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數(shù)學(xué)相關(guān)資料
名人談學(xué)習(xí)方法

孔子談學(xué)習(xí)方法

我國古代偉大的教育家孔子（公元前551-前479年），在學(xué)習(xí)方法上他主張“學(xué)而時(shí)習(xí)之”，“溫故而知新”.他要求學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，要學(xué)，思結(jié)合提出“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”.就是說，光學(xué)習(xí)而不積極思維，就會(huì)迷而不知所向；如果思維不以學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，就會(huì)流于空想，會(huì)帶來知識(shí)上的危機(jī).因?yàn)閷W(xué)習(xí)是人類獨(dú)特的活動(dòng)，是人類知識(shí)的繼承活動(dòng).這種繼承不能是簡單的兆焯和模仿，要通過獨(dú)立思考，學(xué)思結(jié)合，才能在接受前人知識(shí)的基礎(chǔ)上，有所創(chuàng)造，有所發(fā)展.

祖沖之的學(xué)習(xí)方法

我國南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)家祖沖之（公元429-500年）的學(xué)習(xí)方法是：“搜煉古今”.搜指搜索，博采眾長，廣泛地學(xué)習(xí)研究；煉是提煉，把各種主張拿來研究，經(jīng)過自己的消化，提煉.它就是用這樣的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究，最后創(chuàng)立了自己的學(xué)說.因?yàn)樗膸状嫦榷荚谥袊哪戏阶龉伲乙患矣袔状搜芯繗v法，祖父又掌管士木建筑，也懂得一些科學(xué)技術(shù)，故祖沖之從小就有機(jī)會(huì)接觸家傳的科學(xué)知識(shí).由于他思想敏捷，勤奮好學(xué)，又有好的學(xué)習(xí)方法，使他博覽群書，廣采各家精華；同時(shí)又不因古法，墨守成規(guī)，并主張?jiān)趯?shí)踐中去檢驗(yàn)真理.遂使他在天文歷法、機(jī)械和數(shù)學(xué)三個(gè)方面取得了杰出的成就.

（密率：PI=355/113 約率：PI=22/7 3.1415956 <><>< font="">）

愛因斯坦的學(xué)習(xí)方法

愛因斯坦（1879-1955年），東年是智力發(fā)展遲緩，上小學(xué)、中學(xué)時(shí)，老師認(rèn)為他是“笨頭笨腦的孩子”。也許是他12歲時(shí)第一次讀到歐氏幾何的書，那嚴(yán)密的邏輯給他留下了深刻印象，激發(fā)了他數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。1896年17歲的愛因斯坦進(jìn)入瑞士聯(lián)邦理工大學(xué)學(xué)習(xí)理論物理，1902年在伯爾尼專利局工作。這段時(shí)期他的思想十分活躍，經(jīng)常和伯爾尼大學(xué)哲學(xué)系的學(xué)生索洛文等五人常在一起閱讀各種書籍，無拘無束地自由討論各種問題，他們閱讀了休漠、馬赫、龐加勒、黎曼、狄更斯等許多人的作品。有時(shí)只念了半頁，甚至只念了一句就爭論起來。他們親切地稱這種聚會(huì)為“奧林匹亞科學(xué)院”。這種“瘋子式”集會(huì)是他的恩維十分活躍。1902年他就發(fā)表了第一篇論文，1905年僅26歲的愛因斯坦竟發(fā)表了五篇極為重要的論文，提出了光量子假說和狹義相對論，并通過對布朗運(yùn)動(dòng)的研究證明了原子的存在。1916年又完成了廣義相對論，取得了宏偉的成就，被科學(xué)界譽(yù)為“人類歷史上一顆明亮的巨星”。

愛因斯坦的學(xué)習(xí)方法，大致可概括成：依靠自學(xué)，獨(dú)立思考，窮根究底，大膽想象，強(qiáng)調(diào)理解，重視實(shí)驗(yàn)，弄通數(shù)學(xué)，研究哲學(xué)等八個(gè)方面。

朱熹提倡的學(xué)習(xí)方法

我國宋朝著名的教育家朱熹（1130-1200年），贊賞先泰時(shí)期教育家總結(jié)的學(xué)習(xí)方法，提出為學(xué)之序是：博學(xué)之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之。學(xué)、問、思、辨一窮理，篤行以體事，他主張“讀書有三到：問心到、眼到、口到。心不在此，則眼看不仔細(xì)。心眼既不專一，卻只浪漫誦讀，決不能記。記，亦不能久也。三到之法，心到最急。心既到矣，眼口豈不到乎。”他認(rèn)為：讀書之法，在循序而漸進(jìn)，熟讀而精思。要舉一而反三，問一而知十，及學(xué)者用功之深，窮理之熟，然后能融會(huì)貫通，以至于此。

他的弟子將朱子讀書法歸納為以下六條：循序漸進(jìn)；熟讀精思；慮心涵詠；切已體察；著緊用力；居敬（收心集中注意）持志。
說說e這個(gè)數(shù)

有一個(gè)數(shù)字，它是變量數(shù)學(xué)中不可缺少的常數(shù)，它是描述自然界各種連續(xù)變化的有力工具，它是自然界紛繁復(fù)雜背后隱藏的基本規(guī)律，它是偉大的數(shù)學(xué)家。

Euler 的杰出創(chuàng)造，它能使微積分的運(yùn)算簡潔方便，它是數(shù)學(xué)家看著就親切的一個(gè)數(shù)字。這就是：

e = 2.71828182845…

假如你把一塊錢存入一家銀行，銀行的年利率是百分之百（這只是一個(gè)比方，不必用生活中的常識(shí)來評(píng)價(jià)），銀行允許中間取本息，而且利息是平均分到各個(gè)時(shí)段的。比如吧：你要是只存一個(gè)月，你將拿到 13/12 這么多的本息。這時(shí)如果不嫌麻煩，你可以選擇半年取一次錢，再連本帶利的存入銀行，這時(shí)年末你將得到

（1＋1/2）×（1＋1/2）＝2.25 元

如果你還想多得錢，可以把一年分三段來取款，連本帶息存入，你將得到

（1＋1/3）×（1＋1/3）×（1＋1/3）

如果你不嫌麻煩，銀行允許，你將多跑幾次，甚至坐在銀行取款臺(tái)那里不走，如果你把一年分成 n 次，你將得到

（1＋1/n）×（1＋1/n）×（1＋1/n）… ×（1＋1/n）

以上一共 n 項(xiàng)乘積。不需要太深入思考，你就會(huì)斷定取的次數(shù)越多，最后得到的錢越多。但是最多能得到多少呢？最多就能得到 e = 2.718281828… 這么多了。如果把利息由 1 變?yōu)?x ,那么最多能得到 e 的 x 次冪這么多。

這個(gè)數(shù)是用來描述自然界連續(xù)累加變化不可缺少的常數(shù)，自然界的經(jīng)濟(jì)增長和衰退，放射性元素的衰變，冰層的厚度，等等都離不開這個(gè)數(shù)字來描述。

但是 e 不是有理數(shù)，也就是不能寫成兩個(gè)整數(shù)相除的形式，其實(shí)它的任何代數(shù)運(yùn)算都不能得到整數(shù)，這說明它是超越的。

這如果在古希臘，有這樣的數(shù)存在是不能容忍的。當(dāng)時(shí)有一個(gè)學(xué)派叫做必達(dá)哥拉斯學(xué)派，認(rèn)為數(shù)是構(gòu)成世界的基石，并且認(rèn)為數(shù)應(yīng)該是完美的：都能寫成兩個(gè)整數(shù)相除的形式。但必氏的一個(gè)學(xué)生經(jīng)過論證指出，如果正方形邊長是1 ，它的對角線長度就不能表示成任何兩個(gè)整數(shù)的相除，這樣的數(shù)在當(dāng)時(shí)認(rèn)為是無理的數(shù)（irrational number ），引發(fā)了數(shù)學(xué)歷史上的第一次危機(jī)，這個(gè)學(xué)生也被丟到海里沒了性命。
善的數(shù)和惡的數(shù)

一提起畢達(dá)格拉斯的名字，顯而易見，每一個(gè)人首先想到的是他的著名的定理，按照這個(gè)定理，直角三角形的直角邊的平方和等于斜邊的平方。除了這個(gè)定理以外，畢達(dá)格拉斯是否還有什么別的發(fā)現(xiàn)，就很少有人知道了，可是，大家卻都知道這個(gè)定理正是屬于畢達(dá)格拉斯的。

但是最令人詫異的是，我們甚至沒有充分的把握說世界上是否曾經(jīng)確實(shí)有過畢達(dá)格拉斯這樣一個(gè)人。關(guān)于他，人們編造了那么多荒唐的故事，只有幼稚無知的人才會(huì)對此信以為真。其中有這樣一個(gè)情節(jié)：有一天，畢達(dá)格拉斯散步來到河邊。河流趕緊從河槽里出來，并且高呼：“你好哇！畢達(dá)格拉斯！”這類傳說的真?zhèn)危x者自可斷定。

我們現(xiàn)在僅僅知道，在公元前六世紀(jì)這段和畢達(dá)格拉斯的生活有關(guān)的時(shí)間，古希臘有一所大型的哲學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)校，人們把這所學(xué)校的學(xué)生稱為畢達(dá)格拉斯的信徒。這所學(xué)校所發(fā)生的一切事情都隱藏在秘幕之后。畢達(dá)格拉斯學(xué)派的信徒們遵循所承擔(dān)的某種義務(wù)，把他們?nèi)〉玫乃谐晒纪釉谒麄兂说睦蠋煯呥_(dá)格拉斯一個(gè)人的頭上。可是，很可能實(shí)際上根本不存在這個(gè)什么“超人”的老師。

在人類社會(huì)的歷史中，不止一次地遇到過類似的現(xiàn)象。例如，就在我們的今天，有一個(gè)法國數(shù)學(xué)家小組把自己所有的著作都用尼古拉。笨了巴吉這同一個(gè)名字出版。大家知道，沒有一位數(shù)學(xué)家叫這個(gè)名字，可是，這個(gè)小組的成員都情愿做這同樣的游戲，他們發(fā)表意見時(shí)，從來不提整個(gè)的小組，而只用笨了巴吉一個(gè)人的名義。

我們還想起盡人皆知的科濟(jì)馬。普魯特科夫。在上一個(gè)世紀(jì)，三位俄羅斯作家---熱姆楚日尼科夫兄弟和阿卡。托爾斯泰，就用這個(gè)筆名發(fā)表作品，他們塑造了這么一個(gè)不可救藥的好發(fā)表長篇議論的人物形象，他善于以驚人的莊重煞有介事地說出一些老生常談。他們甚至還虛構(gòu)了一份普魯特科夫的履歷。

可是，如果說我們現(xiàn)在知道實(shí)際上并不存在笨了巴吉和科濟(jì)馬。普魯特科夫這樣的人，那么，遇到畢達(dá)格拉斯這種情況，我們就沒有這種把握，因?yàn)槲覀兒退芯康哪莻€(gè)時(shí)代相隔兩千五百年之久。我們只能說：不能排除這種情況，即作為一個(gè)人，畢達(dá)格拉斯并不存在。但我們確信：冠以畢達(dá)格拉斯名字的定理是巴比倫人在他一千多年以前發(fā)現(xiàn)的。很可能像已經(jīng)指出過的那樣，埃及人也熟悉這個(gè)定理。不能排除的是，畢達(dá)格拉斯學(xué)派的門徒們獨(dú)立于巴比倫人或埃及人單獨(dú)地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，但無可爭議的是，這一發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)不屬于畢達(dá)格拉斯學(xué)派。

有趣的是，盡管我們連實(shí)際上是否有過畢達(dá)格拉斯這個(gè)人都沒有把握斷定，我們卻擁有他相當(dāng)詳細(xì)而又引人注目的傳記。據(jù)說，在公元前580年，畢達(dá)格拉斯出生于薩莫斯島。人們因此稱他為畢達(dá)格拉斯。薩摩斯基，以免和另一個(gè)叫畢達(dá)格拉斯。列基斯基的雕刻家相混淆（后者也出生于薩莫斯，但是在列基亞城生活和工作）。按照當(dāng)時(shí)許多富有的年輕人的慣例，畢達(dá)格拉斯年輕時(shí)曾經(jīng)多次進(jìn)行對他頗為有益處的旅行。他游歷過巴比倫，地中海東岸各國和埃及。他在埃及時(shí)，正值波斯國王岡比希侵略這個(gè)國家。在一座高大的金字塔的石墻附近，畢達(dá)格拉斯和其他人一起被俘。可能和別人一樣，有一段時(shí)間他變成了奴隸。可是，他作為一位圣賢和術(shù)士的聲望在當(dāng)時(shí)已經(jīng)如此之高，以至于當(dāng)岡比希國王得知是誰成為他的俘虜時(shí)，就立即命令馬上釋放畢達(dá)格拉斯，而且，可以斷定，還極為誠摯地向他道了歉。

當(dāng)畢達(dá)格拉斯返回故鄉(xiāng)薩莫斯時(shí)，人們把他當(dāng)作一位偉大的學(xué)者和術(shù)士來歡迎。據(jù)說，他從到東方游歷那時(shí)起，就接受了穿當(dāng)時(shí)迦勒底術(shù)士所穿的豪華的衣服的習(xí)慣。這種衣服其中一個(gè)主要部分就是有一條華美的頭飾。有一幅畢達(dá)格拉斯的畫像，畫的就是戴著外國式樣的華麗的赫拉克勒斯（希臘神話中最偉大的英雄）式的威武的形象。可是，畢達(dá)格拉斯是否如畫像所畫的那樣（即使我們假定有畢達(dá)格拉斯這個(gè)人），這一點(diǎn)誰也沒有把握斷定。

島上的青年開始聚集在這位圣賢的周圍。這些青年大都出身于貴族家庭。這樣，就成立了學(xué)校。這所學(xué)校的一切都仿照東方的習(xí)俗，籠罩著不可思議的神秘氣氛。例如，據(jù)說不是畢達(dá)格拉斯所有的門生都有資格見到自己的老師。那些既有資格見到老師，又有資格聽他教誨的，才是名副其實(shí)的學(xué)生。而那些只有資格聽課，卻見不到老師的，被稱為旁聽生。有些杜撰畢達(dá)格拉斯傳記細(xì)節(jié)的無聊作者由此推斷說，畢達(dá)格拉斯教書的房間是用麻布一隔兩半的。老師本人所在的那半間坐著學(xué)生，另半間留給旁聽生用。

在學(xué)校學(xué)一些什么呢？主要是哲學(xué)和數(shù)學(xué)。古希臘時(shí)代，這兩個(gè)學(xué)科不像我們今天所看到的這樣彼此分開。當(dāng)時(shí)，每一位哲學(xué)家通常也是數(shù)學(xué)家，反之亦然。然而，對于畢達(dá)格拉斯學(xué)派的門徒們來說，這種哲學(xué)---數(shù)學(xué)具有這樣一種先驗(yàn)的，神秘的性質(zhì)，其中有許多東西及來自于輪回（關(guān)于靈魂轉(zhuǎn)世的神秘學(xué)說），又來自于迦勒底人的神秘（關(guān)于數(shù)的神秘性質(zhì)的學(xué)說），等等。

可是，聚集在畢達(dá)格拉斯周圍的年輕人很少只是學(xué)習(xí)科學(xué)。他們很快就介入島上的政治生活，而置薩莫斯島的獨(dú)裁者波利克拉特的態(tài)度于不顧。“獨(dú)裁者”這個(gè)詞在當(dāng)時(shí)還沒有他后來所獲得的基本意義。當(dāng)時(shí)的獨(dú)裁者通常是普通市民，也就是人民利益的代表，因此是反對貴族的。畢達(dá)格拉斯的門徒們的貴族傾向不合波利克拉特的意，他們的學(xué)校很快就被搗毀了。神秘?cái)?shù)學(xué)的信徒們連同他們超人的老師一起，被迫從島上逃跑了。他們很可能是沿著整個(gè)地中海遷移。他們大部分定居在被稱為偉大國家的希臘。亞平寧半島的南部和西西里島也因此而獲得了偉大的稱號(hào)。畢達(dá)格拉斯本人定居在塔連特，他在那里又當(dāng)上了校長。年輕人又像在薩莫斯那樣聚集在他的周圍，可是，這所學(xué)校遭到了和薩莫斯島上的那所學(xué)校同樣的命運(yùn)。畢達(dá)格拉斯遷移到科羅多尼，又從那里跑到米太旁登，正像前面所提到的那樣，他八十歲或者九十歲時(shí)，死于米太旁登街道上的一次夜間搏斗之中。

現(xiàn)在，我們再來介紹一下畢達(dá)格拉斯學(xué)派所從事的科學(xué)研究。畢達(dá)格拉斯學(xué)派特別喜愛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一是數(shù)論。當(dāng)時(shí)，吸引他們的乃是數(shù)的某些符合他們帶有東方神秘色彩的神秘哲學(xué)的性質(zhì)。

畢達(dá)格拉斯學(xué)派認(rèn)為，世界上的一切都服從于整數(shù)的比數(shù)所服從的那樣的規(guī)律。他們發(fā)現(xiàn)，在用力相等的情況下，弦長的比數(shù)等于像2：3，3：4等等自然數(shù)的比數(shù)時(shí)，各弦就同時(shí)發(fā)出諧音。他們把這種局部的現(xiàn)象推及到整個(gè)宇宙。這樣，按照他們的學(xué)說，地球，月亮，當(dāng)時(shí)已知的所有的行星以及太陽都圍繞著某個(gè)中心火球的球面旋轉(zhuǎn)。這些球面的半徑同樣也有和發(fā)出諧音的弦長那樣的比數(shù)。任何可以列舉出來的宇宙中的物體，在其運(yùn)動(dòng)時(shí)似乎也都發(fā)出這樣的諧音。

盡管畢達(dá)格拉斯學(xué)派的宇宙構(gòu)造論帶有神秘的性質(zhì)，地球圍繞著某個(gè)中心旋轉(zhuǎn)的正確思想確是以此為基礎(chǔ)的，盡管畢達(dá)格拉斯學(xué)派所指的這個(gè)中心不是太陽，而是某個(gè)不存在的中心火球。

畢達(dá)格拉斯學(xué)派把所有的整數(shù)分為善的和惡的兩種。奇數(shù)為善的，偶數(shù)為惡的。單位數(shù)1被認(rèn)為即是善的又是惡的開始，因?yàn)樯频钠鏀?shù)加上它就變成為惡的數(shù)，而惡的數(shù)加上它就變成為善的數(shù)。

畢達(dá)格拉斯學(xué)派的思想中的許多東西在數(shù)學(xué)中得到了進(jìn)一步的發(fā)展。從畢達(dá)格拉斯學(xué)派所研究的數(shù)論中自然提出了許多問題，由此導(dǎo)出了非常重要而又難以得到的結(jié)果。

也就是在畢達(dá)格拉斯學(xué)派正陶醉于這種宇宙的整數(shù)諧音的時(shí)候，他們發(fā)現(xiàn)，原來還有一些不能寫成整數(shù)的比數(shù)的數(shù)。例如，
就是這樣一個(gè)數(shù)。這使他們?nèi)缏勁Z，大為震驚。

