數理邏輯
(證明論、遞歸論、模型論和公理集合論)
來源網絡
1930年以后，數學邏輯開始成為一個專門學科，得到了蓬勃發展。哥德爾的兩個定理證明之后，希爾伯特的有限主義綱領行不通，證明論出現新的情況，主要有兩方面：通過放寬有限主義的限制來證明算術無矛盾性以及把證明形式化、標準化，這些主要是在三十年代完成。同時哥德爾引進遞歸函數，發展成遞歸論的新分支，開始研究判定問題。而哥德爾本人轉向公理集合論的研究，從此出現公理集合論的黃金時代。五十年代模型論應運而生，它與數學有著密切聯系，并逐步產生積極的作用。
1、證明論
證明論又稱元數學，它研究數學的最基本活動—證明的合理性問題。研究這類數學基礎的問題原來一直是哲學家的事，后來才成為數學家的事。這個轉變發生在1893年弗雷格發表《算術基礎規則》之時，后來希爾伯特和他的許多合作者使這種思想發展成一門學科—元數學，目的是用數學方法來研究整個數學理論。
要使數學理論成為一個合適的研究對象，就必須使之形式化。自從希爾伯特和阿克曼所著《理論邏輯綱要》第一版在1928年出版以來，在實踐中用得最多的是具有等式的一階謂詞演算(以及高階謂詞演算)。許多理論可以用一階理論來表述，它比較簡單方便，具有多種形式。
從基礎的觀點來看，有兩個理論最為重要，因而研究也最多。這兩個理論就是形式化的皮亞諾算術理論與形式化的集合論。因為大多數觀代數學理論都可以在這兩個理論范圍內發展，所以這兩個理論的合理性如果得到證實，也就是向數學的可靠性邁進了一大步。“希爾伯特計劃”無非就是要找到一個有限的證明步驟來證明算術的無矛盾性。
這里“有限”的意義是由法國年輕數學家厄布朗明確提出的，他認為下列條件必須滿足：必須只討論確定的有限數目的對象及函數；這些對象及函數要能確定它們的真值產生協調一致的計算結果；一個對象如不指出如何構造它就不能肯定其存在；必須永遠不考慮一個無窮集體中所有對象的集合；一個定理對于一組對象都成立的意思是，對于每個特殊的對象，可以重復所講的普遍論證，而這普遍論證只能看成是結果特殊論證的原型。
數學理論的無矛盾性有了這種有限的、可構造性的論證之后，任何人都可以放心了。希爾伯特計劃提出后，幾組數學家分別為實現它而努力：一組是希爾伯特及貝耐斯，以及阿克曼關于把數學理論形式化的研究，一組是馮·諾依曼關于算術無矛盾性的初步研究及哥德爾的不完全性定理以及甘岑的最后解決；還有一組是厄布朗及甘岑關于證明的標準形式等的研究。
厄布朗是法國天才的青年數學家，1931年8月在登阿爾卑斯山時遇難，年僅23歲。他對代數數論尤其是數理邏輯進行過重要的研究工作，1929年他在博士論文《證明論研究》中提出他的基本定理。從某種意義上來講，這個定理是想把謂詞演算歸結為命題演算。由于前一理論是不可判定的，而后一理論是可判定的，因此這種歸結不可能是完全的。
但是，由于厄布朗局限于希爾伯特有限主義立場，他應用的證明方法比較繞彎子。而且在1963年發現，他的證明中有漏洞，他的錯誤很快就得到了彌補。厄布朗定理可以便我們在證明中擺脫三段論法。他的許多結果，后來也為甘岑獨立地得出。
甘岑的自然演繹系統是把數學中的證明加以形式化的結果。他由此得出所謂“主定理”，即任何純粹邏輯的證明，都可以表示成為某種正規形式，雖然正規形式不一定是唯一的。為了證明這個主定理，他又引進了所謂的式列(Sequenz)演算。
在普通的數學證明中，最常用則是三段論法，即如果A→B，且若A成立，則B成立。其實這就是甘岑推論圖中的“斷”。但是甘岑的主定理就是從任何證明圖中可以消除掉所有的“斷”。也就是：如果在一個證明中用到三段論法，那么定理表明，它也可以化成為不用三段論法的證明，也得到同樣的結論。
這個定理乍一看來似乎不可理解，其實正如甘岑所說，一個證明圖中有三段論法實際上是“繞了彎子”，而不用三段論法是走直路。這種沒有三段論法的證明圖稱為“正規形式”，利用這沒有三段論法的證明圖稱為“正規形式”。利用這個主定理很容易得出許多重要結果，其中之一就是極為簡單地證明“一階謂詞演算是無矛盾的”，而且能夠推出許多無矛盾性的結果。后來還可以用來證明哥德爾的完全性及不完全性定理，當然，最重要的事還是要證明算術的無矛盾性。
希爾伯特引進證明論的目標是證明整個數學的無矛盾性，其中最重要的是集合論的無矛盾性(至少ZF系統無矛盾)、數學分析的無矛盾性，最基本的當然是算術的無矛盾性。哥德爾的不完全性定理說明，用有限的辦法這個目標是達不到的。由于哥德爾不完全定理的沖擊，希爾伯特計劃需要修改。
