第一章 解三角形單元測試
一 選擇題：
1.已知△ABC中，A?30，C?105，b?8，則等于 （ ） A 4
B
2. △ABC中，B?45，C?60，c?1，則最短邊的邊長等于 （ ）
1A
B C 2
D
3.長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°
abc
4. △ABC中，cosAcosBcosC，則△ABC一定是 （ ）
A 直角三角形 B 鈍角三角形 C 等腰三角形 D 等邊三角形
5. △ABC中，B?60，b?ac，則△ABC一定是 （ ） A 銳角三角形 B 鈍角三角形 C 等腰三角形 D 等邊三角形
6.△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么滿足條件的△ABC ( ) A 有 一個(gè)解 B 有兩個(gè)解 C 無解 D 不能確定
2
S?，則?A等于 （ ）
7. △ABC中，b?
8，c?
ABC
A 30 B 60 C 30或150 D 60或120
a?b?c
8.△ABC中，若A?60，a?sinA?sinB?sinC等于 （ ）
1A 2 B 2
2
C的平分線CD把三角形面積分成3:2兩部分，9. △ABC中，A:B?1:2，則cosA?（ ）
113
A B C D 0 324
10.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個(gè)新的三角形的形狀為 （ ） A 銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形 D 由增加的長度決定 11 在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（ ） A.
4003
米 B. 米 C. 2003米 D. 200米 33
12 海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和
A島成75°的視角，則B、C間的距離是 ( )
A.10 海里 B.5海里 C. 56 海里 D.53 海里 二、填空題：
13.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于 。
14.在△ABC
中，已知b?，c?150，B?30，則邊長a? 。
15.在鈍角△ABC中，已知a?1，b?2，則最大邊c的取值范圍是 。
6016.三角形的一邊長為14，這條邊所對(duì)的角為，另兩邊之比為8：5，則這個(gè)三角形的
面積為 。
三、解答題：
cosAb4
17（本題10分）在△ABC中，已知邊c=10, 又知cosBa3，求邊a、b 的長。
18（本題12分）在△ABC中，已知2a?b?c，sinA?sinBsinC，試判斷△ABC的形狀。
2
19（本題12分）在銳角三角形中，邊a、b是方程x－3 x+2=0的兩根，角A、B滿足： 2sin(A+B)－3 =0，求角C的度數(shù)，邊c的長度及△ABC的面積。
20（本題12分）在奧運(yùn)會(huì)壘球比賽前，C國教練布置戰(zhàn)術(shù)時(shí)，要求擊球手以與連結(jié)本壘及游擊手的直線成15°的方向把球擊出，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及測速儀的顯示，通常情況下球速為游擊手最大跑速的4倍，問按這樣的布置，游擊手能不能接著球？（如圖所示）
2
高中數(shù)學(xué)必修五 第一章 解三角形知識(shí)點(diǎn)歸納
1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c; a-b<c
3、三角形中的基本關(guān)系：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
A?BCA?BCA?BC
cos,cos?sin,tan?cot 222222
4、正弦定理：在???C中，a、b、c分別為角?、?、C的對(duì)邊，R為???C的外接圓的半徑，
abc
2R． 則有
sin?sin?sinC
sin
5、正弦定理的變形公式：
①化角為邊：a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；
abc，sin??，sinC?； 2R2R2R
③a:b:c?sin?:sin?:sinC；
a?b?cabc
④．
sin??sin??sinCsin?sin?sinC
②化邊為角：sin??
6、兩類正弦定理解三角形的問題：①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.
②已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.(對(duì)于已知兩邊和其
中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）) 7、三角形面積公式：
111abcr(a?b?c)
S???C?bcsin??absinC?acsin?．=2R2sinAsinBsinC===
2224R2
p(p?a)(p?b)(p?c)
8、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?，
2
2
2
2
2
2
c2?a2?b2?2abcosC．
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2
9、余弦定理的推論：cos??，cos??，cosC?．
2bc2ab2ac
10、余弦定理主要解決的問題：
①已知兩邊和夾角，求其余的量。 ②已知三邊求角）
11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式
設(shè)a、b、c是???C的角?、?、C的對(duì)邊，則： ①若a?b?c，則C?90； ②若a?b?c，則C?90； ③若a?b?c，則C?90． 12、三角形的五心：
垂心——三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn) 重心——三角形三條中線的相交于一點(diǎn) 外心——三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn) 內(nèi)心——三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)
旁心——三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
第一章 解三角形單元測試參考答案
一、選擇題
BABDD CCACA C 二、填空題（4?4） 13?
1
14
、
15
c?3 16
、4
三、解答題
15、（本題8分） 解：由
cosAbsinBbcosAsinB
，??,可得 ，變形為sinAcosA=sinBcosB
sinAcosBacosBsinAa
∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=由a+b=10和
2
2
2
. ∴△ABC為直角三角形. 2
b4
，解得a=6, b=8。 a3
abcab
2R得：sinA?，sinB?， sinAsinBsinC2R2R
16、（本題8分） 解：由正弦定理
sinC?
c。 2R
2sinA?sinBsinC可得：(a)2?b?c，即：a2?bc。 所以由
2R2R2R
又已知2a?b?c，所以4a2?(b?c)2，所以4bc?(b?c)2，即(b?c)2?0， 因而b?c。故由2a?b?c得：2a?b?b?2b，a?b。所以a?b?c，△ABC
為等邊三角形。 17、（本題9分）
解：由2sin(A+B)－3 =0，得sin(A+B)=
3
∵△ABC為銳角三角形 2
2
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x－23 x+2=0的兩根，∴a+b=23 ,
1133
∴c=6 , S?ABC?absinC=×2 =。
2222 a·b=2, ∴c=a+b－2a·bcosC=(a+b)－3ab=12－6=6,
1133
∴c=6 , S?ABC?absinC=×2 =。
2222
18、（本題9分）
解： 設(shè)游擊手能接著球，接球點(diǎn)為B，而游擊手從點(diǎn)A跑出，本壘為O點(diǎn)（如圖所示）.設(shè)從擊出球到接著球的時(shí)間為t，球速為v，則∠AOB＝15°，OB＝vt，AB?
在∴
△AOB
中
，
由
正
弦
定
理
，
得
2
2
2
2
v
t。 4OBAB
sin?OABsin15?
，
OBvtsin15?
而ABvt/44
2?8?8?4?1.74?1，即sin∠OAB>1,∴這樣的∠OAB不存在，因此，游擊手不
sin?OAB?
能接著球.
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