三角形是一種基本的幾何圖形．本章在線段與角、相交線與平行線的基礎上介紹三角形的概念與性質，進而研究多邊形的概念與性質．在本章，學生進一步學習通過推理得出數學結論的方法，提高推理能力．本章的有關內容有廣泛的實際應用，也是學習各種特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）與平行四邊形等圖形知識的基礎．本章教學時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：
11.1 與三角形有關的線段 2課時
11.2 與三角形有關的角 3課時
11.3 多邊形及其內角和 2課時
數學活動
小結 1課時
一、教科書內容和本章學習目標
1.本章知識結構
本章知識結構框圖如下：
2.教科書內容
本章首先介紹三角形的有關概念和性質，分為兩節．
11.1節研究與三角形有關的線段．首先結合引言中的實際例子給出三角形的概念，進而研究三角形的分類．對于三角形的邊，證明了三角形兩邊的和大于第三邊．接下來，給出了三角形的高、中線與角平分線的概念．結合三角形的中線介紹了三角形的重心的概念．最后結合實際例子介紹三角形的穩定性．
11.2節研究與三角形有關的角．對于三角形的內角，證明了三角形內角和定理．然后由這個定理推出直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余．最后給出三角形的外角的概念，并由三角形內角和定理推出：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
以三角形的有關概念和性質為基礎，本章11.3節接著介紹多邊形的有關概念與多邊形的內角和、外角和公式．三角形是多邊形的一種，因而可以借助三角形介紹多邊形的有關概念，如多邊形的邊、內角、外角、內角和都可由三角形的有關概念推廣而來．三角形是最簡單的多邊形，因而常常將多邊形分為幾個三角形，利用三角形的性質研究多邊形．多邊形的內角和公式就是利用上述方法得到的．將多邊形的有關內容與三角形的有關內容緊接安排，可以加強它們之間的聯系，便于學生學習．
3.本章學習目標
1.理解三角形及與三角形有關的線段（邊、高、中線、角平分線）的概念，證明三角形兩邊的和大于第三邊，了解三角形的重心的概念，了解三角形的穩定性．
2.理解三角形的內角、外角的概念，探索并證明三角形內角和定理，探索并掌握直角三角形的兩個銳角互余，掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
3.了解多邊形的有關概念（邊、內角、外角、對角線、正多邊形），探索并掌握多邊形的內角和與外角和公式．
二、編寫時考慮的幾個問題
1.加強與實際的聯系
三角形是基本的幾何圖形之一，在生產和生活中有廣泛的應用．教科書通過舉出三角形的實際例子讓學生認識和感受三角形，形成三角形的概念．多邊形概念的引入，也是類似處理的．
三角形有很多重要的性質，如穩定性，三角形的內角和等于180°．教科書在介紹三角形的穩定性的同時，順帶介紹了四邊形的不穩定性．這些內容是通過如下的實際問題引入的：“蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條．為什么要這樣做呢？”．然后讓學生通過實驗得出三角形有穩定性，四邊形沒有穩定性的結論，進而明白在上述實際問題中“斜釘一根木條”的道理．除此之外，教科書還舉出了一些應用三角形的穩定性，四邊形的不穩定性的實際例子．對于三角形的內角和等于180°，教科書則安排求視角的實際問題作為例題，加強與實際的聯系．
在本章的數學活動中，教科書從用地磚鋪地引入鑲嵌，進而讓學生探究一些多邊形能否鑲嵌成平面圖案，并運用通過探究得出的結論進行簡單的鑲嵌設計．在編寫時關注上述從實踐到理論，再從理論到實踐的全過程，使學生對理論來源于實踐又運用于實踐的認識進一步加深．
2.加強與已學內容的聯系
學生在前兩個學段已學過三角形的一些知識，對三角形的許多重要性質有所了解，在
第三學段又學過線段、角以及相交線、平行線等知識，初步了解了一些簡單幾何體和平面圖形及其基本特征，會進行簡單的推理．上述內容是學習本章的基礎：三角形的高、中線、角平分線分別與已學過的垂線、線段的中點、角的平分線有關；用拼圖的方法認識三角形的內角和等于180°可以啟發學生得出證明這個結論的方法，而證明的過程中要用到平行線的性質與平角的定義．在編寫時關注本章內容與已學內容的聯系，幫助學生掌握本章所學內容．另一方面，又注意讓學生通過本章內容的學習，復習鞏固已學的內容．
3.加強推理能力的培養
