有人說數學是當之無愧的科學女王，如微積分這一數學史上的偉大創造，它對當時的數學發展、科技進步和實際應用都起到了不可磨滅的作用，至今仍閃爍著燦爛的光輝，還有像泛函分析、拓撲學、突變理論、非標準分析等純粹數學中的精華，它們的科學體系無論是從本身結構的完美程度，還是從它們的邏輯體系的嚴密性以及發展空間，對其他科學的指導作用都是有目共睹，
也有人說數學是科學的奴仆，因為數學語言為其他科學的發展提供了工具，如20世紀初科學革命中相對論和量子力學這兩項最偉大成就，都是以數學為基礎和工具來對復雜物質世界宏觀領域和微觀領域的規律性描述，而隨著計算機科學的進步和發展，上至天氣預報，下至污水處理，連超市進貨的周期數量，公共交通線路的規劃設計，甚至是國家的安全防衛都要用到數學，數學的多樣性的巨大應用確定了其仆人的不可代替性，
但是曾任世界學術圣地普林斯頓高等研究院院長，在2008年因在霍奇結構的變分、阿貝爾積分的周期理論方面的工作以及對復微分幾何的貢獻而獲得沃爾夫獎的知名數學家P.A格列菲斯并不這樣認為，在普林斯頓高等研究院新數學樓落成儀式上，他發表了名為《數學—從伙計到伙伴》這個讓世界震撼的演講，相信看完這篇文章，會讓你對數學與科學之間的關系，為什么要學習數學有一個更加清楚的認識.
稱呼問題與語言
我是一名數學家，這意味著像別的數學家一樣，我陷于一種進退維谷之窘境，窘境之一是企圖用比喻來解釋數學，這有過于簡單化的危險，另一窘境是對廣大的公民（這包括我們大部分的科學同行）來說，數學是一不可理解的沼澤之地，對數學界和對數學不大理解的社會來說，這是一個很大的問題，所以今天我決定用通俗語言——如果你們允許，我對我的同行只說幾句行話，讓我從似乎很重要的兩個方面入手，
首先，數學與科學間有著根本的不同，其次是最近幾年數學與其他學科之間的關系發生了根本性變化——大部分是好的，考慮這個變化的一種方法是看一看對數學的叫法，數學一直被稱為是科學的女王，在許多人的眼里，無論如何數學總有些難以企及，有一種自命不凡的暗示，仿佛說數學家不需要別人，也還有種把數學看成藍天的觀點，僅為自己而在空中進行練習，實際上，數學家G.h. Hardy曾說過數學之實踐歸于藝術形式為最佳，
數學也被稱為科學的奴仆，也就是大量的能工巧匠為科學框架提供工具，有時教務長把數學系看作'服務系'，無論是女王還是奴仆看起來都不合適，數學沒有這么高于或低于其他學科，卻是在他們里面或環繞著他們，它正成長為一完滿和相互影響的伙伴，我的任務就是要使你們相信這個，而且證明這不僅對數學是健康的，而且對傳統上很接近數學的物理以及對離數學很遠的商業，心理學及健康方針分析學也同樣是健康的，
另外一種看待數學的辦法是把它當成一門語言，我們在學校的每一年都學習它，就像我們每年都學英語一樣，每當研究一門科學數量化時，那么它就必須依賴數學這門語言，但并不止于此，因在量子電動力學的工作而獲得1965年的諾貝爾獎的物理學家費曼曾說：'要是沒有數學語言，宇宙似乎是不可描述的'，
也許這方面最著名的例子是有關牛頓，他想要理論框架來表示在重力作用下物體的運動，這包括開普勒的行星運動法則，這種渴望驅使他形成了萬有引力定律和微積分，那是科學史上偉大的成就之一，另一個用數學作為合適語言的例子是有關愛因斯坦的傳說，他花了數年時間試圖形成引力實際上只是空間的曲率這種可能性，但他不知道如何從數學上加以表達，一天他求助于密友格洛斯曼說: '你必須幫助我，否則我會發瘋的'，格洛斯曼告訴他黎曼有關彎曲空間的工作依賴于更早的高斯和羅巴切夫斯基的工作，大部分基礎研究已經完成且正待使用，這才使首先是物理學家只是必要時才是數學家的愛因斯坦松了一口氣，從而他得以繼續進行廣義相對論的研究，