為了回答這個(gè)問題，我們還是回到畢達(dá)格拉斯定理上來。我們不禁想到，一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這里，我們會(huì)取一個(gè)每條直角邊都等于1的等腰直角三角形。那么，根據(jù)上述定理，斜邊的平方等于2，因此斜邊本身等于
。但是，
不可能寫成兩個(gè)整數(shù)的比數(shù)。今天，都知道這個(gè)數(shù)是無理數(shù)。畢達(dá)格拉斯學(xué)派自己顯然沒有明確的無理數(shù)的概念，但是他們發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)事實(shí)，就是有些線段的長度無法使它們和整數(shù)的比數(shù)相等。這一發(fā)現(xiàn)從根本上和他們的“整數(shù)”哲學(xué)相抵觸。他們怎么辦呢？除了他們心里想到的以外，什么也沒有做。他們設(shè)法隱瞞了自己的發(fā)現(xiàn)，不讓未得真?zhèn)鞯娜藗冎馈]有無理數(shù)！什么也沒有！有的只是整數(shù)和它們的比數(shù)！

然而，想瞞也瞞不住，誰也無法長期隱瞞這一發(fā)現(xiàn)，過了一段時(shí)間，無理數(shù)的秘密就開始被不是畢達(dá)格拉斯學(xué)生的那些人知道了。據(jù)說，這個(gè)秘密是被畢達(dá)格拉斯的一個(gè)名叫基普帕斯的學(xué)生泄露出去的。從畢達(dá)格拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)來看，這是駭人聽聞的罪行！要知道，他們每個(gè)人入學(xué)時(shí)，都莊嚴(yán)地宣誓要始終嚴(yán)守秘密，然后才能允許入學(xué)。現(xiàn)在卻出現(xiàn)了違背這一誓言的罪人。怎樣處置他呢？畢達(dá)格拉斯的門徒們祈求神靈的幫助。當(dāng)基普帕斯的船隊(duì)載著大量的貨物返回故鄉(xiāng)的港灣時(shí)，海神普賽登使他遭受到了可怕的暴風(fēng)雨。暴風(fēng)雨開始沖散了船隊(duì)，然后使船連同船主一起沉歿。這個(gè)傳說當(dāng)然是畢達(dá)格拉斯的門徒們自己編造出來的。

顯然，很難想象一個(gè)埃及人如果知道了有什么長度不能用整數(shù)的比數(shù)來表示，他們會(huì)這么憂愁。埃及人還根本不能把類似的事實(shí)當(dāng)作具有原則意義的事實(shí)，他們沒有達(dá)到這樣的數(shù)學(xué)程度。到了畢達(dá)格拉斯時(shí)，這些事實(shí)的原則上的重要性已經(jīng)充分地認(rèn)識(shí)到了。這時(shí)，對于我們下面要研究的那些問題已經(jīng)產(chǎn)生了興趣。從其實(shí)用價(jià)值的觀點(diǎn)來看，這些問題可能被認(rèn)為是不重要的，但在作為一種科學(xué)理論的數(shù)學(xué)中，卻是非常重要和必要的。

不應(yīng)當(dāng)這樣認(rèn)為：不能直接從某一個(gè)科學(xué)的事實(shí)中得到利益，就只能使這個(gè)事實(shí)成為理論的財(cái)富。理論本身是人類實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)物，對于理論具有價(jià)值的東西，從實(shí)踐這個(gè)詞最直接的意義上來說，歸根到底，對于實(shí)踐也是重要的
圓上的格點(diǎn)問題

你找一個(gè)直角座標(biāo)圖紙，然后以原點(diǎn)為中心，1單位長為半徑畫一個(gè)圓。你看看這個(gè)圓經(jīng)過哪一些點(diǎn)，它的x座標(biāo)及y座標(biāo)是整數(shù)的？

你會(huì)看到只有四點(diǎn)，即（0，1），（0，-1），（-1，0），（1，0）。

我們在數(shù)學(xué)上把這類平面上x座標(biāo)及y座標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，或者格點(diǎn)（lattice point）。現(xiàn)在再看以原點(diǎn)為中心， 2單位長為半徑的圓經(jīng)過的格點(diǎn)有（1，1），（1，-1）及（-1，-1）。

經(jīng)過一些格點(diǎn)呢？你看了以上的例子，你會(huì)多數(shù)說：“一定會(huì)有一些格點(diǎn)在圓上。”

原點(diǎn)為中心畫圓，你看一看會(huì)有什么結(jié)果？

我的天，真是奇怪，怎么這時(shí)候沒有格點(diǎn)落在圓上呢？是的，數(shù)學(xué)就是這樣有趣的玩意兒，問題的條件稍微有一點(diǎn)變化，整個(gè)結(jié)果的情形就改變了。

上面？”就等價(jià)于問：“代數(shù)方程x2+y2=n是否有整數(shù)解？”

在n=4，5時(shí)讀者很容易可以找到它們的解。可是在n=6，7時(shí)卻無解了。n=8時(shí)卻有解。

我們檢驗(yàn)n=1，2，…，8看到n在3，6，7時(shí)是無解。

現(xiàn)在看到6=3×2，7=4+3，我們或許可以作下面的：

（猜測A）當(dāng)x2+y2=3k（k=1，2，…），方程是無整數(shù)解。

（猜測B）當(dāng)x2+y2=4k+3（k=1，2，…），方程是無整數(shù)解。

檢驗(yàn)（猜測 A）看到當(dāng) k=1，2，3，4，5時(shí)方程真的是無整數(shù)解。很可能（猜測A）真是一個(gè)定理。你再對k=6檢驗(yàn)這時(shí)你卻發(fā)現(xiàn)（±3）3+（±3）2=18因此（猜測 A）是不對的。

（猜測B）卻真的是一個(gè)定理。用同余的性質(zhì)是很容易證明：由于4k+3是奇數(shù)，所以x和y不能同時(shí)是奇數(shù)或偶數(shù)，理由是偶2+偶2=偶，奇2+奇2=偶。一定要x和y一個(gè)是奇數(shù)及一個(gè)是偶數(shù)。假定x是奇數(shù)，它被4除后余數(shù)可能是1或3，即x≡1（mod 4）或 x≡3（mod 4）， 因此 x2≡12（mod 4）或x2≡9（mod 4），即x2≡1（mod 4）。如果y是偶數(shù)，則 y2≡0（mod 4），因此由同余性質(zhì)可以知道x2+y2≡1（mod 4），所以x2+y2應(yīng)該是形如 4t+1的樣子而不會(huì)是形如 4m+3，這和假設(shè)矛盾。所以x2+y2=4k+3不會(huì)有整數(shù)解。
偶完全數(shù)的一個(gè)巧妙的性質(zhì)

我們上文介紹過偶完全數(shù)。為了使讀者能了解同余能幫助我們更深入認(rèn)識(shí)數(shù)的一些美麗性質(zhì)，我們來研究偶完全數(shù)一個(gè)很巧妙的性質(zhì)。

我們回憶一下：完全數(shù)是那些整數(shù)，它的所有小于它本身的因子的和是等于自身。我們知道的完全數(shù)到目前為止只有27個(gè)，而且都是偶數(shù)。最小的幾個(gè)是 6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336等等。

你可以看到這些數(shù)的個(gè)位數(shù)和十位數(shù)時(shí)常是6或28。如果明天有一個(gè)新的偶完全數(shù)被人們發(fā)現(xiàn)，它的個(gè)位數(shù)或十位數(shù)是否也會(huì)是6或28呢？

我們知道二千年前的歐幾里得及18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家歐拉證明了偶完全數(shù)只能是2k-1（2k-1）這里 k=2或k是奇數(shù)。

k=2時(shí)，我們得最小的偶完全數(shù) 2（22-1）=6；

現(xiàn)在看k是奇數(shù)的情形，奇數(shù)可以分成兩類：

第一類 k被4除后余1，即 k≡1（mod 4）

由于 k-1=4n，所以2k-1=24n=（24）n

從24=16≡6（mod 10）我們有2k-1≡6n（mod 10），但是62=36≡6（mod 10）， 63≡6（mod 10），一般6n≡6（mod 10）所以由同余的傳遞性我們說2k-1≡6（mod 10）。

所以2k=2×2k-1≡2×6=12≡2（mod 10）

因此2k-1≡2-1（mod 10）即2k-1≡1（mod 10）

所以（2k-1）2k-1≡6（mod 10），這就是說當(dāng)偶完全數(shù)的k是第一類，這數(shù)減6后必能被10整除，也就意味著這完全數(shù)的個(gè)位數(shù)是6。

第二類 k被4除后余3，即 k≡3（mod 4）

由k-3=4n，我們得2k-1=24n+2=24n·22≡6·4≡4（mod 10）

讀者用數(shù)學(xué)歸納法可以證明當(dāng)k＞3時(shí)，所有的 2k-1都能被4整除，因此 2k-1的個(gè)位數(shù)是 4，且最后的兩位數(shù)也能被 4整除，所以它最后兩位數(shù)可能出現(xiàn)04，24，44，64或者84，即2k-1≡4，24，44，64或84（mod 100）

所以2k-1≡2×2k-1≡7，47，87，27，或67（mod 100）

因此2k-1（2k-1）≡4×7，24×47，44×87，64×27或

讀者試試算以上的各種情形一定會(huì)得到

2k-1（2k-1）≡28（mod 100）
數(shù)學(xué)心理學(xué)

數(shù)學(xué)心理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來描述心理現(xiàn)象的心理學(xué)分支。德國心理學(xué)家費(fèi)希納在1860年的心理物理學(xué)研究中，最早用數(shù)學(xué)公式表達(dá)了客觀物理量和主觀感覺強(qiáng)度之間的函數(shù)關(guān)系。1927年瑟斯頓在制定心理量表時(shí)提出了比較判斷率，并用公式來表明兩個(gè)刺激間的主觀距離。這些工作都屬于數(shù)學(xué)心理學(xué)的范疇。但是，當(dāng)時(shí)這類工作為數(shù)不多，也比較分散，還沒有數(shù)學(xué)心理學(xué)之稱。第二次世界大戰(zhàn)后，由于信息論、控制論、統(tǒng)計(jì)決策論及計(jì)算機(jī)科學(xué)的推動(dòng)，數(shù)學(xué)心理學(xué)才得到真正的發(fā)展。20世紀(jì)50年代初，埃斯蒂斯、布什和莫斯蒂勒提出的學(xué)習(xí)模型，是這一新方向的開端。目前實(shí)驗(yàn)心理學(xué)的許多重要領(lǐng)域，如測量、決策、學(xué)習(xí)和社會(huì)的相互作用等方面，都已制定出大量的數(shù)學(xué)模型。

一般說來，數(shù)學(xué)模型的建立，首先是把需要研究的心理現(xiàn)象，如知覺、學(xué)習(xí) 、決策等等，從復(fù)雜的心理活動(dòng)中分離出來，構(gòu)成一個(gè)特定的集合，把原始資料加工成集合中的客體和關(guān)系。然后用代數(shù)的、幾何的、概率的、公理的形式，或者是計(jì)算機(jī)程序和方程式的形式，把它們表現(xiàn)出來。在這里，主要的問題是確定研究領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng) ，和表達(dá)它的形式系統(tǒng)之間的對應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)模型建立之后，通過邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算可以推導(dǎo)出一定的結(jié)果。如果給模型以一定的解釋，所推出的結(jié)果就可以看作是對經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的某種預(yù)測。進(jìn)一步將預(yù)測值與實(shí)際測試值加以比較，依據(jù)二者的符合程度，還可以對數(shù)學(xué)模型加以修正。用數(shù)學(xué)模型描述心理現(xiàn)象，其優(yōu)越性不僅是它比自然語言的描述具有更大的概括性、準(zhǔn)確性、演繹力和預(yù)測力，更重要的是它便于計(jì)算機(jī)的模擬，為人工智能的發(fā)展創(chuàng)造了條件。
整數(shù)表示為平方數(shù)和的問題

我們現(xiàn)在考慮兩個(gè)數(shù)列：

n：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，…

n2：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，…

我們用S（k）來表示那些整數(shù)，可以用k個(gè)平方數(shù)的和來表示的集合。

例 S（2）={1，2，4，5，…}

讀者如果注意觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)凡是形如 4k+3的整數(shù)都不在S（2）里面。

S（3）有什么整數(shù)呢？首先1是在里面，1=12+02+02，2也是在里面，因?yàn)?=12+12+02。3也可在里面，因?yàn)?=12+12+12。4=22+02+02，5=22+12+02，6=22+12+12所以4，5，6都在S（3）。但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)7不在S（3）里。

如果你多次觀察你也會(huì)發(fā)現(xiàn)凡是形如 8k+7的整數(shù)都不在S（3）里。

S（4）是包含什么樣的東西呢？答案是：所有的自然數(shù)。這是法國數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange 1736－1813）在 1770年證明的一個(gè)有名的定理。

要證明整數(shù)形如 4k+3不在 S（2）里，及形如 81+7不在S（3）里是否會(huì)很難呢？我想不會(huì)太難，我們用同余就可以協(xié)助我們解決。

我們知道自然數(shù)可以根據(jù)同余分成四個(gè)部分

[0]4=那些是4的倍數(shù)的整數(shù)集

[1]4=那些形如4k+1的整數(shù)集

[2]4=那些形如4k+2的整數(shù)集

[3]4=那些形如4k+3的整數(shù)集

由于（4k+1）2=（4k）2+2（4k）+1=4（4k2+2k）+1

（4k+2）2=（4k）2+4（4k）+4=4（4k2+4k+1）

（4k+3）2=（4k）2+6（4k）+9=4（4k2+6k+2）+1因此在[0]4的數(shù)，平方后仍舊在[0]4表面不會(huì)跑掉。因而[1]4里的數(shù)也是平方后仍在原來的老巢里。但是在[2]4里的數(shù)，一平方后就飛到[0]4里去了。[3]4的數(shù)也是一樣，平方后溜到[1]4中。

由此我們知道：任何數(shù)一平方后，要不是形如 4k就是形如4k+1。

現(xiàn)在看兩個(gè)平方數(shù)x，y的和。可能情形有三種：

第一種：x是形如4k，y是形如4k，x+y當(dāng)然是形如4k

第二種：x是形如4k，y是形如4k+1，x+y當(dāng)然是形如4K+1

第三種：x是形如4k+1，y是形如4k+1，x+y當(dāng)然是形如4k+2

這三種情形都沒有4k+3的樣子，這就是說凡是形如4k+3的整數(shù)一定不能表示成兩個(gè)平方數(shù)的和。

你看我們不是解決了S（2）的情形，關(guān)于在S（3）中不包含8k+7的形狀的數(shù)的證明，留給讀者自己練習(xí)。你看我們是怎么樣對S（2）的情形考慮，類似處理S（3）的情形，動(dòng)腦筋想一想就可以很容易解決了。
數(shù)學(xué)符號(hào)化的擴(kuò)充：數(shù)理邏輯的興起

數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是計(jì)算和證明。在十七世紀(jì)，算術(shù)因符號(hào)化促使了代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，代數(shù)使計(jì)算變得精確和方便，也使計(jì)算方法系統(tǒng)化。費(fèi)爾馬和笛卡兒的解析幾何把幾何學(xué)代數(shù)化，大大擴(kuò)展了幾何的領(lǐng)域，而且使得少數(shù)天才的推理變成機(jī)械化的步驟。這反映了代數(shù)學(xué)作為普遍科學(xué)方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數(shù)化。與笛卡兒同時(shí)代的英國哲學(xué)家霍布斯也認(rèn)為推理帶有計(jì)算性質(zhì)，不過他并沒有系統(tǒng)地發(fā)展這種思想。

現(xiàn)在公認(rèn)的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數(shù)”，其中把一切推理都化歸為計(jì)算。實(shí)際上這正是數(shù)理邏輯的總綱領(lǐng)。他希望建立一套普遍的符號(hào)語言，其中的符號(hào)是表義的，這樣就可以象數(shù)字一樣進(jìn)行演算，他的確將某些命題形式表達(dá)為符號(hào)形式，但他的工作只是一個(gè)開頭，大部分沒有發(fā)表，因此影響不大。

真正使邏輯代數(shù)化的是英國數(shù)學(xué)家布爾，他在1847年出版了《邏輯的數(shù)學(xué)分析》，給出了現(xiàn)代所謂的“布爾代數(shù)”的原型。布爾確信符號(hào)化會(huì)使邏輯變得嚴(yán)密。他的對象是事物的類，1表示全類，0表示空類；xy表示x和y的共同分子所組成的類，運(yùn)算是邏輯乘法；x＋y表示x和y兩類所合成的類，運(yùn)算是邏輯加法。

所以邏輯命題可以表示如下：凡x是y可以表示成x(1－y)＝0；沒有x是y可以表示成xy＝0。它還可以表示矛盾律 x(1－x)＝0；排中律x＋(1－x)＝1。

布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當(dāng)x、y不是類而是命題，則x＝1表示的是命題 x為真，x＝0表示命題x為假，1－x表示x的否定等等。顯然布爾的演算構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，遵守著某些規(guī)律，這就是布爾代數(shù)。特別是它遵從德?莫爾根定律。

美國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家小皮爾斯推進(jìn)了命題演算，他區(qū)別了命題和命題函數(shù)。一個(gè)命題總是真的或假的，而一個(gè)命題函數(shù)包含著變元，隨著變元值選取的不同，它可以是真也可以是假。皮爾斯還引進(jìn)了兩個(gè)變元的命題函數(shù)以及量詞和謂詞的演算。

對現(xiàn)代數(shù)理邏輯貢獻(xiàn)最大的是德國耶拿大學(xué)教授、數(shù)學(xué)家弗雷格。弗雷格在1879年出版的《概念文字》一書中不僅完備地發(fā)展了命題演算，而且引進(jìn)了量詞概念以及實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的概念，他還給出一個(gè)一階謂詞演算的公理系統(tǒng)，這可以說是歷史上第一個(gè)符號(hào)邏輯的公理系統(tǒng)。因此在這本只有88頁的小冊子中，包含著現(xiàn)代數(shù)理邏輯的一個(gè)頗為完備的基礎(chǔ)。

1884年，弗雷格的《算術(shù)基礎(chǔ)》出版，后來又?jǐn)U展成《算術(shù)的基本規(guī)律》。不過由于他的符號(hào)系統(tǒng)煩瑣復(fù)雜，從而限制了它的普及，因此在十九世紀(jì)時(shí)，他的著作流傳不廣。后來由于羅素的獨(dú)立工作，才使得弗雷格的工作受到重視。

用符號(hào)語言對數(shù)學(xué)進(jìn)行公理化的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾，他在1889年用拉丁文寫了一本小冊子《用新方法陳述的算術(shù)原理》。在這之前，皮亞諾已經(jīng)把布爾和施羅德的邏輯用在數(shù)學(xué)研究上，并且引進(jìn)了一系列對于他前人工作的更新。例如對邏輯運(yùn)算和數(shù)學(xué)運(yùn)算使用不同的符號(hào)，區(qū)別范疇命題和條件命題，這引導(dǎo)他得出量詞理論。

這些改進(jìn)都是對于布爾和施羅德理論的改進(jìn)，而不是對弗雷格理論的改進(jìn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)皮亞諾還不知道弗雷格的工作。在《算術(shù)原理》中，他在引進(jìn)邏輯概念相公式之后，開始用符號(hào)的記法來重寫算術(shù)，在這本書中他討論了分?jǐn)?shù)、實(shí)數(shù)、甚至極限和點(diǎn)集論中的概念。

