大家都聽(tīng)說(shuō)過(guò)物理中有大一統(tǒng)的構(gòu)想，那么數(shù)學(xué)中有沒(méi)有類(lèi)似的理論呢？答案是肯定的，這就是我們今天所介紹的朗蘭茲綱領(lǐng)。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有三個(gè)非常重要的分支學(xué)科，分別是代數(shù)幾何、數(shù)論和群表示論，從各自的發(fā)展歷史來(lái)看，它們的相互依賴(lài)性不是很強(qiáng)，也就是說(shuō)，這三個(gè)學(xué)科相對(duì)獨(dú)立。但數(shù)學(xué)的發(fā)展總是走向綜合和融匯，于是在1967年，當(dāng)時(shí)還非常年輕加拿大數(shù)學(xué)家朗蘭茲產(chǎn)生了三個(gè)學(xué)科可以統(tǒng)一在一起的大膽猜想。經(jīng)過(guò)一番思考后，他寫(xiě)信給當(dāng)時(shí)最偉大數(shù)學(xué)家之一的韋伊，闡述了自己這個(gè)有些瘋狂的構(gòu)想。但這正如脫韁野馬一樣，一發(fā)便不可收拾，這一系列構(gòu)想后來(lái)就組成了著名的“朗蘭茲綱領(lǐng)”，它促成了數(shù)學(xué)中一系列的重大成就，數(shù)學(xué)家也因此可以用更加深刻的觀點(diǎn)來(lái)審視過(guò)去那些已經(jīng)取得的成果，包括非常著名的“費(fèi)馬大定理”。
朗蘭茲
朗蘭茲的靈感最早來(lái)自于數(shù)論中著名的“二次互反律”，“二次互反律”最早由歐拉和勒讓德提出，而后偉大的高斯給出了第一個(gè)嚴(yán)格的證明。在經(jīng)典數(shù)論里，二次互反律擁有絕對(duì)牢固的地位，被稱(chēng)為“數(shù)論酵母”，它從實(shí)質(zhì)上上解決了二次剩余的判別問(wèn)題，但這個(gè)定律只適用于二次的情形。朗蘭茲的高明之處在于，他發(fā)現(xiàn)了高于二次的方程和互反律也存在著一些聯(lián)系，進(jìn)而多項(xiàng)式方程的素?cái)?shù)值與分析和幾何學(xué)中所關(guān)注的微分方程的譜奇妙地聯(lián)系到了一起，朗蘭茲在仔細(xì)地思考后，認(rèn)為這兩者之間應(yīng)該存在互反關(guān)系。
朗蘭茲綱領(lǐng)如此受重視的一個(gè)原因在于，它將代數(shù)幾何包含在內(nèi)，而代數(shù)幾何則是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“主流中的主流”，數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)所有得主中近三分之一是因?yàn)榇鷶?shù)幾何中的成就而獲獎(jiǎng)，由此可以看出代數(shù)幾何到底是有多重要！在整個(gè)二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)中，誕生了許多重量級(jí)數(shù)學(xué)大師，而其中許多都和代數(shù)幾何有深刻的關(guān)聯(lián)，例如格羅滕迪克、韋伊，塞爾和德利涅等等。
格羅滕迪克所著《代數(shù)幾何學(xué)原理》
而群表示論可能大家會(huì)有些陌生。群是滿(mǎn)足一定關(guān)系和帶有一些規(guī)定運(yùn)算的集合，例如全體實(shí)數(shù)在加法運(yùn)算下就構(gòu)成一個(gè)加法群，所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)(可以理解為單位圓周上的點(diǎn))在乘法下構(gòu)成乘法群。但群的結(jié)構(gòu)本身可以變得極其復(fù)雜，于是根據(jù)數(shù)學(xué)中“化繁為簡(jiǎn)”的基本思想，我們將一般的群對(duì)應(yīng)到更為簡(jiǎn)單的“線性群”中，進(jìn)而可以通過(guò)研究這種對(duì)應(yīng)來(lái)分析群的結(jié)構(gòu)，這極大地降低了直接研究的難度。而在這些群中，數(shù)學(xué)家們尤其關(guān)注“李群”，李群不僅擁有群結(jié)構(gòu)，更一般地，它還被賦予微分結(jié)構(gòu)，成為一個(gè)微分流形，進(jìn)而李群表示論還與調(diào)和分析產(chǎn)生了深刻的聯(lián)系。這樣一來(lái)，代數(shù)，幾何和分析這三大數(shù)學(xué)分支就奇妙地產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)。
那么，這三大分支之間是怎樣被聯(lián)系起來(lái)的呢？朗蘭茲認(rèn)為是一些特殊的函數(shù)將它們緊密聯(lián)系在了一起，這種函數(shù)被稱(chēng)為“L函數(shù)”，L函數(shù)的一些特性往往可以反應(yīng)出研究對(duì)象的幾何，代數(shù)或分析性質(zhì)。例如非常著名的“黎曼ζ函數(shù)”就是一個(gè)L函數(shù)，它的零點(diǎn)分布情況可以給出許多重要的性質(zhì)，因此關(guān)于它零點(diǎn)分布的“黎曼猜想”就顯得非常重要，這個(gè)猜想可以說(shuō)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的一個(gè)未解之謎，由它的正確性可以立即推導(dǎo)出很多重要結(jié)論，例如素?cái)?shù)定理，盡管素?cái)?shù)定理已經(jīng)得證，但這個(gè)過(guò)程是十分艱辛的。
