由三條線段首尾順次相連，得到的封閉幾何圖形叫做三角形，三角形是幾何圖案的基本圖形。[1] 編輯本段三角形分類本目錄涉及專業(yè)領(lǐng)域知識(shí)，部分內(nèi)容存在爭議，已由蘭州大學(xué)物理學(xué)博士 孔維杰核實(shí)查證。
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按角度分
a.銳角三角形：三個(gè)角都小于90度。
b.直角三角形：簡稱Rt△（Right triangle），有且只有一個(gè)內(nèi)角等于90度。
c.鈍角三角形：有且只有一個(gè)內(nèi)角大于90度。
其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形。[1] 按角分的判定方法
若一個(gè)三角形的三邊a，b，c （ a<b<c） 滿足
a^2+b^2>c^2， 則這個(gè)三角形是銳角三角形；
a^2+b^2=c^2， 則這個(gè)三角形是直角三角形；
a^2+b^2<c^2， 則這個(gè)三角形是鈍角三角形。 按邊分
性質(zhì)判定
等腰三角形
等腰三角形的性質(zhì)：
（1）兩底角相等；
（2）兩條腰相等 ；
（3）頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（簡稱：三線合一）；
等腰三角形的判定：
（1）等角對(duì)等邊；
（2）兩底角相等；
（巧用：在特定題目中，等腰三角形，平行，角平分線這三量，知二可推另一）
等邊三角形
等邊三角形的性質(zhì)：
（1）頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（簡稱：三線合一）;
（2）等邊三角形的各角都相等，并且都等于60°；
（3）四心重合（重心、垂心、外心、內(nèi)心）。
等邊三角形的判定：
（1）三個(gè)內(nèi)角或三個(gè)對(duì)應(yīng)位置的外角都相等的三角形是等邊三角形；
（2）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 編輯本段三角形面積計(jì)算公式
(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所對(duì)應(yīng)的高）注釋：三邊均可為底，應(yīng)理解為：三邊與之對(duì)應(yīng)的高的積的一半是三角形的面積。這是面積法求線段長度的基礎(chǔ)。
(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC（三個(gè)角為∠A∠B∠C，對(duì)邊分別為a,b,c，參見三角函數(shù)）
(3)S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] [p=1/2(a+b+c)]（海倫—秦九韶公式）
(4)S△=abc/(4R) (R是外接圓半徑）
(5)S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內(nèi)切圓半徑）
(6) | a b 1 | S△=1/2 | c d 1 | | e f 1 |
（| a b 1 | ….| c d 1 | …。| e f 1 |為三階行列式，此三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A(a,b),B(c,d),C(e,f），這里ABC選區(qū)取最好按逆時(shí)針順序從右上角開始取，因?yàn)檫@樣取得出的結(jié)果一般都為正值，如果不按這個(gè)規(guī)則取，可能會(huì)得到負(fù)值，但只要取絕對(duì)值就可以了，不會(huì)影響三角形面積的大小）
(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)
(8)S正△= （√3）/4]a^2 （正三角形面積公式，a是三角形的邊長）
[海倫公式（3）特殊情況] 編輯本段三角形中的重要線段
中線
頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線，平分三角形的面積。
高
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)（三角形任意兩條邊的交點(diǎn)）向其對(duì)邊所作的垂線段（頂點(diǎn)至對(duì)邊垂足間的線段），叫做三角形的高。
角平分線
平分三角形的其中一個(gè)角的線段叫做三角形的角平分線，它到兩邊距離相等。
一個(gè)角的平分線是射線，平分線的所在直線是這個(gè)角的對(duì)稱軸
中位線
任意兩邊中點(diǎn)的連線。它平行于第三邊且等于第三邊的一半。
編輯本段三角函數(shù)
三角函數(shù)（Trigonometric）是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。它由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)、但具有特殊的反三角函數(shù)（如：arcsin），三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。 三角函數(shù)種類
包含六種基本函數(shù)：正弦(sin）、余弦(cos）、正切(tan）、余切(cot）、正割(sec）、余割(csc）。 銳角三角函數(shù)
在直角三角形ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，∠C為直角。則定義以下運(yùn)算方式：