皮亞諾引進(jìn)最原始的算術(shù)概念是“數(shù)”“1”“后繼”和“等于”，并且陳述了關(guān)于這些概念的九條公理。今天我們認(rèn)為其中公理2、3、4、5都是討論恒等的，應(yīng)該屬于邏輯公理，所以就剩下了五條公理。這就是現(xiàn)在眾所周知的皮亞諾公理。最后一條公理即公理9，就是所謂數(shù)學(xué)歸納法原理，他用類的詞句來表述，其中包含一個(gè)類變元。皮亞諾承認(rèn)他的公理化來自戴德金。

從1開始，皮亞諾用x＋1來表示后繼函數(shù)。然后作為定義引進(jìn)了加法和乘法。這些定義是遞歸的定義。雖然在他的系統(tǒng)中，皮亞諾沒有象戴德金那樣有力的定理可資利用，但皮亞諾并沒有公開地宣稱這些定義可以去掉。

這本書的邏輯部分還列出命題演算的公式，類演算的公式，還有一部分量詞的理論。皮亞諾的符號(hào)要比布爾和施羅德的符號(hào)高明得多，標(biāo)志著向近代邏輯的重要轉(zhuǎn)變。他還對于命題的演算和類演算做了某些區(qū)別。這就是我們現(xiàn)在的兩種不同演算，而不是同一種演算的兩種不同解釋。它的普遍量詞記號(hào)是新的，而且是便利的。

不過書里還是存在缺點(diǎn)，如公式只是列出來的，而不是推導(dǎo)出來的；因?yàn)闆]有給出推導(dǎo)規(guī)則，皮亞諾引進(jìn)了代入規(guī)則的概念，但是也沒有給出任何規(guī)則；更嚴(yán)重的是他沒有給出任何分離規(guī)則，結(jié)果盡管他的系統(tǒng)有許多優(yōu)點(diǎn)，但他沒有可供使用的邏輯。一直到后來，他才在一系列文章，特別是1895年發(fā)表的《數(shù)學(xué)論集》中，對這些邏輯公式進(jìn)行了證明。然而他這些證明還是缺少推演規(guī)則，在這方面他受到了弗雷格的批評(píng)。后來皮亞諾盡力想比弗雷格的《概念文字》有更多的內(nèi)容，但是他做得并不夠。不過他的這些著作在數(shù)學(xué)界仍有很大影響，得到廣泛的傳播。

命題演算

邏輯演算是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，命題演算是邏輯演算最基本的組成部分。命題演算研究命題之間的關(guān)系，比如簡單命題和復(fù)雜命題之間的關(guān)系，簡單命題如何構(gòu)成復(fù)雜命題，由簡單命題的真假如何推出復(fù)雜命題的真假等等。對于具體命題，我們不難通過機(jī)械運(yùn)算來達(dá)到我們的目的，這就是命題的算術(shù)。

對于命題演算最早是由美國邏輯學(xué)家波斯特在1921年給出證明的，他的證明方法是把命題化為標(biāo)準(zhǔn)形式—合取范式。教科書中常見的證明是匈牙利數(shù)學(xué)家卡爾馬給出的。除了這些構(gòu)造性證明之外，還有用布爾代數(shù)的非構(gòu)造性證明。

一階謂詞演算

在命題演算中，形式化的對象及演算的對象都是語句。但是，在數(shù)學(xué)乃至一般推理過程中，許多常見的邏輯推理并不能建立在命題演算的基礎(chǔ)上。例如：1．張三的每位朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友，所以王五不是張三的朋友。因此，我們必須深入到語句的內(nèi)部，也就是要把語句分解為主語和謂語。

謂詞演算要比命題演算范圍寬廣得多，這由變元也可以反映出來。命題演算的變元只是語句或命題，而謂詞演算的變元有三類：個(gè)體變元、命題變元、謂詞變元。由于謂詞演算中有全稱量詞和存在量詞，在這些量詞后面的變化稱為約束變元，其他變元稱為自由變元。最簡單的謂詞演算是狹義謂詞演算，現(xiàn)在通稱一階謂詞演算。

謂詞演算中的普遍有效公式與命題演算中的重言式還是有差別的。我們有行之有效的具體方法來判定一個(gè)公式是不是重言式。這種方法每一步都有明確的規(guī)定，并且可以在有限步內(nèi)完成，這種方法我們稱為能行的。但是在謂詞演算中，并沒有一種能行的方法來判定任何一個(gè)公式是否普遍有效的。這就需要尋找一種能行的方法來判定某個(gè)具體公式或一類公式是否普遍有效，這就是所謂判定問題。它是數(shù)理邏輯中最主要的問題之一。

一階謂詞演算的普遍有效公式也有一個(gè)公理系統(tǒng)。另外，同樣也有代入規(guī)則及推理規(guī)則。另外，還有約束變元改字規(guī)則等變形規(guī)則。在謂詞演算中也可以將每一個(gè)公式通過變形規(guī)則化為標(biāo)準(zhǔn)形式。其中最常用的是所謂前束范式，也就是公式中所有的量詞都放在最前面，而且還可以把前束范式進(jìn)一步化成斯科蘭路范式，它不但具有前束范式的形狀，而且每一個(gè)存在量詞都在所有全稱量詞之前。

利用范式可以解決許多問題，最重要的是哥德爾證明的一階謂詞演算的公理系統(tǒng)的完全性定理，即可以證明：公式A在公理系統(tǒng)中可以證明的當(dāng)且僅當(dāng)A是普遍有效的。同樣，一階謂詞演算的公理系統(tǒng)也是協(xié)調(diào)(無矛盾)的、相獨(dú)立的。1936年丘奇和圖林獨(dú)立的證明一階謂詞演算公式的一般判定問題不可解問題，可以變?yōu)槿ソ鉀Q具有特殊形式的范式公式的判定問題。

其他邏輯演算

邏輯演算系統(tǒng)很多，命題演算應(yīng)該說來源于布爾，布爾的系統(tǒng)是非真即假的二值系統(tǒng)。真值大于2的邏輯系統(tǒng)稱為多值邏輯。多值邏輯首先由波蘭數(shù)學(xué)家盧卡西維茨在1920年引進(jìn)，波斯特在1921年也獨(dú)立地引進(jìn)。多值邏輯有著廣泛的應(yīng)用，在二十世紀(jì)七十年代，國際上就曾多次召開專門的多值邏輯會(huì)議。

另一種常見的邏輯是模態(tài)邏輯，它是美國邏輯學(xué)家劉易斯在1918年引進(jìn)的。他考慮的不是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵而是嚴(yán)格蘊(yùn)涵。另外，他在邏輯中也考慮所謂必要性與可能性等問題，引進(jìn)著名的模態(tài)算子，這是直觀可能性的形式化。

還有一個(gè)包括古典邏輯演算的公理系統(tǒng)，即直覺主義公理系統(tǒng)，其中否定排中律，它是荷蘭數(shù)學(xué)家海丁于1930年引進(jìn)的。它雖因直覺主義而得名，但是可以得到其他的解釋，在現(xiàn)代數(shù)理邏輯的研究中十分重要。

在數(shù)理邏輯的研究中，狹義謂詞演算是最重要的。狹義謂詞演算也稱一階謂詞演算，許多人默認(rèn)數(shù)學(xué)中所用的邏輯通用為一階謂詞演算。但是，許多涉及數(shù)學(xué)問題的邏輯演算必須加進(jìn)有關(guān)等號(hào)的謂詞，稱為具等式的一階謂詞演算。這是現(xiàn)在最常用的一種邏輯系統(tǒng)，在研究算術(shù)系統(tǒng)中就要用到它。

但是，即使象實(shí)數(shù)的算術(shù)系統(tǒng)，一階謂詞演算也是不夠的，更何況現(xiàn)代數(shù)學(xué)中涉及集合的子集，因此一階謂詞演算是不足以表達(dá)的。這時(shí)需要二階謂詞演算乃至高階謂詞演算，其中首先出現(xiàn)的是謂詞變元。

不過，在現(xiàn)代數(shù)理邏輯的研究中，常常通過其它方式推廣一階謂詞演算。比如一種常用的“無窮”邏輯允許無窮公式，即公式中容許可數(shù)多合取或析取，不過量詞仍限制為有限多。這種無窮邏輯現(xiàn)在在集合論、遞歸論、模型論當(dāng)中是必不可少的。另外一種推廣一階謂詞演算的途徑是引進(jìn)新的量詞，比如“存在許多……”。

邏輯系統(tǒng)比數(shù)學(xué)系統(tǒng)更不統(tǒng)一，各人用的系統(tǒng)在細(xì)節(jié)上有許多不同，而且同一概念也用不同的符號(hào)來表示。第一套是弗雷格自己系統(tǒng)運(yùn)用的，但是連他的后繼者也不用這套極不方便的符號(hào)系統(tǒng)。第二套是皮亞諾首先在《數(shù)學(xué)論集》提出的，后經(jīng)羅素和懷特海在《數(shù)學(xué)原理》中使用。一般文獻(xiàn)通用的都是這種符號(hào)系統(tǒng)的改進(jìn)形式，如希爾伯特和他的學(xué)生們采用的也屬于這一套。第三套是盧卡西維茨使用的，后來也有人用，如普瑞爾在《形式邏輯》中就加以來用。
數(shù)學(xué)，確定性的喪失

若想預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　──H?彭加勒

戰(zhàn)爭、饑荒和瘟疫能引起悲劇，然而，人類思想的局限性也能引起智力悲劇。本書論及的不幸事件降臨在人類最為卓著且無與倫比的成就，對人類的理性精神具有最持久和最深刻的影響—數(shù)學(xué)的頭上。

換句話說，這本書在非專業(yè)層次上探討數(shù)學(xué)尊嚴(yán)的興衰。看到數(shù)學(xué)現(xiàn)在的宏大規(guī)模，日益增多甚至呈繁榮之勢的數(shù)學(xué)活動(dòng)，每年發(fā)表的數(shù)以千計(jì)的研究論文，對計(jì)算機(jī)興趣的該頭漲，以及尤其是在社會(huì)科學(xué)和生物科學(xué)中對定量關(guān)系的廣泛研究，數(shù)學(xué)的衰落何從談起？悲劇存在于何處？要回答這些問題，我們必須首先考慮是什么為數(shù)學(xué)贏得了巨大的聲望和榮譽(yù)。

作為一個(gè)獨(dú)立知識(shí)體系的數(shù)學(xué)起源于古希臘，自它誕生之日起的兩千多年來，數(shù)學(xué)家們一直在追求真理，而且成就輝煌。關(guān)于數(shù)和幾何圖形的龐大理論體系為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)看來似乎永無休止的確定性前景。

在數(shù)學(xué)以外的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)概念及其推論為重大的科學(xué)理論提供精髓。盡管通過數(shù)學(xué)和科學(xué)的合作才獲得的知識(shí)用到了自然定律，但它們看來似乎與絕對的數(shù)學(xué)真理一樣絕對可信，因?yàn)樘煳膶W(xué)、力學(xué)、光學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)中的數(shù)學(xué)所做的預(yù)測與觀察和實(shí)驗(yàn)相當(dāng)吻合。因此，數(shù)學(xué)能牢固把握宇宙的所作所為，能瓦解玄秘并代之以規(guī)律和秩序。人類得以趾高氣揚(yáng)地俯瞰他周圍的世界，吹噓自己已經(jīng)掌握了宇宙的許多秘密（實(shí)際上是一系列數(shù)學(xué)定理）。拉普拉斯的話概括了數(shù)學(xué)家們一直在不懈地尋求真理的信念。他說，牛頓是最幸運(yùn)的人因?yàn)橹挥幸粋€(gè)宇宙，而他已發(fā)現(xiàn)了它的規(guī)律。

數(shù)學(xué)依賴于一種特殊的方法去達(dá)到它驚人而有力的結(jié)果，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理。它的實(shí)質(zhì)是，若公理為真，則可以保證由它演繹出的結(jié)論為真。通過應(yīng)用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出顯然是毋庸置疑、無可辯駁的結(jié)論。數(shù)學(xué)的這套方法今天仍然沿用，任何時(shí)候，誰想找一個(gè)推理的必然性和準(zhǔn)確性的例子，一定會(huì)想到數(shù)學(xué)。這種數(shù)學(xué)方法所取得的成功吸引了最偉大的智者，數(shù)學(xué)已顯示了人類理性的能力、根源和力量。所以他們猜測，為什么不能把這種方法用到由權(quán)威、風(fēng)俗、習(xí)慣控制的領(lǐng)域，比如在哲學(xué)、神學(xué)、倫理學(xué)、美學(xué)及社會(huì)科學(xué)中去尋求真理呢？人類的推理能力，在數(shù)學(xué)及自然科學(xué)中，是如此的卓有成效，肯定也將成為上述其他領(lǐng)域思想和行為的主宰，為其獲得真理的美和美的真理。因此，在稱作理性時(shí)代的啟蒙時(shí)代，數(shù)學(xué)方法甚至加上一些數(shù)學(xué)概念和定理，用到了人文事務(wù)中。

創(chuàng)造力最豐富的來源是后者。19世紀(jì)初的創(chuàng)造，包括令人奇怪的幾種幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)，迫使數(shù)學(xué)家們極不情愿地勉強(qiáng)承認(rèn)絕對意義上的數(shù)學(xué)以及科學(xué)中的數(shù)學(xué)真理并不都是真理。例如，他們發(fā)現(xiàn)幾種不同的幾何學(xué)同等地與空間經(jīng)驗(yàn)相吻合，它們可能都不是真理。顯然，自然界的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)并不是固有的，或者如果是的話，人類的數(shù)學(xué)都未必是那個(gè)設(shè)計(jì)的最好詮釋。開啟真理的鑰匙失去了，這一事實(shí)是降臨到數(shù)學(xué)頭上的第一個(gè)不幸事件。

新的幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)的誕生使數(shù)學(xué)家們感受到另一個(gè)宇宙的震動(dòng)。尋求真理的信念使數(shù)學(xué)家們?nèi)缱砣绨V，總是迫不及待地用嚴(yán)密論證去追求那些虛無飄渺的真理。認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)并不是真理的化身動(dòng)搖了他們產(chǎn)生于數(shù)學(xué)的那份自信，他們開始重新檢驗(yàn)他們的創(chuàng)造。他們失望地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的邏輯形容枯槁，慘不忍睹。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)已經(jīng)不合邏輯地發(fā)展。其不僅包括錯(cuò)誤的證明，推理的漏洞，還有稍加注意就能避免的疏誤。這樣的大錯(cuò)比比皆是。這種不合邏輯的發(fā)展還涉及對概念的不充分理解，無法真正認(rèn)識(shí)邏輯所需要的原理，以及證明的不夠嚴(yán)密；就是說，直覺、實(shí)證及借助于幾何圖形的證明取代了邏輯論證。

不過，數(shù)學(xué)仍然是一種對宇宙的有效描述，而且在許多人心里，特別是在柏拉圖主義者看來，數(shù)學(xué)自身當(dāng)然還是一個(gè)頗具魅力的知識(shí)體系，一個(gè)因具真實(shí)性而受到青睞的部分。因此，數(shù)學(xué)家們決定彌補(bǔ)丟失了的邏輯結(jié)構(gòu)，重建有缺陷的部分。在19世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)化運(yùn)動(dòng)格外引人注目。

到1900年，數(shù)學(xué)家確信他們已實(shí)現(xiàn)了自己的目標(biāo)。盡管他們不得不滿足于數(shù)學(xué)僅能作為宇宙的一個(gè)近似描述的觀點(diǎn)，許多人甚至放棄了宇宙的數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)這一信念，但他們的確慶幸他們重建了數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。然而，他們還沒來得及炫耀自封的成功，在重建的數(shù)學(xué)中就發(fā)現(xiàn)了矛盾。一般稱這些矛盾為悖論，這是避免直接說矛盾而破壞了數(shù)學(xué)邏輯的委婉用語。

當(dāng)時(shí)那些領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家?guī)缀趿⒖叹屯渡碛诮鉀Q這些矛盾，結(jié)果他們構(gòu)想、闡述甚至推出了四種不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，每一種都有眾多的追隨者。那些基礎(chǔ)的學(xué)派不僅努力解決已有的矛盾而且力爭避免新的矛盾出現(xiàn)，就是說，建立數(shù)學(xué)的相容性。在這些基礎(chǔ)研究中又出現(xiàn)了其他的問題，某些公理和演繹邏輯推理的可接受性也成為幾個(gè)學(xué)派采取不同立場的重要原因。

到1930年，數(shù)學(xué)家已滿足于接受幾種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一兩個(gè)，并且宣稱自己的數(shù)學(xué)證明至少和這些學(xué)派的原則相符。但是，災(zāi)難再次降臨，形式是K．哥德爾的一篇著名論文。哥德爾證明了那幾個(gè)學(xué)派所接受的邏輯原理無法證明數(shù)學(xué)的一致性。這還不包括論文里其他一些意義重大、影響深遠(yuǎn)的結(jié)果。哥德爾表明，對已取得的成功提出質(zhì)疑不能不用到非常可疑的邏輯原理。哥德爾定理引起一場巨變。隨后的發(fā)展帶來了更大的麻煩。例如，就連過去極度推崇的、被認(rèn)為是精密科學(xué)方法的公理化—演繹方法看來也是有缺陷的。這些新的發(fā)展給數(shù)學(xué)增加了多種可能的結(jié)構(gòu)，同時(shí)也把數(shù)學(xué)家分成了更多的相異群體。

數(shù)學(xué)的當(dāng)前困境是有許多種數(shù)學(xué)而不是只有一種，而且由于種種原因每一種都無法使對立學(xué)派滿意。顯然，普遍接受的概念、正確無誤的推理體系──1800年時(shí)的尊貴數(shù)學(xué)和那時(shí)人的自豪—現(xiàn)在都成了癡心妄想。與未來數(shù)學(xué)相關(guān)的不確定性和可疑，取代了過去的確定性和自滿。關(guān)于“最確定的”科學(xué)的基礎(chǔ)意見不一致不僅讓人吃驚，而且，溫和一點(diǎn)說，是讓人尷尬。目前的數(shù)學(xué)或是故作深沉，或是對廣泛承認(rèn)的真理，所謂完美無缺的邏輯的拙劣模仿。

有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，關(guān)于接受什么作為真正數(shù)學(xué)的不同觀點(diǎn)，有一天會(huì)統(tǒng)一起來。這些人中比較有名的是一群署名為布爾巴基的法國領(lǐng)頭數(shù)學(xué)家。

然而，更多的數(shù)學(xué)家并不樂觀。

數(shù)學(xué)的終極基礎(chǔ)和終極意義尚未解決，我們不知道沿著什么方向可以找到最終答案，或者甚至于是否有希望得到一個(gè)最終的、客觀的答案。“數(shù)學(xué)化”很可能是人類原始創(chuàng)造力的一項(xiàng)創(chuàng)造性活動(dòng)，類似于語言或音樂，其歷史觀點(diǎn)否認(rèn)完全客觀的合理性。

用哥德的話說：一門科學(xué)的歷史就是這門科學(xué)本身。

對于正確的數(shù)學(xué)是什么所存在的分歧以及不同基礎(chǔ)的多樣性不僅嚴(yán)重影響數(shù)學(xué)本身，還波及到最為生機(jī)勃勃的自然科學(xué)。我們將看到，最先進(jìn)的自然科學(xué)理論（即這種理論的結(jié)論可以在感覺上或?qū)嶓w上體現(xiàn)出來。例如假設(shè)我們一點(diǎn)也不懂電磁波是什么，但我們卻能聽到收音機(jī)中傳出的聲音），全都是數(shù)學(xué)化的。因此，沒有親自對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下過功夫，而又不打算花費(fèi)數(shù)年時(shí)間研究不完美的數(shù)學(xué)的科學(xué)家，一定會(huì)關(guān)心什么樣的數(shù)學(xué)能被理直氣壯地應(yīng)用。

