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初三學子面臨最后的挑戰，每天的學習，都將有條不紊的開展！每位小朋友都應把基礎打扎實，在夯實基礎的前提下，穩扎穩打，攻克各個難度的知識內容。翻開上海教育出版社出版的初中教材，從預初到初三的8本教科書，以教科書為載體，把常考知識點整理，定能助己一臂之力！下面對初三下與圓有關的知識點做個梳理，對自學的小朋友會有一個引導作用！

圓的有關性質

圓的定義

（1）圓是平面上到一個定點的距離等于定長的所有的點的集合；【軌跡】

（2）在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

（3）圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

圓的確定性

不在同一直線上的三個點確定一個圓；

『易錯點』“平面內的三點可以確定一個圓”的說法是錯誤的；應注明：“不再同一直線上”.

圓的周長和面積，弧長與扇形面積

圓的對稱性

（1）圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；

（2）圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；

（3）圓的旋轉不變性：圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原圖形重合；

易錯點：

『易錯點』

圓的對稱軸是過圓心的每一條直線，不是直徑，因為直徑是一條線段；圓的對稱軸有無數條.

與圓有關的概念

（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）

（2）直徑：經過圓心的弦叫做直徑。（如圖中的CD）直徑等于半徑的2倍。

（3）半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

（4）弧、優弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號“⌒”表示

讀作“圓弧AB”或“弧AB”；

大于半圓的弧叫做優弧（多用三個字母表示）；

小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個字母表示）

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。

4、推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條劣弧（或優弧）、兩條弦或兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所對應的其余三組量也分別相等。

易錯點：

『易錯點』

1、“在同圓或等圓中，弦相等，所對的弧相等”，這句話是錯的。錯因：弧分為劣弧或優弧。

2、審題時，要強調“同圓或等圓”中這一句。

垂徑定理及其推論

垂徑定理：

如果圓的一條直徑垂直與一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條線所對的弧.

推論：

（1）如果圓的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的弧.

（2）如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對的弦.

（3）如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經過圓心，并且平分這條弦所對的弧.

（4）如果一條直線平分弦和弦所對的一條弧，那么這條直線經過圓心，并且垂直于這條弦.

（5）如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對的一條弧，那么這條直線經過圓心，并且平分這條弦.

可概括為：

易錯點：

『易錯點』

①對垂徑定理理解不夠透徹：“垂直與弦的直線平分這條弦”是錯的，因為垂直與弦的直線有無數條，并不是每一條都平分這條弦；正確的說法是“垂直于弦的直徑平分這條弦”.

②對于垂徑定理推論中的“弦”理解不透徹：由于直徑也是弦，而一個圓中任意兩條直徑都是互相平分的，例如：“平分弦的直徑垂直與這條弦”這句話是錯的，正確的說法是“平分弦（這條弦不是直徑）的直徑垂直與這條弦”；再例如：“經過圓心，平分弦的直線不一定平分弦所對的弧”.

過三點的圓

1、過三點的圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。

2、三角形的外接圓：經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。

4、三角形的內心：三角形的內心是三角形三個內角平分線的交點，圓叫做三角形的內切圓。

與圓有關的位置關系

點與圓的關系

設⊙O的半徑是r，點到圓心O的距離為d，則有：

直線與圓的位置關系

圓與圓的位置關系

【上圖中的勘誤：第一個圖：兩圓外離，不是相離！！！！！！！！！】

根據圓和圓的位置關系，觀測得到兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的數量關系：

易錯點：

『易錯點』

相離：外離與內含統稱為相離；

相切：內切與外切統稱為相切；

1、若遇到有關圓和圓的位置關系的問題時，要考慮全面，注意分類求解；若圓與圓相切，要分外切與內切；若圓與圓相離，要分為內含與外離；若圓與圓內切，則要分d=r1-r2或d=r2-r1.

2、同時，當條件敘述為兩圓有一個公共點（外切與內切），沒有公共點（外離與內含）時，亦要注意分類討論。

利用數軸來理解兩圓的位置關系

筆者反思：

對“兩圓位置關系”這一知識進行研讀，筆者認為，用“數軸”去理解“兩圓位置關系”，再合適不過！

關于兩圓的性質定理

（1）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；

（2）相切兩圓的連心線經過切點；

正多邊形的概念及其性質

正多邊形的定義：一般的，各邊相等、各角也相等的多邊形叫正多邊形.

多邊形的內角和定理：

概念及性質

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

5、正多邊形的軸對稱性

①正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。

②正多邊形的中心對稱性

邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

正多邊形的有關計算

方法規律總結

圓的常用輔助線【考綱】

1、添半徑構等腰三角形；

2、遇到弦時（解決有關弦的問題時）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。

作用：

①利用垂徑定理；

②利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系；

③利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股定理求有關量。

分類討論思想

圓，是分類討論思想方法滲透的主要陣地之一！

分類討論思想是每年中考必考的數學思想方法，分布于填空題，簡答題及壓軸題。所以特別在最后復習段段中，要強化基礎知識的分類整理，熟悉初中數學的知識網絡，對數學的基本分類討論思想方法能夠運用自如.

圓的拓展知識

專研、讀一下《九年級數學拓展2》上海教育出版社

微信：math_yj200851

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