有限主義行不通就要用非有限的超窮步驟。1935年，甘岑用超窮歸納法證明自然數算術形式系統的無矛盾性。其后幾年，他和其他人又給出了其他的證明。這種放寬了的希爾伯特計劃在第二次世界大戰之后發展成為證明論的分支，這些證明也推廣到分支類型論及其他理論。
甘岑在第二次大戰行將結束時去世，他的結果代表當時證明論的最高成就，希爾伯特和貝納斯的《數學基礎》第二卷中總結了他的工作，但是證明論遠遠未能完成它的最初目標。戰后隨著模型論和遞歸論乃至六十年代以來公理集合論的發展，證明論一直進展不大。
五十年代中，日本數學家竹內外史等人開始對于實數理論(或數學分析)的無矛盾性進行探索。因為實數一開始就同有理數的無窮集和有關，描述它的語言用一階謂詞演算就不夠了，所以第一步就要先把甘岑的工作推廣到高階謂詞演算中去。
1967年，日本年輕數學家高橋元男用非構造的方法證明，單純類型論中也可以消去三段論法。由此可以推出數學分析子系統的無矛盾性。但是，由于證明不是構造的，數學分析的無矛盾性至今仍然有待解決。
厄布朗及甘岑的結果雖然不可能完成希爾伯特計劃的最初目標，但是由于其有限性、可構造性的特點，現在已廣泛地應用于機械化證明，成為這門學科的理論基礎。
證明論的方法對于數理邏輯本身有很大的推動，特別是得出新的不可判定命題。最近，英國年輕數學家巴黎斯等人有了一項驚人的發現。他們發現了一個在皮亞諾算術中既不能證明也不能否證的純粹組合問題，這不僅給哥德爾不完全性定理一個具體的實例，而且使人懷疑要解決許多至今尚未解決的數論難題可能都是白費力氣。這無疑開辟了證明論一個完全新的方向。
2、遞歸論
遞歸論討論的是從形式上刻劃一個運算或一個進程的“能行”性這種直觀的觀念，也就是從原則上講，它們能機械地進行而產生一個確定的結果。“能行”的這個概念含有可具體實現的、有效的、有實效的等等意思。法國數學家保萊爾首先在1898年他的函數論教科書中引進了這個詞，他把數學的對象局限于能行的對象，這種主張實際上就是“法國經驗主義”。因為函數論主要討論集合、函數、積分等等，從這種觀點產生出描述集合論、拜爾函數等概念。
遞歸論中所討論的函數是比較簡單的。它討論有效可計算的函數，也就是遞歸函數。遞歸函數在歷史上曾從不同角度提出來，后來證明它們都是等價的。
1931年秋天，丘奇在普林斯頓開了一門邏輯課，克林和羅塞爾當時作為學生記了筆記。丘奇在講課中引進了他的系統，并且在其中定義自然數。這就很自然引起一個問題，在丘奇系統中如何發展一個自然數理論。于是克林開始進行研究，結果克林和丘奇得到一類可計算的函數，他們稱之為A可定義函數。
1934年春天，哥德爾在普林斯頓做了一系列講演(克林和羅塞爾記了筆記)。在講演中，哥德爾引進了另外一套可以精確定義的可計算函數類，他稱為一般遞歸函數。據他講，他是受了厄布朗的啟發得到的。
這時自然出現了一個問題。一般遞歸函數類是否包括所有能行可計算的函數，它是否與克林與丘奇研究的 A可定義函數類重合。1934年春末，丘奇和哥德爾討論一般遞歸函數問題，結果丘奇明確提出他的“論點”，所有直覺上可看成能行可計算函數都是λ可定義函數，于是丘奇花了好幾個月反復思考。當時克林表示懷疑，他認為這論點不太可能是對的，他想如果從A可定義函數類用對角化方法可以得出另外一個能行可計算函數，那么它就不是A可定義的。但他又想到這事行不通。不久之后，丘奇和克林在1936年分別發表論文，證明A可定義函數類正好就是一般遞歸函數類。有了這個有力的證據，丘奇于是公開發表他的“論點”。
也是在1936年，英國年輕數學家圖林發表了另外一篇重要文章，這標志著所謂圖林機的產生。在這篇文章中，圖林也定義了一類可計算函數，也就是用圖林機可以計算的函數。同時，他也提出他的一個論點：“能行可計算的函數”與“用圖林機可計算的函數”是一回事。1937年圖林證明了用圖林機可計算的函數類與可定義函數類是一致的，當然，也就和一般遞歸函數類相重合。這樣一來，丘奇的論點與圖林的論點就是一回事。當時許多人對于丘奇的論點表示懷疑，由于圖林的思想表述得如此清楚，從而消除了許多人的疑慮，哥德爾就是其中一位。從這時起大家對于丘奇—圖林論點一般都抱支持的態度了。
與圖林同時，美國數學家波斯特也發表了一篇文章，類似于圖林的可計算函數，他的文章過于簡短，一直到1943年波斯特才發表了第四個表述，結果證明他的與別人的也都一樣。