真理的喪失，數(shù)學(xué)和科學(xué)不斷增加的復(fù)雜性，以及何種方法用于數(shù)學(xué)是最保險(xiǎn)的不確定性，已使大多數(shù)數(shù)學(xué)家放棄科學(xué)。風(fēng)聲鶴唳，草木皆兵，數(shù)學(xué)家們不得不退回到證明方法看起來似乎很安全的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。他們還發(fā)現(xiàn)人為編造出來的問題比自然界提出來的問題更富魅力，處理起來更加得心應(yīng)手。

因完美的數(shù)學(xué)是什么而產(chǎn)生的危機(jī)和矛盾還阻礙了數(shù)學(xué)的方法在許多其他文化領(lǐng)域中的應(yīng)用，如哲學(xué)、政治科學(xué)、倫理學(xué)、美學(xué)。找到客觀、正確的定律和標(biāo)準(zhǔn)的希望變得微弱了，理性時(shí)代已經(jīng)過去。

盡管數(shù)學(xué)令人不滿意，方法復(fù)雜多變，對可接受公理持不同意見，還有隨時(shí)可能出現(xiàn)的新矛盾，都會(huì)殃及大部分?jǐn)?shù)學(xué)，但是，一些數(shù)學(xué)家仍然把數(shù)學(xué)應(yīng)用于自然現(xiàn)象中，而且事實(shí)上把應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)大到經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)和社會(huì)學(xué)。數(shù)學(xué)的繼續(xù)有效給我們兩點(diǎn)啟示。第一點(diǎn)是這種有效性可用作判別正確性的準(zhǔn)則，當(dāng)然這個(gè)準(zhǔn)則是暫時(shí)性的。今天認(rèn)為正確的，也許下次應(yīng)用時(shí)就會(huì)證明是錯(cuò)的。第二點(diǎn)涉及到未知。真正的數(shù)學(xué)是什么？對此并無定論。為什么數(shù)學(xué)依舊有效？我們是在用不完美的工具制造奇跡嗎？如果人類已經(jīng)被欺騙了，大自然也會(huì)受騙而屈服于人類的數(shù)學(xué)命令嗎？顯然不會(huì)。而且，正是憑借建立在數(shù)學(xué)之上的技術(shù)，人類成功地登上了月球，探測了火星和木星。這難道不是對宇宙中的數(shù)學(xué)理論的證實(shí)嗎？那么，數(shù)學(xué)的人為因素與變幻莫測又何從談起呢？當(dāng)心智和靈魂迷惘不定的時(shí)候，軀體能生存下去嗎？當(dāng)然對于人類本身及數(shù)學(xué)，確實(shí)如此。因此我們應(yīng)該去研究為什么會(huì)這樣。盡管數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)尚不確定，數(shù)學(xué)家們的理論亦彼此沖突，而數(shù)學(xué)卻已被證明成就輝煌，風(fēng)采依然。
幻方起源

幻方（magic square）起源于《易》，古 稱九宮（龜文），乃是我國最先發(fā)現(xiàn)的一個(gè)著名組合算題。《易》算之于九宮，識(shí)之以天象，在古代天文、歷法、農(nóng)牧生產(chǎn)與社會(huì)生活中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。易十?dāng)?shù)為體，八九為用，八九不離十。《易》九宮算動(dòng)態(tài)組合模型（包括河圖、洛書、八卦）是幻方的通解與最簡模型。

幻方是一個(gè)高深莫測的數(shù)學(xué)迷宮和高智力游戲，它的重重大門閃似乎由一串串非常復(fù)、精密而又變化多端的連圜鎖“參伍錯(cuò)綜”地鎖著的，人們走進(jìn)去也許并不難，但是要走出來談何容易。現(xiàn)代幻方組合理論及技術(shù)水平雖然達(dá)到了相當(dāng)?shù)母叨龋沂冀K不敢輕言誰已經(jīng)揭示了幻方謎底。

幻方是一個(gè)豐蘊(yùn)的知識(shí)寶庫。幻方九宮算模型的精髓在于：變、變、變。正可謂“橫看成嶺側(cè)成峰”。《系辭》曰：“神無方而《易》無體”，這意思是說：九宮算神奇的數(shù)理變化不囿于一招一法，其幾何形體亦無常于一制一式，因此研究幻方應(yīng)盡可能采取多種多樣的方法。發(fā)現(xiàn)新方法是很重要的，但各種方法的具體操作與用法創(chuàng)新、絕技的應(yīng)用等，有時(shí)比方法本身更為重要。不同方法以及方法的不同用法，各種方法合理的交互應(yīng)用等，必然會(huì)產(chǎn)生幻方新的結(jié)構(gòu)與造型。n階幻方的全部解各有一個(gè)幻方群，1至n2 自然數(shù)列的n2 個(gè)數(shù)在整個(gè)幻方群中的變位關(guān)系，階次越大變化就越復(fù)雜，它們將遵守精密邏輯、模糊邏輯或非邏輯等等不同規(guī)則。

《易》九宮學(xué)博大精深。漢徐岳在《數(shù)術(shù)記遺》中已從算學(xué)角度稱洛書為九宮，南北朝甄鸞注：“九宮者，即二四為肩，六八為足，左三右七，戴九lu一，五居中央。”唐王希《太乙金鏡式經(jīng)》曰：“九宮之義，法以靈龜------此不易之道也”等等。但幻方九宮算 的開拓者首當(dāng)宋大數(shù)學(xué)家楊輝，他不僅發(fā)現(xiàn)了洛書（三階幻方）的構(gòu)圖口訣，而且還填出了四階至十階多幅幻方以及幻圓、幻環(huán)等圖形。同時(shí)，宋丁易東、明程大位、清張潮與方中通等人，也對幻方組合技術(shù)做出過重要貢獻(xiàn)。

幻方九宮算是東方大易文化的瑰寶。自漢唐以來統(tǒng)一的中國繁榮富強(qiáng)，在拓疆、移民、傳教、航海與絲路開通等對外經(jīng)貿(mào)與文化交流過程中，幻方古算題飄洋過海，東傳日本，西播歐美。日本人如獲至寶，竟把九宮算更名為“大和算”，也填出了不少幻方杰作。西方人則更為之著迷，轟動(dòng)了整個(gè)學(xué)界，并稱之為有魔力的魔方，名冠“幻方大王”者有之。爾今，炎黃子孫在易學(xué)、幻學(xué)研究方面理當(dāng)領(lǐng)先于世界。

完全幻方是幻方的稀世珍品，具有最優(yōu)化組合性質(zhì)。在浩如煙海的幻方世界中，完全幻方只占其一小部份，而且三階及2（2k+1）階（k>0）領(lǐng)域內(nèi)還不存在幻方最優(yōu)化解，但是完全幻方卻代表著高難度的組合技術(shù)水平。迄今所知，完全幻方最早的歷史遺存：一幅見之于古中國伊斯蘭教的傳世“玉掛”；另一幅則見之于古印度公元十一世紀(jì)刻在神廟前的“石碑”。中印“玉、石”奇方都為四階完全幻方。我的主攻方向就是整個(gè)完全幻方領(lǐng)域。完全幻方是幻方王國中的一頂皇冠
數(shù)學(xué)史學(xué)科介紹

一、 數(shù)學(xué)史的研究對象

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，簡單地說就是研究數(shù)學(xué)的歷史。它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。因此，數(shù)學(xué)史研究對象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)、宗教等社會(huì)科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容，是一門交叉性學(xué)科。

從研究材料上說，考古資料、歷史檔案材料、歷史上的數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)、各種歷史文獻(xiàn)、民族學(xué)資料、文化史資料，以及對數(shù)學(xué)家的訪問記錄，等等，都是重要的研究對象，其中數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)是最常用且最重要的第一手研究資料。從研究目標(biāo)來說，可以研究數(shù)學(xué)思想、方法、理論、概念的演變史；可以研究數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會(huì)的互動(dòng)關(guān)系；可以研究數(shù)學(xué)思想的傳播與交流史；可以研究數(shù)學(xué)家的生平等等。

數(shù)學(xué)史研究的任務(wù)在于，弄清數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的基本史實(shí)，再現(xiàn)其本來面貌，同時(shí)透過這些歷史現(xiàn)象對數(shù)學(xué)成就、理論體系與發(fā)展模式作出科學(xué)、合理的解釋、說明與評(píng)價(jià)，進(jìn)而探究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的規(guī)律與文化本質(zhì)。作為數(shù)學(xué)史研究的基本方法與手段，常有歷史考證、數(shù)理分析、比較研究等方法。

史學(xué)家的職責(zé)就是根據(jù)史料來敘述歷史，求實(shí)是史學(xué)的基本準(zhǔn)則。從17世紀(jì)始，西方歷史學(xué)便形成了考據(jù)學(xué)，在中國出現(xiàn)更早，尤鼎盛于清代乾嘉時(shí)期，時(shí)至今日仍為歷史研究之主要方法，只不過隨著時(shí)代的進(jìn)步，考據(jù)方法在不斷改進(jìn)，應(yīng)用范圍在不斷拓寬而已。當(dāng)然，應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，史料存在真?zhèn)危甲C過程中涉及到考證者的心理狀態(tài)，這就必然影響到考證材料的取舍與考證的結(jié)果。就是說，歷史考證結(jié)論的真實(shí)性是相對的。同時(shí)又應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，考據(jù)也非史學(xué)研究的最終目的，數(shù)學(xué)史研究又不能為考證而考證。　　

不會(huì)比較就不會(huì)思考, 而且所有的科學(xué)思考與調(diào)查都不可缺少比較，或者說，比較是認(rèn)識(shí)的開始。今日世界的發(fā)展是多極的，不同國家和地區(qū)、不同民族之間在文化交流中共同發(fā)展，因而隨著多元化世界文明史研究的展開與西方中心論觀念的淡化，異質(zhì)的區(qū)域文明日益受到重視，從而不同地域的數(shù)學(xué)文化的比較以及數(shù)學(xué)交流史研究也日趨活躍。數(shù)學(xué)史的比較研究往往圍繞數(shù)學(xué)成果、數(shù)學(xué)科學(xué)范式、數(shù)學(xué)發(fā)展的社會(huì)背景等三方面而展開。

數(shù)學(xué)史既屬史學(xué)領(lǐng)域，又屬數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域，因此，數(shù)學(xué)史研究既要遵循史學(xué)規(guī)律，又要遵循數(shù)理科學(xué)的規(guī)律。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以將數(shù)理分析作為數(shù)學(xué)史研究的特殊的輔助手段，在缺乏史料或史料真?zhèn)文娴那闆r下，站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，對古代數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法進(jìn)行數(shù)學(xué)原理分析，以達(dá)到正本清源、理論概括以及提出歷史假說的目的。數(shù)理分析實(shí)際上是“古”與“今”間的一種聯(lián)系。

二、 數(shù)學(xué)史的分期

數(shù)學(xué)發(fā)展具有階段性，因此研究者根據(jù)一定的原則把數(shù)學(xué)史分成若干時(shí)期。目前學(xué)術(shù)界通常將數(shù)學(xué)發(fā)展劃分為以下五個(gè)時(shí)期：

1．?dāng)?shù)學(xué)萌芽期（公元前600年以前）；

2．初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前600年至17世紀(jì)中葉）；

3．變量數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉至19世紀(jì)20年代）；

4．近代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代至第二次世界大戰(zhàn)）；

5．現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（20世紀(jì)40年代以來）。

三、 數(shù)學(xué)史的意義

（1）數(shù)學(xué)史的科學(xué)意義

每一門科學(xué)都有其發(fā)展的歷史，作為歷史上的科學(xué)，既有其歷史性又有其現(xiàn)實(shí)性。其現(xiàn)實(shí)性首先表現(xiàn)在科學(xué)概念與方法的延續(xù)性方面，今日的科學(xué)研究在某種程度上是對歷史上科學(xué)傳統(tǒng)的深化與發(fā)展，或者是對歷史上科學(xué)難題的解決，因此我們無法割裂科學(xué)現(xiàn)實(shí)與科學(xué)史之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)科學(xué)具有悠久的歷史，與自然科學(xué)相比，數(shù)學(xué)更是積累性科學(xué)，其概念和方法更具有延續(xù)性，比如古代文明中形成的十進(jìn)位值制記數(shù)法和四則運(yùn)算法則，我們今天仍在使用，諸如費(fèi)爾馬猜想、哥德巴赫猜想等歷史上的難題，長期以來一直是現(xiàn)代數(shù)論領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)史材料可以在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)研究中獲得發(fā)展。國內(nèi)外許多著名的數(shù)學(xué)大師都具有深厚的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)或者兼及數(shù)學(xué)史研究，并善于從歷史素材中汲取養(yǎng)分，做到古為今用，推陳出新。我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生早年在拓?fù)鋵W(xué)研究領(lǐng)域取得杰出成就，七十年代開始研究中國數(shù)學(xué)史，在中國數(shù)學(xué)史研究的理論和方法方面開創(chuàng)了新的局面，特別是在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)機(jī)械化思想的啟發(fā)下，建立了被譽(yù)為“吳方法”的關(guān)于幾何定理機(jī)器證明的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法，他的工作不愧為古為今用，振興民族文化的典范。

科學(xué)史的現(xiàn)實(shí)性還表現(xiàn)在為我們今日的科學(xué)研究提供經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)和歷史借鑒，以使我們明確科學(xué)研究的方向以少走彎路或錯(cuò)路，為當(dāng)今科技發(fā)展決策的制定提供依據(jù)，也是我們預(yù)見科學(xué)未來的依據(jù)。多了解一些數(shù)學(xué)史知識(shí)，也不會(huì)致使我們出現(xiàn)諸如解決三等分角作圖、證明四色定理等荒唐事，也避免我們在費(fèi)爾馬大定理等問題上白廢時(shí)間和精力。同時(shí)，總結(jié)我國數(shù)學(xué)發(fā)展史上的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，對我國當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展不無益處。

（2）數(shù)學(xué)史的文化意義

美國數(shù)學(xué)史家m.克萊因曾經(jīng)說過:“一個(gè)時(shí)代的總的特征在很大程度上與這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)活動(dòng)密切相關(guān)。這種關(guān)系在我們這個(gè)時(shí)代尤為明顯”。“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要是一門有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對自然科學(xué)家、社會(huì)科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時(shí)影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說”。數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現(xiàn)代文化的主要力量。因而數(shù)學(xué)史是從一個(gè)側(cè)面反映的人類文化史，又是人類文明史的最重要的組成部分。許多歷史學(xué)家通過數(shù)學(xué)這面鏡子，了解古代其他主要文化的特征與價(jià)值取向。古希臘（公元前600年-公元前300年）數(shù)學(xué)家強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的推理和由此得出的結(jié)論，因此他們不關(guān)心這些成果的實(shí)用性，而是教育人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理，和激發(fā)人們對理想與美的追求。通過希臘數(shù)學(xué)史的考察，就十分容易理解，為什么古希臘具有很難為后世超越的優(yōu)美文學(xué)、極端理性化的哲學(xué)，以及理想化的建筑與雕塑。而羅馬數(shù)學(xué)史則告訴我們，羅馬文化是外來的，羅馬人缺乏獨(dú)創(chuàng)精神而注重實(shí)用。

（3）數(shù)學(xué)史的教育意義

當(dāng)我們學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)史后，自然會(huì)有這樣的感覺：數(shù)學(xué)的發(fā)展并不合邏輯，或者說，數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況與我們今日所學(xué)的數(shù)學(xué)教科書很不一致。我們今日中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容基本上屬于17世紀(jì)微積分學(xué)以前的初等數(shù)學(xué)知識(shí)，而大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的大部分內(nèi)容則是17、18世紀(jì)的高等數(shù)學(xué)。這些數(shù)學(xué)教材業(yè)已經(jīng)過千錘百煉，是在科學(xué)性與教育要求相結(jié)合的原則指導(dǎo)下經(jīng)過反復(fù)編寫的，是將歷史上的數(shù)學(xué)材料按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)要求加以取舍編纂的知識(shí)體系，這樣就必然舍棄了許多數(shù)學(xué)概念和方法形成的實(shí)際背景、知識(shí)背景、演化歷程以及導(dǎo)致其演化的各種因素，因此僅憑數(shù)學(xué)教材的學(xué)習(xí)，難以獲得數(shù)學(xué)的原貌和全景，同時(shí)忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現(xiàn)實(shí)科學(xué)或許有用的數(shù)學(xué)材料與方法，而彌補(bǔ)這方面不足的最好途徑就是通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)。

在一般人看來，數(shù)學(xué)是一門枯燥無味的學(xué)科，因而很多人視其為畏途，從某種程度上說，這是由于我們的數(shù)學(xué)教科書教授的往往是一些僵化的、一成不變的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容而讓數(shù)學(xué)活起來，這樣便可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、方法和原理的理解與認(rèn)識(shí)的深化。

科學(xué)史是一門文理交叉學(xué)科，從今天的教育現(xiàn)狀來看，文科與理科的鴻溝導(dǎo)致我們的教育所培養(yǎng)的人才已經(jīng)越來越不能適應(yīng)當(dāng)今自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)高度滲透的現(xiàn)代化社會(huì)，正是由于科學(xué)史的學(xué)科交叉性才可顯示其在溝通文理科方面的作用。通過數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)，可以使數(shù)學(xué)系的學(xué)生在接受數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的同時(shí)，獲得人文科學(xué)方面的修養(yǎng)，文科或其它專業(yè)的學(xué)生通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以了解數(shù)學(xué)概貌，獲得數(shù)理方面的修養(yǎng)。而歷史上數(shù)學(xué)家的業(yè)績與品德也會(huì)在青少年的人格培養(yǎng)上發(fā)揮十分重要的作用。

中國數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，14世紀(jì)以前一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)的國家，出現(xiàn)過許多杰出數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌成就，其淵源流長的以計(jì)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化數(shù)學(xué)模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數(shù)學(xué)模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。由于各種復(fù)雜的原因，16世紀(jì)以后中國變?yōu)閿?shù)學(xué)入超國，經(jīng)歷了漫長而艱難的發(fā)展歷程才漸漸匯入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的潮流。由于教育上的失誤，致使接受現(xiàn)代數(shù)學(xué)文明熏陶的我們，往往數(shù)典忘祖，對祖國的傳統(tǒng)科學(xué)一無所知。數(shù)學(xué)史可以使學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，了解中國近代數(shù)學(xué)落后的原因，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)狀以及與發(fā)達(dá)國家數(shù)學(xué)的差距，以激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，振興民族科學(xué)。
菲爾茲獎(jiǎng)介紹

菲爾茲獎(jiǎng)是以已故的加拿大數(shù)學(xué)家、教育家J．C．菲爾茲（FieldS）的姓氏命名的。

J． C．菲爾茲1863年5月14日生于加拿大渥太華。他11歲喪父、18歲喪母，家境不算太好，J．C．菲爾茲17歲進(jìn)入多倫多大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)，24歲時(shí)在美國的約翰?霍普金斯大學(xué)獲博士學(xué)位，26歲任美國阿格尼大學(xué)教授。1892年到巴黎、柏林學(xué)習(xí)和工作。1902年回國后執(zhí)教于多倫多大學(xué)。1907年，當(dāng)選為加拿大皇家學(xué)會(huì)員。他還被選為英國皇家學(xué)會(huì)、蘇聯(lián)科學(xué)院等許多科學(xué)團(tuán)體的成員。