但數學和物理學的聯系變得更深了，另一個諾貝爾物理學獎獲得者溫伯格談到了不可思議的巧合，他說這是不可思議的，當一物理學家得到一思想時，然后卻發現在他之前數學家已經發現了，其中一個著名的例子是關于群論的，群論是由法國數學家伽羅瓦在19世紀早期發明的，目的是要解決一個純粹為數學內部的問題，該問題是要如何發現多項式的根，這是一個抽象的追求，群是表達對稱概念的數學方式，從上世紀后半葉，群論這個課題已得到充分的發展，當物理學家在本世紀上半葉發現群論時，他們發現這正是他們所需要的用于統一偉大的能量守恒定律，動量守恒定律，自旋守恒定律，電荷守恒定律等等，這些定律是我們周圍世界對稱性的反映，
今天在科學中，這個微妙的法則是一個基本的概念，例如，它表明由于相當復雜的原因，關于基本粒子你能問的最基本問題是它反映了哪個對稱群，在這里，重要的方面是伽羅瓦的動機完全是數學內部的，只是努力去解決代數中一個有趣的問題，我們能夠猜測的只是，要是這位天才不是由于決斗而早死于21歲的話，他可能會完成更多的東西.
數學的力量
過去數學家被指責生活于象牙塔之中，沉溺于他們自己的猜想的抽象美之中，實際上，我們必須求助于抽象，例如，我們知道在幾何中，我們研究無限小的點，無限窄的直線和完全圓的圓周——即理想的對象，理想的概念與帕拉圖一樣古老，與我們周圍世界的流行概念沒有什么關聯，
但是我認為抽象并不總是壞事，實際上，它是一個具有巨大的潛力和用處的領域，另一個這樣看的方式是說，數學家只關心內在的一致性，即他們絕對忠實于他們自己游戲的法則，而他們又受到批評，因為他們的游戲關心的不是世界本來的樣子，而是關心世界可能的樣子，現代理論家建立自然界的模型依賴于理想化的數學基礎，但是我也認為世界也并非是它所顯現的樣子，
例如誰能想象當我接近光速時，看著窗外質量競變成無窮大？事實上，誰會關心呢？當然，數學家會關心，而且要是歷史是向導，別的人最終也會關心——通常是在數學家完成之后的數年或數十年，研究相對論的基本工具黎曼幾何，在愛因斯坦需要它之前的60年已經出來了，Lie群至少在30年之后才在粒子物理中得到應用，數學中一個'比現實還現實'的優美例子是正電子的發現，狄拉克是發現電子運動的正確方程的英國物理學家和數學家，他的這一發現主要是基于對稱性的考慮，但是，結果完全沒有料到的事情發生了：Dirac方程預示著存在一個除了負荷外，每個方面都與電子一樣的粒子，以前從未有人觀察到這個假設中的'反粒子'，但是很自然地，實驗家們開始去尋找它，不久之后就發現了正電子，這是物理學的勝利，我說這也同樣是數學的勝利，
我愿更詳細地描述一個更現代化的這種現象的例子，因為我想這表明數學和科學之間的有效合作關系能產生多么強大和意想不到的回響，大約在1950年，一個訓練成數學家的名為豪普特曼的科學家對晶體的結構這個迷產生了興趣，從20世紀之初化學家就知道當X射線穿過晶體時，光線碰到晶體中的原子而發生散射或衍射，當他們把X-射線膠卷置于晶體之后，X射線會使隨原子位置而變動的衍射圖案處的膠卷變黑，化學家的迷惑是他們不能準確地確定晶體中原子的位置，這是由于如同別的電磁線一樣，X射線可以看作是波，因此他們有振幅和相位，這個衍射圖只能探清X射線的振幅但不能探測相位，
