抽象和推理是數(shù)學的顯著特征，與這兩個特征關(guān)聯(lián)的思想也就成為數(shù)學的核心思想。雖然抽象與推理密不可分，但是，而這對于數(shù)學發(fā)展的功能和作用各有側(cè)重：通過“抽象”把外部世界引入數(shù)學，通過“推理”促進了數(shù)學本身的發(fā)展。數(shù)學推理模式本質(zhì)上有兩種，即演繹推理與歸納推理。本章將討論推理的含義、推理的基礎(chǔ)、演繹推理與歸納推理以及數(shù)學推理的教學等問題。
一、如何理解推理的含義？
（一）思維模式下對推理的理解
一般在傳統(tǒng)思維模式意義下，哲學對推理的理解為：推理是從一個或幾個判斷推出一個新的判斷的思維形式。任何推理都有兩個組成部分：一個是推理所依據(jù)的判斷叫做前提；另一個是推出的新判斷叫做結(jié)論。正確的推理要求前提真實，運用符號形式邏輯規(guī)律的推理形式，以期得到真實的結(jié)論。常見的推理有歸納推理，演繹推理和類比推理。
( 二 ) 推理模式下對推理的理解
對于數(shù)學而言，本質(zhì)上有兩種推理模式，一種是演繹推理，一種是歸納推理。這里所說的是推理模式而不是思維模式，與上述哲學在思維模式意義下推理的一般理解是不同的。
事實上，這兩種推理模式不僅僅在數(shù)學、在自然科學，甚至在社會科學以及人們的日常生活中都是最基本的。正如愛因斯坦曾經(jīng)說過的： “西方科學的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎(chǔ)，那就是：希臘哲學家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何中），以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復興時期）。在我看來，中國的賢哲沒有走上這兩步，那是用不著驚奇的。令人驚奇的倒是這些發(fā)現(xiàn)（在中國）全都做出來了。”
所謂基本推理是指由一個命題或者幾個命題出發(fā)，得到另一個命題的思維路徑，其中所謂的命題是指一種可以肯定或者否定的語句。這樣我們可以把基本推理理解為：由一個或者幾個 “是非判斷 ”到另一個 “是非判斷 ”的思維路徑。 這樣，基本推理就是數(shù)學證明過程中的基本元素。
二、如何理解推理的基礎(chǔ)？
一個數(shù)學論證過程是由一系列基本推理構(gòu)成的，因此，討論基本推理是分析數(shù)學論證過程的基礎(chǔ)。基本推理中所涉及的基本概念包括語言、命題和定義，其中，語言是推理的工具，命題是推理的對象，定義是命題的基礎(chǔ)。
（一）推理的工具：語言
語言是傳遞信息的工具，這就要涉及信息的發(fā)布者和信息的接受者，發(fā)布者往往都是個體的、而接受者往往都是群體的。發(fā)布信息需要思維，接受信息也需要思維，如果信息發(fā)布的不確切，那么，根據(jù)接受者思維的不同，信息傳遞的結(jié)果也可能不同。我們知道，在這個世界上有許多事情，往往會因為對于語言理解的不同（可能涉及到性格、修養(yǎng)、以及語言背后的文化）使人很難相互理解，包括人與人之間的、群體與群體之間的、甚至包括國家與國家之間的。但是，數(shù)學是一門科學，是不能因人而異的，無論是定義、命題的闡述，還是公理、論證的述說，都是不應當讓接受者產(chǎn)生歧義的，在一般情況下，一個數(shù)學結(jié)論、一個推理模式確立之后，就可以超出語言的限制，就像歐幾里德的幾何所討論的那樣，已經(jīng)遠遠超出了希臘語的限制，并且沒有因為語言的原因使人們產(chǎn)生理解上的不同。因此，這就要求在數(shù)學的闡述中，語句的表達必須非常簡潔、準確，甚至可以符號化。
所謂語句是指：表達一個完整思想的語言單位。如果不涉及論證過程，數(shù)學上的語句通常以命題的形式出現(xiàn)。
（二）推理的對象：命題