作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，J．C．菲爾茲的工作主要集中在代數(shù)函數(shù)方面并有一定建樹。例如，他證明了黎曼──羅赫定理等。他的主要成就，在于他對數(shù)學(xué)事業(yè)的遠(yuǎn)見卓識(shí)、組織才能和勤懇的工作，促進(jìn)了本世紀(jì)數(shù)學(xué)家之間的國際交流，從而名垂數(shù)學(xué)史冊。J．C．菲爾茲強(qiáng)烈地主張數(shù)學(xué)發(fā)展應(yīng)是國際性的，他對于數(shù)學(xué)的國際交流的重要性，對于促進(jìn)北美洲數(shù)學(xué)的發(fā)展都抱有卓越的見解并滿腔熱情地作出了很大的貢獻(xiàn)。為了使北美洲數(shù)學(xué)迅速發(fā)展趕上歐洲，是他第一個(gè)在加拿大推進(jìn)研究生教育，也是他全力籌備并主待了1924年在多倫多召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)（這是在歐洲之外召開的第一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)），正是這次大會(huì)使他過分勞累，從此健康狀況再也沒有好轉(zhuǎn)，但這次大會(huì)對于促進(jìn)北美時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)之間的國際交流，確實(shí)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。當(dāng)他得知這次大會(huì)的經(jīng)費(fèi)有結(jié)余時(shí)，他就萌發(fā)了把它作為基金設(shè)立一個(gè)國際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的念頭。他為此積極奔走于歐美各國謀求廣泛支持，并打算于1932年在蘇黎世召開的第九次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上親自提出建議。但不幸的是未等到大會(huì)開幕他就去世了。J．C．菲爾茲在去世前立下了遺囑，他把自己留下的遺產(chǎn)加到上述剩余經(jīng)費(fèi)中，由多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)系轉(zhuǎn)交給第九次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，大會(huì)立即接受了這一建議。

P．C．菲爾茲本來要求獎(jiǎng)金不要以個(gè)人、國家或機(jī)構(gòu)來命名，而用“國際獎(jiǎng)金”的名義。但是參加國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的數(shù)學(xué)家們?yōu)榱速澰S和緬懷P．C．菲爾茲的遠(yuǎn)見卓識(shí)、組織才能和他為促進(jìn)數(shù)學(xué)事業(yè)國際交流所表現(xiàn)出的無私奉獻(xiàn)的偉大精神，一致同意決定命名為菲爾茲獎(jiǎng)。

第一次菲爾茲獎(jiǎng)?lì)C發(fā)于1936年，當(dāng)時(shí)并沒有在世界上引起多大注意。連許多數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生也未必知道這個(gè)獎(jiǎng)，科學(xué)雜志也不報(bào)道獲獎(jiǎng)?wù)呒捌錁I(yè)績。然而30年以后的情況就完全不一樣了。每次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的召開，從國際主權(quán)威性的數(shù)學(xué)雜志到一般性的數(shù)學(xué)刊物，都爭相報(bào)導(dǎo)獲獎(jiǎng)人物。菲爾茲獎(jiǎng)的榮譽(yù)不斷提高，終于被人們確認(rèn)：對于青年人來說，菲爾茲獎(jiǎng)是國際上最高的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。

菲爾茲獎(jiǎng)的一個(gè)最大特點(diǎn)是獎(jiǎng)勵(lì)年輕人，只授予40歲以下的數(shù)學(xué)家（這一點(diǎn)在剛開始時(shí)似乎只是個(gè)不成文的規(guī)定，后來則正式作出了明文規(guī)定），即授予那些能對未來數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的人。

菲爾茲獎(jiǎng)是一枚金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞鸵磺灏倜涝莫?jiǎng)金，就獎(jiǎng)金數(shù)目來說與諾貝爾獎(jiǎng)金相比可以說是微不足道。但為什么在人們的心目中，它的地位竟如此崇高呢？主要原因有三：第一，它是由數(shù)學(xué)界的國際權(quán)威學(xué)術(shù)團(tuán)體──國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)主待，從全世界的第一流青年數(shù)學(xué)家中評(píng)定、進(jìn)選出來的；第二，它是在每隔四年才召開一次的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上隆重頒發(fā)的，且每次獲獎(jiǎng)?wù)邇H2～4名（一般只有2名），因此獲獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)比諾貝爾獎(jiǎng)還要少；第三，也是最根本的一條是由于得獎(jiǎng)人的出色才干，贏得了國際社會(huì)的聲譽(yù)．正如本世紀(jì)著名數(shù)學(xué)C．H．H．外爾，對1954年兩位獲獎(jiǎng)?wù)叩脑u(píng)介：他們“所達(dá)到的高度是自己未曾想到的”，“自己從未見過這樣的明星在數(shù)學(xué)天空中燦爛升起。”“數(shù)學(xué)界為你們二位所作的工作感到驕傲。”從而證明了菲爾茲獎(jiǎng)對青年數(shù)學(xué)家來說，是世界上最高的國際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。

菲爾茲獎(jiǎng)的授獎(jiǎng)儀式，都在每次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)開幕式上隆重舉行，先由執(zhí)委會(huì)主席（即評(píng)委會(huì)主席）宣布獲獎(jiǎng)名單，全場掌聲雷動(dòng)。接著由東道國的重要人物（當(dāng)?shù)厥虚L、所在國科學(xué)院院長甚至國主、總統(tǒng)）、或評(píng)委會(huì)主席、或眾望所歸的著名數(shù)學(xué)家授予獎(jiǎng)?wù)潞酮?jiǎng)金。最后由一些權(quán)威數(shù)學(xué)家分別、逐一簡要評(píng)介得獎(jiǎng)人的主要數(shù)學(xué)成就。

從1936年開始到1990年，獲菲爾茲獎(jiǎng)的已有34人，他們都是數(shù)學(xué)天空中升起的燦爛明星、是數(shù)學(xué)界的精英。

歷屆菲爾茲獎(jiǎng)得主的簡況和他們的主要成就。

姓名：L．V．阿爾福斯Ａhlfors（Lars Valerian）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1907年4月18日（29歲）。

籍貫：芬蘭（美藉）。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1936年，奧斯陸。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：赫爾辛基大學(xué)，哈佛大學(xué)。

主要成就：證明了鄧若瓦猜想；發(fā)展覆蓋面理論。對黎曼面作了深入研究。


　　姓名：J．道格拉斯（Douglas,Jesse）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1897年7月3日（39歲）

籍貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1936年、奧斯陸。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：麻省理工學(xué)院

主要成就：解決普拉托極小曲面問題，即一種非線性橢圓型偏微分方程的第一邊值問題；變分問題的逆問題。


　　姓名：L．施瓦爾茲（Schwartz,Laurent）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1915年6月15日（35歲）。

籍貫：法國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1950年、坎布里奇。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：南錫大學(xué)，巴黎學(xué)院。

主要成就：創(chuàng)立了廣義函數(shù)論；對泛函分析、概率論、偏微分方面均有建樹。


　　姓名：A．賽爾伯格（Selberg,Atle）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1917年6月17日（33歲）。

籍貫：挪威（美籍）。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1950年、坎布里奇。獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：奧斯陸大學(xué)，普林斯頓高等研究所。

主要成就：數(shù)論中素?cái)?shù)定理的初等證明和對黎曼假設(shè)的貢獻(xiàn)；弱對黎曼空間中調(diào)和分析和不連續(xù)群及其狄里克雷級(jí)數(shù)的應(yīng)用；連續(xù)群的離子群研究。


　　姓名：小平邦彥（Kodaira Kunihiko）

出生日期（獎(jiǎng)獲時(shí)年齡）：1915年3月16日（39歲）。

籍貫：日本

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1954年、阿姆特斯丹。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓高等研究所。

主要成就：推廣了代數(shù)幾何的一條中心定理：黎曼──羅赫定理。證明了狹義卡勒流形是代數(shù)流形，得到了小平邦彥消滅定理。


　　姓名：J.P.塞爾（Serre,Jean-pierre）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1926年9月15日（28歲）。

籍貫：法國。

獲獎(jiǎng)年度：地點(diǎn)：1954、阿姆斯特丹。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：巴黎大學(xué)。

主要成就：發(fā)展了纖維叢的概念，得出一般纖維的空間概念；解決了纖維、底空間、全空間的同調(diào)關(guān)系問題，并由此證明了同倫論中最重要的一般結(jié)果；除了以前知道的兩種情形之外，球面的同倫群都是有限群；引進(jìn)了局部化方法把求同倫群的問題加以分解，得出一系列重要結(jié)果。


　　姓名：K．F．羅斯（Roth，Klaus Friedrich）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1925年10月29日（33歲）。

籍貫：德國（英藉）。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1958年、愛丁堡。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：倫敦大學(xué)。

主要成就：建立了代數(shù)數(shù)有理逼近的瑟厄──西格爾──羅斯定理。


　　姓名：R．托姆（Thorn，Rene）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1923年9月2日（35歲）．

籍貫：法國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1958年、愛丁堡

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：斯特拉斯堡 大學(xué)。

主要成就：創(chuàng)立拓?fù)鋵W(xué)協(xié)邊理論、奇點(diǎn)理論、突變理論；提出了“托姆復(fù)形”、建立了微分流形的大范圍理論中的基本定理。


　　姓名： L．V．霍曼德爾（Hormander，Lars Valter）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1931年1月24日（31歲）。

籍貫：瑞典。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1962年、斯德哥爾摩。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：斯德哥爾摩 大學(xué)。

主要成就：常系數(shù)線性偏微分算子理論；變數(shù)系線性偏微分方程解的存在性偽微分算子理論。


　　姓名：J．W．米爾諾（Milnor，John Willard）．

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1931年2月20日（31歲）。

籍貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1962年、斯德哥爾摩。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓大學(xué)。

主要成就：微分拓?fù)渲衅呔S球面上存在不同微分結(jié)構(gòu)的證明；否定了皮加萊主猜想；發(fā)展復(fù)配過、自旋配邊理論；代數(shù)K理論和復(fù)超曲面的奇點(diǎn)；對代教、代數(shù)數(shù)論作出了貢獻(xiàn)．


　　姓名：M．F．阿蒂雅（Atiyah，Michae Francis）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1924年4月22月（37歲）。

籍貫：英國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1966年、莫斯科。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：牛津大學(xué)。

主要成就：繪出了阿蒂雅──辛格指

標(biāo)定理；為K理論的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)；解決了李群表示論、與規(guī)范場有關(guān)的代數(shù)幾何中的若干問題，把不動(dòng)點(diǎn)原理推廣到一般形式。


　　姓名：P．J．科恩（Cohen，Paul Joseph）

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1934年4月2日（32歲）。

藉貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1966年、莫斯科。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：斯坦福大學(xué)。

主要成就：證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合公理系統(tǒng)彼此獨(dú)立，從而使連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成為一種既不能證明，又不能推翻的現(xiàn)代邏輯工具；對抽象調(diào)和分析頗有建樹。


　　姓名：A．格羅登迪克（Crothendieck，Alexandre）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1924年3月28日（38）歲。

籍貫：法國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1966年、莫斯科。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：巴黎高等科學(xué)研究所。

主要成就：創(chuàng)立了一整套現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)抽象理論體系；在泛函分析中引入核空間、張量積；對同調(diào)代數(shù)也有建樹。


　　姓名：S．斯梅爾（Smale，Stephen）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1930年7月15日（36歲）。

籍貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1966年、莫斯科。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：加州大學(xué)伯克利分校。

主要成就：解決微分拓?fù)鋵W(xué)中廣義

龐加萊猜想；創(chuàng)立現(xiàn)代抽象微分動(dòng)力系統(tǒng)

理論；在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和運(yùn)籌學(xué)等方面也有重要貢獻(xiàn)。


　　姓名： A．貝克（Baker，Alan）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1939年8月19日（31歲）。

籍貫：英國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1970年、尼斯。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：劍橋大學(xué)。

主要成就：解決了數(shù)論中十幾個(gè)歷史悠久的困難問題，范圍涉及超越數(shù)論、不定方程和代數(shù)數(shù)論等方面；在二次數(shù)域方面，他解決了高斯時(shí)代留下來的一個(gè)老問題，肯定了類數(shù)為1的虛二次數(shù)域只有9個(gè)。


　　姓名：廣中平佑（Hironaka Heisu-ke）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1931年4月9日（39歲）．

籍貫：日本。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1970年、尼斯。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：哈佛大學(xué)。

主要成就：完全解決了任何維數(shù)的代數(shù)簇的寄點(diǎn)解淚問題，建立了相應(yīng)定理，并把這一結(jié)果向復(fù)流形推廣，對一般奇點(diǎn)理論作出了貢獻(xiàn)。


　　姓名：S．P．諾維科夫（Novikov，S．P．）

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1938年3月20日（32歲）．

籍貫：蘇聯(lián)。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1970年尼斯。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所。

主要成就：微分拓?fù)鋵W(xué)配邊理論，葉狀結(jié)構(gòu)理論；證明了微分流形有理龐特里亞金示性類的拓?fù)洳蛔冃裕还铝⒆永碚摗?/p>


　　姓名：J．G．湯普遜（Thompson，John Grggs）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1932年10月13日（38歲）。

籍貫：美國．

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1970年、尼斯。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：芝加哥大學(xué)

主要成就：解決有限單群的伯恩賽德猜想和弗洛貝紐斯猜想，在有限群論方面作出了重要貢獻(xiàn)。


　　姓名：D．B．曼福德（Mumford，David Bryart）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1937年6月11日（37歲）。

籍貫：英國（美籍）。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1974年、溫哥華。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：哈佛大學(xué)。

主要成就：代數(shù)幾何學(xué)參模理論，他創(chuàng)造性地應(yīng)用了不變式理論，導(dǎo)致許多新結(jié)果，并由此產(chǎn)生了幾何不變式論；證明了代數(shù)曲面與代數(shù)曲線和高維代數(shù)簇有一個(gè)不同之處，對代數(shù)曲面的分類作出了貢獻(xiàn)。


　　姓名： E．龐比里（Bombieri，Enrico）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1940年11月26日（34歲）。

籍貫：意大利。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1974年、溫哥華。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：米蘭大學(xué)、比薩大學(xué)。

主要成就：改進(jìn)數(shù)論大篩法，得出了所謂龐比里中值公式，證明了哥德巴赫猜想中的（1+3）；對極小曲面問題的伯恩斯坦猜想提出了反例；有限單群分類問題中一類李型單樣的唯一性證明。


　　姓名：C．費(fèi)弗曼（Fefferman，Charles）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1949年4月18日（29歲）。

籍貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1978年、赫爾辛基。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓大學(xué)。

主要成就：傅立葉級(jí)數(shù)收斂問題及其與奇異積分算子的聯(lián)系；發(fā)現(xiàn)哈代空間H1與有界平均振動(dòng)函數(shù)空間BMO的對偶關(guān)系；給出非退化線性偏微分方程局部可解性的一個(gè)充分必要條件；證明一個(gè)具有光滑邊界的嚴(yán)格偽凸域到另外一個(gè)的雙全純映射可以光滑地延拓到邊界上。


　　姓名： P．德利漢（Deligne，Pierre）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1944年10月3日（34歲）。

籍貫：比利時(shí)。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1978年赫爾辛基。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：巴黎高等科學(xué)研究所。

主要成就：解決代數(shù)幾何學(xué)中聯(lián)系素?cái)?shù)與有限域中代數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的韋伊猜想，以簡潔清晰的證明解決了這一代數(shù)幾何的中心問題，得到了ξ函數(shù)理論的“韋伊──德利涅定理”；對調(diào)和分析、多復(fù)變函數(shù)均有建樹。


　　姓名： D．奎倫（Quillen，Daniel）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1940年4月20日（38歲）。

籍貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1978年、赫爾辛基。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：馬薩諸塞理工學(xué)院。

主要成就：解決了代數(shù)X理論中亞當(dāng)斯猜想；得到K理論中塞爾猜想的證明，并開始將代數(shù)歸結(jié)為拓?fù)洌瑥?fù)配邊理論與形成代數(shù)K理論的基礎(chǔ)。他還在同倫理論，形式群理論，同調(diào)代數(shù)一有限群的上同調(diào)論等方面取得重要成果。


　　姓名：G．A．馬古利斯（Margulis，G．A．）

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1946年2月24日（32歲）。

籍貫：蘇聯(lián)。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1978年、赫爾辛基。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：莫斯科通訊研究所。

主要成就：綜合地利用代數(shù)、分析和數(shù)論的近代成果，特別是各態(tài)遍歷性理論，徹底解決了關(guān)于李群的離散子群的賽爾伯格猜想。


　　姓名：A．孔耐（Connes，Alan）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1947年4月1日（35歲）。

籍貫：法國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：華沙。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：巴黎高等科學(xué)研究所。

主要成就：從事算子代數(shù)研究，引進(jìn)了新的不變量，將Ⅲ型代數(shù)分為子類，進(jìn)一步把這些代數(shù)舊結(jié)為Ⅱ型代數(shù)及其自同構(gòu)，然后按外自同構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)歸類，從根本上解決了J．馮諾依曼留下的代數(shù)分類問題。


　　姓名：W．色斯頓（Thurston，William）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1946年10月30日（36歲）．

籍貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1983年、華沙。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓大學(xué)。

主要成就：討論了三維流形上的葉狀結(jié)構(gòu)，并對一般流形上葉狀結(jié)構(gòu)的存在、性質(zhì)及其分類得出了普遍的結(jié)果；他借助于電子計(jì)算機(jī)：基本完成了三維閉流形的拓?fù)浞诸悺?/p>


　　姓名：丘成桐（Yan Sheng－tung）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1949年4月4日（33歲）。

籍貫：中國（美籍）。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1983年、華沙。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓高等研究所。

主要成就：證明微分幾何中的卡拉比猜想；證明了廣義相對論中的正質(zhì)量猜想；并在高維閔科夫斯基問題、三維流形的拓樸學(xué)與極小曲面等方面均有創(chuàng)見。


　　姓名：S．唐納森（Donaldson，simon）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1957年8月20日（29歲）。

籍貫：英國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1986年、伯克利。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：牛津大學(xué)。

主要成就：關(guān)于四維流形拓?fù)涞难芯俊Ｋl(fā)現(xiàn)了四維幾何學(xué)中難以預(yù)料與神秘的現(xiàn)象，得出存在“怪異”四維空間的結(jié)論，即與標(biāo)準(zhǔn)歐氏空間R1拓?fù)渫叩晃⒎滞叩奈⒎至餍巍?/p>


　　姓名： G．福爾廷斯（Faltings，Gerd）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1954年7月25日（32歲）。

籍貫：德國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1986年、伯克利。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓大學(xué)，烏珀塔爾大學(xué)。

主要成就：用代數(shù)幾何學(xué)方法證明了數(shù)論中的莫德爾猜想；他對阿貝簇的參模空間、算術(shù)曲面的黎曼──定理、Padic霍奇理論等也有創(chuàng)見。


　　姓名：M．弗里德曼（Freedman，Michael）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1951年4月21日（35歲）。

籍貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1986年、伯克利。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：加利福利亞大學(xué)，加州大學(xué)圣地亞哥分校。

主要成就：證明了四維流形拓?fù)涞凝嫾尤R猜想，因而刻劃了球面S1，并且提供了對再一般的四維流形的、容易陳述但證明很難的分類定理；對偏微分方程、相對論也有建樹。


　　姓名： V．德里費(fèi)爾德（Drinfel’d，Vladimir）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）；1954年（36歲）。