sin A=∠A的對(duì)邊長/斜邊長，sin A記為∠A的正弦；sinA=a/c
cos A=∠A的鄰邊長/斜邊長，cos A記為∠A的余弦；cosA=b/c
tan A=∠A的對(duì)邊長/∠A的鄰邊長， tanA=sinA/cosA=a/ b tan A記為∠A的正切；
當(dāng)∠A為銳角時(shí)sin A、cos A、tan A統(tǒng)稱為“銳角三角函數(shù)”。
sinA=cosB sinB=cosA 直角三角形
解直角三角形需要用到勾股定理（弦）定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。數(shù)學(xué)公式中常寫作a^2+b^2=c^2，其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。
勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。
常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；5,12,13；10,24,26；7，24，25;等等。
其中，互素的勾股數(shù)組成為基本勾股數(shù)組，例如：3,4,5；5,12,13；8,15,17等等 斜三角形
在三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. 則有
（1）正弦定理
a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R為三角形外接圓半徑）。
（2）余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA；
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB；
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC。
備注：勾股定理其實(shí)是余弦定理的一種特殊情況。
（3）余弦定理變形公式
cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bc；
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac；
cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab。
角的性質(zhì)
1.三角形內(nèi)角和等于180度。（內(nèi)角和定理）
2．三角形的外角和是360°。
3．三角形的外角（三角形內(nèi)角的一邊與其另一邊的延長線所組成的角）等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
推論：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。
4．一個(gè)三角形的3個(gè)內(nèi)角中最少有2個(gè)銳角。
5．在三角形中至少有一個(gè)角大于等于60度，也至少有一個(gè)角小于等于60度。
邊的性質(zhì)
6．三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
7．直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理。 勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有下面關(guān)系：a^2+b^2=c^2。那么這個(gè)三角形就一定是直角三角形。 8.直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。
9．三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高線的所在直線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)。
10．三角形三條中線的長度的平方和等于它的三邊的長度平方和的3/4。
11．等底同高的三角形面積相等。
12．底相等的三角形的面積之比等于其高之比，高相等的三角形的面積之比等于其底之比。
13．三角形的任意一條中線將這個(gè)三角形分為兩個(gè)面積相等的三角形。
其他性質(zhì)
14.在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊。
15．在△ABC中恒滿足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
16．△ABC，恒有【tan（A/2）+tan（B/2）】【tan（A/2）+tan（C/2）】=【sec（A/2）】^2。
17．三角形具有穩(wěn)定性。
編輯本段內(nèi)角和定理
在歐幾里得的幾何體系中，三角形都是平面上的，所以三角形的內(nèi)角和為180度；三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于其他兩內(nèi)角的任一個(gè)角。（注：在非歐幾何中，三角形的內(nèi)角和有可能大于180度也有可能小于180度，此時(shí)的三角形也從平面也變?yōu)榱饲蛎婊蛘邆吻蛎妫?br>這一命題被稱為三角形內(nèi)角和定理
說明方式：小學(xué)用，直觀但粗糙，不嚴(yán)格
說明方式1：將三角形的三個(gè)角撕下來拼在一起，可求出內(nèi)角和為180°。
說明方式2：將一個(gè)三角形的三個(gè)角分別往內(nèi)折，三個(gè)角剛好組成一平角，所以為180度.