遞歸的概念并不難理解，它就是由前面的結果可以遞推得到后面的結果。哥德爾等人引進的實際上是一般遞歸函數，一股遞歸函數都可以由原始遞歸函數算出來。
另一個復雜一些的概念稱為遞歸集合S，它的定義是存在一種能行的辦法來判斷任何正整數n是否屬于S。正數數集合是遞歸的當且僅當它與它在N中的補集都是遞歸可枚舉的。任何無窮遞歸可枚舉集都包含一個無窮遞歸集。但是，存在正整數的遞歸可枚舉集而不是遞歸集。
于是波斯特提出問題：是否存在兩個遞歸可按舉但是非遞歸的集合，使得第一個集合相對于第二個是遞歸的，但第二個相對于第一個卻不是遞歸的。一直到十二年后的1956年，蘇聯人穆其尼克及美國人弗里德伯格才獨立地肯定地解決了這個問題。
蘇聯數學家馬爾科夫在1947年發表《算法論》，首先明確提出算法的概念。但是它同以前定義的遞歸函數及可計算函數的計算過程都是等價的。這幾個定義表面上很不相同，并有著十分不同的邏輯出發點，卻全都證明是等價的。這件事看來決非巧合。它表明：所有這些定義都是同一個概念，而且這個概念是自然的、基本的、有用的。這就是“算法”概念的精確的數學定義。大家都接受了這個定義之后，判定問題從我們平時直觀的概念也上升為精確的數學概念，判定問題也成為一門數理邏輯的重要分支了。從這時起，判定問題有突飛猛進的發展。
判定問題有了精確的數學表述之后，立即在數學基礎乃至整個數學中產生了巨大的影響。因為這時一些不可判定命題的出現，標志著人們在數學歷史上第一次認識到：有一些問題是不可能找到算法解的。在過去，人們一直模模糊糊地覺得，任何一個精確表述的數學問題總可以通過有限步驟來判定它是對還是錯，是有解還是沒有解。找到不可判定問題再一次說明用有限過程對付無窮的局限性，它從另外一個角度反映了數學的內在固有矛盾。
怎樣得到這些結果的呢？丘奇的論點發表之后，不難看出存在不可計算的函數，也就是非一般遞歸的函數。因為所有可能不同的算法共有可數無窮多(粗淺來講，算法都是用有限多個字來描述的)，可是所有數論函數的集合卻是不可數的。
不過，頭一個明顯的不可判定的結果是1936年丘奇得到的。他首先得到與λ可定義性有關的不可判定結果。然后，他把這個結果應用到形式系統的判定問題上，特別他證明，形式化的一階數論N是不可判定的。也是在1936年，丘奇證明純粹的謂詞演算也是不可判定的。當時大家的反應是：這種不完全性的范圍到底有多廣？
甚至于象丘奇這樣的數學家，也想找到一條出路能避開哥德爾的結果。比如說，可以采用伺哥德爾所用的系統完全不同的其他的特殊系統。一旦算法的精確定義和丘奇論點出現之后，大家就認識到躲不過哥德爾不完全性定理的影響，可計算性和不完全性這兩個概念是緊密聯系在一起的。
實際上克林在1936年就證明了(作為丘奇論點的應用)：甚至在能夠能行地認出公理和證明的形式系統中，哥德爾的定理仍然成立。消去量詞方法對許多理論行不通。一般的判定問題是試圖找出一個能行的步驟，通過這個步驟可以決定什么東西具有某種指定的元數學特征。
在純粹邏輯演算的元理論中，有最明顯的一類判定問題：對于給定的演算和給定類的公式，求出一個步驟，能夠在有限多步內判定這類的任何特殊公式是否可以形式地推導出來。有些情形、問題已經得到肯定的解決，在另外一些情形，答案是否定的，可以證明不存在這樣一個步驟。這種否定的證明，特別對于數學理論，很大程度上依賴于遞歸論。
最早明確提出的數學判定問題是希爾伯特第十問題。他在1900年國際數學家大會上提出了著名的二十三個問題，其中第十個問題是：給定一個有任意多未知數的、系數為有理整數的丟番圖方程，設計一個步驟，通過它可以經有限步運算判定該方程是否有有理整數解。這個到1970年才被否定解決的問題不僅解決了一個重大問題，而且解決問題過程中所得到的工具和結果對數理邏輯和數學發展有著極大影響，比如表示素數的多項式，尤其與整個數理邏輯有關的是得出了一個更確切的哥德爾不完全性定理。
現在我們來看希爾伯特第十問題，為了清楚起見，我們考慮多項式方程，看看一般的多項式丟番圖方程的次數和未定元的數目是否可以降低。
1938年斯科蘭姆證明，任何丟番圖方程的次數可約化成次數小于等于4的方程；1974年馬蒂亞謝維奇和羅濱遜證明未定元的數目可約化成小于等于3。對于齊次方程，阿德勒在1971年證明，任何齊次方程可以能行地約化為二次齊次方程組，從而等價于一個四次齊次方程。對于一次方程早就有具體方法解丟番圖方程了。對于任意多未定元的二次方程，1972年西格爾也找到一個算法。四次方程不能判定，三次方程尚不知道。