籍貫：蘇聯(lián)。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1990年、東京。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：哈爾科夫低溫物理研究所。

主要成就：他的工作在“類域”（Galois擴(kuò)張的分類）的傳統(tǒng)理論之內(nèi)，即在算術(shù)領(lǐng)域之內(nèi)，但建立于代數(shù)幾何新對象的結(jié)構(gòu)上；他稱之為模（modules）。他的主要成就與量子群有關(guān)，它是一些代數(shù)（Hopf代數(shù)），具有能連續(xù)變形的特征。


　　姓名： F．R．J．沃思（Vaughan，F(xiàn)．R．Jones）。

出生日期（獲獎(jiǎng)年齡） 1953年（37歲）

籍貫：新西蘭。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1990年、東京。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：加州大學(xué)伯克利分校。

主要成就：扭結(jié)理論。他的工作與紐曼代數(shù)中的因子分?jǐn)?shù)有關(guān)，他發(fā)現(xiàn)了合痕的一個(gè)不變量，它是一個(gè)和1／的多項(xiàng)式（g是一個(gè)變量）：兩個(gè)同痕的結(jié)有相同的不變量。


　　姓名：森重文（Shigffumi MorD。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1951年2月23日（39歲）。

籍貫：日本。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1990年、東京。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：京都數(shù)學(xué)科學(xué)研究所。

主要成就：三維代數(shù)族的分類。他建立了一種三維代數(shù)簇的分類研究，他發(fā)現(xiàn)了一些變換，它們正好只存在于至少三維的情形：被稱為“flip”，從而更新了廣中平佑對奇點(diǎn)的研究。


　　姓名： E．威滕（Witten，Edward）。

出生日期（獲獎(jiǎng)時(shí)年齡）：1951年（38歲）。

籍貫：美國。

獲獎(jiǎng)年度、地點(diǎn)：1990年、東京。

獲獎(jiǎng)前后的工作地點(diǎn)：普林斯頓高等研究所。

主要成就：弦理論。他對“超弦理論”做出了很大貢獻(xiàn)，這一理論完全可能在相對性理論、量子力學(xué)和粒子相互作用之間做出統(tǒng)一的數(shù)學(xué)處理（這是A．愛因斯坦大半生追求的夢想）。他證明了（在陳一Simons理論的所有情況下）狀態(tài)空間是二線的。
沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)

由于菲爾茲獎(jiǎng)只授予40歲以下的的年輕數(shù)學(xué)家，所以年紀(jì)較大的數(shù)學(xué)家沒有獲獎(jiǎng)的可能。恰巧1976年1月，R. 沃爾夫及其家族捐獻(xiàn)一千萬美元成立了沃爾夫基金會(huì)，其宗旨是為了促進(jìn)全世界科學(xué).藝術(shù)的發(fā)展。沃爾夫基金會(huì)設(shè)有：數(shù)學(xué).物理.化學(xué).醫(yī)學(xué).農(nóng)業(yè)五個(gè)獎(jiǎng)（1981年又增設(shè)藝術(shù)獎(jiǎng)）。1978年開始頒發(fā)，通常是每年頒發(fā)一次，每個(gè)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為10萬美元，可以由幾人分得。由于沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)具有終身成就獎(jiǎng)的性質(zhì)，所有獲得該獎(jiǎng)項(xiàng)的數(shù)學(xué)家都是享譽(yù)數(shù)壇.聞名遐邇的當(dāng)代數(shù)學(xué)大師，他們的成就在相當(dāng)程度上代表了當(dāng)代數(shù)學(xué)的水平和進(jìn)展。該獎(jiǎng)的評(píng)獎(jiǎng)標(biāo)準(zhǔn)不是單項(xiàng)成就而是終身貢獻(xiàn)，獲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)大師不僅在某個(gè)數(shù)學(xué)分支上有極深的造詣和卓越貢獻(xiàn)，而且都博學(xué)多能，涉足多個(gè)分支，且均有建樹，形成了自己的著名學(xué)派，他們是當(dāng)代不同凡響的數(shù)學(xué)家。

R. 沃爾夫1887年生于德國，其父是漢諾威城的五金商人。沃爾夫曾在德國研究化學(xué)，并獲得博士學(xué)位，后移居古巴。他用了近20年的時(shí)間，經(jīng)過大量試驗(yàn).歷盡艱辛，成功地發(fā)明了一種從熔煉廢渣中回收鐵的方法，從而成為百萬富翁。他是沃爾夫基金會(huì)的倡導(dǎo)者和主要捐獻(xiàn)人。沃爾夫于1981年逝世。

2000年: 博特 塞爾（Jean-Pierre Serre）
　　1999年: 斯坦（E. M. Stein ） 洛瓦斯（Lászlo Lovász）
　　1997年: 凱勒（J.B.Keller） 西奈（Y.G.Sinai）
　　1996年:懷爾斯（A.J.Wiles） 朗蘭茲（R.Langlands）
　　1995年: 莫澤（J.K.Moser）
　　1993年: 蒂茨(J.Tils) 格羅莫夫（M.Gromov）
　　1992年: 湯普森（J.G.Thompson） 卡爾森（L.A.E.Carleson）
　　1990年: 德.喬治（E.de Giorgi） 皮亞捷斯基-夏皮諾（I.Piatetski-Shapiro）
　　1989年: 米爾諾（J.W.Milnor） 卡爾德隆（A.P.Calderon）
　　1988年: 赫曼德爾（L.V.Hormander） 希策布魯赫（F.Hirzebruch）
　　1987年: 拉克斯（P.D.Lax） 伊藤清(K.Ito)
　　1986年: 愛倫伯格(S.Eilenberg) 塞爾伯格（A.Selberg）
　　1984/1985年: 列偉（H.lewy） 小平邦彥（K.Kodaira）
　　1983/1984年: 陳省身 愛爾特希 （P.Erdos）
　　1982年: 克列因（M.G..Krein） 惠特尼（H.Whitney）
　　1981年: 扎里斯基（O.Zariski） 阿爾福斯（L.V.Ahlfors）
　　1980年: 柯爾莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov） 嘉當(dāng)（H..Cartan）
　　1979年: 韋伊（A.Weil） 勒雷（J.Leray）
　　

數(shù)學(xué)中的皇冠——數(shù)論

人類從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。 它們和起來叫做整數(shù)。

對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進(jìn)行。也就是說，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進(jìn)行。

人們在對整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。

數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。

數(shù)論的發(fā)展簡況

自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。

自我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個(gè)最基本的問題──整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。后來的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。

在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。

到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識(shí)已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。

在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。

數(shù)論的基本內(nèi)容

數(shù)論形成了一門獨(dú)立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個(gè)部分。

初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。

解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強(qiáng)有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級(jí)數(shù)的若干知識(shí)。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個(gè)方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數(shù)論的方法。

代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。

幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。

數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實(shí)際意義。

由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。

數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)?#8220;摘取”。下面簡要列出幾顆“明珠”：費(fèi)爾馬大定理、孿生素?cái)?shù)問題、哥德巴赫猜想、圓內(nèi)整點(diǎn)問題、完全數(shù)問題……

在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績。

特別是陳景潤在1966年證明“哥德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)。至今，這仍是“哥德巴赫猜想”的最好結(jié)果。

1978年: 西格爾（C.L.Siegel） 蓋爾范德（L.M.gelfand）
時(shí)間和角度的六十進(jìn)位制

時(shí)間的單位是小時(shí)，角度的單位是度，從表面上看，它們完全沒有關(guān)系。可是，為什么它們都分成分、秒等名稱相同的小單位呢？為什么又都用六十進(jìn)位制呢？

我們仔細(xì)研究一下，就知道這兩種量是緊密聯(lián)系著的。

原來，古代人由于生產(chǎn)勞動(dòng)的需要，要研究天文和歷法，就牽涉到時(shí)間和角度了。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉(zhuǎn)，這里自轉(zhuǎn)的角度和時(shí)間是緊密地聯(lián)系在一起的。因?yàn)闅v法需要的精確度較高，時(shí)間的單位"小時(shí)"、角度的單位"度"都嫌太大，必須進(jìn)一步研究它們的小數(shù)。時(shí)間和角度都要求它們的小數(shù)單位具有這樣的性質(zhì)：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成為它的整數(shù)倍。以1/60作為單位，就正好具有這個(gè)性質(zhì)。譬如：1/2等于30個(gè)1/60，1/3等于20個(gè)1/60，1/4等于15個(gè)1/60……

數(shù)學(xué)上習(xí)慣把這個(gè)1/60的單位叫做"分"，用符號(hào)"′"來表示；把1分的1/60的單位叫做"秒"，用符號(hào)"″"來表示。時(shí)間和角度都用分、秒作小數(shù)單位。

這個(gè)小數(shù)的進(jìn)位制在表示有些數(shù)字時(shí)很方便。例如常遇到的1/3，在十進(jìn)位制里要變成無限小數(shù)，但在這種進(jìn)位制中就是一個(gè)整數(shù)。

這種六十進(jìn)位制（嚴(yán)格地說是六十退位制）的小數(shù)記數(shù)法，在天文歷法方面已長久地為全世界的科學(xué)家們所習(xí)慣，所以也就一直沿用到今天。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)上的三大難題

現(xiàn)代數(shù)學(xué)上的三大難題：

一是有20棵樹，每行四棵，古羅馬、古希臘在16世紀(jì)就完成了16行的排列，18世紀(jì)高斯猜想能排18行，19世紀(jì)美國勞埃德完成此猜想，20世紀(jì)末兩位電子計(jì)算機(jī)高手完成20行紀(jì)錄，跨入21世紀(jì)還會(huì)有新突破嗎？

二是相鄰兩國不同著一色，任一地圖著色最少可用幾色完成著色？五色已證出，四色至今僅美國阿佩爾和哈肯，羅列了很多圖譜，通過電子計(jì)算機(jī)逐一理論完成，全面的邏輯的人工推理證明尚待有志者。

三是任三人中可證必有兩人同性，任六人中必有三人互相認(rèn)識(shí)或互相不認(rèn)識(shí)（認(rèn)識(shí)用紅線連，不認(rèn)識(shí)用藍(lán)線連，即六質(zhì)點(diǎn)中二色線連必出現(xiàn)單色三角形）。近年來國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽也圍繞此類熱點(diǎn)題型遴選后備攻堅(jiān)力量。（如十七個(gè)科學(xué)家討論三課題，兩兩討論一個(gè)題，證至少三個(gè)科學(xué)家討論同一題；十八個(gè)點(diǎn)用兩色連必出現(xiàn)單色四邊形；兩色連六個(gè)點(diǎn)必出現(xiàn)兩個(gè)單色三角形，等等。）單色三角形研究中，尤以不出現(xiàn)單色三角形的極值圖譜的研究更是難點(diǎn)中之難點(diǎn)，熱門中之熱門。

歸納為20棵樹植樹問題，四色繪地圖問題，單色三角形問題。通稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)三大難題。

　

數(shù)學(xué)家名中英文對照

Weierstrass 魏爾斯特拉斯（古典分析學(xué)集大成者，德國人）

Cantor 康托爾 （Weiestrass的學(xué)生，集合論的鼻祖）

Bernoulli 伯努力 （這是一個(gè)17世紀(jì)的家族，專門產(chǎn)數(shù)學(xué)家）

Fatou 法都（實(shí)變函數(shù)中有一個(gè)Fatou引理）

Green 格林(有很多姓“綠”的人，反正都很牛）

S.Lie 李 (創(chuàng)造了著名的Lie群，是近代數(shù)學(xué)物理中最重要的一個(gè)概念)

Euler 歐拉（后來雙目失明了，但是其偉大很少有人能與之相比）

Gauss 高斯（不需要說明，Gauss就是Gauss）

Sturm 斯圖謨（那個(gè)Liouvel-Sturm定理的人)

Riemann 黎曼(不知道這個(gè)名字，就是說不知道世界上存在著數(shù)學(xué)家）

Neumann 諾伊曼（造了第一臺(tái)電腦，人類歷史上最后一個(gè)數(shù)學(xué)物理的全才）

Caratheodory 卡拉西奧多禮（外測度的創(chuàng)立者，曾經(jīng)是貴族）

Newton 牛頓（名字帶牛，實(shí)在是牛,非常牛，就因?yàn)槟莻€(gè)蘋果）

Jordan 約當(dāng)（Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，Poincare前的法國數(shù)學(xué)界精神領(lǐng)袖）

Laplace 拉普拉斯（這人的東西太多了，到處都有，我差點(diǎn)把他當(dāng)足球明星了）

Wiener 維納（集天才變態(tài)于一身的大家，后來在MIT做教授）

Thales 泰勒斯（古希臘著名哲學(xué)家，有一個(gè)他囤積居奇發(fā)財(cái)?shù)妮W事，也是個(gè)數(shù)學(xué)家吧？）

Maxwell 麥克斯韋（電磁學(xué)中的Maxwell方程組）

Riesz 黎茨（泛函里的Riesz表示定理，當(dāng)年匈牙利數(shù)學(xué)競賽第一）

Fourier 傅立葉(巨煩無比的Fourier變換，他當(dāng)年黑過Galois)

Noether 諾特（最最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家，抽象代數(shù)之母）

Kepler 開普勒（研究行星怎么繞著太陽轉(zhuǎn)的人)

Kolmogorov 柯爾莫戈洛夫(蘇聯(lián)的超級(jí)牛人爛人，一生桀驁不馴）

Borel 波萊爾（學(xué)過數(shù)學(xué)分析和實(shí)分析都知道此人）

Sobolev 所伯列夫（著名的Sobolev空間，改變了現(xiàn)代PDE的寫法）

Dirchlet 狄利克雷（Riemann的老師，偉大如他者廖若星辰）

Lebesgue 勒貝格（實(shí)分析的開山之人，他的名字經(jīng)常用來修飾測度這個(gè)名詞）

Leibniz 萊不尼茲（和Newton爭誰發(fā)明微積分，他的記號(hào)使微積分容易掌握）

Abel 阿貝爾（天才，有形容詞形式的名字不多，Abelian就是一個(gè)）

Lagrange 拉格朗日（法國姓L的偉人有三個(gè)，他，Laplace，Legendre)

Ramanujan 拉曼奴陽（天資異稟，死于思鄉(xiāng)病）

Ljapunov 李雅普諾夫（愛微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)，但更愛他的妻子）

Holder 赫爾得（Holder不等式，L-p空間里的那個(gè)）

Poisson 泊松（概率中的Poisson過程，也是純數(shù)學(xué)家）

Nikodym 發(fā)音很難的說（有著名的Ladon-Nikodym定理）

H.Hopf 霍普夫（微分幾何大師，陳省身先生的好朋友）

Pythagoras 畢達(dá)哥拉斯(就是勾股定理在西方的發(fā)現(xiàn)者）

Baire 貝爾(著名的Baire綱)

Haar 哈爾（有個(gè)Haar測度,一度哥廷根的大紅人）

Fermat 費(fèi)馬（Fermat大定理，最牛的業(yè)余數(shù)學(xué)家，吹牛很在行的）

Kronecker 克羅內(nèi)克（牛人克星，迫害Cantor至瘋?cè)嗽海?/p>

E.Laudau 朗道（巨富的數(shù)學(xué)家，解析數(shù)論超牛）

Markov 馬爾可夫(Markov過程)

Wronski 朗斯基（微分方程中有個(gè)Wronski行列式，用來解線性方程組的）

Zermelo 策梅羅（集合論的專家，有以他的名字命名的公理體系）

Rouche 儒契（在復(fù)變中有Rouche定理Rouche函數(shù)）

Taylor 泰勒（Taylor有很多，最熟的一個(gè)恐怕是Taylor展開的那個(gè)，我指的就是那個(gè)）

Urysohn 烏里松(在拓?fù)渲杏兄腢rysohn定理)

數(shù)字與美
南京大學(xué)　方延明

我們國家是一個(gè)數(shù)學(xué)大國，也是一個(gè)數(shù)學(xué)古國，早在2000多年前，我們的祖先就有“周三經(jīng)一”的思想，也就是今天人們講的圓周率π，而西方國家到了17世紀(jì)才有這樣的概念，陳景潤關(guān)于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震驚。

實(shí)際上，我們每一個(gè)人，天天都在跟數(shù)字打交道。一個(gè)人不識(shí)字完全可以生活，但是若不識(shí)數(shù)，就很難生活了，現(xiàn)代科技進(jìn)步，對數(shù)學(xué)的要求越來越高，有一個(gè)著名科學(xué)家叫A．N．Rao，他前些年講過一句話：“一個(gè)國家的科學(xué)的進(jìn)步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量。”近30年來獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的專家的工作，絕大部分是因?yàn)樗麄冊跀?shù)學(xué)方面的重要成就而獲獎(jiǎng)。

人們都知道“黃金分割”的0.618,所謂“黃金分割”，實(shí)際上是一個(gè)比例的問題，符合這樣的比例，人們就看著順眼、舒服。當(dāng)然，“情人眼里出西施”那是另外一回事。比如，人的肚臍，是人的身長的黃金分割點(diǎn)，你如果用從頭到肚臍的長度去除以人的身高，接近0.618,一般講是比較好看的黃金身段。而膝蓋又是人體肚臍以下部分的黃金分割點(diǎn)，這方面的例子很多。

數(shù)字本身有深刻的美的內(nèi)容。數(shù)字和一些美好事物聯(lián)系在一起，會(huì)給人以美的享受。如十個(gè)數(shù)字：一元復(fù)始，一帆風(fēng)順；雙喜臨門、二度梅開；三陽開泰、三思而行；四通八通、四海為家；五世其昌、五官端正；六根清凈、六藝、六韜、六合、六極；七情六欲、七曜、七略；八面玲瓏、八面威風(fēng)、八仙、八卦；九霄云外、九轉(zhuǎn)金丹；十全十美。

中國古代的詩詞中更不乏數(shù)字美的佳句。如李白的“朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還。兩岸猿聲啼不住，輕舟已過萬重山”，是公認(rèn)的長江漂流的名篇，展示了一幅輕快飄逸的畫卷。“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”，“白發(fā)三千丈”，也是借助數(shù)字達(dá)到了高度的藝術(shù)夸張。杜甫的“兩個(gè)黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船”，同樣膾炙人口，數(shù)字深化了時(shí)空意境。他還有“霜皮溜雨四十圍，黛色參天二千尺”，“青松恨不高千尺，惡竹應(yīng)須斬萬竿”等，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的夸張和愛憎。柳宗元的“千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅。孤舟蓑笠翁，獨(dú)釣寒江雪”，數(shù)字具有尖銳的對比和襯托作用。他的“一身去國六千里，萬死報(bào)荒十二年”和韓愈的“一封朝奏九重天，夕貶潮州路八千”一樣，抒發(fā)遷客的失意之情，異曲同工，驚心動(dòng)魄。岳飛的“三十功名塵與土，八千里路云和月”，陸游的“三萬里河?xùn)|入海，五千仞岳上摩天”，同樣是壯懷激烈的。

還有一些狀似打油詩之作，也含有一定的哲理。如唐詩《題百鳥歸巢圖》：“一只一只復(fù)一只，五六七八九十只，鳳凰何少鳥何多？食盡人間千萬石。”傳說鄭板橋見人賞雪吟詩，戲作：“一片二片三四片，五六七八九十片，千片萬片無數(shù)片，飛入梅花總不見。”讀來妙題橫生。

