“有余數的除法”是蘇教版二年級下冊第一單元的內容。學生在二年級上冊已經學習了“表內乘法和表內除法”單元的內容，而且其在該冊教材中是比較靠后的一個單元，這就有利于教師在教學中把“有余數的除法”與“表內除法”有機聯系起來，也便于學生在本單元學習時，運用學習表內除法時積累的經驗，展開觀察、操作、交流、思考等活動。前蘇聯著名教育家斯托利亞爾在他所著的《數學教育學》中指出：“數學教學是數學活動的教學。”數學活動實質上一種認知發現活動，是一種有意義的學習。學生學習“有余數的除法”，既要建立“余數”的概念，又要掌握有余數除法的計算方法。通過參與豐富的數學活動，在活動過程中廣泛交流、積極反思、充分體驗，學生能將實際生活中的數學材料轉化為數學模型，既獲得概念、掌握計算方法，還能不斷積累活動經驗，對數學形成好奇心和求知欲，發展數學素養。
【活動一】操作中感知。
同桌兩人一組，每組10支鉛筆，一張記錄表。
師：（課件出示例題的前半部分及圖）10支鉛筆，每人分2支，分給幾人？
生：每人分2支，可以分給5人。10÷2=5。
板書：10÷2=5。
師：大家學過表內除法，已經會解決這樣的問題了。我們再用小棒分一分，驗證一下，好嗎？
分組操作：10根小棒，每2根1份，分成5份。
師：哪組同學愿意把操作過程展示給大家看一看？
指定兩個學生在實物投影儀上演示。
師：我們看到，10支鉛筆，每人分2支，可以分給5人，正好分完。
師：分10支鉛筆，如果要求每人分得的鉛筆同樣多，除了每人分2支，你們還有其他的分法嗎？（出示例題的后半部分）還是10支鉛筆，每人分3支，可以分給幾人，結果怎樣？每人4支、5支呢？（出示記錄表）大家再動手分一分、想一想，并把每次分得的結果記錄在表中。
學生分組操作，并做好記錄。
教師巡視，并對需要幫助的學生進行個別指導。
師：哪組同學愿意來展示你的操作過程和結果？
生：（在實物投影儀上操作、講解，并展示填表的內容）10支鉛筆，每人分3支，可以分給3人，還多1支；10支鉛筆，每人分4支，可以分給2人，還剩2支；10支鉛筆，每人分5支，可以分給2人，正好分完。
師：（課件出示記錄表）這是大家剛才操作、記錄后的表格。每行的內容分別是什么意思？同桌之間互相說一說。
同桌合作，根據記錄表互相說分的過程和結果。
師：通過操作、填表，你有什么發現？
生：10支鉛筆，每人分的同樣多，有時正好，有時有剩余。
生：分一些東西，每個人分的同樣多，有時會有剩余。
【反思】用10÷2喚醒學生關于表內除法、平均分的已有認知和經驗，進而放手讓學生自主探索10支的其他分法，在邊操作邊填表記錄的過程中，學生既關注分的方法與過程，又關注分的結果。讓學生展示自己的分法與記錄表，并在交流中梳理操作過程，形成一致的表達方式，便于溝通與交流。對記錄表重新解讀，“10支鉛筆，每人3支，可以分給3人，還多1支”等，是對操作過程的理性提升，也將學生注意力集中到分法的對比上來，還為下一個活動“探索如何列有余數除法的算式”做好鋪墊。而活動的總結環節，讓學生談體會就顯得水到渠成：分一些東西，每份分的同樣多，有時會有剩余。到此，關于“余數”，雖然沒有提出名詞，但學生頭腦中已經形成清晰的表象，為下面引入并建立余數的概念打下基礎。
【活動二】探索中建構。
師：（出示完成的記錄表）像10支鉛筆，每人分3支這樣的分法，能用一個算式來表示嗎？請小朋友先想一想，再在記錄表上試著寫一寫。
學生嘗試列出算式，教師參與學生的活動，并讓學生說說列出算式中的各個數所表示的意思。
師：好！誰上來展示你寫的算式？
生1：10÷3=3（人）還剩1支。
師：能跟大家說說算式中的10、3表示什么，3人、1支呢？
生：10表示10支鉛筆，第一個3是每人分3支，結果是可以分給3人，最后還剩下1支。
師：這里剩下的1支還可以再分嗎？為什么？
生：不能再分了。因為要求是每人分3支，剩下的1支不夠分人1個人的。
生2：10÷3=3（人）1支。
師：你也來跟大家說說算式中的數分別表示什么？還能再分嗎？
生：（略）
生3：10÷3=3（人）……1（支）
師：能說說你寫出的算式中各部分所表示的意思嗎？
生：“10÷3”表示把10支鉛筆平均分，每3支分給一個人。“3人”表示可以分給3人；“1支”分到最后，還剩1支，不能再分了。
