小學(xué)數(shù)學(xué)概念匯總
數(shù)與代數(shù)
一 、數(shù)的認識
1.自然數(shù): 我們在數(shù)物體的時候,用來表示物體個數(shù)的1,2,3……叫做自然數(shù)。
一個物體也沒有,用0表示。0也是自然數(shù)。
最小的自然數(shù)是0
2.整數(shù):整數(shù)包括正整數(shù)、負整數(shù)和0
3.分數(shù):把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。
(1)分數(shù)單位:把單位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的數(shù),叫做分數(shù)單位。 如:5/6的分數(shù)單位是1/6。
(2)分數(shù)的分類
真分數(shù):分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。
假分數(shù):分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù),叫做假分數(shù)。
假分數(shù)大于或等于1。
帶分數(shù):假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù),通常叫做帶分數(shù)。
4.小數(shù):分母是10、100、1000……的分數(shù)可以用小數(shù)表示,小數(shù)的計數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一……,分別寫作0.1,0.01,0.001……
一位小數(shù)表示十分之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾……
5.百分數(shù):表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。百分數(shù)也叫做百分率或百分比。
(1)百分數(shù)與分數(shù)的區(qū)別:
分數(shù),既可以表示一個具體的量(分數(shù)后面帶有單位),也可以表示兩個量之間的一種關(guān)系(分數(shù)后面不帶單位)
百分數(shù),只表示兩個量之間的一種關(guān)系(百分數(shù)后面不帶單位)
6.負數(shù):如—3,—500,—4.7等,這些是負數(shù)。
0既不是正數(shù),也不是負數(shù)。
7. 數(shù)的整除
若a÷b(a、b均為整數(shù),且b ≠ 0),除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù),我們就說a能被b整除,或者說b能整除a 。
8. 奇數(shù)和偶數(shù)
能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。 不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。0也是偶數(shù)。
9. 質(zhì)數(shù)、合數(shù)
質(zhì)數(shù):一個數(shù),如果只有1和它本身兩個因數(shù),這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(或素數(shù))
100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 最小的質(zhì)數(shù)是2。
合數(shù):一個數(shù),如果除了1和它本身還有別的因數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù),例如 4、6、8、9、12都是合數(shù)。最小的合數(shù)是4。
1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù) 。
10. 因數(shù)和倍數(shù)
如果數(shù)a能被數(shù)b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍數(shù),b就叫做a的因數(shù)。
例如:35能被7整除,所以35是7的倍數(shù),7是35的因數(shù)。
一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的,其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。例如:10的因數(shù)有1、2、5、10,其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是10。
一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的,其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有:3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3 ,沒有最大的倍數(shù)。
11. 最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)
幾個數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個,叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù),例如12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12;18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公因數(shù),6是它們的最大公因數(shù)。
幾個數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個,叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù),如2的倍數(shù)有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……;3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù),6是它們的最小公倍數(shù)。
如果a÷b=c(a、b、c均為整數(shù),且b ≠ 0),a是b的倍數(shù),b是a的因數(shù),那么a和b的最大公因數(shù)是b,最小公倍數(shù)是a。
如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù),它們的最大公因數(shù)就是1,最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的積。
如:3和4的最大公因數(shù)是1,最小公倍數(shù)是12。
幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的,而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。
