≤AB×CD+AD×BC
當且僅當點E落在線段BD上時，等號成立
此時∠ABD=∠ACD ∴ABCD四點共圓
總結
由上可知：
托勒密定理：圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積
定理推論：任意凸四邊形ABCD，AC·BD≤AB·CD+AD·BC
而且當ABCD四點共圓時取等號。
此時我們再看例題：
解法二的輔助線做法其實就是定理的證明思路。那么既然我們對定理有了充分的認識，也就可以直接套用結論了,即：
BD×CA≤CD×AB+BC×AD
則BD≤（CD×AB+BC×AD）÷CA,
我們設BC=x,CA=2x,而CD=√2,AD=√10
即BD≤（√2×√5x+√10x）÷2,BD≤√10
鞏固練習
練習1：在四邊形ABCD中,BC=CD，∠BCD=120°，若AB=4,AD=5,則對角線AC的最大值為：
練習2：已知△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，D為△ABC外一點，且CD=2AD=2，則△BCD面積的最大值為：
END