證明方式：嚴(yán)格論證。
證明1：
如圖（1），已知有一△ABC，求證∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
證明：做BC的延長線至點(diǎn)D，過點(diǎn)C作AB的平行線至點(diǎn)E ∵AB∥CE（已知）
∴∠ABC=∠ECD（兩直線平行，同位角相等），∠BAC=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠BCD=180°
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性質(zhì)）
∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代換）
證明2：在一個(gè)頂點(diǎn)作他對(duì)邊的平行線，用內(nèi)錯(cuò)角證明。
做三角形ABC
過點(diǎn)A作直線EF平行于BC
角EAB=角B
角FAC=角C
角EAB+角FAC+角BAC=180
角BAC+角B+角C=180 定義
兩個(gè)能夠完全重合的三角形稱為全等三角形。
全等三角形的性質(zhì)
全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊也相等。
變化后仍全等的方式
1．軸對(duì)稱。2.平移。3.旋轉(zhuǎn)。4.翻折。5.多種變交疊加。
全等的判定
1．兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的三條邊相等，兩個(gè)三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SSS"。
2．兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩邊及其夾角相等，兩個(gè)三角形非等，簡稱“邊角邊”或“SAS”。
3．兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩角及其夾邊相等，兩個(gè)三角形全等，簡稱“角邊角”或“ASA”。
4．兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩角及其一角的對(duì)邊相等，兩個(gè)三角形全等，簡稱“角角邊”或“AAS”。
5．兩個(gè)直角三角形對(duì)應(yīng)的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個(gè)直角三角形全等，簡稱“直角邊、斜邊”或“HL”。
注意，證明三角形全等沒有“SSA”或“邊外邊角”的方法，即兩邊與其中一邊的對(duì)角相等無法證明這兩個(gè)三角形全等，但從意義上來說，直角三角形的“HL”證明等同“SSA”。
定義
形狀相同但大小不同的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。
相似三角形性質(zhì)
相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等
相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比
相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方
相似三角形對(duì)應(yīng)線段（角平分線、中線、高）之比等于相似比
相似三角形的判定
【1】如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（簡稱：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似）。
【2】如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（簡稱：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且其夾角相等的兩三角形相似）。
【3】如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（簡稱：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似）。
【4】如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。
編輯本段五心坐標(biāo)
三角形的五心、四圓、三點(diǎn)、一線
這些是三角形的全部特殊點(diǎn)，以及基于這些特殊點(diǎn)的相關(guān)幾何圖形。“五心”指重心（barycenter）、垂心、內(nèi)心（incenter）、外心（circumcenter）和旁心；“四圓”為內(nèi)切圓、外接圓、旁切圓和歐拉圓；“三點(diǎn)”是勒莫恩點(diǎn)、奈格爾點(diǎn)和歐拉點(diǎn)；“一線”即歐拉線。 五心
以下記三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C，相應(yīng)的對(duì)邊邊長為a、b、c，系數(shù)K(a) = -a^2+b^2+c^2，K(b）、K(c）類推。三線坐標(biāo)各分量直接乘以相應(yīng)邊長即可轉(zhuǎn)換為面積坐標(biāo)，以某點(diǎn)的面積坐標(biāo)結(jié)合三頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算該點(diǎn)平面直角坐標(biāo)的方法：記某點(diǎn)面積坐標(biāo)為（μa,μb,μc），三分量之和為μ，則有Px= (μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc) / μ，Py類推。
名稱 | 定義 | 三線坐標(biāo)
（內(nèi)心坐標(biāo)） | | 性質(zhì) |
重心 | 三條中線（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)連線）的交點(diǎn) | 1/a: 1/b: 1/c | 1 : 1 : 1 | 到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍 |
垂心 | 三條高（頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線）的交點(diǎn) | sec A: sec B: sec C | 1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或
tan(A) : tan(B) : tan(C) | |
內(nèi)心 | 三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) | 1 : 1 : 1 | a: b: c | 到各邊的距離相等 |
外心 | 三邊中垂線的交點(diǎn) | cos A: cos B: cos C | a^2·K(a) : b^2·K(b) : c^2·K(c) | 到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 |