所謂命題是指：或者可以通過分析，或者可以通過經(jīng)驗證實的語句，也就是說，命題是一種可以進行是非判斷的語句。
數(shù)學命題的核心是敘述研究對象之間的關(guān)系，即把關(guān)系概念應用于對象概念。當我們用一些符號來表示集合、元素以及它們之間的關(guān)系之后，我們就可以討論命題了。在一般意義上，命題是一種能夠進行肯定或者否定判斷的語句。數(shù)學推理過程中的命題必須簡捷準確，不能引發(fā)歧義。
因為對于每個命題都存在兩種可能的判斷，即“肯定”判斷或者“否定”判斷，因此我們要知道什么是判斷？所謂判斷是指通過經(jīng)驗直覺或者推理分析得到肯定或者否定結(jié)論的思維形態(tài)。每一個數(shù)學命題都是一個系詞結(jié)構(gòu)，被“是”或者“不是”這樣的系詞分為兩個部分，前半部分為“所指項”，后半部分為“命題項”，相當于漢語語法中的主詞和謂詞。為了數(shù)學推理的確定性，我們規(guī)定：數(shù)學命題中的所指項必須定義明確。當我們用符號表示了之后，即指“所指項”必須是定義非常明確的一個元素或者一個集合，因此，定義是非常重要的，它是命題的基礎(chǔ)。
（三）命題的基礎(chǔ)：定義
準確的定義對于命題的判斷是非常重要的，在這個意義上，定義是命題的基礎(chǔ)。也就是說，如果要判斷某個命題“ A→P”時，首先應當清楚所指項 A的所指是什么。因此，在進行命題的判斷前，必須明確命題中所指項的定義。那么，什么是定義呢？
數(shù)學定義大概分為兩種：一種是名義定義，一種是實質(zhì)定義。所謂名義定義是對某些事物標明符號，或者是對某類事物指明稱謂。前者例如希爾伯特關(guān)于點和直線的定義就曾表述為：用大寫字母 A表示點，用小寫字母 a表示直線。這樣的定義不涉及所要研究對象的具體含義，甚至可以不考慮定義中 “所指 ”的存在性。
所謂實質(zhì)定義是指揭示所研究問題對象內(nèi)涵的邏輯方法，通過對許多所要研究問題的對象進行具體分析，歸納出共性、抽象出定義。
進一步我們可以給出定義與命題之間的關(guān)系：定義的功能是為了明確討論問題的對象，命題的功能是為了表述所討論問題的實質(zhì)，論證的功能是分析條件和結(jié)果之間的關(guān)系。
另外， 數(shù)學推理過程中需要把握三個基本原則，即同一律、矛盾律和排中律。
一、如何理解演繹推理的一般含義？
哲學上，演繹推理是從一般原理推導出個別結(jié)論的思維方法，即從一般性較大的前提，推導出一般性較小結(jié)論的推理方法。其特點是在推理合乎邏輯的條件下，真實的前提一定能推出真實的結(jié)論。因此，演繹推理是由一般到特殊的思維方法，是一種必然性推理。
我們初步定義數(shù)學中的演繹推理為：按照某些規(guī)定了的法則所進行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理 。又因為數(shù)學的結(jié)論大體上可以分為命題結(jié)論和運算結(jié)論，那么針對數(shù)學的演繹推理而言，大體就可以分成兩個部分：命題推理和運算推理。
演繹推理對思維的邏輯表述，有一種明確的前提和嚴謹程序的要求，因此它是數(shù)學求解和論證的重要方法。演繹推理是邏輯證明的工具，運用演繹推理，只要依據(jù)是已知的事實或真命題，推得的結(jié)果就必定是確定的。
一般認為，演繹推理在數(shù)學中有多種形式(如聯(lián)合推理、選言推理、假言推理等)，但數(shù)學中最常用的是直言三段論式的演繹推理。數(shù)學中常稱之為“三段論”式的演繹推理。
二、如何理解直言三段論——具有傳遞關(guān)系的推理？
三段論是古希臘學者特別是亞里士多德總結(jié)出來的一種推理模式，這個推理模式后來被中世紀的經(jīng)院主義奉為是至高無上的學說。在今天的形式邏輯學中，三段論也仍然保持著相當重要的地位，可以稱其為思維推理的典范，相當于歐幾里得幾何學在科學中的地位。