化學家們對這個問題困惑了40多年，是豪普特曼的才華認識到這個事情能形成為一個純粹的數學問題，這問題有一個非常優美的解，這里我必須向聽眾中的數學家說幾句，而請其他人原諒，電子密度函數是三周期的，且大略地說，通過測量，我們能決定它的Fourier系數的絕對值，豪普特曼的見解是電子密度函數有一特點，這就是它是帶有很小支集的非負函數，由此他從強度能夠推斷出相位，對我們大家來說要點是豪普特曼的洞察力指出了用分離出足夠多的信息以決定相位信息的辦法，然后他能夠繼續下去以決定晶體的幾何，
這個結晶學家只看過物理現象的影子，但他用大約已存在100年的古典數學證明了從影子來再現實際的現象是可能的，豪普特曼在一次談話中，回憶說在1950年以前，他的工作被看成是荒謬的，而他本人也被當作一個大傻瓜，事實上，在他一生中只上過一門化學課——大學一年級的化學，然而由于他用古典數學解決了一個難倒了現代化學家的謎，而在1985年獲得了諾貝爾化學獎.
數學的用處難以預計
Armand Borel教授說過數學仿佛是冰山：在水面之下是純數學領域，隱藏于公眾視野之外，水面之上為尖點，那是我們稱為應用數學的可見部分，許多人只看見這個尖點，但他卻沒有意識到如沒有水底下大得多的部分，它是無法存在的，
下面是這方面的一個良好的例子：在幾十年前，一個名叫科馬克的工程師尋找一個不經手術而能準確確定一個體內物體的位置和密度的方法，在那時只有X射線是可以利用的，而它們只給出二維信息，假定在平面上有一密度不均勻的物體，我們不能看見里面的陰影部分，但是通過用射線穿過它，來看一下從另一邊出來多少，我們能測量出沿一條直線的物質總量，問題是從該信息重現物體內部的密度，
結果，這個問題的數學解已經歷了許多年，可以追溯到名為Radon這位數學家的工作，由于 Radon的解答，科馬克明白了把X射線從許多不同角度照射，你就能夠決定體內目標的位置和形態，因而導致了CAT掃描，即人體器官的三維圖像，而這一原理已被擴張為磁共振圖像MRI，分辨率更高，在這兩個技術中，本質上我們只是大量測量1-維的度量，然后應用數學技巧來重造三維圖像，更近的PET掃描即正電子發射層面X光照相術，也是利用這一相同的技術發展而成，它可以測出代謝作用以及人體結構，這次應用了Dirac的反粒子，順便說一下，發射層面X光照相術中的數學使用了一種算法，那是在20世紀60年代分析蘇聯的通訊密碼而產生的 ，
科馬克對Radon變換的應用已遠不限于醫學，正如他自己所注意到，在古人類學中，它已被用于某個生活在大約290萬前的Ples夫人，對 Pless夫人耳室的CAT掃描證實了其他方法認為是對的結論：我們的曾曾曾直至第N代曾祖母是直立行走的，Radon技術也被用于海洋學，在這里它能用來決定海洋的溫度，這不僅僅是一個學術上的問題，因為海洋的溫度極大地影響陸地上天氣模式，傳統的用于測量比方說為300平方公里這樣大的區域的方法是，把溫度計從船上扔到水中，然后船只沿格子來回行駛，船只速度是這么慢，以致在測量完成前溫度已發生了變化，
然而，利用聲音發射器及探測器，海洋學家能夠測量出依賴于水溫的聲音波動的速率，通過許多次的發射及探測后，很快他們就有足夠多的信息來使用 Radon技巧，為完成這個不平凡的事情，用老辦法他們需要一個能行駛接近3000節(海里/小時)的船只，有多得多的技術可以利用 Radon問題，
但我在這里就只提兩個，1938年，一個美國天文學家使用它來測量靠近太陽的恒星的速率分布，在1958年，一個澳大利亞的天文學家利用它來描述一張月球亮度分布圖，順便提一下，科馬克大夫在1979年獲得了諾貝爾醫學獎.