旁心 | 一內(nèi)角平分線和另兩角外角平分線的交點(diǎn) | -1 : 1 : 1，余類推 | -a: b: c，余類推 | |
注意：①三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部 。
②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。（三條高的延長線交于一點(diǎn)，在三角形的外部）
③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。（直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊中點(diǎn)。）
④銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。 四圓
內(nèi)切圓：以內(nèi)心為圓心，以內(nèi)心到邊的距離為半徑的圓，與三角形三邊都相切。
外接圓：以外心為圓心，以外心到頂點(diǎn)的距離為半徑的圓，三角形三個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上。
旁切圓：以旁心為圓心，以旁心到邊的距離為半徑的圓，與三角形一邊及另兩邊延長線相切。
歐拉圓：又稱“九點(diǎn)圓”，即3個(gè)歐拉點(diǎn)、三邊中點(diǎn)和三高垂足九點(diǎn)共圓。九點(diǎn)圓圓心為垂心與外心連線中點(diǎn)，三線坐標(biāo)為：cos(B - C) : cos(C- A) : cos(A - B），半徑為外接圓半徑的一半。內(nèi)切圓與歐拉圓在某一歐拉點(diǎn)相切。 三點(diǎn)
名稱 | 定義 | 三線坐標(biāo) |
勒莫恩點(diǎn) | 三個(gè)頂點(diǎn)與內(nèi)切圓切點(diǎn)連線的交點(diǎn)，又稱類似重心 | a: b: c |
| 三個(gè)頂點(diǎn)與旁切圓切點(diǎn)連線的交點(diǎn)，又稱界心 | csc^2(A/2) : csc^2(B/2): csc^2(C/2) |
| 三個(gè)頂點(diǎn)到垂心連線的中點(diǎn)，又稱費(fèi)爾巴哈點(diǎn) | cos(B-C) : cos(C-A) : cos(A-B) |
一線
界心（不常見）
三角形三條周界中線的交點(diǎn)叫做三角形的界心。
三角形界心性質(zhì)：設(shè)點(diǎn)D、E、F分別為⊿ABC的BC、CA、AB邊上的周界中點(diǎn)，R、r分別為⊿ABC的
外接圓和內(nèi)切圓的半徑，則
（1）S⊿DEF/S⊿ABC=r/2R；
（2）S⊿DEF≤S⊿ABC/4。 五心的距離
OH^2=9R^2 – (a^2+b^2+c^2),
OG^2=R^2 – (a^2+b^2+c^2)/9,
OI^2=R^2 – abc/(a+b+c)=R^2 – 2Rr
GH^2=4OG^2
GI^2=(p^2+5r^2 – 16Rr)/9,
HI^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr=4R^2+2r^2-(a^2+b^2+c^2)/2,
證明
任取三角形兩條邊，則兩條邊的非公共端點(diǎn)被第三條邊連接。
∴兩端點(diǎn)距離固定 ，
∴這兩條邊的夾角固定；
∵這兩條邊是任取的 ，
∴三角形三個(gè)角都固定，進(jìn)而將三角形固定，
∴三角形有穩(wěn)定性 。
任取n邊形（n≥4）兩條相鄰邊，則兩條邊的非公共端點(diǎn)被不止一條邊連接
∴兩端點(diǎn)距離不固定 ，
∴這兩邊夾角不固定 ，
∴n邊形（n≥4）每個(gè)角都不固定，所以n邊形（n≥4）沒有穩(wěn)定性。
作用
三角形的穩(wěn)定性使其不像四邊形那樣易于變形，有著穩(wěn)固、堅(jiān)定、耐壓的特點(diǎn)。三角形結(jié)構(gòu)的在工程上有廣泛的應(yīng)用。許多建筑都是三角形的結(jié)構(gòu)，如：埃菲爾鐵塔。金字塔等等。
編輯本段周長固定三角形面積最大值
這是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，的一則應(yīng)用:
《周長固定三角形面積的最大值》
——數(shù)學(xué)建模一例
談到，周長固定圍成面積的問題，許多人會(huì)想到正方形和二次函數(shù)。好吧，就從矩形開始吧！問題是這樣的，說有一根長度固定為L的繩子，現(xiàn)在要圍成一個(gè)矩形，問：什么樣的矩形面積才是最大的？
首先，我們要建立數(shù)學(xué)模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性質(zhì)呢？初等幾何說：有一個(gè)角位直角（90°或者π/2）的平行四邊形，叫做矩形。那么什么是平行四邊形呢？它有些什么性質(zhì)呢？幾何又說：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。其中，平行四邊形有一條重要的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等。
現(xiàn)在我們對(duì)矩形也有一個(gè)印象了。簡單來說是一個(gè)，四條互相垂直的線段組成的東西。而且我們知道它的面積公式：s=a*b，由平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等。可知它的周長公式：L=2*(a + b）。
有了這些，就可以建模分析了：首先，我們分析L=2*(a + b），經(jīng)過簡單的變形處理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意條件，a是不為0的，即（a>0）。現(xiàn)在，把b=L/2-a 代入s=a*b就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；這是關(guān)于a的一個(gè)二次函數(shù)，并且A=-1<0，函數(shù)s有最大值。
微積分的解法：因?yàn)椋簊= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令s`=0有：2a= L/2所以a= L/4。
所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 （此時(shí)，矩形為正方形）
也可以用不等式：因?yàn)?(a - b)^2≥0，又因（a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：（a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤（a + b)^2/4 當(dāng)a=b，去“=”，s有最大值
因?yàn)椋篴 + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16。
現(xiàn)在，來談一談周長固定三角形面積的問題，說有一根長度固定為L的繩子，現(xiàn)在要圍成一個(gè)三角形，問：什么樣的三角形面積才是最大的？
好像，一般三角形的性質(zhì)并不多，一個(gè)三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊。和一個(gè)內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。還有個(gè)推論：三角形兩邊之差小于第三邊。