解決丟番圖方程解是否存在的判定問題的方法是引進丟番圖集。我們把丟番圖方程的變元分成兩有一組解。每個丟番圖集合是遞歸可枚舉集。1970年，蘇聯大學生馬蒂亞謝維奇證明了每個遞歸可枚舉集也是丟番圖集合。這樣一來，由于存在不可判定的遞歸可枚舉集，所以存在一些特殊的丟番圖方程，使得對是否有解的判定問題不可解。當然對一般丟番圖方程的判定問題就更不可解了。
另一個判定問題是半群和群論中字的問題，半解問題是挪威數學家圖埃在1907年首先提出來的。問題是對于一個半群，如果給定它的有限多生成元和有限多關系，那么能否找到一個方法來判定任何一個特殊的字是否等于單位元素。1947年，波斯特否定地解決了這個問題。
群論中字的問題更為重要，它是在1911年由德恩首先研究的，一直到1955年才由蘇聯數學家諾維科夫否定解決。這些結果給數學家指明了新的方向：不要妄圖去解決一大類問題。不過對于更窄的一類的對象比如一類特殊的群，群的字問題是可解的。
3、模型論
模型論是數理邏輯的一個分支，討論形式語言與其解釋或者模型之間的關系。如語言是一階謂詞邏輯，則這種模型論就稱為“古典模型論”。最簡單的模型是數學中的一些結構，例如 5階循環群，有理數域，以及所有按照包含關系歷形成的偏序結構由整數構成的集合等等。在數學里我們直接研究這類模型，而不管形式語言。這個理論可以說是泛代數(當然也包含通常代數中的群論、環論、域論等等)，它們研究同態、同構、子結構、直積等等。可是關于這些模型的性質，都要表示成為語言。反過來，一個語句可以真也可以假，看你是說哪一個模型。
這樣看來，模型論和代數學是有區別的，有人把模型論看成是邏輯加上泛代數，這也是十分形象的。模型論一定要明顯地涉及語句，并且以語句為出發點，這是它同一般代數學有區別的地方。另外模型論的語言是形式語言，它與模型的關系是語法和語義的關系。對于形式語言，我們只是按照一定的規則(文法規則)去造出一些語句，至于這些語句含義如何、是真是假，就不是語法所能管得了的。
語法只考慮形式的結構，比如構成語句的符號是哪些，符號之間的關系如何(誰在誰的前面而不能在后面)等等，而語義則提供解釋或者意義，只有意義才能確認語句的真假(除了重言式或恒真語句或同語反復之外)。因此可以說，模型論是研究形式語言的語法和語義之間關系的學科。
在數學中，我們對模型還不是很陌生，在非歐幾何中就是靠引進模型才論證了非歐幾何公理系統是不矛盾的。但一直到195年左右，模型論才正式成為一門新學科。主要標志就是1949年亨肯發表的完全性定理的新證明，以及1950年國際數學家大會上塔爾斯基與羅濱遜的的報告，以及1951年羅濱遜《代數的元數學》的發表。
自此之后，模型論大致可分為兩條路線，一條是美國西海岸的斯科蘭姆一塔爾斯基路線，他們從四十年代起就由數論、分析、集合論的問題所推動，強調研究一階邏輯所有公式的集合模型。另一條是美國東海岸的羅濱遜路線，他們的問題由抽象代表的問題所推動，它強調無量詞公式集與存在公式集。關于兩塊量詞的理論很多，它們有許多應用。羅濱遜主要用于域論，前蘇聯馬力茨夫等人主要用于群論。
屬于純粹模型論主題的最早的定理有兩個，一個是羅文漢姆的定理。他在1915年證明每一組有限多公理如果有模型的話，則它也有一個可數模型。把這個定理推廣到有可數個公理的情況。另一個定理是緊性定理。
三十年代，哥德爾對可數語言證明緊性定理，1936年蘇聯馬力茨夫推廣到不可數語言。緊性定理在代數學方面有許多應用。
這兩個定理都肯定某種模型的存在性，特別是羅文漢姆—斯科蘭姆定理及緊性定理指出有想不到的特別大的模型存在。最明顯的就是自然數集合的皮亞諾公理(其中歸納公理加以改變)，不僅有通常自然集N為其標準模型(即包括可數多個元素)，還有包括不可數多個元素的模型，這就是所謂非標準算術模型。第一個非標準算術模型是由斯科蘭姆在1934年首先造出的。這兩個定理的證明都依賴于造模型的方法。
模型論中常用的構造模型方法與工具有：初等鏈方法、圖式、緊性定理、下行羅文海姆—斯科蘭姆定理、省略類型定理、力迫法、超積、齊性集合等8種，這些方法都是相當專門的。
圖式方法是亨金及羅濱遜首創的，它有許多用處，不僅能證明緊性定理、羅文海姆—斯科蘭姆定理、哥德爾完全性定理等等，而且可以得出許多新定理。
初等鏈是塔爾斯基及沃特在1957年提出的。超積是最常用的構造模型的方法，超積和超冪的用處表現在同構定理上。超冪的另一個很大的用處是構造非標準分析的模型。
