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抽象代數(shù)即近世代數(shù)。

代數(shù)〔Algebra〕是數(shù)學(xué)的其中一門(mén)分支，當(dāng)中可大致分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。

初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程〔組〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質(zhì)等問(wèn)題。

法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運(yùn)用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問(wèn)題。他是第一個(gè)提出「群」的思想的數(shù)學(xué)家，一般稱(chēng)他為近世代數(shù)的創(chuàng)始人。他使代數(shù)學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué)，即把代數(shù)學(xué)由初等代數(shù)時(shí)期推向抽象代數(shù)即近世代數(shù)時(shí)期。

抽象代數(shù)學(xué)對(duì)于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)和一些其它科學(xué)領(lǐng)域都有重要的影響。抽象代數(shù)學(xué)隨著數(shù)學(xué)中各分支理論的發(fā)展和應(yīng)用需要而得到不斷的發(fā)展。經(jīng)過(guò)伯克霍夫、馮.諾伊曼、坎托羅維奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格論確定了在代數(shù)學(xué)的地位。而自20世紀(jì)40年代中葉起，作為線性代數(shù)的推廣的模論得到進(jìn)一步的發(fā)展并產(chǎn)生深刻的影響。泛代數(shù)、同調(diào)代數(shù)、范疇等新領(lǐng)域也被建立和發(fā)展起來(lái)。

中國(guó)數(shù)學(xué)家在抽象代數(shù)學(xué)的研究始于30年代。當(dāng)中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。

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現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程正在更新。50年代數(shù)學(xué)系的教學(xué)計(jì)劃，以“高等微積分”、“高等代數(shù)”、“高等幾何”為主體。時(shí)至今日，人們認(rèn)為光靠這“老三高”已不夠用了，應(yīng)該發(fā)展“新三高”，即抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析。現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論是由這三根支柱撐著的。現(xiàn)在，我們來(lái)追尋它們形成和發(fā)展的歷史足跡，并從這一側(cè)面窺視20世紀(jì)數(shù)學(xué)的特征。

一、抽象代數(shù)
抽象代數(shù)在上一個(gè)世紀(jì)已經(jīng)有了良好的開(kāi)端，伽羅瓦在方程求根中就蘊(yùn)蓄了群的概念。后來(lái)凱利對(duì)群作了抽象定義(Cayley，1821~1895)。他在1849年的一項(xiàng)工作里提出抽象群的概念，可惜沒(méi)有引起反向。“過(guò)早的抽象落到了聾子的耳朵里”。直到1878年，凱利又寫(xiě)了抽象群的四篇文章才引起注意。1874年，挪威數(shù)學(xué)家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)某些微分方程解對(duì)一些連續(xù)變換群是不變的，一下子接觸到連續(xù)群。1882年，英國(guó)的馮·戴克（von Dyck,1856~1934）把群論的三個(gè)主要來(lái)源—方程式論，數(shù)論和無(wú)限變換群—納入統(tǒng)一的概念之中，并提出“生成元”概念。20世紀(jì)初給出了群的抽象公里系統(tǒng)。

群論的研究在20世紀(jì)沿著各個(gè)不同方向展開(kāi)。例如，找出給定階的有限群的全體。群分解為單群、可解群等問(wèn)題一直被研究著。有限單群的分類(lèi)問(wèn)題在20世紀(jì)七、八十年代才獲得可能是最終的解決。伯恩賽德（Burnside，1852~1927年）曾提出過(guò)許多問(wèn)題和猜想。如1902年問(wèn)道一個(gè)群G是有限生成且每個(gè)元素都是有限階，G是不是有限群？并猜想每一個(gè)非交換的單群是偶數(shù)階的。前者至今尚未解決，后者于1963年解決。

舒爾（Schur，1875~1941）于1901年提出有限群表示的問(wèn)題。群特征標(biāo)的研究由弗羅貝尼烏斯首先提出。龐加萊對(duì)群論抱有特殊的熱情，他說(shuō)：“群論就是那摒棄其內(nèi)容而化為純粹形式的整個(gè)數(shù)學(xué)。”這當(dāng)然是過(guò)分夸大了。