不妨設(shè)繩子L，圍成的三角形一邊為x，則另外兩邊之和為L-x。根據(jù)三邊關(guān)系定理有：x<L-x，于是有：（0<x<L/2) 物理學(xué)中在處理問題時(shí)，不是常用控制變量法嗎！我們何不使用呢？假設(shè)x為一個(gè)常量，則L-x 也為常量。且x<L-x 總成立，滿足解析幾何中橢圓的定義：2a= L-x， 2c=x，且有：2a>2c。可以，以2c=x的中點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則：a^2= (L-x/2)^2 ，b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/。
所以橢圓方程為：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1，三角形的面積為：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因?yàn)椋瑇=2c是固定的，所以s取決于Y，當(dāng)Y取max時(shí)，即Y=b時(shí)，s有最大值。 即：S=s(x)max （且此時(shí)，該三角形為等要三角形）
=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2
=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2(0<x<L/2)
現(xiàn)在，我們得到了一個(gè)關(guān)于s最大值的函數(shù)，或者說以最大值s為自變量的函數(shù)S=s(x），可以說我們的目標(biāo)是，函數(shù)最大值的最大值！Smax=max[s(x)max]，剩下的就是微積分的技巧了，對(duì)S=s(x)max，求導(dǎo)：S`= -LX/(L^2-2Lx)^1/2 +(L^2-2Lx)^1/2令S`=0 有：LX/(L^2-2Lx)^1/2 =(L^2-2Lx)^1/2 ，則LX= L^2-2Lx 解之得：x=L/3，且有，x=L/3<L/2 滿足三角形條件。
此時(shí)的三角形是一個(gè)正三角形！Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36，此模型的思想有點(diǎn)類似變分法，函數(shù)的函數(shù)（泛函），但還是有本質(zhì)的差別。
也可以用海倫公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2。用不等式來解決！或者用二元函數(shù)的偏導(dǎo)及拉格朗日乘法，來解解決也行。
不要以為，海倫公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微積分簡單一些，前提是你必須知道這個(gè)公式，而且能夠證明！我就給大家一個(gè)證明，這是我在分解因式中，遇到較麻煩的一次！
要證明海倫公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道余弦定理： 則有：cosA=（ b^2+c^2- a^2）/2bc
所以，sinA={1-[（ b^2+c^2- a^2）/2bc]^2}^1/2
={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2
又因?yàn)椋切蚊娣e公式：
s=(1/2)*bcsinA
=(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2
=(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2（與角度A并無直接關(guān)系）
又 ∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)
=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4
=b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4
= b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 （配方）
=c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4
= c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4
= c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2（分解因式）
= c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2]
= [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] （提公因式）
=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2]
=[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2]
=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c)
=[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b)
=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2
=[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2
={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2- c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2
再令：p=(a+b+c)/2
就得到海倫公式：s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2
有了此公式，在利用不等式，問題就可以解決了。
需要知道的一個(gè)不等式：（a+b+c)^3 /27≥abc (a，b，c均為正數(shù)，當(dāng)a=b=c時(shí)，取“=”）
∵ (p-a)*(p-b)*(p-c）≤[3p-(a+b+c)]^3 /27，又∵2p=a+b+c；
∴ (p-a)*(p-b)*(p-c）≤p3 /27
則有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2
所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2
即：s≤（3^1/2 /36) p2，當(dāng)p-a=p-b=p-c，即，a=b=c時(shí)，取“=”s有最大值（3^1/2 /36) L^2