對于數學理論最重要的事是公理化。在模型論中，公理數目可以有限多，稱為有限可公理化的理論。這類理論有；群、交換群、環、整域、域、有序域、全序集、格、布爾代數、貝納斯—哥德爾集合論等等。許多重要理論是不能有限公理化的，其中一部分是遞歸可公理化的。如可分群、無撓群、特征0的域、代數封閉域、實封閉域、有限域、尤其重要的是皮亞諾算術和ZF集合論，而有限群論甚至連遞歸可公理化都不行。
一個理論是遞歸可公理化的充分必要條件是：它的所有推論集合是遞歸可枚舉的。通常它不一定是遞歸的，如果是遞歸的，則稱為可判定的。可以證明，每個完全、遞歸可公理化理論是可判定的。因此利用模型論的有力工具可以得出判定理論的一些結果，如早在1948年塔爾斯基等人證明，實閉域理論是完全的，因此是可判定的。
早在十九世紀，數學家利用造模型的方法來肯定非歐幾何的真實性，他們造過許多模型，但這些模型本質上沒有區別，也就是“同構”。在二十世紀初，數學家一般認為，一個理論的模型都是同構的，如自然數理論就是皮亞諾公理所刻劃的一種。
但是這種想法很快就由于自然數非標準模型的存在而被打破，所以人們又在模型論當中引進重要的概念—范疇性：一個理論或一組公式如果其所有模型均同構，它就稱為范疇的。實際上，這對于形式系統(或公理系統)是僅次于協調性(無矛盾性)、完全性、獨立性之后的第四個重要要求。但是這個要求實在太強了，實際上，只要一個理論有一個無窮模型，那么它就不是范疇的，所以我們把范疇性的要求降低。
模型論給數學帶來許多新結果，我們大致可以分成三大部分：在代數方面的應用主要是在群論和域論方面；在分析方面的應用主要是非標準分析；在拓樸學、代數幾何學方面的應用主要是拓撲斯理論。
模型論在代數學中最早的應用是量詞的消去，早在三十年代，就由此得到了整數加法群的判定步驟，塔爾斯基得到實數的可定義集和實數域的判定步驟。
1965年以后，數理邏輯的發展逐步影響到數學本身，因而重新引起數學家們的注意，特別是集合論與模型論的結果不斷沖擊數學本身。模型論在解決代數問題方面顯示巨大威力，特別是艾柯斯及柯辰解決了著名的阿廷猜想，這個問題曾使代數學家為難了幾十年。
非標準分析是羅濱遜在1960年創造的。1961年1月，在美國數學大會上，羅濱遜宣布了他的非標準分析，其實這就是邏輯學家所謂的實數的非標準模型。在這篇報告中，他總結了新方法的所有重要方面，因此無可爭辯地成為這個新領域的獨一無二的創造者。他指出，實數系統是全序域，具有阿基米德性質，也就是任何一個正實數經過有限次自己加自己之后可以超過任何一個實數。但是非標準實數一般并不滿足這個條件，比如說一個無窮小量的一千倍，一萬倍、一億倍甚至更多，也大不過 1，這個性質稱為非阿基米德性質。
最近，非標準分析在分析、微分幾何學、代數幾何學、拓撲學有一系列的應用，使數學家對非標準分析也不得不另眼相看了，特別是非標準拓撲和非標推測度論近來更是有重要的突破。
非標難測度論已經得出許多新的“標準”結果，如關于測度的擴張、位勢理論、布朗運動理論、隨機微分方程、最優控制理論，甚至運用到數理經濟學及高分子物理化學當中。其中關鍵來自1975年洛布的工作。他從非標準測度空間能造出豐富的標準測度空間，使得非標準分析真正能對標準數學作出自己的貢獻。
拓撲斯是統—現代數學的最新基礎，它反映了數理邏輯與范演論的結合。范疇論大約在六十年代初由同調代數學脫胎而出，而同調代數則在四十年代末到六十年代初由代數拓撲學發展而來。代數拓撲學則是用群、環、域、模等代數結構來刻化幾何圖形的拓撲結構。同調代數學則用代數結構來刻化代數結構，比如說一組群與另一組的對應關系。把這個組發展到集合或其它任何結構，研究范躊與范躊之間的關系就是范疇論。
我們可以考慮幾何的范躊和范躊的范躊。1963年出現了層的范疇，這就是拓撲斯。托普斯使范疇方法迅速推廣到其他數學分支中去。1970年，勞威爾等人引進一種特殊的范疇—初等拓撲斯。幾年之后，證明了一個重要結果，一個初等拓撲斯正好是高階直覺主義集合論的模型。因此，初等拓撲斯就象集合一樣成為數學的基礎，而且更接近數學的內容。
4、公理集合論
1930年以后，迎來了公理集合論的黃金時代。對于數學家們來說，策梅羅的公理系統ZF大致夠用。他們仍不太關心集合論的細微未節，以及一層一層的無窮大，這些在他們的數學中難得碰到。不過除了九條可靠的ZF公理之外，他們也往往需要選擇公理(AC)，有時也要考慮連續統假設(CH)。他們希望這兩個公理是真的，這樣似乎就可以天下太平了。誰知事情越來越麻煩，現在居然找出一大堆玄妙的公理和假設，它們能推出一些我們想要的結果來，同時又出現許多荒唐矛盾的現象。這些現象十分有趣，但是從外行看來實在亂七八糟。這里還是簡單歸納介紹一下:
