依托數(shù)學(xué)思想，有效解決一元二次方程問題

甘肅民勤縣第六中學(xué)(733399)

王 燕

[摘 要]初中數(shù)學(xué)題越來越趨于靈活化和復(fù)雜化，同時邏輯性和系統(tǒng)性也在不斷增強(qiáng).隨著出題者在題型上的把控，學(xué)生對看似簡單的題型，在求解的過程中往往遇到很多的瓶頸，導(dǎo)致思路紊亂，無從下手，最后喪失信心.這一點(diǎn)尤其在一元二次方程問題中體現(xiàn)得淋漓盡致.在教學(xué)一元二次方程時，教師可依托數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生厘清解題思路,從而有效解決一元二次方程問題.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想；一元二次方程；初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁，而一元二次方程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法.因此，在學(xué)生求解一元二次方程問題遇到瓶頸時，教師可依托“數(shù)學(xué)思想”，引導(dǎo)學(xué)生厘清解題思路，從而促進(jìn)學(xué)生有效解決問題.

一、分類討論，茅塞頓開

分類討論思想在一元二次方程問題中被廣泛應(yīng)用，它讓學(xué)生進(jìn)一步明白了問題的實質(zhì)，學(xué)會根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，把大的問題轉(zhuǎn)化成小問題來解決.分類時要做到不重不漏，遵循分類按同一標(biāo)準(zhǔn)、逐級進(jìn)行、同級互斥的原則，最終達(dá)到解決問題的目的.

【例1】 關(guān)于x的方程kx2+3x-1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是( ).

A.k≤-

B.k≥-且k≠0

C.k≥-

D.k>-且k≠0

解析：運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行求解.當(dāng)k=0時，原方程為3x-1=0，為一元一次方程，有實數(shù)根;當(dāng)k≠0時，原方程要有實數(shù)根，則Δ=b2-4ac=32-4×k×(-1)=9+4k≥0，解得k≥-

.綜上所述，當(dāng)k≥-時，方程有實數(shù)根.故此題選C.

點(diǎn)評：求k的取值范圍首先要弄清楚k是什么，其次因為k是二次項系數(shù)，所以要進(jìn)行分類討論，學(xué)會從“數(shù)學(xué)思想”的角度去思考問題，靈活運(yùn)用知識點(diǎn)，厘清思路.

二、正反結(jié)合，面面俱到

這里所闡述的“正反結(jié)合”即“反證法”，在一元二次方程問題中，我們經(jīng)常會遇到論證某個命題的題型.首先,假設(shè)命題不成立，其次推出明顯矛盾的結(jié)果，最后下結(jié)論說命題不成立.從正反兩面思考問題，面面俱到，大大減小了題型的難度.學(xué)生一旦掌握“反證法”，就可以很好地解決一元二次方程問題.

【例2】 關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-2(k-1)=0有兩個實數(shù)根x1，x2，問是否存在x1+x2x1x2的情況，若存在，求k的取值范圍，若不存在，請說明理由.

解析：首先假設(shè)存在，由韋達(dá)定理得，x1+x2=4，x1x2=-2(k-1)，所以k<>x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，故Δ=(-4)2-4×1×[-2(k-1)]=8k+8≥0，所以k≥-1.綜上所述，因為k<>k≥-1沒有交集，所以，上述假設(shè)不成立，即不存在x1+x2x1x2的情況.

點(diǎn)評：利用“反證法”，輕而易舉地解決了棘手的問題，對于這種存在和不存在的題型，我們要在自己的思想里灌輸“反證法”的思想，同時要善于觀察，找到題目中的隱含條件.對于一元二次方程題型要學(xué)會用“反證法”的思想，學(xué)會變通，舉一反三.

三、數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，以數(shù)賦形

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，尤其是在中學(xué)數(shù)學(xué)中，它們相互聯(lián)系，有“以數(shù)賦形”和“以形助數(shù)”之說.數(shù)形結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，進(jìn)而達(dá)到輕松解題的目的.

【例3】 已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖像如右圖所示，求關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.

解析：由題意得，二次函數(shù)的對稱軸為x=1，與x軸的正半軸交點(diǎn)為(3,0)，所以拋物線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)，因此當(dāng)x=-1或x=3時，函數(shù)值y=0，即-x2+2x+m=0，所以關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解為x=-1或x=3.

點(diǎn)評：此題用到數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜的題目簡單化，通過圖形直觀地表達(dá)了題目的意思，碰到題目中出現(xiàn)函數(shù)的字眼時，學(xué)生要學(xué)會畫出圖像，利用圖像，結(jié)合題目去解答.本題要明白一元二次方程根的關(guān)系與拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系.

總之，數(shù)學(xué)思想在一元二次方程中的運(yùn)用非常廣泛.本文只介紹了幾個數(shù)學(xué)思想，相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想還有很多，這就需要教師在教學(xué)過程中不斷地灌輸與融入，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維，從而使學(xué)生更深刻地認(rèn)識到數(shù)學(xué)的奧秘所在，使學(xué)生愛上數(shù)學(xué)！

(特約編輯 安 平)

[中圖分類號] G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058(2017)26-0029-01