數學突破內部障礙并與科學之間的共鳴
現在我要說到當今數學是健康的理由之一，即內部障礙的突破，二次大戰后，數學的顯著特征是一股強有力的在極狹小分支專業化傾向，其一結果是許多數學領域被深入探討了，另一結果是許多年來數學家們在交流上有很大困難，即使是在不同的分支的同事之間，這種隔閡依然存在，但正被另外一種傾向，即有趣的問題貫穿眾多分支的方式所表達的傾向化所補充，雖然該傾向始于數學本身，
沒有比用楊-米爾斯能更好地闡述了，它們是試圖推廣麥克斯韋方程的一組方程，麥克斯韋用電磁理論統一了電和磁現象，結果表明麥克斯韋方程及其推廣有著優美的幾何，他們的研究吸引了來自根本不同領域像拓撲學，代數，微分幾何，代數幾何及偏微分方程的數學家，這表明了現代數學的一個基本特征——分散的'地下發射場'中形式上僵硬的組織已讓位于更靈活得多的結構，我們的目標正開始圍繞著有趣的問題和學科分支進行組織，現在我要談談這些問題中最有趣者之一——弦論，
這里我們看到了數學和科學之間最生動的協同作用( Synergy），我已盡力嘗試不使用協同作用這個詞，因為它是政治上合適的詞，但人們必須承認它適合于我正要談的，你可以把數學和科學之間的關系當作是一種共鳴關系，想象小孩在秋千上，當秋千達到弧的末端時他就拉繩子，這就會使他擺得比只有重力更遠，同樣地，新的科學問題激發著新的數學工作，而且新的數學發現可以在科學中得到應用，就像秋千和小孩，各個領域互相影響具有比不相干部分的總和大得多的結合效果，
弦論之所以如此命名是由于物質的基本單位形狀像細小的振動的弦而不是粒子，弦論大為受到重視的原因之一是第一次把引力納入到在微觀水平上的寬廣的物質描述，廣義相對論闡述了引力，但卻在無窮小距離時失效了，長期以來，人們認為對引力的量子論作些改進就可以解決相對論無法納入的時空奇點，而一些科學家發表了文章證明：在弦論中，時空能光滑地從一個拓撲演化( evolve)到另一個，其間沒有遇到任何形式的奇點，為弦論可能得到第一個一致的引力量子論提供了重要的新證據，
根據我今天講話的目的，我想看看弦論是如何超過傳統的數學物理引導一群理論物理學家深入數學，是迷人的，一個結果是弦論對數學與對物理學一樣產生著影響，實際上，物理學已經作了一系列的引人入勝的有關數學的語言且這些預言已開始被證實.
