前言：
博主在自主學習粒子濾波的過程中，看了很多文獻或博客，不知道是看文獻時粗心大意還是悟性太低，看著那么多公式，總是無法把握住粒子濾波的思路，也無法將理論和實踐對應起來。比如：理論推導過程中那么多概率公式，概率怎么和系統的狀態變量對應上了？狀態粒子
文章架構：
由最基礎的貝葉斯估計開始介紹，再引出蒙特卡羅采樣，重要性采樣，SIS粒子濾波，重采樣，基本粒子濾波Generic Particle Filter，SIR粒子濾波，這些概念的引進，都是為了解決上一個概念中出現的問題而環環相扣的。最后給出幾個在matlab和python中的應用，例程包括圖像跟蹤，濾波，機器人定位。
再往下看之前，也可以看看《卡爾曼濾波:從推導到應用》，好對這種通過狀態方程來濾波的思路有所了解。
一、貝葉斯濾波
假設有一個系統，我們知道它的狀態方程，和測量方程如下：
其中x為系統狀態，y為測量到的數據，f,h是狀態轉移函數和測量函數，v,n為過程噪聲和測量噪聲，噪聲都是獨立同分布的。上面對應的那個例子將會出現在程序中。
從貝葉斯理論的觀點來看，狀態估計問題（目標跟蹤、信號濾波）就是根據之前一系列的已有數據
預測過程是利用系統模型(狀態方程1)預測狀態的先驗概率密度，也就是通過已有的先驗知識對未來的狀態進行猜測，即p( x(k)|x(k-1) )。更新過程則利用最新的測量值對先驗概率密度進行修正，得到后驗概率密度，也就是對之前的猜測進行修正。
在處理這些問題時，一般都先假設系統的狀態轉移服從一階馬爾科夫模型，即當前時刻的狀態x(k)只與上一個時刻的狀態x(k-1)有關。這是很自然的一種假設，就像小時候玩飛行棋，下一時刻的飛機跳到的位置只由當前時刻的位置和骰子決定。同時，假設k時刻測量到的數據y(k)只與當前的狀態x(k)有關，如上面的狀態方程2。
為了進行遞推，不妨假設已知k-1時刻的概率密度函數
預測：由上一時刻的概率密度
計算推導如下：
等式的第一行到第二行純粹是貝葉斯公式的應用。第二行得到第三行是由于一階馬爾科夫過程的假設，狀態x(k)只由x(k-1)決定。
樓主看到這里的時候想到兩個問題：
第一：既然
這兩個概率公式含義是不一樣的，前一個是純粹根據模型進行預測，x(k)實實在在的由x(k-1)決定，后一個是既然測到的數據和狀態是有關系的，現在已經有了很多測量數據 y 了，那么我可以根據已有的經驗對你進行預測，只是猜測x(k)，而不能決定x(k)。
第二：上面公式的最后一行
其實
如果沒有噪聲，x(k)完全由x(k-1)計算得到，也就沒由概率分布這個概念了，由于出現了噪聲，所以x(k)不好確定，他的分布就如同圖中的陰影部分，實際上形狀和噪聲是一樣的，只是進行了一些平移。理解了這一點，對粒子濾波程序中，狀態x(k)的采樣的計算很有幫助，要采樣x(k)，直接采樣一個過程噪聲，再疊加上 f(x(k-1)) 這個常數就行了。
更新：由
推導：
其中歸一化常數：
等式第一行到第二行是因為測量方程知道, y(k)只與x(k)有關，
貝葉斯濾波到這里就告一段落了。但是，請注意上面的推導過程中需要用到積分，這對于一般的非線性，非高斯系統，很難得到后驗概率的解析解。為了解決這個問題，就得引進蒙特卡洛采樣。關于它的具體推導請見 下一篇博文。
reference：
1.M. Sanjeev Arulampalam 《A Tutorial on Particle Filters for Online Nonlinear/Non-Gaussian Bayesian Tracking》
2.ZHE CHEN 《Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond》
3.Sebastian THRUN 《Probabilistic Robotics》
3.百度文庫 《粒子濾波理論》