再比如，以數(shù)字入詩的唐詩“一片冰心在玉壺”（王昌齡）、“兩朝開濟(jì)老臣心”（杜甫）、“三山半落青天外”（李白）、“四邊伐鼓雪海涌”（岑參）、“五湖煙水獨(dú)忘機(jī)”（溫庭筠）、“六年西顧空吟哦”（韓愈）、“七月七日長生殿”（白居易）、“八駿日行三萬里”（李商隱）、“九重誰省諫書函”（李商隱）、“十鼓只戴數(shù)駱駝”（韓愈）、“百年都是幾多時(shí)”（元稹）、“萬古云霄一羽毛”（杜甫）等等，數(shù)字和文學(xué)語言的結(jié)合到了出神入化的境界，引人入勝。

廣為傳頌的《秀才進(jìn)京趕考》與《文君復(fù)書》，把數(shù)字用活，體現(xiàn)了數(shù)字別具一格的神韻美。《秀才進(jìn)京趕考》，是說明朝時(shí)有一位窮書生，歷盡千辛萬苦趕往京城應(yīng)試，由于交通不便，趕到京城時(shí)，試期已過。經(jīng)他苦苦哀求，主考官讓他先從一到十，再從十到一作一對聯(lián)。窮書生想起自己的身世，當(dāng)即一氣呵成：

一葉孤舟，坐著二三個(gè)騷客，啟用四槳五帆，經(jīng)過六灘七灣，歷盡八顛九簸，可嘆十分來遲。十年寒窗，進(jìn)了九八家書院，拋卻七情六欲，苦讀五經(jīng)四書，考了三番二次，今天一定要中。

幾十載的人生之路，通過十個(gè)數(shù)字形象深刻地表現(xiàn)出來了。主考官一看，拍案叫絕，并把他排在榜首。

而《文君復(fù)書》說的是司馬相如赴長安趕考，對送行的妻子卓文君發(fā)誓：“不高車駟馬，不筆此過。”多情的卓文君聽說后卻深為憂慮，就叮囑他：“男兒功名固然很重要，但也切勿為功名所纏，作繭自縛。”說完，司馬相如便上路了。他到了長安，由于在家勤奮讀書，終于官拜中郎將。從此，他沉湎于聲色犬馬、紙醉金迷，覺得卓文君配不上他了，于是就處心積慮想休妻，另娶名門千金。

一轉(zhuǎn)眼五年時(shí)間過去了。一天卓文君暗自垂淚，忽然京城來了一名差官，交給她一封信，說司馬相如大人吩咐，立等回書。卓文君接過信又驚又喜，拆開信一看，寥寥數(shù)語：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬。”卓文君一下子明白了，當(dāng)了新貴的丈夫，已有棄她之意。于是她回信寫道：

一別以后，二地相懸，只說三四個(gè)月，又誰知五年六年。七弦琴無心彈，八行書無可傳，九連環(huán)又從中折斷，十里長亭望眼欲穿，百思想，千思念，萬般無奈把郎怨。萬語千言說不完，百無聊賴十依欄，重九登高看孤雁，八月中秋月圓人不圓，七月半燒香秉燭問蒼天，六伏天人人搖扇我心寒，五月石榴火紅偏遭陣陣雨澆花端，四月枇杷未黃我欲對鏡心意亂。急匆匆，三月桃花隨水轉(zhuǎn)，飄零零，二月風(fēng)箏線兒斷。噫！郎呀郎，巴不得下一世你為女來我為男。

司馬相如讀后十分羞愧、內(nèi)疚，良心受到了譴責(zé)，他越想越對不起這位才華出眾、多情多義的妻子。后來他終于用高車駟馬，親自登門接走“糟糠”之妻卓文君，過上了幸福美滿的生活。

還有一些數(shù)字，往往要通過計(jì)算。通過不同數(shù)字的組合，才可以得到一些非常奇妙的排列，令人看后叫絕，回味無窮。

　　1·9＋2＝11

　　12·9＋3＝111

　　123·9＋4＝1111

　　1234·9＋5＝11111

　　12345·9＋6＝111111

　　123456·9＋7＝1111111

　　1234567·9＋8＝11111111

　　12345678·9＋9＝111111111

　　123456789·9＋10＝1111111111

　　這里的“·”，是乘號(hào)的意思，以下都是如此。

　　9·9＋7＝88

　　98·9＋6＝888

　　987·9＋5＝8888

　　9876·9＋4＝88888

　　98765·9＋3＝888888

　　987654·9＋2＝888888

　　9876543·9＋1＝8888888

　　98765432·9＋0＝88888888

　　1·1＝1

　　11·11＝121

　　111·111＝12321

　　1111·1111＝1234321

　　11111·11111＝123454321

　　111111·111111＝12345654321

　　1111111·1111111＝1234567654321

　　11111111·11111111＝123456787654321

　　111111111·111111111＝12345678987654321

　　9·9＝81

　　99·99＝9801

　　999·999＝998001

　　9999·9999＝99980001

　　99999·99999＝9999800001

　　999999·999999＝999998000001

　　9999999·9999999＝99999980000001

　　1·8＋1＝9

　　12·8＋2＝98

　　123·8＋3＝987

　　1234·8＋4＝9876

　　12345·8＋5＝98765

　　123456·8＋6＝987654

　　1234567·8＋7＝9876543

　　12345678·8＋8＝98765432

　　123456789·8＋9＝987654321

數(shù)學(xué)是一門同人民大眾貼得很近的學(xué)科，它所討論的宇宙，遠(yuǎn)比現(xiàn)實(shí)的所謂宇宙宏偉雄大。通常所說的宇宙只是三維空間，而數(shù)學(xué)則建立起了四維、五維乃至n維空間，并且，集合論的超限數(shù)的空間，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了通常無窮大的空間，它們都遠(yuǎn)比我們現(xiàn)實(shí)的宇宙更具有莊嚴(yán)美、雄偉美。數(shù)學(xué)是一座遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超越了我們想象的華麗宮殿，站在這個(gè)無比莊嚴(yán)、宏偉的宇宙中的數(shù)學(xué)家們，以崇敬贊嘆的目光遠(yuǎn)眺著它的壯觀、美妙，那些能夠感受到這種數(shù)學(xué)美、宇宙美的人，是可以被稱為愛因斯坦所謂的有宇宙宗教性的人。
解析幾何簡介

一、解析幾何的產(chǎn)生

十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗(yàn)著拋物線運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。

1637年，法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學(xué)》，一篇叫《流星學(xué)》，一篇叫《幾何學(xué)》。當(dāng)時(shí)的這個(gè)“幾何學(xué)”實(shí)際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國古代“算術(shù)”和“數(shù)學(xué)”是一個(gè)意思一樣。

笛卡爾的《幾何學(xué)》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的《幾何學(xué)》作為解析幾何的起點(diǎn)。

從笛卡爾的《幾何學(xué)》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個(gè)代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。

為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(x,y)的對應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。

具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個(gè)要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個(gè)變數(shù)的一個(gè)代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。

解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學(xué)》以前，就有許多學(xué)者研究過用兩條相交直線作為一種坐標(biāo)系；也有人在研究天文、地理的時(shí)候，提出了一點(diǎn)位置可由兩個(gè)“坐標(biāo)”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。

在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為和笛卡爾同時(shí)代的法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)建的榮譽(yù)。

費(fèi)爾馬是一個(gè)業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個(gè)方面都有重要貢獻(xiàn)。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表《幾何學(xué)》以前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費(fèi)爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表。

笛卡爾的《幾何學(xué)》，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學(xué)新園地做出了貢獻(xiàn)。

二、解析幾何的基本內(nèi)容

在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。

坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對于解析幾何是重要的，就是對于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是十分重要的。

解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動(dòng)作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評(píng)價(jià)“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變書，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，……”

三、解析幾何的應(yīng)用

解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。

在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。

在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。

橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。

總的來說，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。

運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。

坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標(biāo)法對近代數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明也提供了有力的工具。
解析幾何的建立和意義

一、解析幾何的建立

一句話，科學(xué)的需要和對方法論的興趣，推動(dòng)了費(fèi)爾馬和笛卡爾對坐標(biāo)幾何的研究。

費(fèi)爾馬，出身于商人家庭，學(xué)法律并以律師為職業(yè)，數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好。雖然他只能利用閑暇時(shí)間研究數(shù)學(xué)，但他對數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻(xiàn)。并同巴斯卡(Passcal)一同開創(chuàng)了概率論的研究工作，他和笛卡爾都是坐標(biāo)幾何的發(fā)明者。

費(fèi)爾馬關(guān)于曲線的工作，是從研究古希臘幾何學(xué)家，特別是阿波羅尼(Apollonius)開始的。阿波羅尼的《論平面軌跡》一書久已失傳，而費(fèi)爾馬是把它重新寫出來的人之一。他用代數(shù)來研究曲線。他說，他打算發(fā)起一個(gè)關(guān)于軌跡的一般研究，在這種研究是古希臘人沒做到的。1629年他寫了一本《平面和立體的軌跡引論》（1679年發(fā)表），書中說，他找到了一個(gè)研究有關(guān)曲線問題的普遍方法。

費(fèi)爾馬的坐標(biāo)幾何研究怎樣產(chǎn)生的，我們不知道，很可能把阿波羅尼的結(jié)果，直接翻譯成代數(shù)的形式。他考慮任意曲線和它上面的一般點(diǎn)J，J的位置用A、E兩個(gè)字母定出：A是從原點(diǎn)O沿底線到點(diǎn)Z的距離，E是從Z到J的距離。它所用的坐標(biāo)，就是我們現(xiàn)在的斜坐標(biāo)。但是Y軸沒有明白出現(xiàn)，而且不用負(fù)數(shù)，它的A，E就是我們現(xiàn)在的X,Y.

費(fèi)爾馬把他的一般原理，敘述為“只要在最后的方程里出現(xiàn)兩各未知量，我們就得到一個(gè)軌跡，這兩個(gè)量之一，其末端描繪出一條直線或曲線。”前文中對不同位置的E,其末端J,……就把“線”描出，它的未知量A和E，實(shí)際是變數(shù)。或者可以說，聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不定的。他寫出聯(lián)系A(chǔ)、E的各種方程，并指明它們所描繪的曲線。例如，他給出方程（用我們現(xiàn)在的寫法就是）d x = b y，并指出這代表一條直線。他又給出d (a-x) = b y,并指出它也表示一條直線。方程p2-x2 = y2代表一個(gè)圓。a2+x2 = k y2和xy = a各代表一條雙曲線，x2 = ay代表一條拋物線，而且費(fèi)爾馬確實(shí)領(lǐng)悟到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)。因?yàn)樗o出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們可以簡化到的簡單形式。他肯定地得到如下結(jié)論：一個(gè)聯(lián)系著A、E的方程，如果是一次的就代表直線，如果是二次的就代表圓錐曲線。

笛卡爾，首先是一位杰出的近代哲學(xué)家。他是近代生物學(xué)的奠基人、第一流的物理學(xué)家，同時(shí)也是一位數(shù)學(xué)家。它的父親是一位相當(dāng)富有的律師。笛卡爾大學(xué)畢業(yè)后去巴黎當(dāng)律師，在那里他花了一年的時(shí)間，跟兩位神甫一起研究數(shù)學(xué)。其后九年中，他曾在幾個(gè)軍隊(duì)中服役，但他一直研究數(shù)學(xué)。在荷蘭布萊達(dá)地方的招貼牌有一個(gè)挑戰(zhàn)性的問題，被他解決了。這使他自信有數(shù)學(xué)才能，從而開始用心于數(shù)學(xué)。回到巴黎后，他為望遠(yuǎn)鏡的威力所激動(dòng)，又一心鉆研光學(xué)儀器的理論和構(gòu)造。1682年他32歲時(shí)移居荷蘭，得到較為安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境，在那里住了二十年，寫出了著名的作品。1649年他被邀請去做瑞典女皇的教師，第二年在那里患肺炎逝世，享年五十四歲。

1637年笛卡爾寫的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書出版，這是一本文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作，包括三個(gè)著名的附錄：《幾何》、《折光》和《隕星》。《幾何》是他所寫的唯一一本數(shù)學(xué)書，他關(guān)于坐標(biāo)幾何的思想，就包括在它的這本《幾何》中。笛卡爾的其他著作有《思想的指導(dǎo)法則》，《世界體系》，《哲學(xué)原理》，《音樂概要》。

笛卡爾是通過三個(gè)途徑來研究數(shù)學(xué)的，作為一個(gè)哲學(xué)家，他把數(shù)學(xué)方法看作是在一切領(lǐng)域建立真理的方法來研究。作為自然科學(xué)的研究者，它廣泛地研究了力學(xué)、水靜力學(xué)、光學(xué)和生物學(xué)等各個(gè)方面，它的《幾何》的一部分和《折光》都是講光學(xué)的。作為一個(gè)關(guān)心科學(xué)用途的人，他強(qiáng)調(diào)把科學(xué)成果付之應(yīng)用。在這一點(diǎn)上，他同希臘人明白地公開決裂。由于他注意到數(shù)學(xué)的力量，他就是要去尋找數(shù)學(xué)的用途。他不推崇純粹數(shù)學(xué)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)不是思維訓(xùn)練，而是一門建設(shè)性的有用科學(xué)。他認(rèn)為把數(shù)學(xué)方法用到數(shù)學(xué)本身是沒有價(jià)值的，因?yàn)檫@不算是研究自然。那些為數(shù)學(xué)而搞數(shù)學(xué)的人，是白費(fèi)精力的盲目研究者。

笛卡爾對當(dāng)時(shí)幾何和代數(shù)的研究方法進(jìn)行了分析和比較，他認(rèn)為沒有任何東西比幾何圖形更容易印入人的腦際了。因此用這種方式表達(dá)事物是非常有益的，但他對歐幾里德幾何中的每一個(gè)證明都要求某種新的往往是奇巧的想法，這一點(diǎn)深感不安。他還批評(píng)希臘人的幾何過多地依賴于圖形。他完全看到了代數(shù)的力量，看到他在提供廣泛的方法論方面，高出希臘人的幾何方法。他同時(shí)強(qiáng)調(diào)代數(shù)的一般性，以及它把程序機(jī)械化和把解題工作量減小的價(jià)值。他看到代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力。他對當(dāng)時(shí)通行的代數(shù)也加以批評(píng)，說它完全受公式和法則的控制，不像一門改進(jìn)思想的科學(xué)。因此它主張采取代數(shù)和幾何中一切最好的東西，互相以長補(bǔ)短。它所作的工作就是把代數(shù)用到幾何上去。在這里，他對方法的普遍興趣和他對代數(shù)的專門知識(shí)，就組成了聯(lián)合力量，于是就產(chǎn)生了它的《幾何》一書。

在《幾何》一書中，他開始仿照韋達(dá)(Vjeta)的方法，用代數(shù)解決幾何作圖題，后來才逐漸出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想。

在《幾何》第一卷的前一半中，笛卡爾用代數(shù)解決的只是古典的幾何作圖題，這只不過是代數(shù)在幾何上的一個(gè)應(yīng)用，并不是現(xiàn)代意義下的解析幾何。

下一步，笛卡爾考慮了不確定的問題，其結(jié)果可以有很多長度作為答案。這些長度的端點(diǎn)充滿一條曲線。他說：“也要求發(fā)現(xiàn)并描出這條包括所有端點(diǎn)的曲線”。曲線的描出，根據(jù)于最后得到的不定方程，笛卡爾指出：對于每一個(gè)x，長度y滿足一個(gè)確定的方程，因而可以畫出。

笛卡爾的做法，是選定一條直線作為基線，以點(diǎn)Ａ為原點(diǎn)，x值是基線上從Ａ量起一個(gè)線段的長度。y是由基線出發(fā)與基線作成一個(gè)固定角度的一個(gè)線段的長度。這個(gè)坐標(biāo)系我們現(xiàn)在叫作斜角坐標(biāo)系。笛卡爾的x、y只取正值，即圖形在第一象限內(nèi)。

有了曲線方程的思想之后，笛卡爾進(jìn)一步發(fā)展了它的思想。

1、曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)。

2 、同一坐標(biāo)系中兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，可解出交點(diǎn)。

3 、曲線概念的推廣，古希臘人說平面曲線是可以用直尺和圓規(guī)畫出的曲線，而笛卡爾則排斥了這種認(rèn)為只有用直尺和圓規(guī)畫出的曲線才是合法的思想，他提出，那些可用一個(gè)唯一的含x和y的有限次代數(shù)方程表示出的曲線，都是幾何曲線。這樣，例如蔓葉線（x3+y3-3a xy=0）和蚌線都被承認(rèn)是幾何曲線，其他如螺線等，笛卡爾稱之為機(jī)械曲線 [萊布尼茲(Leibniz)后來把它們分別稱之為代數(shù)曲線和超越曲線]。笛卡爾對曲線概念的這一推廣，取消了曲線是否存在看它是否可以用圓規(guī)和直尺畫出這個(gè)判別標(biāo)準(zhǔn)，不但接納了以前被排斥的曲線，而且開辟了整個(gè)曲線領(lǐng)域，牛頓(Newton)1707年稱這是“把所有何以用方程表示的線都接收到幾何里”。

從上面的敘述我們可以看出，費(fèi)爾馬和笛卡爾良人各自都研究了坐標(biāo)幾何，但他們研究的目的和方法卻有明顯不同。費(fèi)爾馬著眼于繼承古希臘的思想，認(rèn)為自己的工作是重新表述了阿波羅尼的工作。而笛卡爾批評(píng)了希臘人的傳統(tǒng)，主張和這個(gè)傳統(tǒng)決裂。雖然用方程表示曲線的思想，在費(fèi)爾馬的工作中更為明顯，但應(yīng)該說真正發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法的威力的是笛卡爾。

有種種原因，使坐標(biāo)幾何的思想──用代數(shù)方程表示并研究曲線的思想，在當(dāng)時(shí)沒有很快地被數(shù)學(xué)家們熱情地接受并利用。

一個(gè)原因是因?yàn)橘M(fèi)爾馬的書《軌跡引論》到1679年才出版，而笛卡爾的《幾何》中對幾何作圖題的強(qiáng)調(diào)，遮蔽了方程和曲線的主要思想。事實(shí)上，許多和他同時(shí)代的人，都認(rèn)為坐標(biāo)幾何主要是解決作圖問題的工具，甚至萊布尼茲說笛卡爾的工作是退回到古代。雖然笛卡爾本人確實(shí)知道，它的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于提供一個(gè)解決作圖問題的工具，他在《幾何》的引言中說：“我在第二卷中所作的關(guān)于曲線性質(zhì)的討論，以及考察在這些性質(zhì)的方法，根據(jù)我看遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了普通幾何的論述。”但他利用曲線方程之處，確實(shí)被他的作圖問題所掩蓋。

坐標(biāo)幾何傳播速度緩慢的另一個(gè)原因，是笛卡爾的書《幾何》寫得使人難懂。書中許多模糊不清之處，是他故意搞的。它說歐洲幾乎沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家能讀懂他的著作，他只約略指出作圖法和證法，而留給別人去填寫入細(xì)節(jié)。他在一封信中把他的工作比作建筑師的工作，只是定出計(jì)劃，指明什么是應(yīng)該做的，而把手工操作留給木工和瓦工。他還說：“我沒有做過任何不經(jīng)心得刪節(jié)，但我預(yù)見到，對于那些自命無所不知的人，我如果寫的使他們能充分理解，他們將不失機(jī)會(huì)地說我寫的都是他們已經(jīng)知道的東西。” 還有另一理由，在《幾何》中他說，他不愿意奪去讀者們自己進(jìn)行加工的樂趣。的確，它的思想必須從它的書中許多解出的例題里去推測，他說，他之所以刪去絕大多數(shù)定理的證明，是因?yàn)槿绻腥瞬幌勇闊┒ハ到y(tǒng)地考察這些例題，一般定理的證明就成為顯然的了，而且照這樣去學(xué)習(xí)是更為有益的。