新的應用
直到現在，我談的大部分是數學和物理科學之間的深刻的相互作用，這里我想把這擴張到新的領域，數學正對整個其他學科作出了許多貢獻，這樣改變了我們做的幾乎所有事情，同時這些學科中的一些正用有趣的新型問題向數學家發出了挑戰，這些問題又導致了新的應用，越基本的數學其用處更廣，
一個極其豐富且具有挑戰性領域的好例子是流體力學，該學科的主要基礎是一組稱為Navier- Stokes方程的方程組，這些方程描述流體的流動，流體包括空氣、液體甚至一些固體，數學家正使用Navier-Stokes方程研究令人驚奇的廣泛的現象：颶風，從心臟中流出的血液流，穿過篩孔狀地板的油，燃料在汽化器中的混合，在空氣中飛行的飛機，從液體中形成的晶體，在熔化反應器中的深綠玉髓礦石，星系，云，風及流的運動，你能想象得到為什么那么多種類的科學家對Navier- Stokes方程感興趣，
然而流體的運動是如此復雜，以致它還不能在理論上完全理解，或者有完整的計算機仿真，而且流體流動的一些現象不能被測量，因此研究者把理論模型，計算機仿真和實驗結合起來，由于高速計算機的迅猛發展使得這些技術成為可能，這些技術是新的，且使用了數學許多分支的方法，在科學和實際當中，特殊興趣是試圖——然而還沒有成功——去理解湍流和混沌現象，混沌現象是數學中引起公眾注意的一個方面，它是說一個小變化就可產生巨大的效果，例如相對來說沒有多少氟利昂分子就能急劇加大我們大氣層中的臭氧洞就是一例，另一個混沌例子是把油加到水里后產生的優美和復雜圖案，當然只是加上少量油，
數學在全新領域的強有力應用的另一個例子是控制論，它是動力系統的一個分支，舉個例子，高性能飛機過去通常主要用風洞試驗及其類似的試驗來設計，之后就建造一模型，某個富于冒險的試飛員被要求去試飛，看他飛行得怎樣，由于現代控制論，設計和性能的統一是有效得多了，因而更多的試飛員活下來，成了祖父母，
關于稱呼的討論，我想你們同意區分純粹和應用研究不再有益處了，也許區分有目標的和由好奇心驅使的研究也是無益的，情況反而是，許多我們過去稱為'純粹'的有趣的數學工作起源于非常實際的研究，而純粹研究工作的結果在將來某一天很可能會回到實際中來.
計算機與生命科學
我提到了計算機，這里我想強調的是現在計算機所做的遠不止于棘手的數學問題，他們允許科學家做那些上一代人以前無法想象的事情，一個強有力的新的用處是計算機建模，這導致許多科學和技術領域的巨變，
建模所做的是用計算機仿真來代替昂貴的實驗，我們說過在飛機設計中，風洞是那種馬和小馬車走路的辦法，形狀的實驗是由計算機完成的，這些模型再加上計算的方法對那些實際檢驗太復雜的理論打開了門，諸如蛋白質是如何折疊和開折的，或者石油是如何流過帶孔的巖石而進入地下深處的，再一次，從許多協同作用中能得到許多益處，當知識在數學和計算機科學之間快速流動時，
我提到過傳統上數學被應用于物理科學，它為這些科學提供了理論框架和數值工具，在過去數學的一些領域特別是統計學，在生命科學中很有用處，但一般來說不是處于很重要的水平，今天這正發生著變化，由于新技術和計算機，數學最后開始能處理生物器官的復雜性，特別地，數學那種獨一無二的認清模型和組織能力正開始滲透到神經網絡這樣的基本系統，我們已經提到數學對CAT掃描和MRI的重要性，
同樣，流體動力學已導致腎臟，胰臟，耳朵和其他器官的計算模型，人類心臟模型甚至導致了人造心臟裝置的改進，作為Duke大學的教務長，我注意到感激的病人慷慨地支持該校的醫學中心，對我們數學來說，現在還沒有，但是也許將來會有，另外一個伙伴關系是數學家和生物學家正一起探尋著DNA復制的機制，已經知道DNA是以絞著打結的形式存在著，且在復制期間必須解開，
真是巧合，數學包含一個稱為紐結理論的分支，紐結論與概率論和組合學一起正幫著生物學家理解DNA系列的復雜3-維力學，由于計算機的新威力，一個產生了深刻波動的領域是傳染病學，對艾滋病作了巨大的努力以建立數學化模型，該模型證明了HIV并不是像其他大多數傳染病的病原體那樣傳播，這些模型的復雜性是如此巨大以致現在最快的計算機對它們也無能為力，因而數學家面臨著應用他們學科簡單化的威力這一挑戰.
