摘 要：新一輪數學課程改革以來，小學數學教學比較注重借助實際操作、生活事理、圖形直觀等手段幫助學生理解數學。這種相對忽略數學知識本質和聯(lián)系的邏輯推演，影響了學生理解的深度。教學中可以根據學生的年齡特點和知識基礎，采用適切剖析、引導探究、經歷“再創(chuàng)造”等方式，循序漸進培養(yǎng)學生的推演能力，不斷提升學生數學理解的層次水平。
關鍵詞：適度推演 理解 數學化 自然 合理 多樣
新課程實施以來，小學數學教學更貼近學生的生活現實，注重通過實際操作、生活事理、圖形直觀等幫助學生理解數學。這本符合學生的認知規(guī)律，也確實在一定程度上促進了學生的理解。然而在教學實踐中我們不難發(fā)現，有些教師似乎又走向了另一個極端，那就是過度看重生活經驗、形象工具等之于數學學習的價值，致使學生的理解止步于較低的層次。
著名數學教育家赫斯考威克斯提出“理解的類型層次說”認為，數學理解有直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解等不同層次。顯然，僅僅基于經驗、形象的理解是一種淺層次的直觀性理解。筆者認為，隨著數學學習的深入，學生所積累的數學知識和方法增多，教學中很有必要進一步關注學生的“數學現實”，適當借助知識內部的邏輯推演，激活知識內在的聯(lián)系，從而驅動學生的理解走向深入。
下面試結合“數的運算”教學中的幾個案例，談談對“推演”策略的理解和使用。
一、適切剖析，感悟知識衍生的自然性
在二年級“認識除法豎式”教學中，教師一般先出示6個蘋果。操作：每2個放一盤。提問：可以放幾盤？引導學生先列出橫式，并說說為什么用除法計算。然后教學除法豎式的寫法，并聯(lián)系上面分蘋果的操作，引導學生理解被除數表示要分的總個數，除數表示每盤分幾個，商表示分了幾盤，被除數下面的數表示一共分掉了幾個，余數表示分后剩下的，如果是0就表示分完了。雖然有直觀操作支撐，但在隨后的鞏固練習階段可以發(fā)現，不少學生仍然不知所措，特別是對被除數下方還要再寫一個“
從加法、減法、乘法過渡到除法豎式學習，對學生來說常常是一個挑戰(zhàn)。而上述難點的解決憑借操作，并經由表象構建新的算法模型，符合學生的認知規(guī)律。但問題在于，一些教師常常認為只要學生操作了，自然會理解其中的道理。從上面的教學效果看，這里的操作似乎并沒有使學生獲得真正的理解。為了更好地解決問題，有老師在此基礎上又進一步考慮調整教材的編排順序，將有余數的除法前移，利用“一般式”理解“特殊式”，但似乎也收效甚微。
為了摸清學生的想法，筆者曾多次在新課后與學生訪談，了解他們的困惑。結果發(fā)現，不少學生提出他們不習慣除法豎式的寫法，更不能理解計算過程中為什么還需要乘和減的參與，商為什么要寫在被除數的上面，等等。看來，在上述教學過程中，操作性工具的介入，僅僅使學生的理解到達較為膚淺的層次，如直觀性理解、程序性理解等。訪談結果表明，學生對除法豎式的掌握還需要深層的理解作支撐，而這種深層的理解需要教師改變固有的思維方式，由對操作性工具的關注調整到對數學內部新舊知識之間邏輯推演的關注，通過推演呈現知識的衍生過程，將學生對數學的理解提升到更高的層次。
從除法豎式產生的內部邏輯來看，除法之所以與減法有聯(lián)系是因為它們都起源于“分”，只是除法是一種特殊的“分”，即分得同樣多，顯然，推演除法豎式時一個易于理解的邏輯起點應該是同數連減。為了給同數連減留下位置，記錄所“分”次數的商就調整到被除數上面。此外，根據減法的運算性質，同數連減又可以轉化為先同數連加然后一起減，繼而同數連加又可以升級為乘法，這樣除法豎式的核心部分就凝聚成一個先乘后減的過程了。不過，這樣的推演有一定的難度，低年段學生更不容易發(fā)現，需要教師直接剖析，引導學生有意義的接受。同時考慮到低年級學生的思維特點，這個抽象的剖析過程應該與操作有機整合，邊操作邊推演，用推演引領操作，相信符合學生思維發(fā)展水平的適切剖析能將學生帶到理解的高境界。