影響坐標(biāo)幾何被迅速接收的原因，還有一個(gè)是許多數(shù)學(xué)家反對把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，認(rèn)為數(shù)量運(yùn)算和幾何量的運(yùn)算要加以區(qū)別，不能混淆。再一個(gè)原因是當(dāng)時(shí)代數(shù)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)密性的。

上述種種原因，雖然阻礙了對費(fèi)爾馬和笛卡爾的貢獻(xiàn)的了解，但也有很多人逐漸采用并擴(kuò)展了坐標(biāo)幾何。

二、解析幾何的重要性

解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當(dāng)大的進(jìn)展，因此解析幾何不是一個(gè)巨大的成就，但在方法論上卻是一個(gè)了不起的創(chuàng)建。

1、笛卡爾希望通過解析幾何引進(jìn)一個(gè)新的方法，他的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他的希望。在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的某些事實(shí)，而且這個(gè)探索問題的方式，幾乎成為自動(dòng)的了。這套研究方法甚至是更為有利的。用字母表示正數(shù)、負(fù)數(shù)，甚至以后代表復(fù)數(shù)時(shí)，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)統(tǒng)一處理了。例如，綜合幾何中證明三角形的高交于一點(diǎn)時(shí)，必須分別考慮交點(diǎn)在三角形內(nèi)和三角形外，而解析幾何證明時(shí)，則不須加區(qū)別。

2、解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)造成一個(gè)雙面的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過代數(shù)來達(dá)到。反過來，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論（例如，笛卡爾就提出了用拋物線和圓的交點(diǎn)來求三次和四次方程的實(shí)根的著名方法），拉格朗日(Lagrange)曾把這些優(yōu)點(diǎn)寫進(jìn)他的《數(shù)學(xué)概要》中：“只要代數(shù)和幾何分道揚(yáng)鑣，他們的進(jìn)展就緩慢，他們的應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí)，他們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善。”的確，十七世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于解析幾何，可以說微分學(xué)和積分學(xué)如果沒有解析幾何的預(yù)先發(fā)展是難以想象的。

3、解析幾何的顯著優(yōu)點(diǎn)在于它是數(shù)量工具。這個(gè)數(shù)量工具是科學(xué)的發(fā)展久已迫切需要的。十七世紀(jì)一直公開要求著的，例如當(dāng)開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞著太陽運(yùn)動(dòng)，伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的石子沿著拋物線的軌道飛出去時(shí)就必須計(jì)算這些橢圓和炮彈飛時(shí)所畫的拋物線了。這些都需要提供數(shù)量的工具，研究物理世界，似乎首先需求幾何。物體基本上是幾何的形象，運(yùn)動(dòng)物體的路線是曲線，研究它們都需要數(shù)量知識(shí)。而解析幾何能使人把形象和路線表示為代數(shù)形式，從而導(dǎo)出數(shù)量知識(shí)。

三、一點(diǎn)啟示

解析幾何的重要性在于他的方法──建立坐標(biāo)系，用方程來表示曲線，通過研究方程來研究曲線。

蘇聯(lián)著名幾何學(xué)家格列諾夫在他所編的《解析幾何》前言中說：“解析幾何沒有嚴(yán)格確定的內(nèi)容，對它來說，決定性的因素，不是研究對象，而是方法。”“這個(gè)方法的實(shí)質(zhì)，在于用某種標(biāo)準(zhǔn)的方式把方程（方程組）同幾何對象（即圖形）相對應(yīng)，使得圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來。”

由于解析幾何方法解決各類問題的普遍性，它已成為幾何研究中的一個(gè)基本方法。不僅如此，它還被廣泛應(yīng)用于其他精確的自然科學(xué)領(lǐng)域，如力學(xué)和物理學(xué)之中。

因此我們學(xué)習(xí)解析幾何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不僅僅在于記住它的某些具體結(jié)論。

解析幾何的基本方法，包括兩個(gè)方面：一是由圖形到方程，二是從方程到圖形，也就是選擇坐標(biāo)系，建立圖形方程。通過對方程的研究得到圖形的性質(zhì)，了解圖形的形狀。

解析幾何離不開代數(shù)，但又要隨時(shí)把各種代數(shù)表示的幾何涵義放在心中。學(xué)習(xí)中要特別注意，培養(yǎng)自己的幾何直觀能力。這種能力對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是極為重要的。

應(yīng)用解析幾何的方法，可以研究很多具體對象。因?yàn)槲覀儜?yīng)把目的放在掌握基本方法上，采取“研究對象簡單一些，突出基本方法”的方針，避免發(fā)生因?yàn)檠芯繉ο髲?fù)雜，引起很多枝節(jié)，從而淹沒了基本方法的現(xiàn)象。這也是笛卡爾留給我們的一個(gè)教訓(xùn)。它就是因?yàn)橹v了很多很多的作圖

集合論簡介

初中畢業(yè)升入高一級(jí)學(xué)校的同學(xué)們會(huì)一致發(fā)現(xiàn)自己所學(xué)的第一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是：集合。這門研究集合的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被恰當(dāng)?shù)胤Q為集合論。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個(gè)極其獨(dú)特的地位，其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比作一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石，由此可見它在數(shù)學(xué)中的重要性。其創(chuàng)始人康托爾也以其集合論的成就被譽(yù)為對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一。下面就讓我們一起去探究一下這門獨(dú)特而重要的數(shù)學(xué)理論的來龍去脈，追覓它所走過的曲折歷程吧。

一、集合論的誕生

集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的。

十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果。其推進(jìn)速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ)。十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)。正是在這場運(yùn)動(dòng)中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實(shí)數(shù)點(diǎn)集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個(gè)整體，就稱為一個(gè)集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。

二、康托爾的不朽功績

在中學(xué)數(shù)學(xué)中我們所學(xué)習(xí)的只是集合論的最基本知識(shí)。學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們或許覺得一切都是很自然與簡單的，根本無法想象它在誕生之日遭到激烈反對的情景，也體會(huì)不到康托爾的功績之所在。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫評(píng)價(jià)康托爾的工作時(shí)說：“康托爾的不朽功績在于他向無窮的冒險(xiǎn)邁進(jìn)”。因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會(huì)真正明白他工作的價(jià)值之所在和眾多反對之聲之由來。

數(shù)學(xué)與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱。因?yàn)檫@一原因，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，并盡可能回避這一概念。但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路。他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開墾的處女地，開辟出一個(gè)奇妙無比的新世界。對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子。下面就讓我們來看一下盒子打開后他釋放出的是什么。

“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集，用字母N來表示。”學(xué)過集合那一章后，同學(xué)們應(yīng)該對這句話不會(huì)感到陌生。但同學(xué)們在接受這句話時(shí)根本無法想到當(dāng)年康托爾如此做時(shí)是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無窮觀念的工作。在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋。無限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在。這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無限。十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn)。用他的話說，就是“……我反對將無窮量作為一個(gè)實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式……”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí)，他是把無限的整體作為了一個(gè)構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實(shí)無限思想。由于潛無限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實(shí)無限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評(píng)與攻擊是無足為怪的。然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮。他在實(shí)無限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論。這一理論使人們真正進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸的奇特的無限世界。

最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對無窮集元素個(gè)數(shù)問題的研究。他提出用一一對應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個(gè)數(shù)。他把元素間能建立一一對應(yīng)的集合稱為個(gè)數(shù)相同，用他自己的概念是等勢。由于一個(gè)無窮集可以與它的真子集建立一一對應(yīng)――例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系――也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個(gè)數(shù)。這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾。而康托爾認(rèn)為這恰恰是無窮集的特征。在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個(gè)數(shù)，他將其稱為可數(shù)集。又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集。后來當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù)[注]集合也是可數(shù)集時(shí)，一個(gè)很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數(shù)集。但出乎意料的是，他在1873年證明了實(shí)數(shù)集的勢大于自然數(shù)集。這不但意味著無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成。”而當(dāng)他得出這一結(jié)論時(shí)，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個(gè)而已。這是何等令人震驚的結(jié)果！然而，事情并未終結(jié)。魔盒一經(jīng)打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個(gè)無窮數(shù)的怪物。從上述結(jié)論中康托爾意識(shí)到無窮集之間存在著差別，有著不同的數(shù)量級(jí)，可分為不同的層次。他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在著無窮多個(gè)層次。他取得了成功，并且根據(jù)無窮性有無窮種的學(xué)說，對各種不同的無窮大建立了一個(gè)完整的序列，他稱為“超限數(shù)”。他用希伯萊字母表中第一個(gè)字母“阿列夫”來表示超限數(shù)的精靈，最終他建立了關(guān)于無限的所謂阿列夫譜系

它可以無限延長下去。就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景。可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結(jié)論在當(dāng)時(shí)會(huì)如何震動(dòng)數(shù)學(xué)家們的心靈了。毫不夸張地講，康托爾的關(guān)于無窮的這些理論，引起了反對派的不絕于耳的喧囂。他們大叫大喊地反對他的理論。有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”，稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”。作為對傳統(tǒng)觀念的一次大革新，由于他開創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的。當(dāng)回頭看這段歷史時(shí)，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨(dú)創(chuàng)性成果的一種褒揚(yáng)吧。

三、公理化集合論的建立

集合論提出伊始，曾遭到許多數(shù)學(xué)家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰。然而集合論前后經(jīng)歷二十余年，最終獲得了世界公認(rèn)。到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同。數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了。他們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，借助集合論的概念，便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈。在1900年第二次國際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了。”然而這種自得的情緒并沒能持續(xù)多久。不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界。這就是1902年羅素得出的羅素悖論。羅素構(gòu)造了一個(gè)所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R。現(xiàn)在問R是否屬于R？如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于R；另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應(yīng)屬于自身，即R屬于R。這樣，不論何種情況都存在著矛盾。這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地。絕對嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中。這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去。1908年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡稱ZF公理系統(tǒng)。原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論。與此相對應(yīng)，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴(yán)格處理。它保留了樸素集合論的有價(jià)值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去。

從康托爾提出集合論至今，時(shí)間已經(jīng)過去了一百多年，在這一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等。而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的。因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時(shí)，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家對他的集合論的評(píng)價(jià)作為我們的總結(jié)。

它是對無限最深刻的洞察，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動(dòng)的最高成就之一。

超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一。

這個(gè)成就可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作。

康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數(shù)學(xué)的最令人不安的獨(dú)創(chuàng)性貢獻(xiàn)之一。

注：整系數(shù)一元n次方程的根，叫代數(shù)數(shù)。如一切有理數(shù)是代數(shù)數(shù)。大量無理數(shù)也是代數(shù)數(shù)。如根號(hào)2。因?yàn)樗欠匠蘹2-2=0的根。實(shí)數(shù)中不是代數(shù)數(shù)的數(shù)稱為超越數(shù)。相比之下，超越數(shù)很難得到。第一個(gè)超越數(shù)是劉維爾于1844年給出的。關(guān)于π是超越數(shù)的證明在康托爾的研究后十年才問世。
題，把它的關(guān)于解析幾何的基本思想淹沒了。
極限法的哲學(xué)思考

極限的ε－Ｎ定義，術(shù)語抽象，符號(hào)陌生，其中的辯證關(guān)系不易搞清，學(xué)生會(huì)提出的一系列問題：描述性定義簡單明白，為什么要搞個(gè)ε－Ｎ定義?它與描述性定義有什么不同?數(shù)學(xué)家怎么會(huì)想出這種“古怪而討厭”的定義?正如Ｒ?柯朗與Ｈ?羅賓所說：“初次遇到它時(shí)暫時(shí)不理解是不足為怪的，遺憾的是某些課本的作者故弄玄虛，他們不作充分的準(zhǔn)備，而只是把這個(gè)定義直接向讀者列出，好像作些解釋就有損于數(shù)學(xué)家的身份似的．”要弄清這些問題，有必要翻開數(shù)學(xué)史，從哲學(xué)的角度認(rèn)識(shí)極限法，這不僅是搞清極限概念的需要，也有助于建立正確的數(shù)學(xué)觀念．

1 什么叫極限法?

所謂極限法，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)方法．極限法的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果．極限法不同于一般的代數(shù)方法，代數(shù)中的加、減、乘、除等運(yùn)算都是由兩個(gè)數(shù)來確定出另一個(gè)數(shù)，而在極限法中則是由無限個(gè)數(shù)來確定一個(gè)數(shù)．很多問題，用常量數(shù)學(xué)的方法無法解決，卻可用極限法解決．

例如，已知拋物線y2＝2x．（1）在拋物線上任取二點(diǎn)Ｐ1（x1，y1）、Ｐ2（x2，y2），經(jīng)過線段Ｐ1Ｐ2的中點(diǎn)作直線平行于拋物線的軸，和拋物線交于點(diǎn)Ｐ3，證明△Ｐ1Ｐ2Ｐ3的面積為（1／16）·｜y1－y2｜3；（2）經(jīng)過線段Ｐ1Ｐ3、Ｐ2Ｐ3的中點(diǎn)分別作直線平行于拋物線的軸，與拋物線依次相交于Ｑ1、Ｑ2，試將△Ｐ1Ｐ3Ｑ1與△Ｐ2Ｐ3Ｑ2的面積之和用y1、y2表示出來；（3）依照（2）又可作出四個(gè)更小的三角形，如此繼續(xù)下去可以作一系列的三角形，由此設(shè)法求出線段Ｐ1Ｐ2與拋物線所圍成的圖形的面積．（1965年高考數(shù)學(xué)試題第7題）

在該題中，為了推導(dǎo)所求拋物弓形的面積，必須借助于極限法．

就像坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法一樣，極限法是微積分的基本方法，微積分中的一系列重要概念，如函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限法定義的．如果要問：“微積分是一門什么學(xué)科?”那么可以概括地說：“微積分是用極限法來研究函數(shù)的一門學(xué)科．”

2 極限法思想是從哪兒來的?

與一切科學(xué)方法一樣，極限法也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物．

極限法的思想可以追溯到古代．劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始極限觀念的應(yīng)用．古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于簡接證法──歸謬法完成有關(guān)證明．

到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法證明步驟．如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用的概念的方向”．

極限法的進(jìn)一步發(fā)展與微積分的建立緊密聯(lián)系．16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到很大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景．

起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想．牛頓用路程的改變量ΔＳ與時(shí)間的改變量Δt之比ΔＳ／Δt表示運(yùn)動(dòng)物體的平均速度，讓Δt無限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論．他意識(shí)到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)．他說：“兩個(gè)量和量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時(shí)間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差別，則最終就成為相等．”但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上，因而他無法得出極限的嚴(yán)密表述．牛頓所運(yùn)用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當(dāng)n無限增大時(shí)，an無限地接近于常數(shù)Ａ，那么就說an以Ａ為極限．”

這種描述性語言，人們?nèi)菀捉邮埽F(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義．但是，這種定義沒有定量地給出兩個(gè)“無限過程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)．

正因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時(shí)速度概念中，究竟Δt是否等于零?如果說是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含著它的那些項(xiàng)去掉呢?這就是數(shù)學(xué)史上所說的無窮小悖論．英國哲學(xué)家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”．

貝克萊之激烈攻擊微積分，一方面是為宗教服務(wù)，另一方面也由于當(dāng)時(shí)的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂．這個(gè)事實(shí)表明，弄清極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身所需要而且有著認(rèn)識(shí)論上的重大意義．

3 極限法的完善

極限法的完善與微積分的嚴(yán)格化密切聯(lián)系．

在很長一段時(shí)間里，微積分理論基礎(chǔ)的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以償．這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對象已從常量擴(kuò)展到變量，而人們對變量數(shù)學(xué)特有的規(guī)律還不十分清楚；對變量數(shù)學(xué)和常量數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解；對有限和無限的對立統(tǒng)一關(guān)系還不明確．這樣，人們使用習(xí)慣了的處理常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方法，就不能適應(yīng)變量數(shù)學(xué)的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”，相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系．

到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對極限作出過各自的定義．其中達(dá)朗貝爾的定義是：“一個(gè)量是另一個(gè)量的極限，假如第二個(gè)量比任意給定的值更為接近第一個(gè)量．”它接近于極限的正確定義，然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴．事情也只能如此，因?yàn)?9世紀(jì)以前的算術(shù)和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的．

首先用極限概念給出導(dǎo)數(shù)正確定義的人，是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，他把函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，定義為差商Δy／Δx的極限f′（x），他強(qiáng)調(diào)指出，f′（x）不是兩個(gè)零的商．波爾查諾的思想是有價(jià)值的，但關(guān)于極限的本質(zhì)他仍未說清楚．

到了19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值．”特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個(gè)變量成為無窮小．

柯西把無窮小視為以0為極限的變量，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)，這就是說，在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限地接近于零．

柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望．但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度．

為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯脫拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)．所謂an＝Ａ，就是指：“如果對任何ε＞0，總存在自然數(shù)Ｎ，使得當(dāng)n＞Ｎ時(shí)，不等式｜an－Ａ｜＜ε恒成立．”

這個(gè)定義，借助不等式，通過ε和Ｎ之間的關(guān)系，定量地、具體地刻劃了兩個(gè)“無限過程”之間的聯(lián)系．因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍不顯得陳舊．在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不求助于運(yùn)動(dòng)的直觀．

眾所周知，常量數(shù)學(xué)靜態(tài)地研究數(shù)學(xué)對象，自從解析幾何和微積分問世以后，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，人們有可能對物理過程進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究，之后，維爾斯脫拉斯建立的ε－Ｎ語言，則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢．這種“靜態(tài)──動(dòng)態(tài)──靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律．

綜上所述可見，極限法的引入與完善是出于社會(huì)實(shí)踐的需要，是幾代人奮斗的結(jié)果，不是哪一個(gè)數(shù)學(xué)家苦思冥想出來的．

4 極限法的思維功能

極限法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定蹬．極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用．借助極限法，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確．

無限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展．無限個(gè)數(shù)目的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助極限法，從有限認(rèn)識(shí)無限．

“變”與“不變”反映了事物運(yùn)動(dòng)變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”．例如，要求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，用初等方法是無法解決的，困難在于這時(shí)速度是變量．為此，人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限，就是借助極限法，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”．

曲線形與直線形有本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了．”善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一．直線形的面積容易求得，要求曲線形的面積，只用初等的方法就不行了．劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積和逼近曲邊梯形的面積，都是借助極限法，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形．

量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證關(guān)系．量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)研究工作中起重要作用．對任何一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形來說，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變，不是質(zhì)變．但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“變”成圓，多邊形面積變轉(zhuǎn)化為圓面積．這就是借助極限法從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變．

近似與準(zhǔn)確是對立統(tǒng)一關(guān)系，兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算的重要訣竅．前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內(nèi)接正多邊形面積”，依次是相應(yīng)的無窮級(jí)數(shù)和、瞬時(shí)速度、圓面積的近似值，取極限后就可得到相應(yīng)的準(zhǔn)確值．這都是借助極限法，從近似認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確．

參考文獻(xiàn)

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2　張綏．?dāng)?shù)學(xué)與哲學(xué)．上海：學(xué)林出版社，1988

3　袁小明．?dāng)?shù)學(xué)思想史導(dǎo)論，南寧：廣西人民出版社，1991

4　劉云章．中學(xué)微積分教學(xué)．南京：江蘇教育出版社，1986

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