（2006全國卷l理科第11題）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：㎝）的5根細(xì)棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不許折斷），能夠得到的三角形的最大面積是…… （ B）
A 8*5^1/2 B 6*10^1/2 C 3*55^1/2 D 20
分析：首先，這幾個(gè)整數(shù)成等差數(shù)列，公差為1，它們的和為20。現(xiàn)在，要把這5個(gè)數(shù)任意的分成3組，然后圍成三角形，最后找出這些三角形中面積最大的一個(gè)。
如果，真的去分組，在統(tǒng)計(jì)比較，時(shí)間上顯然不夠！這個(gè)時(shí)候就需要你會(huì)建立，數(shù)學(xué)模型了，并且能夠轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)。把離散組合，轉(zhuǎn)化為連續(xù)的數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)家在研究問題時(shí)，往往關(guān)注一些變中不變的東西，那往往是大規(guī)律、大道理，不以人的意志為之轉(zhuǎn)移，帶有根本性的。把這5個(gè)數(shù)任意的分成3組，然后圍成三角形。無論怎么變化，有一條是不變的：它們的和為20；于是要解決的問題就是：當(dāng)三角形周長固定時(shí)：什么樣的三角形面積才是最大的？
上面研究過，正三角形的面積最大，并且由
S=s(x)max （且此時(shí)，該三角形為等腰三角形）
=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2(0<x<L/2)
的函數(shù)圖像可知，x在區(qū)間[0，L/3]]為增函數(shù)，在（L/3，L/2] 為減函數(shù)。所以，當(dāng)三角形周長固定時(shí)：越接近正三角形形狀的三角形面積越大！20/3≈6.6667，顯然這里的5個(gè)數(shù)是組合不成6.6667的，只能退而求其次了，我們發(fā)現(xiàn)（猜出來的）：（2+5）、（3+4）、6的組合是最接近正三角形的，所以它的面積最大。經(jīng)過簡單的計(jì)算，就知道結(jié)果了：B 6*10^1/2
我們?cè)趤碜鲆患拢容^一下周長固定的面積最大的矩形與三角形的面積：L^2/16與（3^1/2 /36) L2。為了方便比較，把它們換為小數(shù)：0.0625L^2與0.048112522L^2 我們發(fā)現(xiàn)四邊形（正方形）的面積要大一些！根據(jù)這中經(jīng)驗(yàn)，是否可以數(shù)學(xué)歸納，提出猜想1：在平面內(nèi)曲線周長固定時(shí)，圓的面積最大！猜想2：在平面內(nèi)曲線周長固定時(shí)，圍成的n邊形中，正n邊形的面積最大。
事實(shí)上，第一個(gè)猜想是正確的，不過需要變分法來處理。同樣需要微積分來研究，不過是高等微積分了。
編輯本段三角形有關(guān)定理
中位線定理
三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
推論：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線，必平分第三邊。
中線定理
三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。[2]
三邊關(guān)系定理
三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
勾股定理
勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）內(nèi)容為：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的長平方之和一定等于斜邊長的平方。 幾何語言：若△ABC滿足∠ABC=90°，則AB^2+BC^2=AC^2;
勾股定理的逆定理也成立，即兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形 幾何語言：若△ABC滿足AB^2+BC^2=AC^2，則∠ABC=90°。 射影定理
射影定理（歐幾里得定理）內(nèi)容為：在任何一個(gè)直角三角形中，作出斜邊上的高，則斜邊上的高的平方等于高所在斜邊上的點(diǎn)到不是兩直角邊垂足的另外兩頂點(diǎn)的線段長度的乘積。 幾何語言：若△ABC滿足∠AC=90°，作CD⊥AB，則CD^2=AD×BD
射影定理的拓展：若△ABC滿足∠ACB=90°，作CD⊥AB，
(1)AC^2=AD·AB
(2)BC^2=BD·AB
(3)ACXBC=ABXCD
證明：射影定理可以由圓冪定理推出，拓展（3）可由前三式推出，也可以用等面積法證明
正弦定理
內(nèi)容：在任何一個(gè)三角形中，每個(gè)角的正弦與對(duì)邊之比等于三角形面積的兩倍與三邊邊長和的乘積之比
幾何語言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc
結(jié)合三角形面積公式，可以變形為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圓半徑） 余弦定理
內(nèi)容：在任何一個(gè)三角形中，任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊的2倍乘以它們夾角的余弦
幾何語言：在△ABC中，a^2=b^2+c^2-2bc×cosA
此定理可以變形為：cosA=（b^2+c^2-a^2）÷2bc
梅涅勞斯定理
梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1。
證明：
過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長線于G,
則AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。
塞瓦定理
設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，
AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
證法簡介
（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：
∵△ADC被直線BOE所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直線COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①：即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn)：
設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，
根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)椋ˋD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。
莫利定理
將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。