4.1 選擇公理
選擇公理是現代數學中最常用的假設，過去許多人曾不自覺地使用。對這個問題引起注意，是因為康托爾在1883年提出任意集合是否都可良序化的問題。希爾伯特也曾把這個問題引入其23問題頭一問題的后半部分。1904年，策梅羅提出選擇公理，并通過選擇公理證明了良序定理。這個公理有極多的等價形式，其中有在代數中常用的造恩引理。這個應用極廣、看來正確的選擇公理，卻可以證明出一些看來荒唐的結果。如1914年的豪斯道夫的分球面定理和U23年的巴拿赫—塔爾斯基悖論。
可是選擇公理的用途太大，不能忽視，許多學科的基本定理少不了它：泛函分析中的哈恩—巴拿赫定理(關于巴拿赫空間上的線性泛函的可擴張性)；拓撲學的吉洪諾夫定理(關于任意多緊空間的直積為緊)；布爾代數的斯通表示定理，每個布爾代數皆同構于集代數；自由群論的尼爾森定理，自由群的子群也是自由的。
其他還有許多定理，如果沒有選擇公理也不行。
4.2連續統假設
連續統假設的歷史最久，它可以說是隨著集合論一起產生的。1883年康托爾就提出了這個假設，可數無窮集的基數的后面就是連續統的基。康托爾花了畢生精力去證明，但沒有成功。希爾伯特把它列入自己著名的23個問題的頭一個。希爾伯特本人也曾經用了許多精力證明它，并且在192～—1926年宣布過證明的大綱，但終究未能成功。這個問題終究懸而未決。
1930年哥德爾完成了他的兩大貢獻以后，曾說過“現在該輪到集合論了”。他從1935年起就開始研究連續統假設及廣義連續統假設。這一次他又出人意料地證明了ZF和GCH是協調一致的，不過當然要假設ZF本身也是協調的，雖然這一點一直沒有得到證明。
哥德爾應用可構造性公理證明ZFC和ZFC＋GCH的相對無矛盾性，他用可構造集的類L作為ZFC的模型。1963年7月，美國年輕數學家科恩發明了影響極為重大的力迫法，并證明連續統假設的否定命題成立，這樣一來CH在ZF中既不能證明也不能否定。
4.3可構成性公理
哥德爾證明選擇公理和連續統假設協調性的方法是定義一種類型的集合，叫做可構成集。假如把集合論中集合的概念完全用可構成集合的概念來理解，那么集合論中的一些概念就會有相應的改變。但是有一些概念不會改變，這種概念我們稱為絕對的，特別是可構成性這個概念是絕對的。所以“一切集合是可構成的”，這稱為可構成性公理。
可構成性的概念非常重要，表現在：1、可構成性公理與ZF的其他公理是協調的；2、可構成性公理蘊涵連續統假設和選擇公理；3、如果可測基數存在，則不可構成集合存在，這是斯科特1961年證明的。隨后，羅巴通在他1964年的博土論文中證明可測基數的存在，蘊涵整數不可構成集合的存在性，后來他又證明可測基數的存在蘊涵只有可數無窮多個整數的可構成集合。
4.4 馬丁公理
馬丁公理是1970年由馬丁等人提出來的，它與ZFC的其他公理完全不同，不象一個“真”的公理，但是由它可以推出數學上重要的結果。馬丁公理是連續統假設的推論，因此可以看成是弱連續統假設。
馬丁公理在數學上有一系列的重要應用。特別重要的是，舍拉在1974年證明懷特海猜想在ZFC下是不可判定的。同樣，許多拓撲學問題也有類似情況。
4.6 大基數公理
連續統假設及廣義連續統假設反映了最理想的大基數產生的方法，也就是一個接一個由冪集的基數產生出來。但是，這種理想的情況現在還無法證明，而與它不同或矛盾的情形也不可能得到否定。因此，這種種特殊大基數的存在性能得到更加特殊的結果，而且對數學本身產生了不可忽視的影響。
雖然這些大基數極為玄乎，可是由它們可以推出許多重要的數學結果。因此我們不得不重視它，而它們的存在性作為公理就是大基數公理。可以料到這些大基數公理同原來的一些公理是矛盾的。比如，可構造公理就蘊涵可測基數不存在。
大基數公理對數學問題的重要性可以由下面問題的解決看出：拓撲學中一個著名的幾十年末解決的正規莫爾空間猜想歸結為可測基數的存在問題，而象過去局限于ZFC系統的證明是沒有希望的。
4.6決定性公理
決定性公理是與描述集合論密切相關的公理，它涉及到自然數列的集合是否能夠通過某種方法決定。