12. 能被2、3、5整除的數(shù)的特征
(1)個位上是0、2、4、6、8的數(shù),都能被2整除,例如:202、480、304都能被2整除。
(2)個位上是0或5的數(shù),都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。
(3)一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)的和能被3整除,這個數(shù)就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。
13.質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)
每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù),叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù),例如15=3×5,3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù)。
把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解質(zhì)因數(shù)。
例如把28分解質(zhì)因數(shù) 28=2×2×7
14.互質(zhì)數(shù)
公因數(shù)只有1的兩個數(shù),叫做互質(zhì)數(shù)。
成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù),有下列幾種情況一定互質(zhì):
①1和任何自然數(shù)互質(zhì)。
②相鄰的兩個非0自然數(shù)互質(zhì)。
③兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。
15.分數(shù)和除法、比的聯(lián)系
分數(shù)和除法的聯(lián)系:分數(shù)的分子相當于除法中的被除數(shù),分母相當于除法中的除數(shù),分數(shù)線相當于除法中的除號,分數(shù)值相當于除法里的商
分數(shù)和比的聯(lián)系:分數(shù)的分子相當于比的前項,分數(shù)的分母相當于比的后項,
分數(shù)值相當于比值,分數(shù)線相當于比號。
16.數(shù)的改寫
一個較大的多位數(shù),為了讀寫方便,常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要,省略這個數(shù)某一位后面的數(shù),寫成近似數(shù)。
(1)準確數(shù):在實際生活中,為了計數(shù)的簡便,可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數(shù)是 125430 萬;改寫成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。
(2)近似數(shù):根據(jù)實際需要,我們還可以把一個較大的數(shù),省略某一位后面的尾數(shù),用一個近似數(shù)來表示。 例如: 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。
(3)四舍五入法:要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 或者比4小,就把尾數(shù)去掉;如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大,就把尾數(shù)舍去,并向它的前一位進1。例如:省略 345900 萬后面的尾數(shù)約是 35 萬。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。
17.分數(shù)化成有限小數(shù)
一個最簡分數(shù),如果分母中除了2和5以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)。
二、數(shù)的運算
(一)加減乘除的意義
1.加法的意義:把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算
一個加數(shù)=和-另一個加數(shù)
2.減法的意義:已知兩個數(shù)的和和其中一個加數(shù),求另一個加數(shù)的運算。減法是加法的逆運算。
被減數(shù)=差+減數(shù) 減數(shù)=被減數(shù)-差
3.乘法的意義:求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算
一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)
4.除法的意義:已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算。除法是乘法的逆運算。
被除數(shù)=商×除數(shù) 除數(shù)=被除數(shù)÷商
有余數(shù)的除法各部分之間的關(guān)系:
被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)
被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)
除數(shù)=(被除數(shù)-余數(shù))÷商
商=(被除數(shù)-余數(shù))÷除數(shù)
(二)運算定律:
1.加法交換律:a+b=b+a
兩個數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,它們的和不變。
2.加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)
三個數(shù)相加,先把前兩個數(shù)相加,再同第三個數(shù)相加;或者先把后兩個數(shù)相加,再同第一個數(shù)相加,它們的和不變。
3.乘法交換律:a×b=b×a
兩個數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,它們的積不變。
4.乘法結(jié)合律:(a×b)×c=a×(b×c)
三個數(shù)相乘,先把前兩個數(shù)相乘,再同第三個數(shù)相乘;或者先把后兩個數(shù)相乘,再同第一個數(shù)相乘,它們的積不變。
5.乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘,可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘,再把兩個積相加,結(jié)果不變。
6.減法的性質(zhì):a-b-c=a-(b+c)
從一個數(shù)里連續(xù)減去兩個數(shù),等于從這個數(shù)里減去兩個減數(shù)的和。
7.除法的性質(zhì):a÷b÷c=a÷(b×c)
一個數(shù)連續(xù)除以兩個數(shù),等于這個數(shù)除以兩個除數(shù)的積。
三、式與方程
1. 用字母表示數(shù)的意義和作用
用字母表示數(shù),可以把數(shù)量關(guān)系簡明的表達出來,同時也可以表示運算的結(jié)果。
