第28講 最不利原則
在日常生活和生產中，我們常常會遇到求最大值或最小值的問題，解答這類問題，常常需要從最不利的情況出發分析問題，這就是最不利原則。
下面通過具體例子說明最不利原則以及它的應用。
例1口袋里有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球各20個。問：一次最少摸出幾個球，才能保證至少有4個小球顏色相同？
分析與解：如果碰巧一次取出的4個小球的顏色都相同，就回答是“4”，那么顯然不對，因為摸出的4個小球的顏色也可能不相同。回答是“4”是從最“有利”的情況考慮的，但為了“保證至少有4個小球顏色相同”，就要從最“不利”的情況考慮。如果最不利的情況都滿足題目要求，那么其它情況必然也能滿足題目要求。
“最不利”的情況是什么呢？那就是我們摸出3個紅球、3個黃球和3個藍球，此時三種顏色的球都是3個，卻無4個球同色。這樣摸出的9個球是“最不利”的情形。這時再摸出一個球，無論是紅、黃或藍色，都能保證有4個小球顏色相同。所以回答應是最少摸出10個球。
由例1看出，最不利原則就是從“極端糟糕”的情況考慮問題。如果例1的問題是“最少摸出幾個球就可能有4個球顏色相同”，那么我們就可以根據最有利的情況回答“4個”。現在的問題是“要保證有4個小球的顏色相同”，這“保證”二字就要求我們必須從最不利的情況分析問題。
例2口袋里有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球共18個。其中紅球3個、黃球5個、藍球10個。現在一次從中任意取出n個，為保證這n個小球至少有5個同色，n的最小值是多少？
分析與解：與例1類似，也要從“最不利”的情況考慮。最不利的情況是取了3個紅球、4個黃球和4個藍球，共11個。此時袋中只剩下黃球和藍球，所以再取一個球，無論是黃球還是藍球，都可以保證有5個球顏色相同。因此所求的最小值是12。
例3一排椅子只有15個座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論坐在哪個座位，都將與已就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？
分析與解：將15個座位順次編為1～15號。如果2號位、5號位已有人就座，那么就座1號位、3號位、4號位、6號位的人就必然與2號位或5號位的人相鄰。根據這一想法，讓2號位、5號位、8號位、11號位、14號位都有人就座，也就是說，預先讓這5個座位有人就座，那么樂樂無論坐在哪個座位，必將與已就座的人相鄰。因此所求的答案為5人。
例4一把鑰匙只能開一把鎖，現有10把鑰匙和10把鎖，最少要試驗多少次就一定能使全部的鑰匙和鎖相匹配？
分析與解：從最不利的情形考慮。用10把鑰匙依次去試第一把鎖，最不利的情況是試驗了9次，前8次都沒打開，第9次無論打開或沒打開，都能確定與這把鎖相匹配的鑰匙（若沒打開，則第10把鑰匙與這把鎖相匹配）。同理，第二把鎖試驗8次……第九把鎖只需試驗1次，第十把鎖不用再試（為什么？）。共要試驗
9＋8＋7＋…＋2＋1＝45（次）。
所以，最少試驗45次就一定能使全部的鑰匙和鎖相匹配。
例5在一副撲克牌中，最少要取出多少張，才能保證取出的牌中四種花色都有？
分析與解：一副撲克牌有大、小王牌各1張，“紅桃”、“黑桃”、“方塊”、“梅花”四種花色各13張，共計有54張牌。最不利的情形是：取出四種花色中的三種花色的牌各13張，再加上2張王牌。這41張牌中沒有四種花色。剩下的正好是另一種花色的13張牌，再抽1張，四種花色都有了。因此最少要拿出42張牌，才能保證四種花色都有。
例6若干箱貨物總重19.5噸，每箱重量不超過353千克，今有載重量為1.5噸的汽車，至少需要多少輛，才能確保這批貨物一次全部運走？
分析與解：汽車的載重量是1.5噸。如果每箱的重量是300千克（或1500的小于353的約數），那么每輛汽車都是滿載，即運了1.5噸貨物。這是最有利的情況，此時需要汽車
19.5÷1.5＝13（輛）。
如果裝箱的情況不能使汽車滿載，那么13輛汽車就不能把這批貨物一次運走。為了確保把這批貨物一次運走，需要從最不利的裝箱情況來考慮。最不利的情況就是使每輛車運得盡量少，即空載最多。因為353×4＜1500，所以每輛車至少裝4箱。每箱300千克，每車能裝5箱。如果每箱比300千克略多一點，比如301千克，那么每車就只能裝4箱了。此時，每車載重
301×4＝1204（千克），
空載1500-1204＝296（千克）。注意，這就是前面所說的“最不利的情況”。19500÷1204＝16……236，也就是說，19.5噸貨物按最不利的情況，裝16車后余236千克，因為每輛車空載296千克，所以余下的236千克可以裝在任意一輛車中。
綜上所述，16輛車可確保將這批貨物一次運走。
練習28
1.口袋里有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球各20個。問：一次最少摸出幾個，才能保證至少有5個小球顏色相同？
2.口袋里有同樣大小和同樣質地的紅、黃、藍三種顏色的小球共20個，其中紅球4個、黃球6個、藍球10個。問：一次最少取出幾個，才能保證至少有6個小球顏色相同？
3.一排椅子共有18個座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論坐在哪個座位，都將與已經就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？
4.一張圓桌有12個座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論坐在哪個座位，都將與已經就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？
5.口袋里有三種顏色的筷子各10根。問：
（1）至少取幾根才能保證三種顏色的筷子都取到？
（2）至少取幾根才能保證有顏色不同的兩雙筷子？
（3）至少取幾根才能保證有顏色相同的兩雙筷子？
6.一個布袋里有紅色、黃色、黑色襪子各20只。問：最少要拿多少只襪子才能保證其中至少有2雙顏色不相同的襪子？
7.一把鑰匙只能開一把鎖，現有10把鎖和其中的9把鑰匙，要保證這9把鑰匙都配上鎖，至少需要試驗多少次？
8.10噸貨物分裝若干箱，每只箱子重量不超過1噸。為了確保將這批貨物一次運走，最少要準備幾輛載重量為3噸的汽車？