決定性公里的基本問題是：什么集合是可決定的？經過許多人的努力，馬丁在1975年證明，數學中最常用的保萊爾集合是可決定的。下一個猜想是證明所有解析集合(即二維保萊爾集合的射影集合)是可決定的，但這個猜想與哥德爾的可構成性公理相矛盾。上面講過，可構成性公理是與ZFC是相容的，因此這個猜想無法在集合論中證明。這樣一來，它本身可以成為一個新公理。
比這個公理更加激進的公理是：R的所有子集合都是決定的。這個公理太過激烈了，以致很難為“真”，因為它首先同選擇公理有矛盾。不過，由這個決定性公理卻能推出一系列有趣的數學事實；其中最突出的是，由它可推出所有實數集合都是勒貝格可測的。這樣一來，許多數學成為沒有意思的了。因此，數學家還是不太想要這個太強的公理。可是，它帶來的一系列問題仍有待解決。
◆ 數學基礎：邏輯主義，形式主義，直覺主義。
◆ 數理邏輯
* 邏輯演算：命題、一階、高階、無窮、多值-模糊、模態、構造邏輯等。
* 模型論：模態模型論，非標準模型等。
* 公理集合論：集合論公理系統，力迫方法，選擇公理，連續統假設等。
* 逆歸論：算法，遞歸函數，遞歸可枚舉集，不可解度，廣義遞歸論，判斷問題，分層理論等。
* 證明論：數學無矛盾性，哥德爾不完備性定理，構造性數學，希爾伯計劃等。
◆ 集合論：集合，映射，序數，基數，超限歸納法，悖論，數系（實數，虛數），組合數學，圖論（四色問題）、算術等。
◆ 代數學
* 多項式：代數方程等。
* 線性代數：行列式，線性方程組，矩陣，自向量空間，歐幾里得空間，線性變換，線性型，二次性，多重線性代數等。
* 群：有限群、多面群體、置換群、群表示論、有限單群等。
* 無限群：交換群，典型群，線性代數群，拓撲群，李群，變換群，算術群，半群等。
* 環：交換環，交換代數，結合代數，非結合代數-李代數，模，格-布爾代數等。
* 乏代數 * 范疇
* 同調代數-代數理論
* 域：代數擴張，超越擴張，伽羅瓦理論-代數基本定理，序域，賦值，代數函數域，有限域，p進數域等。
◆ 數論
* 初等數論：整除，同余，二次剩余，連分數，完全數，費馬數，梅森數，伯努利數，數論函數，抽屜原理等。
* 不定方程：費馬大定理等。
* 解析數論：篩法，素分布法，黎曼ζ函數，狄利克雷特征，狄利克雷L函數，堆壘數論-整數分拆，格點問題，歐拉常數等。
* 代數數論：庫默爾擴張，分圓域，類域論等。
* 數的幾何 * 丟番圖逼近 * 一致分布 * 超越數論 * 概率數論 * 模型式論 * 二次型的算術理論 * 代數幾何
◆ 幾何學
* 歐幾里得幾何學-希爾伯特公理系統：歐里幾得空間，坐標系，圓周率，多邊形，多面體等。
* 解析幾何學：直線，平面，二次曲線，二次曲面，二次曲線束，二次曲面束，初等幾何變換，幾何度量等。
* 三角學
* 綜合幾何學：尺規作圖-希臘幾何三大問題等。
* 仿射幾何學：仿射變換等。
* 射影幾何學：對偶原理，射影坐標，射影測度，絕對形，交比-圓點，直線幾何等。
* 埃爾朗根綱領 * 百歐幾里得幾何學
* 微分幾何學：曲線，曲面-直紋面-可展曲面-極小曲面等。
* 微分流形：張量，張量分析，外微分形式，流形上的偏微分算子，復流形，辛流形，黎曼幾何學，常曲率黎曼空間-齊性空間-黎曼流形的變換群-閔科夫斯基空間，廣義相對論，聯絡論，楊-米爾斯理論，射影微分幾何學，仿射微分幾何學，一般空間微分幾何學，線匯論，積分幾何學等。
◆ 拓撲學
* 一般拓撲學（拓撲空間，度量空間，維數，多值映射
* 代數拓撲學（同調論，同倫論-CW復形，纖維叢-復疊空間，不動點理論-閉曲面的分類-龐加萊猜想
* 微分拓撲學（流形-橫截性
* 紐結理論 * 可微映射的奇點理論 * 突變理論 * 莫爾斯理論
◆ 分析學
* 微積分學
** 函數：初等函數，隱函數等。
** 極限：函數的連續性等。
** 級數
** 微分學：導數，微分，中值定理，極值等。
** 積分學：積分，原函數，積分法，廣義積分，含參變量積分等。
** 多元微積分學：偏導數，全微分，方向導數，雅可比矩陣，雅可比行列式，向量，向量分析，場論等。
* 復變函數論：復變函數（解析函數，柯西積分定理，解析函數項級數，冪級數，泰勒級數，洛朗級數，留數，調和函數，最大模原理，共形映射，特殊函數，整函數，亞純函數，解析開拓，橢圓函數，代數函數，模函數，函數值分布論，黎曼曲線，單葉函數，正規族，擬共形映射，解析函數邊值問題，狄利克雷級數，解析函數邊界性質，拉普拉斯變換，積分變換，泰希米勒空間，廣義解析幾何等）。
* 多復變函數論