二、引導深究，發(fā)現規(guī)律揭示的合理性
在四年級“乘法分配律”教學中，教師一般先呈現問題情境：服裝商店短袖衫每件32元，褲子每條45元，夾克衫每件65元。一位顧客要買5件夾克衫和5條褲子。一共要付多少元？引導學生分析數量關系，得到兩種不同的算法，寫成一個等式。接著聯(lián)系上面的購物情境理解兩種算法內在的不同，一種是分開算，一種是配套算。但不管哪一種方法都算的是5件夾克衫和5條褲子的總價錢，所以這個等式成立。然后，讓學生再寫幾組這樣的等式，算一算得數是否相等，思考有什么發(fā)現。最后引導學生比較幾組等式在結構上的特點，歸納揭示乘法分配律。在隨后的鞏固練習中，學生對標準式掌握較好，但在變式的時候錯誤率明顯升高，后續(xù)簡便計算時常將乘法分配律與乘法結合律混淆，等等。
與加法和乘法交換律、結合律相比，乘法分配律同時涉及到加法和乘法兩種運算，結構復雜，形式多變，應用廣泛而靈活。是學生最難掌握的定律之一。為了突破這個難點，新教材改革了傳統(tǒng)教材過于形式化的傾向，讓乘法分配律與兒童的生活經驗對接，讓兒童借助生活事理理解算理，這是一種進步。從上述教學效果看，有了生活事理的支撐，使學生借助直觀對乘法分配律獲得了一定程度的理解。但教學不能僅僅停留于這樣的層次，事實上這種淺層次的理解也沒有從根本上解決問題。后續(xù)的變式應用、綜合應用甚至初中階段代數學習中提取公因式、因式分解等拓展性應用等都需要學生對乘法分配律獲得更為深入的理解。筆者也曾在新課結束后隨機采訪有關學生，詢問他們還有哪些問題，他們提出的問題有：分開算的時候有2個“5”，為什么合起來算的時候只剩下1個“5”？兩種算法不同，為什么結果卻是相同的？為什么叫作“乘法分配律”？“分”和“配”是什么意思？乘法分配律與乘法結合律有什么不同？……可見，雖然有事理性解釋作支撐，但學生對等式內在的合理性仍心存疑惑。為了加深理解，平時教學中，筆者也常看到有教師想到進一步拓展情境，由購物到種花、栽樹、貼瓷磚等，但都沒能從根本上解決問題。看來，這種深層的理解不僅需要著眼數學的外部，尋找事理性解釋，更需要關注數學的內部，尋找知識生長的邏輯。
運算的意義是運算律存在的基礎，運算律是運算意義的拓展和延伸。乘法分配律是運算律的一種，顯然，乘法分配律的本源是乘法和加法的意義，深入理解乘法分配律最關鍵的是要引導學生推演外在的結構形式與內在的運算意義之間的關系，透過形式化的表象，觸摸內在的規(guī)律性聯(lián)系。具體教學時，可以通過追問引導學生依據乘法和加法的意義，對等式進行深究、推演：
（65+45）×5=（65+45）+（65+45）+（65+45）+（65+45）+（65+45）=（65+65+65+65+65）+（45+45+45+45+45）=65×5+45×5
反之，亦是如此。相信經過這樣的推演，定能有效提升等式成立的可信度，事實上這也正是乘法分配律在自然數范圍內成立的一個邏輯推理的過程。從事理過渡到推理，讓事理整合推理，有助于學生真正把握定律的內在實質。
三、經歷“再創(chuàng)造”，體驗方法建構的多樣性
在六年級“分數除法”教學中，教師出示例題：量杯里有4/5升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人可以喝多少升？教師先讓學生根據整數除法的意義，列出算式：4/5÷2=？接著用長方形表示