三段論是一個包括大前提、小前提和結(jié)論三個部分的論證形式，這是一個基本推理的模式。 其基本模式為：
大前提：一切 M 都是(或不是 )P ，
小前提： S是M，
結(jié) 論： S 是(或不是) P 。
三段論有不同的種類，亞里士多德稱之為格，最初亞里士多德定義了三種格，后來經(jīng)院學者又增加了第四格。但現(xiàn)在已經(jīng)證明后三種格可以歸結(jié)為第一格 。下面我們比較仔細地分析第一格，我相信，通過這個分析可以理性地把握數(shù)學證明的形式、特別是把握基本推理的邏輯判斷模式。三段論的第一格分為四種型，分別闡述如下：
全稱肯定型 專業(yè)術(shù)語為 AAA型 。亞里士多德給出的例子是：凡人都有死。蘇格拉底是人。所以蘇格拉底有死。
上述三句話分別就是大前提、小前提、結(jié)論。如果用 A表示人的集合，用 x表示蘇格拉底，用 P表示死這樣的事情，則上面的推理形式可以為
其中／代表“所以”的意思，即／的前面是條件，／的后面是結(jié)論。
數(shù)學的推理與證明過程，就是一連串的三段論式推理的有序組合。在實際運用中，由于對某些命題(或判斷)的已知性，可以省略其大前提或小前提。例如前面的例子中，因為都已知直角皆相等，所以就可省略大前提。 但是在數(shù)學的證明過程中卻一定要慎重使用這種推理形式，在數(shù)學的證明過程中一定要對大前提和小前提進行明確說明，否則可能會出現(xiàn)錯誤。
全稱否定型 專業(yè)術(shù)語為 EAE型 。亞里士多德給出的例子是：沒有一條魚是有理性的。所有的鯊魚都是魚。所以沒有一條鯊魚是有理性的。
這的推斷在本質(zhì)上是與全稱肯定型是一致的，只不過是用了否定的形式。如果用 A表示所有的魚，用 P表示理性，則 A～ P述說了大前提；進一步用 x表示鯊魚，那么，這個三段論形式為
此處的三段是全稱否定、全稱肯定、全稱否定，這個型的拉丁文稱謂是 Celarent，其中三個元音為 E,A,E。
特稱肯定型 專業(yè)術(shù)語為 AII型 。亞里士多德給出的例子是：凡人都有理性。有些動物是人。所以有些動物是有理性的。
特稱否定型 專業(yè)術(shù)語為 EIO型 。亞里士多德給出的例子是：沒有一個希臘人是黑色的。有些人是希臘人。所以有些人不是黑色的。
因此，三段論的這兩個特稱型的核心是為了換一個稱謂，就數(shù)學而言，如果是為了得到肯定的結(jié)論，那么這種論證是沒有用處的，因為對于數(shù)學，一個結(jié)論在 “有些 ”情況下成立是沒有意義的。比如，對于哥德巴赫猜想，容易驗證小于 100的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)和的形式，于是由特稱肯定型可以得到推論： “所有 100以下的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和。有些偶數(shù)是 100以下的。所以有些偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和。 ”顯然，對于數(shù)學來說，這樣的結(jié)論是一點意義都沒有的。
但是，為了得到數(shù)學的否定結(jié)果，特稱否定型的論證形式卻是強有力的，因為對于科學而言，為了駁倒一個論斷只需要舉出一個反例就可以了。比如三等分角的問題，雖然我們只討論了 60度角這一種情況，但我們可以從這種情況出發(fā)進行下面的推論： “60度角是不能三等分的。有些角是 60度角。所以有些角是不能三等分的。 ”進而得到結(jié)論：三等分角是不可能的。雖然在上述三段論的大前提中，我們用一個元素代替了集合，但這種形式在數(shù)學中是更加有效的。
這樣就可以得到結(jié)論：對于數(shù)學的推理而言，全稱肯定、全稱否定、特稱否定這三種形式的直言三段論是有效的，也是經(jīng)常被使用的。
