黃森 編譯
為什么數(shù)學(xué)如此的深奧難懂？許多學(xué)生在解決特別復(fù)雜的微積分問題時都會提出疑問。
其實(shí)數(shù)學(xué)并非生來如此。在確定基本規(guī)則和概念之前，數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都是從現(xiàn)實(shí)世界問題的研究中發(fā)展而來。這些規(guī)則和概念被定義為抽象結(jié)構(gòu)。例如，代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個分支，使用字母和其它通用符號表示公式和方程中的數(shù)和量部分，是為解決算數(shù)問題而誕生的。當(dāng)人們試圖解決現(xiàn)實(shí)世界中的距離和面積問題時，幾何便應(yīng)運(yùn)而生。
從具體事物到抽象場景轉(zhuǎn)移的過程，足以被理解為抽象。通過抽象，抽取出數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，人們不再需要依靠現(xiàn)實(shí)世界中的物體來解決數(shù)學(xué)難題。這種演變對數(shù)學(xué)的發(fā)展是必要的，對其它科學(xué)學(xué)科也非常重要。
為什么說這種演變非常重要呢？因?yàn)槌橄笤跀?shù)學(xué)中的發(fā)展，賦予了化學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、地質(zhì)學(xué)、氣象學(xué)等學(xué)科解釋自然界中發(fā)生的各種復(fù)雜的物理現(xiàn)象的能力。如果你掌握了數(shù)學(xué)抽象的過程，你便能更好的解釋譬如物理學(xué)、化學(xué)等科學(xué)學(xué)科中發(fā)生的抽象問題。
從現(xiàn)實(shí)世界到抽象世界
最早有關(guān)抽象的例子是人們在符號存在之前的計(jì)數(shù)方式。例如，在沒有類似于數(shù)字的符號系統(tǒng)時，一個牧民要跟蹤他的羊群數(shù)量，應(yīng)該通過什么方式來保證自己的綿羊沒有走失或被偷走？
辦法是找到一大堆石頭。然后他把羊一只只的趕到羊圈里,每進(jìn)去一只羊，他便將一個石頭堆放在一邊。當(dāng)所有的羊都進(jìn)入羊圈后，他扔掉剩余的所有石頭，并留下那堆能夠代表羊群綿羊數(shù)量的石頭。每當(dāng)他需要清點(diǎn)綿羊數(shù)量時，他便拿出石頭和每只羊進(jìn)行核對。如果石頭有剩余，這意味著一些羊可能丟失或者被人偷走。這種一一對應(yīng)的方式能夠幫助牧羊人追蹤他的羊群。而現(xiàn)在，人們可以使用阿拉伯?dāng)?shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9來表示任何數(shù)。
這是一個關(guān)于抽象的強(qiáng)大案例。我們已經(jīng)從真實(shí)世界的物體石頭和綿羊轉(zhuǎn)移到了抽象世界。抽象揭示了數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域更深層次的聯(lián)系。一個領(lǐng)域的結(jié)果可以作為概念和想法在相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行探索。偶爾一個領(lǐng)域開發(fā)的方法和技術(shù)可以直接應(yīng)用到另一個領(lǐng)域來創(chuàng)建相似的結(jié)果。
強(qiáng)化抽象，重在教學(xué)
當(dāng)然，抽象也存在許多缺點(diǎn)。許多大學(xué)級別的數(shù)學(xué)科目，如微積分、實(shí)分析、線性代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、范疇論、泛函分析、集合論等都是非常先進(jìn)的抽象例子。這些概念可能非常晦澀難懂，往往很難形象化，規(guī)則極不直觀，很難操縱或推理。這意味著學(xué)生需要一定程度的數(shù)學(xué)功底來消化從具體到抽象的轉(zhuǎn)變。
許多高中學(xué)生，特別是來自發(fā)展中國家的高中生，在智力成熟度不高的情況下進(jìn)入大學(xué)，接觸抽象世界。因?yàn)楦咧袝r代的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，許多學(xué)生在苦苦掙扎，甚至萌生了放棄學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的想法。其實(shí)僅僅是因?yàn)樵诟咧袥]有正確的學(xué)習(xí)方法，這些學(xué)生便認(rèn)為自己不適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
老師和講師們需要意識到學(xué)科中的抽象問題，并通過具體實(shí)例來演示抽象概念，從而提高學(xué)生的抽象思維。同時，實(shí)驗(yàn)也有助于提高和鞏固學(xué)生的抽象概念。
這種教學(xué)原理在很多學(xué)校的教學(xué)系統(tǒng)中已經(jīng)得到應(yīng)用，以幫助兒童提高自身的抽象思維。同樣，這種方法也可以用于其它科學(xué)。
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