圖1 戰略式博弈
1. 問題提出
囚徒困境（prisoner’ dilemma）——Tuncker 20世紀50年代（純戰略）
兩個小偷作案后被警察抓住，分別不同的屋子里審訊。在審訊之前，小偷從律師那里得知：如果兩個人都坦白，將被各判刑4年；如果兩個人都抵賴，將會因為證據不足而各判1年；如果其中一人坦白而另一人抵賴，坦白的將會得到寬大處理而被無罪釋放，而抵賴的將重判，判刑6年。試問兩個小偷將會如何選擇？
純戰略：參與人在給定信息下只選擇一種特定的戰略（行動）。
猜硬幣（混合戰略）
兩個參與人各握一枚硬幣，雙方同時選擇是正面向上（記作O）還是背面向上（記作R），即他們的戰略空間都是{O，R}。若兩枚硬幣是一致的（即全部背面向上或者全部正面向上），參與人2贏得參與人1的硬幣；若兩枚硬幣不一致，則參與人1贏得參與人2的硬幣。
混合戰略：參與人在給定信息下以某種概率分布隨機地選擇不同的行動（戰略空間上的概率分布）。解釋了一個參與人對其他參與人所采取行動的不確定性。
在一個給定的n人戰略式博弈中，對于任一參與人，設
，則參與人i的一個混合戰略為定義在戰略集
上的一個概率分布
，其中
表示參與人i選擇戰略
的概率，即滿足：且。
2. 問題描述——戰略式博弈
戰略式博弈（strategic form game）：也稱標準式博弈，是一種相互作用的決策模型，這種模型假設每個參與人僅選擇一次行動或行動計劃（戰略），并且這些選擇是同時進行的。
適用：不需要考慮博弈過程的完全信息博弈問題(特別是完全信息靜態博弈)
戰略式博弈三要素：
1) 參與人集合
2) 每位參與人非空的戰略集，即
3) 每位參與人定義在所有戰略組合上的偏好關系或者效用函數
有限博弈：（參與人人數有限）且，（每個參與人的戰略數有限），記為或
“囚徒困境”博弈戰略式描述：
表1 “囚徒困境”戰略式描述
“猜硬幣”戰略式描述：
表2 “猜硬幣”戰略式描述
3. 問題的解——Nash均衡（純戰略）、混合戰略Nash均衡（混合戰略）
1) 重復剔除劣戰略行為（化簡原博弈問題）
在n人博弈中，如果對于參與人i，存在戰略，對，有，則稱戰略為參與人i的劣戰略（嚴格劣戰略），或者戰略相對于占優；有，且，使得，則稱戰略為參與人i的弱劣戰略。
參與人i將會把從中剔除掉，直接從戰略集中選擇自己的戰略。------------------------->，其中
注：如果每次剔除的是嚴格劣戰略，均衡結果與剔除順序無關；如果剔除的是弱劣戰略，均衡結果可能與剔除順序有關。
2) 純戰略——Nash均衡（Nash Equilibrium）——John Nash 20世紀50年代
在一個給定的n人戰略式博弈中，戰略組合是一個Nash均衡，當且僅當，時，有或者，。
3) 混合戰略——混合戰略Nash均衡
在一個給定的n人戰略式博弈中，混合戰略組合為一個Nash均衡，當且僅當，，有。
支撐求解法
支撐（記為）是指參與人按照選擇戰略時，純戰略組合中以大于0的概率出現的所有純戰略組合的集合，即
有限n人戰略式博弈的支撐求解法：
1) 構造出所有的混合戰略均衡的支撐。
2) 對于每個給定的支撐，求解如下方程組。
3) 驗證方程組的解。
a) 解都大于0。即
b) 不存在一個不屬于支集的戰略，給定其他參與人的戰略，參與人i采用所得到的期望效用大于采用支集中戰略的期望效用。即但，
規劃求解法
將求解博弈的混合戰略Nash均衡轉換為對一個規劃問題進行求解。
有限n人戰略式博弈的規劃求解法：
Wilson奇數定理（oddness theorem）：幾乎所有的有限戰略式博弈都有有限奇數個Nash均衡。
參考文獻：
[1] 羅云峰. 博弈論教程. 北京: 清華大學出版社, 北京交通大學出版社, 2007.
