作者簡介：
立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容, 也是高考考查的重難點。本文以2018 年高考數(shù)學(xué)全國I卷理科試卷的立體幾何題目為例題, 基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》, 在核心素養(yǎng)的大背景下, 探討解法, 整合概念, 變式探究, 反思改進教學(xué)方法和教學(xué)策略, 以求提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力并滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
立體幾何中的翻折問題由于要發(fā)掘圖形翻折前后的差異與聯(lián)系, 尋找定型定量, 題型新穎, 解法豐富, 一直是立體幾何教學(xué)和考查的熱點。在2018 年高考數(shù)學(xué)全國I卷理科試卷中, 立體幾何的解答題就是以翻折問題的形式展現(xiàn)。
一
一題多解固基礎(chǔ), 多法比較建聯(lián)系
一
解法一：傳統(tǒng)法-解三角形
二
解法二：傳統(tǒng)法-解三角形
三
解法三：傳統(tǒng)法-等體積公式
四
解法四：向量法1
四
解法五：向量法2
六
解法六：向量法3
知識之間是有聯(lián)系的。通過一題多解，不但可以建立解法之間的聯(lián)系，優(yōu)化方法，洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，而且多種解法的呈現(xiàn)也可以滿足不同學(xué)生對同一問題的不同認知。解法1、2、3 是綜合法，解法4、5、6 是向量法。在此題的解答中，綜合法的關(guān)鍵是利用定義找到所求線面角，向量法的關(guān)鍵在于恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，但是兩種方法的難點都在于與P點相關(guān)的長度或者坐標(biāo)的確定。
解法1是由因?qū)Ч木C合法的完整體現(xiàn)，需要比較強的數(shù)據(jù)分析能力以確定△PEF是直角三角形, 從而突破PH長度的求解障礙；解法2利用方程求解PH的長度；解法3利用等體積法求解PH，解法1、解法2都是將立體幾何問題降維后在三角形中解決的，解法3利用了等體積法，突出了避作而求的推理方式；解法4是解法1的向量法體現(xiàn)；解法5、解法6是解法2的向量法體現(xiàn)，不同之處在于建系的方式不同。
通過以上方法的比較不難發(fā)現(xiàn)，綜合法需要添加輔助線才能把相關(guān)幾何元素聯(lián)系起來，而這常常成為制約學(xué)生分析問題的障礙。向量法已經(jīng)利用直線的方向向量和平面的法向量將線面角的關(guān)系模型化，將線面角的求解方法公式化，避免了尋找線面角這個難點。這體現(xiàn)出向量法在立體幾何問題中定量分析的優(yōu)勢，也可以說，向量法是立體幾何中定量分析的更加優(yōu)化的方法。所以，對于幾何中嚴(yán)密的論證和計算，一方面我們要提高學(xué)生利用綜合法解決問題的能力，進一步發(fā)展和完善學(xué)生的推理能力；另一方面要強化向量法，利用坐標(biāo)中向量之間的性質(zhì)解決問題。
二
收集錯誤顯問題, 反思教法促教學(xué)
對于此問題的解答，學(xué)生多采用向量法，而在平常的教學(xué)過程中，對于角度、距離類定量分析的問題，學(xué)生也偏好向量法，這與立體幾何改革的基本方向一致。當(dāng)然，不論是綜合法還是向量法，能夠準(zhǔn)確運用并解決問題就是好方法，然而，對于這道看似并不困難的問題，答卷情況卻不容樂觀，出現(xiàn)比較多的知識方法錯誤有以下三點：
針對以上3個常見錯誤, 在立體幾何的教學(xué)中, 應(yīng)當(dāng)注重以下策略和方法上的調(diào)整：
（一） 理清基本線索
從數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯上看，立體幾何的基本線索是1從定性到定量2從綜合法到向量法，教材中立體幾何的內(nèi)容安排設(shè)置也是以此為據(jù)的。那么，在立體幾何的教學(xué)，特別是高三復(fù)習(xí)中，也應(yīng)當(dāng)遵從這條線索，讓學(xué)生對立體幾何認知符合規(guī)律；在每個立體幾何問題的分析過程中，也應(yīng)當(dāng)先理清點線面關(guān)系，再建立數(shù)量或向量關(guān)系，讓學(xué)生對每個問題的理解循序漸進。
（二） 強調(diào)基本圖形
亦如平面幾何中強調(diào)三角形，立體幾何中也有基本圖形，例如長方形，四面體，這些基本圖形隨手可得，結(jié)構(gòu)簡單，但是卻蘊含了所有的點、線、面關(guān)系。在立體幾何的教學(xué)中，都應(yīng)當(dāng)強調(diào)在基本圖形中理解基本幾何元素關(guān)系，理解基本定理，理解基本公式方法，那么在復(fù)雜的圖形中，學(xué)生才可以舉一反三，觸類旁通。