通過上面的討論，我們就可以利用集合的語言對直言三段論表述如下：直言三段論表述的是集合之間的包含關(guān)系，這種關(guān)系具有傳遞性。其中關(guān)于“包含關(guān)系具有傳遞性”這個命題，應當是人們在長期的日常生活和生產(chǎn)實踐中總結(jié)出來的公理，人們從遠古的時候就會知道：一個人屬于家庭，家庭屬于族群，那么，這個人屬于族群。這個命題的正確性是不需要證明的，并且，“具有傳遞性”這個命題應當作為人們可能進行邏輯推理的基礎(chǔ)。
對于直言三段論、至少對于數(shù)學論證中的直言三段論而言，下面的命題是正確的：凡是可以構(gòu)成直言三段論的論述，對應的集合之間存在傳遞關(guān)系。如果這個命題是正確的，我們在數(shù)學的教學過程中就比較容易把握數(shù)學論證的本質(zhì)了。直言三段論的本質(zhì)是命題的可傳遞性，或者說，命題所對應的集合之間可以形成包含關(guān)系。雖然直言三段論推理的形式是可以多種多樣的，但其本質(zhì)可傳遞性是不能變的，反之，只要把握了傳遞性就把握了直言三段論推理。
一、如何理解歸納推理？
歸納推理是由已知為真的命題做前提，引出可能真實命題做結(jié)論的推理。它是一種由特殊到一般的思維方式，即通過對某類事物中的若干特殊情形的分析，推出一般結(jié)論的推理方法。雖然這種推理不是證明，但這種推理依然是具有邏輯性的，我們稱這種推理模式為歸納推理。可以描述歸納推理的定義：按照某些法則所進行的、前提與結(jié)論之間有或然聯(lián)系的推理。
歸納推理的前提與結(jié)論之間具有必要條件關(guān)系。首先，歸納推理的前提必須是真實的、可靠的，否則，歸納也就失去了意義。前提的真實性對于歸納推理來說是必要的。人們根據(jù)考察對象涉及的是某類事物的一部分還是全體，又把具有遞推關(guān)系的歸納推理分為不完全歸納推理和完全歸納推理。
（一）不完全歸納推理
不完全歸納推理是根據(jù)某類事物的部分對象具有的(或不具有)某種屬性，推出該事物的全體具有(或不具有)這種屬性的思維方式。
不完全歸納推理又稱經(jīng)驗歸納法，由于它考察的是部分對象而得出關(guān)于事物的一般結(jié)論，因此它常常具有猜測、想象的成份，前提與結(jié)論之間的聯(lián)系就不一定真實、可靠。不完全歸納推理盡管可能出現(xiàn)錯誤，但它仍是一個十分有用的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的思維方法。數(shù)學的發(fā)展離不開猜想，而猜想的前提就是對數(shù)學對象的不完全歸納，在這種意義上可以認為不完全歸納引出的數(shù)學猜想往往成為數(shù)學家前進的“航標”。例如，哥德巴赫猜想這個不完全歸納得出的猜想至今仍吸引著許多世界級的大數(shù)學家。
不完全歸納推理在數(shù)學中不僅受到數(shù)學家的重視，而且初等數(shù)學的教材中某些從具體數(shù)的演算概括出來的運算律，用的也是不完全歸納推理。在數(shù)學中，不完全歸納又可分為枚舉歸納和因果關(guān)系歸納兩種思維方法。枚舉歸納是指尋找?guī)讉€特殊的對象進行試驗，然后歸納出共同特征，最后提出一種比較合理的猜想的推理方法。
因果關(guān)系歸納法是利用因果規(guī)律的特點，在前后相繼的一些現(xiàn)象中，通過某些現(xiàn)象的相關(guān)變化，歸納出各種現(xiàn)象間的因果聯(lián)系。
（二）完全歸納推理
完全歸納推理是從某類事物每個對象都具有(或不具有)某種屬性，推出這類事物的全體具有(或不具有)某種屬性的思維方法。由于這類方法考察了某類事物的全部對象，所以得出的結(jié)論必定是正確。 它是一種非常簡單的推理方法：令 A是一個包含有限元素的集合，如果驗證了每一個元素都具有性質(zhì) P，則認為這個集合中的所有元素都具有性質(zhì) P。