經濟學
數學對經濟學最有價值的貢獻之一是一般平衡模型，它試圖預言自由市場行為，由于這方面的工作而使肯尼斯·阿羅贏得了諾貝爾獎，該模型的威力鼓舞著對整個經濟學領域進行總體數學化，
羅索斯基講述了有關的描述其要點的有趣故事，當阿羅獲得諾貝爾獎時，他是哈佛大學的教授，而 Henry是當時哈佛的教務長，把這消息告訴了數學系中一個著名的同事，這位同事要了一份阿羅的著作，看了之后他說那些數學是很基本的，能夠為哈佛的一年級大學生所完成，當然，他只部分正確，那些數學不是高深的但這不是要點，正如許多類似的突破，阿羅的成就是把兩個領域結合起來，
它比它的各個部分之和的力量要大，我想多說些在工業上使用的計算機建模，這方面變化的影響是如此之大，以致沒有使用建模的工業很快就落后了，由于數學模型、計算機硬件和數學算法的巨大進展，使得這方面的發展極快并富于競爭力，一個例子是微處理機芯片的設計，這是用數學特別是離散數學方法完成的，在試驗回路板時常見的任務是把工具移到幾百或幾千個點中，且在每點上進行鉆或檢查，為使所需的時間最小就是所謂的推銷員旅行問題，即用最小長度的道路拜訪圖中所有頂點，圖論和計算復雜性的進展已經產生了達到此目的的簡單方法，對有關牽涉到幾萬個點的問題，新算法快到只要最優方法的百分之一，
基礎數學的另一個領域——有限域的研究已導致在計算算法上的應用，例如，電話公司的最新難題是要建立一個高效及自動系統，即使用盡可能少的電線來傳遞聲音信號，而當該系統出現故障時，能很快重新給信號定線路，在數學上，這可以用一個圖來計算，該圖有頂點，這就是電話局，這些頂點由邊連結，這就是連接電話局的電話線，許多數學家已經引導把深刻的基礎數學用到像這樣的難題，
然而，假如歷史是向導的話，那么未來最有效力的應用領域還有待降臨，與工業的許多種伙伴關系正在快速形成，例如，離散最優化研究發展正在使產品如何生產、訂貨、貯藏和運送發生著徹底變革，其結果是驚人的，你可能熟悉最近鞋業中的困境，直至幾年前，在這個國家所賣的鞋，幾乎都是在海外生產的，主要由于存貨清單使用了計算機技術，現在結算轉向有利于國內工業，
類似地，紐約市使用了組合最優化技術重新制定它的衛生工作人員計劃，這樣一項技術就可節省2500萬美元而且還提供更好服務和更方便的工作計劃，美國航空公司只需更少的飛機和操作人員便可來完成相同數量的飛行，這是由于他們的計劃采用了先進的組合技術，他們也能更好地對壞天氣作出反應.