也就是說(shuō)，如果黎曼猜想可以被證明，那么朗蘭茲綱領(lǐng)的地位無(wú)疑將“更上一層樓”。在“千禧年七大數(shù)學(xué)問(wèn)題”中，除去黎曼猜想外，還有BSD猜想與朗蘭茲綱領(lǐng)關(guān)系密切，這個(gè)猜想的一部分是：
給定一個(gè)整體域上的阿貝爾簇，那么它的莫代爾群的秩等于它的L函數(shù)在1處的零點(diǎn)階數(shù)。
BSD猜想近些年來(lái)有一些突破，例如來(lái)自中科院數(shù)學(xué)所的數(shù)學(xué)家田野證明了其中一種特殊情況，使得這個(gè)問(wèn)題有了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。
費(fèi)馬大定理我們聽(tīng)得比較多的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是一個(gè)歷史超過(guò)三百年的巨大難題，不過(guò)比較幸運(yùn)的是，它在上世紀(jì)末被英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯所解決。實(shí)際上懷爾斯是通過(guò)證明更為一般的谷山—志村猜想進(jìn)而得到費(fèi)馬大定理的，這個(gè)猜想架起了溝通橢圓曲線和模形式的橋梁，而橢圓曲線是具有眾多代數(shù)和幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象，而模形式則來(lái)源于分析中的周期函數(shù)。如此看來(lái)，費(fèi)馬大定理又是朗蘭茲綱領(lǐng)成立的一大強(qiáng)有力佐證，因?yàn)樗嬲匕巡煌臄?shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系到了一起，完美體現(xiàn)了朗蘭茲綱領(lǐng)的思想。
懷爾斯與費(fèi)馬大定理
朗蘭茲本人在非交換調(diào)和分析、自守形式理論和數(shù)論的跨學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行了深入研究，進(jìn)而把它們統(tǒng)一在一起的“朗蘭茲綱領(lǐng)”，并首先證明了一些特殊情形。由于朗蘭茲在此領(lǐng)域內(nèi)的卓越貢獻(xiàn)，他榮獲了“數(shù)學(xué)三大獎(jiǎng)”的其中兩個(gè)，分別是1996年的沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)和2018年的阿貝爾獎(jiǎng)。
2018 年阿貝爾獎(jiǎng)授予朗蘭茲
而近些年來(lái)在朗蘭茲綱領(lǐng)上最杰出的人物可能是越南裔法國(guó)籍?dāng)?shù)學(xué)家吳寶珠，他前前后后大約耗費(fèi)10年光陰，歷經(jīng)千難萬(wàn)險(xiǎn)，最終證明了朗蘭茲綱領(lǐng)自守形式的一個(gè)基本引理，而這個(gè)引理是朗蘭茲綱領(lǐng)最終成立的一個(gè)基本前提，因而尤其重要。但即使是這樣一個(gè)引理，證明起來(lái)也非常艱難，就連朗蘭茲本人也無(wú)能為力，只能放棄。但所幸吳寶珠堅(jiān)持了下來(lái)，邁出了關(guān)鍵性的一大步，憑借這樣的巨大突破，吳寶珠也榮獲2010年菲爾茲獎(jiǎng)。值得一提的是，吳寶珠還在越南讀高中的時(shí)候就兩度拿到國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的金牌，而與他同屆獲得金牌的還有更加出名的陶哲軒，陶哲軒于2006年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。不過(guò)非常可惜的是，在中國(guó)眾多的金牌得主中至今還從未誕生過(guò)具備獲得菲爾茲獎(jiǎng)實(shí)力的數(shù)學(xué)家。
吳寶珠
朗蘭茲綱領(lǐng)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一塊極其肥沃的土地，代數(shù)、幾何和分析的思想和方法在其中產(chǎn)生了神奇的反應(yīng)，讓我們驚喜地看到了它們之間的共性和聯(lián)系。但時(shí)至今日，朗蘭茲綱領(lǐng)也只是一個(gè)偉大的“構(gòu)想”而已，但它已經(jīng)為今后的數(shù)學(xué)發(fā)展指明了一種方向，或許沿著這個(gè)方向，我們將窺探到數(shù)學(xué)中更為高深的奧秘。
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