學生在七年級已經通過推理證明了一些圖形的性質，如同角（等角）的補角相等，對頂角相等、兩直線平行，內錯角相等．本章中的許多結論也要通過推理來證明．在本章中加強推理能力的培養，可以提高學生已有的思維水平．也為學習全等三角形、等腰三角形、平行四邊形等內容打下基礎．
在“相交線與平行線”一章已經給出了證明的概念，在本章中進一步借助三角形的內角和等于180°”這個結論的探索與證明讓學生體會證明的必要性．教科書首先回顧學生在小學是通過度量與剪拼的方法知道這個結論的．然后指出：測量常常有誤差，并且只能對有限個三角形運用上述方法，而形狀不同的三角形有無數個，不能通過上述方法得出這個結論，所以需要通過推理的方法去證明．這樣通過以上分析讓學生明白為什么要證明，提高對推理證明的認識．
三角形內角和定理是本章的重點內容．在本章中，由平行線的性質與平角的定義證明了這個定理．由這個定理還證明了“直角三角形的兩個銳角互余”“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和” 以及多邊形內角和公式．此外，還由“兩點之間，線段最短”證明了“三角形兩邊的和大于第三邊”，由多邊形內角和公式證明了多邊形外角和公式．安排這些內容有助于提高學生的推理能力．
學生在本章仍處于進一步熟悉證明的階段，學習通過推理的方法證明本章中的有關結論有一定難度．因此，教科書注意分析證明結論的思路，通過多提問題，留給學生足夠的思考時間，讓學生經歷發現和提出問題、分析和解決問題的過程．例如，對于三角形內角和定理，設計實驗操作的探究欄目，并對操作過程進行分析，從而獲得證明的思路．注重證明思路的分析有助于學生學好推理證明．
三、對教學的幾個建議
1.把握好教學要求
與三角形有關的一些概念在本章中只要求達到理解的程度就可以了，進一步的要求可通過后續學習達到．如對于三角形的角平分線，在本章中只要知道它的定義，能夠從定義得出角相等就可以了．學生在畫角平分線時發現三條角平分線交于一點，可直接肯定這個結論，在下一章“全等三角形”中再證明這個結論．同樣，三角形的三條中線交于一點的結論也可直接點明．
在本章中，三角形的穩定性是通過實驗得出的，待以后學過“三邊分別相等的兩個三角形全等”，可進一步明白其中的道理．證明三角形的內角和等于180°有一定的難度，只要學生了解得出結論的過程，不要在輔助線上花太多的精力，以免影響對內容本身的理解與掌握，對推理的要求應循序漸進．
2.開展好數學活動
鑲嵌作為數學活動的內容安排在本章的最后，學習這個內容要用到多邊形的內角和公式．通過這個數學活動，學生可以經歷從實際問題抽象出數學問題，建立數學模型，綜合應用已有知識解決問題的過程，從而加深對相關知識的理解，提高思維能力．
這個數學活動可以如下展開：
（1）背景 了解多邊形覆蓋平面問題來自實際．
（2）
（3）實驗 發現有些多邊形能覆蓋平面，有些則不能．
（4）
（3）分析 討論多邊形能覆蓋平面的基本條件，發現問題與多邊形的內角大小有密切關系，運用多邊形內角和公式對實驗結果進行分析．
（4）運用 進行簡單的鑲嵌設計．
首先引入用地磚鋪地，用瓷磚貼墻等問題情境，并把這些實際問題轉化為數學問題：用
一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋．然后讓學生通過實驗探究一些多邊形能否鑲嵌成平面圖案，并記下實驗結果：
（1）用正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌成一個平面圖案（圖1）．用正五邊形不能鑲嵌成一個平面圖案．
（2）用正三角形與正方形可以鑲嵌成一個平面圖案．用正三角形與正六邊形也可以鑲嵌成一個平面圖案．
（3）用任意三角形可以鑲嵌成一個平面圖案, 用任意四邊形可以鑲嵌成一個平面圖案(圖2)．
觀察上述實驗結果，得出如下結論：如果拼接在同一個點（例如圖2中的點O）的各個角的和恰好等于360°（周角），相鄰的多邊形有公共邊（例如圖2中的OA兩側的多邊形有公共邊OA），那么多邊形能鑲嵌成一個平面圖案．
運用上述結論解釋實驗結果，例如，三角形的內角和等于180°，在圖2中，∠1+∠2+∠3=180°．因此,把6個全等的三角形適當地拼接在同一個點（如圖2）, 一定能使以這點為頂點的6個角的和恰好等于360°,并且使邊長相等的兩條邊貼在一起．于是, 用三角形能鑲嵌成一個平面圖案．又如，由多邊形內角和公式，可以得到五邊形的內角和等于
(5－2)×180°=540°．
因此,正五邊形的每個內角等于
540°÷5=108°,
360°不是108°的整數倍,也就是說用一些108°的角拼不成360°的角．因此，用正五邊形不能鑲嵌成一個平面圖案．
最后，讓學生進行簡單的鑲嵌設計，使所學內容得到鞏固與運用．