抽象代數(shù)的另一部分是域論。1910年施泰尼茨（Steinitz，1871~1928）發(fā)表《域的代數(shù)理論》，成為抽象代數(shù)的重要里程碑。他提出素域的概念，定義了特征數(shù)為P的域，證明了每個(gè)域可由其素域經(jīng)添加而得。

環(huán)論是抽象代數(shù)中較晚成熟的。盡管環(huán)和理想的構(gòu)造在19世紀(jì)就可以找到，但抽象理論卻完全是20世紀(jì)的產(chǎn)物。韋德伯恩（Wedderburn，1882~1948）《論超復(fù)數(shù)》一文中，研究了線形結(jié)合代數(shù)，這種代數(shù)實(shí)際上就是環(huán)。環(huán)和理想的系統(tǒng)理論由諾特給出。她開(kāi)始工作時(shí)，環(huán)和理想的許多結(jié)果都已經(jīng)有了，但當(dāng)她將這些結(jié)果給予適當(dāng)?shù)拇_切表述時(shí)，就得到了抽象理論。諾特把多項(xiàng)式環(huán)的理想論包括在一般理想論之中，為代數(shù)整數(shù)的理想論和代數(shù)整函數(shù)的理想論建立了共同的基礎(chǔ)。諾特對(duì)環(huán)和理想作了十分深刻的研究。人們認(rèn)為這一總結(jié)性的工作在1926年臻于完成，因此，可以認(rèn)為抽象代數(shù)形成的時(shí)間為1926年。范德瓦爾登根據(jù)諾特和阿廷的講稿，寫(xiě)成《近世代數(shù)學(xué)》一書(shū)，（1955年第四版時(shí)改名為《代數(shù)學(xué)》），其研究對(duì)象從研究代數(shù)方程根的計(jì)算與分布進(jìn)到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和各種代數(shù)結(jié)構(gòu)。這就發(fā)生了質(zhì)變。由于抽象代數(shù)的一般性，它的方法和結(jié)果帶有基本的性質(zhì)，因而滲入到各個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支。范德瓦爾登的《代數(shù)學(xué)》至今仍是學(xué)習(xí)代數(shù)的好書(shū)。人們從抽象代數(shù)奠基人——諾特、阿廷等人燦爛的成果中吸取到了營(yíng)養(yǎng)，從那以后，代數(shù)研究有了長(zhǎng)足進(jìn)展。