這個論證方法的正確性是不言而喻的，因為每一個元素都已經(jīng)被驗證過了，當然結(jié)論是成立的。但是，在實際應用的過程中，問題并不是那么簡單。歸納法最初也是由亞里士多德提出的 ，雖然他對于這種論證的方法并不重視，后來邏輯學家改稱這種方法為完全歸納法，用來區(qū)別兩千年后由培根（ F.bacon,1561-1626）所創(chuàng)立的歸納法。 在初中數(shù)學的教學內(nèi)容中，完全歸納法是一種經(jīng)常被使用的證明方法，其核心思想是：問題分類，逐類研究。一般 可以分為窮舉法和類分法兩種。
1．窮舉法
窮舉法是數(shù)學中常用的一種完全歸納法。它是對具有有限個對象的某類事物進行研究時，把所有的對象的屬性分別討論，從肯定它們都具有某一屬性得到這類事物都具有這一屬性 (全稱判斷)的歸納推理。 一個比窮舉法更一般的方法被稱為簡單枚舉法 。
2．類分法
在數(shù)學中由于考察的對象大多數(shù)是無窮多的，窮舉法有時很難運用，于是在考察中需要先對研究的對象按前提中可能存在的情況進行分類，再按類分別證明。如果每類均得證，則結(jié)論(全稱判斷)就得到了。對于飛速發(fā)展的現(xiàn)代社會而言，掌握分類并進而進行歸納的能力對于我們處理紛繁復雜的各種信息是尤為重要的。
二、合情推理應該怎樣理解？
合情推理一詞源于英語 Plausible reasoning ， 有人也譯為似真推理。對于數(shù)學而言，合情推理作為一種合乎情理、好像為真的推理，是不能作為數(shù)學的理論表現(xiàn)形式的，但是作為一種數(shù)學的解題思維方式、作為一種數(shù)學思維的方法，在數(shù)學中卻有不可取代的作用。
（一）合情推理在數(shù)學中的意義
數(shù)學是一個邏輯推理構(gòu)成的體系，在思維進程的意義上它是從一般到特殊的推理論證。對前提的確認，通過邏輯推理帶來對結(jié)論的確認，每一步推理都是可靠的、無可置疑的，因而這種邏輯推理確認了邏輯上可靠的數(shù)學知識，同時也建立了嚴格的數(shù)學體系。實際上，這種數(shù)學的邏輯構(gòu)造只是數(shù)學建構(gòu)后的表現(xiàn)形式，而在形成這種演繹形式之前，數(shù)學的理論必有一個探索發(fā)現(xiàn)的過程。這個探索發(fā)現(xiàn)的過程作為一種思維方式，作為一種數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法，是非邏輯演繹的，是一種合乎情理的、似真的推理過程，即合情推理。
作為數(shù)學中的創(chuàng)造性思維，它面臨的是一個前人沒有論證過的問題。因此按照合乎情理的方向，按照自己認為可能是正確的方向去進行推理，探索可能得到的結(jié)論，探索可能運用的方法，是合情推理發(fā)揮作用的地方。對于一個想把數(shù)學作為終身事業(yè)的學生而言，它必須學會邏輯論證推理。因為這是他未來的工作，也是數(shù)學科學思維發(fā)展中的一個特征。數(shù)學家為了取得成就，也必須學會合情推理，因為這是他創(chuàng)造性工作賴以進行的那種推理。
作為數(shù)學的學習，如果我們要求學生運用自己掌握的數(shù)學知識去解決問題，那么作為學生的個體經(jīng)驗，他必然有一個自我形式的合情推理過程，即按照自己認為可能合乎情理、可能正確的方向來試一下，嘗試一下自己的方法、想法是否正確。從這種意義上來說，對于數(shù)學學習者，對于數(shù)學的解題過程而言，合情推理就是一個必須學會運用的思維方式。
合情推理實際上強調(diào)了一種思維的主動性、情感性和試錯性。所謂主動性是說，合情推理不受數(shù)學自身嚴格演繹推理的束縛，可以向自己認為合乎情理的方向主動思考，盡管這種思考可能與數(shù)學本身的要求有差距。所謂情感性是說，合情推理可以按照自己認為似真的方向進行探索。這實際上只是一種探索性的思考，盡管這種思考可能與數(shù)學的真正演繹證明有一些差異。所謂試錯性是說，合情推理是一個學習、論證的試錯過程，正是通過不斷的主觀積極的試錯才使問題得到最終的解決。