分數除法的計算方法是小學數學中最難理解的。為了突破這一難點，教材一般通過循序漸進方式，由易到難安排學習內容。先教學“分數除以整數”，再教學“整數除以分數”“分數除以分數”，最后總結計算方法。此外，為了讓學生理解算理，通常借助示意圖引導學生探索理解。分數除以整數是分數除法的起始課，學生第一次面臨“化除為乘”的問題。從上面的教學過程可以看出，示意圖雖然能在一定程度上促進學生對這種轉化的理解，但卻不能引領學生對這種轉化實施主動建構，致使學生對該計算方法的理解仍然停留在直觀理解、程序性理解等較為膚淺的層次。如果要進一步提升學生的理解水平，需要進一步調整視角，由對外部直觀驗證的關注進一步調整為對內部數學聯(lián)系的關注，也就是要借助推演的方式促進學生對新知的主動建構。事實上，在上述教學過程中，因為高年級學生已經有了一定的知識基礎，頭腦中也已經建立了較為豐富的知識聯(lián)系，他們對數學的探究事實上已經能自主走向推演的層面。只可惜教師沒有認識到邏輯推演之于學生理解的重要意義，也沒有認識到方法三與“化乘為除”之間的內在聯(lián)系，從而錯過了引導學生走向深層次理解的契機。
分數除法是小學生學習的最后一個基本的四則計算。雖然分數除法的計算方法與已經學過的整數、小數除法差別較大，不能由已有的算法直接遷移而來，但分數除法與學生已有的數學知識聯(lián)系極為豐富，如與整數除法、通分、商不變的規(guī)律、方程等都有密切的聯(lián)系，因而，分數除法的計算方法更具有創(chuàng)造性。分數除法學習不僅要關注圖形直觀，更要關注知識內部的邏輯推演，讓學生通過“再創(chuàng)造”的方式自主建構新知，深刻理解新知。只是，面臨學生的“再創(chuàng)造”，有時需要教師有敏銳的目光，及時捕捉到學生推演中的合理成分，并適時改造，為徹底打通新舊之間的血脈聯(lián)系提供恰當的幫助。例如，上面的方法三，表面看似乎與顛倒相乘沒有關系，但只要引導學生仔細分析，就會發(fā)現這里由于除數不能整除分子，就需要將分子轉化為除數的倍數；而該轉化中要使分數的大小不變，就需要對被除數的分子分母同時乘3，然后相除；相除后由于分子除以3，相對于原來分數來說分子又還原了，但分母已經不能還原，最終實際只是分母“變大”了，分子并沒有變。這就打通這一分數除法與乘除數倒數的聯(lián)系。可見，合邏輯的推演，不僅有利于調動學生探究的主動性，而且有利于學生體驗知識聯(lián)系的豐富性和方法建構的多樣性，進而有利于促進學生的深層理解。
綜上所述，數學教學策略從生活現實進一步拓展到數學現實，這就涉及到弗賴登塔爾所提出的“數學化”的問題。數學化可分為橫向數學化和縱向數學化。橫向數學化注重數學與現實生活的聯(lián)系，縱向數學化注重數學內部的遷移和調整。完整的數學化過程應該是：
過度依賴生活現實的教學只關注了橫向數學化，忽略了深層次的縱向數學化。完整的數學教學應該進一步關注學生已形成的數學現實，關注知識內部的邏輯推演，著眼以知識內部的生成、重構促進學生的深層理解。當然，這種推演還需要考慮到學生的年齡特征，要由有意義接受逐步過渡到自主的“再創(chuàng)造”。盡管學生個體在數學理解上所能達到的層次可能有所不同，但是如果小學數學教學中注意適當使用推演的策略，一個為多數學生所能達到的理想層次是有可能實現的。
參考文獻：
[1]鞏子坤.數學理解說及其理論與課程意義[J] . 北京：比較教育研究，2009（7）
[2]劉蘭英.“數學化”的數學教學及其策略探討[J] . 上海：上海師范大學學報，2010（6）
[3]侯正海.在理解算理的基礎上構建算法[J] .上海：小學數學教師，2010（7/8）
[4]曾小平，韓龍淑.讓學生經歷知識的形成過程──以“乘法分配律”的教學為例[J] .杭州：教學月刊（小學版），2012（3）