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抽象代數(shù)
抽象代數(shù)又稱(chēng)近世代數(shù)，它產(chǎn)生于十九世紀(jì)。
抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科。由于代數(shù)可處理實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)以外的物集，例如向量、矩陣超數(shù)、變換等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數(shù)學(xué)家將個(gè)別的演算經(jīng)由抽象手法把共有的內(nèi)容升華出來(lái)，并因此而達(dá)到更高層次，這就誕生了抽象代數(shù)。抽象代數(shù)，包含有群論、環(huán)論、伽羅瓦理論、格論、線性代數(shù)等許多分支，并與數(shù)學(xué)其它分支相結(jié)合產(chǎn)生了代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)洹⑼負(fù)淙旱刃碌臄?shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)已經(jīng)成了當(dāng)代大部分?jǐn)?shù)學(xué)的通用語(yǔ)言。
被譽(yù)為天才數(shù)學(xué)家的伽羅瓦（1811-1832）是近世代數(shù)的創(chuàng)始人之一。他深入研究了一個(gè)方程能用根式求解所必須滿(mǎn)足的本質(zhì)條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問(wèn)題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)達(dá)數(shù)百年之久的問(wèn)題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿(mǎn)解決了三等分任意角或倍立方體的問(wèn)題都是不可解的。最重要的是，群論開(kāi)辟了全新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算，把從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，并把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類(lèi)，使群論迅速發(fā)展成為一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)分支，對(duì)近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。同時(shí)這種理論對(duì)于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對(duì)于二十世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。
1843年，哈密頓發(fā)明了一種乘法交換律不成立的代數(shù)——四元數(shù)代數(shù)。第二年，Grassmann推演出更有一般性的幾類(lèi)代數(shù)。1857年，凱萊設(shè)計(jì)出另一種不可交換的代數(shù)——矩陣代數(shù)。他們的研究打開(kāi)了抽象代數(shù)(也叫近世代數(shù))的大門(mén)。實(shí)際上，減弱或刪去普通代數(shù)的某些假定，或?qū)⒛承┘俣ù詣e的假定(與其余假定是兼容的)，就能研究出許多種代數(shù)體系。
1870年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開(kāi)始使用“體”的說(shuō)法，并研究了代數(shù)體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開(kāi)了體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創(chuàng)立了環(huán)論；1910年，施坦尼茨總結(jié)了包括群、代數(shù)、域等在內(nèi)的代數(shù)體系的研究，開(kāi)創(chuàng)了抽象代數(shù)學(xué)。
有一位杰出女?dāng)?shù)學(xué)家被公認(rèn)為抽象代數(shù)奠基人之一，被譽(yù)為代數(shù)女皇，她就是諾特, 1882年3月23日生于德國(guó)埃爾朗根，1900年入埃朗根大學(xué)，1907年在數(shù)學(xué)家哥爾丹指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。
諾特的工作在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何的發(fā)展中有重要影響。1907-1919年，她主要研究代數(shù)不變式及微分不變式。她在博士論文中給出三元四次型的不變式的完全組。還解決了有理函數(shù)域的有限有理基的存在問(wèn)題。對(duì)有限群的不變式具有有限基給出一個(gè)構(gòu)造性證明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不變式，在格丁根大學(xué)的就職論文中，討論連續(xù)群(李群)下不變式問(wèn)題，給出諾特定理，把對(duì)稱(chēng)性、不變性和物理的守恒律聯(lián)系在一起。
1920~1927年間她主要研究交換代數(shù)與「交換算術(shù)」。1916年后，她開(kāi)始由古典代數(shù)學(xué)向抽象代數(shù)學(xué)過(guò)渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年寫(xiě)出的<<整環(huán)的理想理論>>是交換代數(shù)發(fā)展的里程碑。建立了交換諾特環(huán)理論，證明了準(zhǔn)素分解定理。1926年發(fā)表<<代數(shù)數(shù)域及代數(shù)函數(shù)域的理想理論的抽象構(gòu)造>>，給戴德金環(huán)一個(gè)公理刻畫(huà)，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“環(huán)”和“理想”的系統(tǒng)理論，一般認(rèn)為抽象代數(shù)形式的時(shí)間就是1926年，從此代數(shù)學(xué)研究對(duì)象從研究代數(shù)方程根的計(jì)算與分布，進(jìn)入到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，完成了古典代數(shù)到抽象代數(shù)的本質(zhì)的轉(zhuǎn)變。諾特當(dāng)之無(wú)愧地被人們譽(yù)為抽象代數(shù)的奠基人之一。
1927－1935年，諾特研究非交換代數(shù)與「非交換算術(shù)」。她把表示理論、理想理論及模理論統(tǒng)一在所謂“超復(fù)系”即代數(shù)的基礎(chǔ)上。后又引進(jìn)交叉積的概念并用決定有限維枷羅瓦擴(kuò)張的布饒爾群。最后導(dǎo)致代數(shù)的主定理的證明，代數(shù)數(shù)域上的中心可除代數(shù)是循環(huán)代數(shù)。
諾特的思想通過(guò)她的學(xué)生范．德．瓦爾登的名著<<近世代數(shù)學(xué)>>得到廣泛的傳播。她的主要論文收在<<諾特全集>>(1982)中。
1930年，畢爾霍夫建立格論，它源于1847年的布爾代數(shù)；第二次世界大戰(zhàn)后，出現(xiàn)了各種代數(shù)系統(tǒng)的理論和布爾巴基學(xué)派；1955年，嘉當(dāng)、格洛辛狄克和愛(ài)倫伯克建立了同調(diào)代數(shù)理論。
到現(xiàn)在為止，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)研究過(guò)200多種這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中最主要德若當(dāng)代數(shù)和李代數(shù)是不服從結(jié)合律的代數(shù)的例子。這些工作的絕大部分屬于20世紀(jì)，它們使一般化和抽象化的思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中得到了充分的反映。