數(shù)學中合情推理的方式是各式各樣的，在這些合情推理中最常用的是類比推理和歸納推理兩種。
（二）類比推理
類比推理是指根據(jù)兩個不同對象的某些方面(如特征、屬性、關(guān)系等)相同或相似，推導出或猜出它們在其它方面可能具有相同或相似的思維形式。它是思維進程中由特殊到特殊的推理方式。波利亞在論及合情推理中的類比推理時，特別強調(diào)了兩點：其一，類比是某種類型的相似性，這種相似性是某些方面的一致性，這種一致性有時是很模糊的。其二，要把關(guān)于對象某些方面一致性的模糊認識說清楚，即把相似之處化為明朗的確定的概念。
在數(shù)學發(fā)展中，類比推理曾給數(shù)學家許多發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的指引。例如，數(shù)學史上著名的費馬定理： x n＋y n=z n ，當 n 大于2時沒有整數(shù)解。就是在與古希臘 x 2 ＋ y 2 = z 2 這樣畢達哥拉斯三元數(shù)組的類比中發(fā)現(xiàn)的問題。古希臘人發(fā)現(xiàn)在畢達哥拉斯三元數(shù)組中，只要把 n 從2換成3，尋找整數(shù)解的工作就從相對簡單變得令人難以想象。
一般來說，類比推理給人的啟示有時是巨大的，在數(shù)學史中可以找出許多這樣的例證。在初等數(shù)學的教學中，類比推理也被經(jīng)常地使用。我們可以粗略地把它分為如下幾種：
1．從個別到一般的推廣
例如，在中小學中數(shù)的運算和式的運算中有許多相似之處，圖形的全等與圖形的相似之間也有相類似之處，整數(shù)的指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)的冪函數(shù)也有類推之處。
2．某些特征的類比推理
例如，平面上的一個三角形可以與空間的一個四面體類比。在平面上，兩條直線不能圍成一個有限圖形，然而三條卻可以圍成一個三角形。在空間，三張平面不能圍成一個有限圖形，然而四張平面卻可以圍成一個四面體。如果我們在平面與空間中，以最少的元素圍成一個圖形的條件來比較，可以發(fā)現(xiàn)，三角形與平面的關(guān)系同四面體與空間的關(guān)系是相似的。因此，我們可以看到兩者在構(gòu)造上可以作某些類比。
我們還可以把平面上的平行四邊形和空間中的平行六面體看作是相類比的圖形。平行四邊形的兩條對角線互相平分，即交于中點。相類似的是平行六面體的四條對角線交于一點，而且互相平分。
3．方法上的類比推理
利用不同方法之間的相似，可以進行類比推理。對一種方法的理解和運用可以加強對另一種新方法的理解和運用。
例如，分配律 a ( b＋c)=ab＋ac，對數(shù)和式的運算都適用，它也可以適用于數(shù)列的極限運算：
相類似的，一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法也有可以類推之處。下面是一個利用不等式的類比解題方法。
波利亞在論及類比合情推理的作用時，認為它可以在三個方面發(fā)揮作用：(1)可以提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)；(2)可以在求解問題中得到應用；(3)可以用來對猜測進行檢驗。應當指出的是，類比推理只是一種合情推理，它不能提供嚴格準確的數(shù)學邏輯證明。它獲得的結(jié)論的正確與否，還必須經(jīng)過嚴格的證明。因此類比推理是一種創(chuàng)造性、啟發(fā)性較強而可靠性較弱的方法。數(shù)學史上也有許多類比推理失敗的例子。
我們可以把類比推理在數(shù)學中的作用表示如下圖8.3-1所示：
（三）合情推理中的歸納
合情推理中所說的歸納是歸納推理思維方式中的不完全歸納推理，又稱之為經(jīng)驗歸納法或稱之為實驗歸納法。這是一種從個別到一般，從經(jīng)驗事實或?qū)嶒炇聦嵉嚼碚摰囊环N尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的方法。