(1)用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系 ,如:
路程用s表示,速度v用表示,時間用t表示,三者之間的關(guān)系:
s=vt v=s÷t t =s÷v
總價用a表示,單價用b表示,數(shù)量用c表示,三者之間的關(guān)系:
a=bc b=a÷c c=a÷b
(2)用字母表示運算定律和性質(zhì)
(3)用字母表示幾何圖形的公式
2.用字母表示數(shù)的寫法
①數(shù)字和字母、字母和字母相乘時,乘號可以記作“.”,或者省略不寫,數(shù)字要寫在字母的前面。
②當“1”與任何字母相乘時,“1”省略不寫。
③在一個問題中,同一個字母表示同一個量,不同的量用不同的字母表示。
④用含有字母的式子表示問題的答案時,除數(shù)一般寫成分母。
3.等式與方程
等式:含有等號的式子叫做等式。
方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程。
聯(lián)系與區(qū)別:方程一定是等式,但等式不一定是方程。
四、 比和比例
1.比的意義 :兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。
“:”是比號,讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項,比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商,叫做比值。
比值通常用分數(shù)表示,也可以用小數(shù)表示,有時也可能是整數(shù)。
比的后項不能是零。
2. 求比值和化簡比
求比值的方法:用比的前項除以后項,它的結(jié)果是一個數(shù)值,可以是整數(shù),也可以是小數(shù)或分數(shù)。
化簡比的方法:根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的結(jié)果還是一個比(前項、后項都是整數(shù)且互質(zhì))
3. 比例的意義:表示兩個比相等的式子叫做比例。
組成比例的四個數(shù),叫做比例的項,兩端的兩項叫做外項,中間的兩項叫做內(nèi)項。
4.比例尺 :一幅圖的圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。
圖上距離:實際距離=比例尺
比例尺有數(shù)值比例尺和線段比例尺。
5.正比例和反比例
(1) 成正比例的量
兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
用字母表示y/x=k(一定)
(2)成反比例的量
兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
用字母表示xy=k(一定)
6.基本性質(zhì)
小數(shù)的基本性質(zhì):小數(shù)的末尾添上“0”或者去掉“0”,小數(shù)的大小不變;
分數(shù)的基本性質(zhì):分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)(0除外),分數(shù)的大小不變;
商不變的性質(zhì):在除法里,被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)(0除外),商不變;
比的基本性質(zhì):比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)(0除外),比值不變;
比例的基本性質(zhì):在比例里,兩個內(nèi)項的積等于兩個外項的積。
等式的性質(zhì):等式兩邊同時加或減一個相同的數(shù),等式仍成立。
等式兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(0除外),等式仍成立。
圖形與幾何
一、線和角
(1)線
* 直線 :直線沒有端點,向兩端無限延長。
過一點可以畫無數(shù)條,過兩點只能畫一條直線。
* 射線 :射線只有一個端點,向一端無限延長。
* 線段 :線段有兩個端點,它是直線的一部分。線段可以量出長度。
兩點的連線中,線段為最短。
* 平行線 :在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線。
兩條平行線之間的垂線段長度都相等。
* 垂線 :兩條直線相交成直角時,這兩條直線叫做互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。
從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長叫做這點到直線的距離。
(2)角
*角的概念:從一點引出兩條射線,所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點,這兩條射線叫做角的邊。
*角的分類
銳角:小于90°的角叫做銳角。
直角:等于90°的角叫做直角。
鈍角:大于90°而小于180°的角叫做鈍角。
平角:角的兩邊成一條直線,這時所組成的角叫做平角。平角180°。
周角:角的一邊旋轉(zhuǎn)一周,與另一邊重合。周角是360°。
二、平面圖形
1.長方形
(1)特征 : 對邊相等,4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。
(2)計算公式 :長方形周長=(長+寬)×2 長方形面積=長×寬
c=2(a+b) s=ab
2.正方形
(1)特征: 四條邊都相等,四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。
(2)計算公式 :正方形周長=邊長×4 正方形面積=邊長×邊長
c=4a s=a2
3.平行四邊形
(1)特征 :兩組對邊分別平行的四邊形。 相對的邊平行且相等。對角相等,4個內(nèi)角之和為360度。平行四邊形容易變形。
(2)計算公式 :平行四邊形面積=底×高 s=ah
4.三角形
(1)特征 :由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。
(2)計算公式 :三角形面積=底×高÷2 s=ah/2
(3)三角形按角分 (有3類):
銳角三角形 :三個角都是銳角。
直角三角形 :有一個角是直角。
(等腰直角三角形的兩個銳角各為45度,它有一條對稱軸)
鈍角三角形:有一個角是鈍角。
三角形按邊分:
一般三角形:三條邊長度都不相等。
等腰三角形:有兩條邊長度相等。兩個底角相等;有一條對稱軸。
等邊三角形:三條邊長度都相等。三個內(nèi)角都是60度;有三條對稱軸。
5.梯形
(1)特征 :只有一組對邊平行的四邊形。 中位線等于上下底和的一半。 等腰梯形有一條對稱軸。
(2) 公式 :梯形面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)h/2
6. 圓
(1) 圓的認識 :平面上的一種曲線圖形。 圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。
半徑:連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。 在同一個圓里,有無數(shù)條半徑,每條半徑的長度都相等。 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。 同一個圓里有無數(shù)條直徑,所有的直徑都相等。