（三） 歸納基本圖例
學(xué)生之所以在題海中低效徘徊，很重要的原因在于缺乏反思和歸納總結(jié)。其實，立體幾何中的點、線、面關(guān)系就那幾類，角度及距離問題就那幾個，選取恰當(dāng)?shù)膱D例概括歸納，既有助于點、線、面關(guān)系的定性分析，更有助于公式理解及應(yīng)用的定量分析。如圖5，既包含了許多點、線、面關(guān)系，從中可以對線面垂直，平面的斜線，線面角等有更好的理解，也包含了點面距離，線面角關(guān)系及向量關(guān)系，從該圖中, 可以建立圖形和公式的聯(lián)系。
三
一題多變提能力, 滲透素養(yǎng)增效力
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，立體幾何尤為如此。所以在立體幾何的教學(xué)中，不論是定性分析還是定量分析，不管是綜合法還是向量法，都要緊抓圖形分析數(shù)據(jù)，而且可以發(fā)揮立體幾何中數(shù)量與圖形緊密聯(lián)系的特點，設(shè)置連續(xù)而有邏輯關(guān)聯(lián)的變式問題，并在這些問題的解決過程中，進一步強化訓(xùn)練推理論證的技能。
一
變式一
二
變式二
三
變式三
四
變式四
設(shè)計意圖：例題變式1-變式4在高考原題的基礎(chǔ)上展開，意在通過學(xué)生熟悉的題干和圖形對距離、二面角、內(nèi)切球和外接球等常規(guī)概念、問題及涉及的方法進行復(fù)習(xí)鞏固。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求學(xué)生能夠在熟悉的情境中建立數(shù)量與圖形的聯(lián)系并進行抽象和表達論證。在平常的立體幾何教學(xué)中，可以啟發(fā)學(xué)生在同一個立體幾何背景中尋找不同的點、線、面之間的關(guān)系并進行自主變式教學(xué)，多角度的理解圖形并認知問題。
五
變式五
六
變式六
設(shè)計意圖：變式5、6將高考原題中的條件“PF⊥BF”換為“平面DPF⊥平面DEF”，變式5的問題和原題相同，變式6與變式4的問題類似但有所推廣。兩個問題意在通過與原問題關(guān)聯(lián)或者相似的情景，幫助學(xué)生能夠理解和建構(gòu)相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從而進一步理解數(shù)學(xué)概念，辨析邏輯關(guān)系，提煉數(shù)學(xué)方法。
七
變式七
八
變式八
九
變式九
設(shè)計意圖：變式7-9 刪除了高考原題中的條件“PF⊥BF”，那么圖形就不是靜態(tài)的圖形，是在翻折變化的動態(tài)過程中設(shè)置問題，學(xué)生也只能在動態(tài)過程中思考三組異面直線的位置關(guān)系。3個題目都以推理論證能力培養(yǎng)為目標(biāo)，在思考解答的過程中考察培養(yǎng)了舉正例，舉反例，綜合分析，反證分析等能力。3個問題意在通過綜合化的一般情境，理解數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)和結(jié)論的一般性，期望學(xué)生能夠?qū)^為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題探索論證途經(jīng)并用數(shù)學(xué)語言合理準(zhǔn)確的進行表達。
十
變式十
設(shè)計意圖：該問題依然在翻折過程中設(shè)置，屬于開放探究性問題，變量的引入和問題的解決途經(jīng)均具有偶然性和自主性，可以鼓勵學(xué)生通過操作觀察，形成猜想，證明結(jié)論。經(jīng)歷這樣的探究過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分類討論，作圖表達，推理論證的能力，在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，積累探究活動經(jīng)驗。
四
結(jié)語
由于高考題目不但依據(jù)課標(biāo)，緊貼教材，有一般訓(xùn)練題目不可比擬的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性；而且高考題目經(jīng)過了全國學(xué)生的實踐檢驗及老師的深入研討，科學(xué)性強，解題思路明朗，解題書寫規(guī)范，評分細則標(biāo)準(zhǔn)，所以高考真題既有利于全面覆蓋，又有利于突出重點。在高三的教學(xué)中，教師如果能發(fā)揮高考真題的真優(yōu)勢，讓真題的分析是真知灼見，讓問題的診斷有真憑實據(jù)，讓解法的優(yōu)化能返璞歸真，讓教法的改善可去偽存真，那么，學(xué)生必定可以獲取真才實學(xué)。
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