正是由于合情推理中的歸納推理是從個別事實中看到真理的端倪、受到啟發(fā)，提出假說和猜想，因此合情推理中的歸納推理才成為一種重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法，成為合情推理中的重要方法。
如果我們把合情推理中的歸納推理稱作經(jīng)驗歸納法，就可以發(fā)現(xiàn)：許多數(shù)學史上的成就，都是由于數(shù)學家運用了自己經(jīng)驗的歸納，憑觀察、猜測大膽地提出了問題，并最終給出了巧妙的證明。高斯就曾說過他的許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補行的手續(xù)。事實上，人們確實可以借助經(jīng)驗歸納法從大量的個別案例中發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理，引出數(shù)學命題。當然，此時獲得的數(shù)學命題還只是一種猜想，它是有爭議的、暫時的，要使它成為普通的數(shù)學命題，還要借助邏輯論證推理給出嚴格、無誤的證明。
1．用經(jīng)驗歸納法發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論
對于數(shù)學問題而言，運用經(jīng)驗歸納法可以由一個特殊的事實來猜測可能存在的結(jié)論。這種經(jīng)驗歸納法可以引導人們發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，不過這種方法作為一種合情推理，結(jié)論最后的獲得還需要嚴格的證明。
如果從中小學數(shù)學教育的角度看，學生自己提出的合情推理，即使被證明是錯誤的，那么他們也獲得了自己的數(shù)學體驗、數(shù)學興趣和數(shù)學實驗的過程。
2．用經(jīng)驗歸納發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學問題的路徑
在經(jīng)驗歸納的合情推理中，可以由一個特殊處理問題的數(shù)學公式、數(shù)學方法或解題思路中歸納推導出對一般問題的處理公式、方法或思路。
在合情推理中，類比推理與歸納推理差異是明顯的。歸納推理是從特殊到一般的推理，是一種縱向思維；類比推理則是借助兩個系統(tǒng)某些部分的相似性或一致性進行的橫向思維。在實際問題中，兩種推理形式互相促進，成為合情推理中相互配合、相互利用的重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法。而作為合情推理，作出創(chuàng)造性思維有時需要不同思維方式的相互配合。
（四）數(shù)學猜想——介于歸納與演繹之間
數(shù)學猜想，是指人們根據(jù)已知的某些數(shù)學知識和某些事實，對數(shù)學的某些理論、方法等提出一些猜測性的推斷。由于它沒有嚴謹?shù)睦碚撘罁?jù)，因此數(shù)學猜想的真?zhèn)涡噪y以判斷。但是，數(shù)學的進步卻離不開數(shù)學猜想。數(shù)學猜想是數(shù)學發(fā)展的一種思維方式，數(shù)學猜想有時引導了數(shù)學前進的方向。數(shù)學猜想對數(shù)學某些理論的存在性、規(guī)律性和方法性提出的一種推測。這種推測是對數(shù)學的一種探索和研究，因此它是一種數(shù)學發(fā)現(xiàn)的思維方式。同時，由于它是在前人沒有研究和沒有得出結(jié)論的領(lǐng)域中提出自己的推斷，因此它又是一種創(chuàng)造性思維的方法。只不過，這種創(chuàng)造性思維的方式，還要依據(jù)理論的論證，還要進行艱苦的工作才能最后確定這種推斷的真?zhèn)涡浴?