小波與模型論
數學中最有趣的一個方面是，我們是多么經常聽到在技術上的突破，爾后發現它在數學上的根源是多么古老，我想到了強有力的使用小波來壓縮數據的技術，而小波是來自古老的調和分析，耶魯大學的研究者發現他們實際上能壓縮和貯存任何種類的圖像或聲音，這只需使用數學生成的看起來像小波的形狀，他們發現他們能使聯邦調查局的3億個指印減至1/20，而且也能通過將電話傳送指印所需的時間從20分鐘減至1分鐘，僅僅用光存貯盤將使納稅人節省2500萬美元，
我想以數學已成為某個新伙伴的最有魅力的一個領域模型論來作結尾，模型論這個詞首先在20世紀70年代引入，這是數學的一個分支，與計算機視覺，語言識別，符號處理和人工智能部分有關，它的支持者現在認為它可能包含著有關思維本身的普遍理論的胚胎，因此你能夠明白數學正和一些發展很快的伙伴同行，
從很實用的觀點來看，模型學家一個典型的難題是設計一個能把語言變成書寫文字的機器，如果我們每個人對每個詞發出的聲音都一樣的話——即產生相同模型的聲波那么這將是很容易的，但實際上不可能，因而這也就不容易了，當我說Ski這個詞時，它不會產生與你說Ski時一樣的語圖，我們的語音機器必須足夠自動化以來識別當我們說Ski這個詞時聲音中的本質部分，過去，理論家嘗試模仿人腦建一個巨大復雜的計算機，但在現實中這個方法失敗了，計算機對邏輯輸入的反應是極好的，但像哈佛大學的研究者David Mumford現在相信人腦與計算機有著本質上的不同，
Mumford寫到，我們大腦所看到的通常不是模糊的原始的感覺信號，而是充分應用記憶、期望和邏輯的靈敏的重造，對 Mumford來說，我們用模型識別來思想，且模型識別遠非標準邏輯，我想起了船體設計，計算機使我們走到沒有它我們就遠無法達到的地步，然而，它還需要美學價值和用處的完美結合，Mumford承認模型論要達到完滿的理論還有長路要走，但他認為它比任何別的都更成功，
因此，我們發現數學作為生物和行為科學的伙伴，正推動著仍處于原始狀態的寬廣和有魅力的理論.
問題
我盡力要說的一個要點是數學對社會來說是極其有用的，假如這是真的，人們就會想到我們作為社會就應強有力地支持導致新應用的研究，且對數學有興趣的學生就會全力以赴，今天情況并非如此，數學界還須有效地向公眾及其所選的代表表明：數學不同于科學，我們沒有設計什么新產品或治愈疾病，然而我們對工程和醫學的影響是重大的，但數學界長期處于顯著的隔離狀態，
以致公眾對我們所做的一切理解得少而又少，數學家的訓練不僅面窄，以致不能允許他發展成為既有廣泛的興趣又有廣博的知識，而這兩項都為我今天所描述的工作所必須，而且有巨大的壓力要他們盡早專業化，以便在該專業申請到資助和得到使用權，我描述的協同伙伴關系展現了新的機會，在本領域和本領域外的知識趨勢是很積極的，且正出現一個以前沒有的內部的和外部的觀點的平衡，但我們不習慣向別人作出對我們學科的解釋，更不用說推銷了，如果我們希望得到更多更好的支持，
那么作為團體和社會，我們必須做得更好，特別地，我們必須培養出更好的數學教師，我認真地說促使我決定成為數學家的，在我的職業上最重要的人是lottie Wilson，她是我很久以前的高中數學教師， Wilson夫人讓別人理解她的課有兩個本質的特征，她明白數學的崇高和神秘，她還知道得到正確答案是無法用別的來代替，我記得當我在哈佛大學教書時，小學分讓我煩透了，在大學一年級微積分課程上的學生，希望在僅僅開始解決問題或得到一些合理但卻不正確的答案的考試上得到小學分，
有一天我向他們說：'假定最終你將成為醫生，如果你的診斷只是部分正確，那么你的病人將會滿意嗎？'，這評論并沒有得到好的回報，但是其要點是嚴肅的：數學是一有確定答案的科目，且學生在「得到正確的答案」能得到真正的滿意，但是我們教師必須更好地傳授我們這一科目的優美和實用，
做數學實際上是有樂趣的，這至少對數學家來說是如此——是保留的秘密，而且我總是驚奇發現我們是多么經常地使用'優美的'這個詞來描述我們滿意的工作，我想起數學家Jacques Tits與人類學家談論早期人類用火試驗的評論：一個人類學家提到這些人是出于渴望更好的烹調的驅使，另一個認為他們追求可依靠的熱源，
而Tits說他相信是由于對火著迷才使火在人類的控制之下，我相信最好的數學家是會對火著迷的，而這是好事，對社會來說是幸運的，因為他們的迷戀最終提供了我們大家都需要的好的烹調的可靠的熱源.
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