師：小朋友們聽明白了嗎？這3個同學雖然列出的算式不太一樣，但所表達的意思是一樣的，都是要把10支鉛筆，每人分3支，可以分給3個人，最后還剩下1支，不能再分了。注意了！（指著3道算式中的“1支”）這剩下的1支是原來10支里的一部分，可不能忘了。這樣的問題，也可以用除法算式表示，（邊說邊板書算式）寫成“10÷3=3（人）……1（支）”，算式中的“3人”表示10除以3的商，“1支”表示剩下的1支，這個剩余的數，我們叫它“余數”（在“1”下面板書“余數”）。寫有余數的除法算式時，要在商和余的中間加上6個小圓點，算式讀作“10除以3等于3余1”。這就是我們今天要學習的有余數的除法（揭示課題）。我們一起來讀一讀這道有余數的除法算式吧？
學生齊讀算式。
師：你能把記錄表中分鉛筆有剩余數的其他情況，也用除法算式表示出來嗎？
學生獨立完成算式，并在反饋時讓學生讀一讀算式，說一說每道算式的意思。
【反思】通過分鉛筆的活動，學生在頭腦中已經初步建立了“余數”的表象。讓學生嘗試列算式，在寫算式的過程中完成由具體到抽象的過渡，則是學生形成余數概念的重要環節。這一環節，既是把現實問題中具體數量關系抽象成數學表達式的過程，又是學生“再創造”余數表示方法的過程。而學生在這一過程中，雖然給出的算式不一定規范，但其思考的過程是一致的，且對余數含義的理解是準確而深刻的。交流時引導學生重點討論“剩下的還可以再分嗎？為什么”，既是對分鉛筆過程的再現，又為學生下環節發現“余數要比除數小”的結論提供了豐富而堅實的感性經驗。
【活動三】觀察中發現。
1．擺一擺，填一填。
師：剛才我們把10支鉛筆，平均分給小朋友，發現有時能正好分完，有時卻會出現余數，你想知道其中的秘密嗎?
師：這回我們還是請小棒來幫忙，看！如果給你4根小棒你能擺出1個正方形嗎？8根又能擺出幾個正方形呢？
課件演示用小棒擺正方形的過程。
師：那像這樣用12、13、14、15、16根小棒擺正方形，結果又會怎樣？
師：同桌兩人合作，一人在頭腦中擺小棒，一人用小棒擺一擺加以驗證。先商量一下做好分式，再按要求完成，并填寫書上的除法算式和表格。
學生在同桌間活動，教師巡視。
師：哪組的小朋友愿意展示一下你們的結果？
根據學生的交流，逐一演示用小棒擺正方形的過程，同時呈現下列算式：
12÷4=3（個）
13÷4=3（個）……1（根）
14÷4=3（個）……2（根）
15÷4=3（個）……3（根）
16÷4=4（個）
師：你得到的結果和他們的一樣嗎？
生：一樣！
2．比一比，說一說。
師：我們來觀察這一組除法算式，比一比，你發現了什么？
生1：被除數不一樣，一個比一個大1，除數一樣，都是4。
生2：結果也不一樣，有的可以擺出3個正方形，有的可以擺出4個。
生3：有的有余數，有的沒有余數。
生4：有的正好搭完，有的不能。
生5：余數不一樣，一個比一個大1。
……
師：這一組算式中，除數都是4，余數有哪幾種情況呢？
生：余數可能是1、2、3。
師：（指13÷4的算式）這里余數是1，表示擺出3個正方形后還剩下1根小棒。剩下的1根還能再擺一個正方形嗎？
生：要4根小棒才能再擺一個正方形，1根不夠。
師：（指算式）那像這里，剩下的分別是2根、3根呢？
生：不行，2根和3根都不夠擺一個正方形的。
師：（指16÷4的算式）這里是16根小棒，擺出3個正方形后，還剩下幾根小棒？剩下的小棒夠擺一個正方形嗎？
生：還剩下4根，正好可以擺一個正方形。
師：請小朋友想一想，16除以4的商為什么是4，而不是3？
生：擺出3個正方形后，剩下的4根還可以再擺一個正方形，所以，商是4。
師:從上面的例子中你能發現什么？
生1：除數是4，余數只能是1、2、3。
生2：余數不能等于除數。
生3：余數要除數小。
師：請小朋友在小組里討論，在有余數的除法中，余數為什么要比除數小？
引導學生結合擺小棒的過程表達自己的想法。
小結（略）。
【反思】認識“余數要比除數小”是本課的認知難點。而突破這一難點的關鍵在于引導學生通過觀察、操作等具體的活動，初步發現除法運算中余數的變化規律，進而理解余數必須比除數小的道理。考慮到用12根小棒擺正方形的過程學生比較熟悉，而用13、14、15根小棒擺正方形，又是前面操作的繼續，學生通過想象能夠到正確的結果。因此，設計數學活動時，適當增加了學生的思維空間。要求學生同桌合作，一人在頭腦中想象擺小棒的過程，一人通過實際操作加以檢驗。這樣安排，既可以幫助學生在操作過程與算式含義之間建立對應關系，強化對有余數除法算式的理解，又有利于學生深刻體驗余數的產生過程，初步感知余數的變化規律。讓學生把每次得到的算式有序地排列起來，并把“小棒根數、正方形個數、余下的根數”整理在表格里，為進一步組織學生的觀察、比較活動提供了豐富的事實材料，促進他們有序、有效地展開思考，主動發現“余數要比除數小”的結論。這樣的設計，符合學生認知現實，有利于學生主動獲取知識，積累數學活動經驗。