同一個圓里,直徑等于兩個半徑的長度,即d=2r。
圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓的位置由圓心決定。 圓有無數(shù)條對稱軸。
(2)圓的畫法 :把圓規(guī)的兩腳分開,定好兩腳間的距離(即半徑); 把有針尖的一只腳固定在一點(即圓心)上; 把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周,就畫出一個圓。
(3) 圓的周長 :圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。
圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。
(4) 圓的面積 :圓所占平面的大小叫做圓的面積。
(5)計算公式 :d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r2
7.扇形
(1) 扇形的認識 :一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。
圓上AB兩點之間的部分叫做弧,讀作“弧AB”。
頂點在圓心的角叫做圓心角。
在同一個圓中,扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。 扇形有一條對稱軸。
(2) 計算公式 : s=∏r2n/360
8.圓環(huán)
(1) 特征 :由兩個半徑不相等的同心圓相減而成,有無數(shù)條對稱軸。
(2) 計算公式 : s=∏(R2-r2)
9.軸對稱圖形
(1) 特征 :如果一個圖形沿著一條直線對折,兩側(cè)的圖形能夠完全重合,這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。
正方形有4條對稱軸; 長方形有2條對稱軸;等腰三角形有2條對稱軸;等邊三角形有3條對稱軸;等腰梯形有一條對稱軸;圓有無數(shù)條對稱軸;扇形有一條對稱軸。
三、立體圖形
1.長方體
* 特征 :六個面都是長方形(有時有兩個相對的面是正方形)。 相對的面面積相等,12條棱相對的4條棱長度相等。 有8個頂點。 相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。兩個面相交的邊叫做棱。 三條棱相交的點叫做頂點。 把長方體放在桌面上,最多只能看到三個面。
*表面積:長方體6個面的總面積,叫做它的表面積。
*計算公式 長方體表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2 s=2(ab+ah+bh)
長方體的體積=底面積×高 V=sh
=長×寬×高 V=abh
2.正方體
* 特征 :六個面都是正方形 。六個面的面積相等 。12條棱,棱長都相等 。
有8個頂點 。
*正方體可以看作特殊的長方體 。
*計算公式 正方體表面積=棱長×棱長×6 S表=6a2
正方體的體積=底面積×高
= 棱長×棱長×棱長 v=a3
3.圓柱
*圓柱的認識 :圓柱的上下兩個面叫做底面。 圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。 圓柱兩個底面之間的距離叫做高 。 圓柱有無數(shù)條高。
*計算公式 :圓柱側(cè)面積=底面周長×高 s側(cè)=ch
圓柱表面積=側(cè)面積+2個底面的面積 s表=s側(cè)+s底×2
圓柱體積=底面積×高 v=sh=∏r2h
4.圓錐
* 圓錐的認識 :圓錐的底面是個圓,圓錐的側(cè)面是個曲面。 從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。 圓錐只有1條高。
*測量圓錐的高:先把圓錐的底面放平,用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上
面,豎直地量出平板和底面之間的距離。
*把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。
2計算公式 :圓錐體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一 v= sh/3
四、量的計量
(一) 長度單位
1)常用的長度單位有
* 千米(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm)
2)長度單位之間的進率
1千米 =1000 米 1米 =10分米
1分米 =10 厘米 1厘米 =10 毫米
(二)面積
1)什么是面積? 面積就是物體所占平面的大小
2)常用的面積單位
* 平方千米 * 公頃 * 平方米 * 平方分米 * 平方厘米 * 平方毫米
3)面積之間的進率
* 1平方千米=100 公頃 *
1公傾 =10000 平方米 *
1平方米 =100 平方分米
* 1平方分米=100平方厘米
1平方厘米 =100 平方毫米
(三 )體積和容積
1)什么是體積、容積
體積:就是物體所占空間的大小。
容積:箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積,通常叫做它們的容積。
2)常用的體積單位
* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米
3)容積單位 * 升 * 毫升
4)單位換算
體積單位
* 1立方米=1000立方分米
* 1立方分米=1000立方厘米
容積單位
* 1升=1000毫升
* 1升=1立方分米
* 1毫升=1立方厘米
(四) 質(zhì)量
1)什么是質(zhì)量? 就是表示表示物體有多重。
2)常用的質(zhì)量單位: * 噸 t * 千克 kg * 克 g
3)常用的質(zhì)量單位的換算
* 1噸=1000千克
* 1千克=1000克
(五) 時間
1)常用的時間單位
* 世紀 * 年 * 月 * 日 時 * 分 * 秒
2)時間單位的換算
* 1世紀=100年
* 1年=365天 平年
* 1年=366天 閏年
* 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天
* 四、六、九、十一是小月 小月有30天
* 平年2月有28天 閏年2月有29天
* 1天= 24小時
* 1小時=60分
* 1分=60秒
(六 )貨幣
1)常用的貨幣單位
* 元 * 角 * 分
2)單位換算
* 1元=10角
* 1角=10分
統(tǒng)計與概率
統(tǒng)計圖
1.條形統(tǒng)計圖
* 優(yōu)點:很容易看出各種數(shù)量的多少。
2.折線統(tǒng)計圖
*優(yōu)點:不但可以表示數(shù)量的多少,而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。
3.扇形統(tǒng)計圖
用整個圓的面積表示總數(shù),用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分比。
*優(yōu)點:很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。