1．由歸納提出數(shù)學猜想
由某類數(shù)學對象中的個別對象具有的屬性，進而猜想該類對象全體都具有這種屬性，這是不完全歸納的基本思維方法。利用不完全歸納的思維方法提出數(shù)學猜想是構(gòu)成創(chuàng)造性思維的一個重要方面，許多數(shù)學史上著名的數(shù)學猜想都是由此而產(chǎn)生的。
例如，著名的華林猜想就是通過不完全歸納提出來的。
這些數(shù)都可以表成不多于4個整數(shù)的平方和。1770年，華林猜想：任一正整數(shù)必能表為不多于4個整數(shù)的平方和。這是由不完全歸納提出的一種猜想，在后來的數(shù)學發(fā)展中拉格朗日、歐拉證明了上述華林猜想的正確性。
2．由類比產(chǎn)生的數(shù)學猜想
類比是產(chǎn)生數(shù)學猜想的一個重要思維方法，許多數(shù)學家通過類比獲得了一種靈感、一種直覺，進而提出數(shù)學猜想。
例如，古希臘數(shù)學家歐幾里得曾提出并證明了“素數(shù)有無窮多”這一著名的數(shù)學命題。后來人們與此相類比提出了種種猜想。其中“孿生素數(shù)猜想’就是一個。若 p 是素數(shù)， p ＋2也是素數(shù)，則稱( p ， p ＋2)是一對孿生素數(shù)。例如(3，5)；(5，7)；(11，13)；(17，19)；(101，103)；(10 9＋7，10 9＋9)等等，都是孿生素數(shù)。孿生素數(shù)顯然是素數(shù)中的一部分，人們提出“孿生素數(shù)無窮多”這一數(shù)學猜想顯然是與“素數(shù)無窮多”相類比的。但是，遺憾的很，這個猜想至今尚未得到解決。人們目前已知道孿生素數(shù)相當多，最大的孿生素數(shù)為(10 12＋9 649，10 12＋9 651)。與“孿生素數(shù)猜想”相類比，人們又相繼提出了一些與素數(shù)相關(guān)的猜想。
當然，一個偉大的數(shù)學猜想吸引著眾多數(shù)學愛好者的努力探索，有的數(shù)學家甚至為之付出一生的心血，但是，我們要清楚的知道，一個數(shù)學猜想的證明歷程并不是容易的事情。
(五)關(guān)于演繹推理與歸納推理的關(guān)系的理解
演繹推理的定義：按照某些規(guī)定了的法則所進行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。 歸納推理的定義： 按照某些法則所進行的、前提與結(jié)論之間有或然聯(lián)系的推理。比較可以看到，歸納推理比演繹推理要靈活得多，這是因為：在推理過程中，“法則”是必要的，但不需要事先規(guī)定；前提與結(jié)果之間的“聯(lián)系”是必要的，但這種聯(lián)系是或然的而不是必然的 。正因為歸納推理具有這種靈活性，才可能從事物（事情和實物）的現(xiàn)實出發(fā)，對事物的過去或者未來進行推斷。雖然通過推斷得到的結(jié)論不一定是必然的，但卻是實用的，因為在日常生活和生產(chǎn)實踐中，人們對事情決策所遵循的原則并不要求必然成立，只是希望在大多數(shù)情況下成立。人們在決策的過程中可以不顧及或然率很小的情況，正如人們不會因為有地震而不建高樓，也不會因為有交通事故而不購買汽車。
對于數(shù)學而言，如果說演繹推理是為了證明的推理，那么歸納推理就是為了推斷的推理，把這兩種推理模式結(jié)合起來，就得到了 數(shù)學的推理的全部過程：從條件出發(fā)，借助歸納推理“推斷”數(shù)學結(jié)果的可能性，借助演繹推理“驗證”數(shù)學結(jié)果的必然性；或者進行一個相反的推理過程：從結(jié)果出發(fā)，借助歸納推理“推斷”數(shù)學條件的可能性，借助演繹推理“驗證”數(shù)學條件的必要性。