* 實變函數論：勒貝格積分，有界變差函數，測度論，黎曼-斯蒂爾杰斯積分，赫爾德不等式，施瓦茲不等式，閔科夫斯基不等式，延森不等式等。
* 泛函分析：泛函數，函數空間，索伯列夫空間，拓撲線性空間，巴拿赫空間，半序線性空間，希爾伯特空間，譜論，向量值積分，線性算子，全連續算子，譜算子，線性算子擾動理論，賦范代數，廣義函數，非線性算子（泛函積分，算子半群，遍歷理論，不變子空間問題）等。
* 變分法：變分法，大范圍變分法等。
* 函數逼近論：函數構造論，復變函數逼近（外爾斯特拉斯-斯通定理，拉格朗日插值多項式逼近，埃爾米特插值多項式逼近，三角多項式，連續模，強迫逼近，有理函數逼近，正交多項式，帕德逼近，沃外爾什逼近，聯合逼近，抽象逼近，寬度，熵，線性正算子逼近，傅里葉和）等
* 傅里葉分析：三角函數，傅里葉級數，傅里葉變換-積分（傅里葉積分算子，乘子，共軛函數，盧津問題，李特爾伍德-佩利理論，正交系，極大函數，面積積分，奇異積分，算子內插，BMO空間，Hp空間，奇異積分的變換子，佩利-維納定理，卷積，Ap權），概周期函數，群上調和分析（哈爾測度，正定函數，譜綜合）等。
* 流形上的分析：霍奇理論，幾何測度論，位勢論等。
* 凸分析 * 非標準分析
◆ 微分方程
* 常微分方程（初等常數微分方程,線性常微分方程,常微分方程初值問題,常微分方程邊值問題,常微分方程解析理論,常微分方程變換群理論,常微分方程定性理論,常微分方程運動穩定性理論,哈密頓系統,概周期微分方程,抽象空間微分方程,泛函數分方程-微分差分方程,常微分方程攝動方法,常微分方程近似解似解,動力系統-拓撲動力系統-微分動力系統
* 偏微分方程（數學物理方程,一階偏微分方程,哈密頓-雅可比理論,偏微分方程特征理論,橢圓型偏微分方程-拉普拉斯方程,雙曲型偏微分方程-波動方程,雙曲守恒律的間斷解,拋物型偏微分方程-熱傳導方程,混合型偏微分方程,孤立子,索伯列夫空間,偏微分方程的基本解,局部可解性,偏微分算子的特征值與特征函數,數學物理中的反問題,自由邊界問題,分歧理論,發展方程,不適定問題
* 積分方程：弗雷德霍姆積分方程,沃爾泰拉積分方程,對稱核積分方程,奇異積分方程,維納-霍普夫方程,維納-霍普夫方法等。
◆ 計算數學
* 數值分析：數值微分等。
* 數值逼近：插值，曲線擬合等。
* 計算幾何：樣條函數值積分-數論網格求積分法，有限差演算，有限差方程等。
* 常微分方程初值問題數值解法：單步法，多步法，龍格-庫塔法，亞當斯法等。
* 常微分方程邊值問題數值解法：打靶法等。
* 高次代數方程求根 * 超越方程數值解法
* 非線性方程組數值解法：迭代法，牛頓法等。
* 最優化
* 線性規劃：單純形方法等。
* 無約束優化方法 * 約束優化方法 * 概率統計計算
* 蒙特卡羅達：偽隨機數等。
* 代數特征值問題數值解法：廣義特征值問題數值解法等。
* 線性代數方程組數值解法：稀疏矩陣，廣義逆矩陣，對角優勢矩陣，病態矩陣，消元法-高斯消去法，松馳法，共軛梯度法等。
* 偏微分方程邊值問題差分方法
* 偏微分方程初值問題差分方法：計算流體力學，特片線法，守恒格式，分步法（局部一維方法、交替方向隱式法、顯式差分方法、隱式差分方法），有限差分方法，有限元方法，里茨-加廖金方法（里茨法、加廖金法），玻耳茲曼方程數值解法，算圖-諾模圖等。
* 數值軟件：并行算法，誤差，最小二乘法，外推極限法，快速傅里葉變換-快速數論變換，數值穩定性，區間分析，計算復雜性等。
◆ 概率論
* 概率分布（數學期望，方差，矩，正態分布，二項分布，泊松分布
* 隨機過程（馬爾可夫過程，平穩過程，鞅，獨立增量過程，點過程，布朗運動，泊松過程，分支過程，隨機積分，隨機微分方程，隨機過程的極限定理，隨機過程統計，濾波，無窮粒子隨機系統等。
* 概率，隨機變量 * 概率論中的收斂 * 大數律 * 中心極限定理 * 條件期望
◆ 數理統計學
* 參數估計：點估計，區間估計等。
* 假設檢驗：列聯表等。
* 線性統計模型：回歸分析，方差分析等。
* 多元統計分析：相關分析等。
* 統計質量管理：控制圖，抽樣檢驗，壽命數據統計分析，概率紙等。
* 總體 * 樣本 * 統計量 * 實驗設計法 * 抽樣調查 * 統計推斷 * 大樣本統計 * 統計決策理論 * 序貫分析
* 非參數統計 * 穩健統計 * 貝葉斯統計 * 時間序列分析 * 隨機逼近 * 數據分析
◆ 運籌學
* 數學規則：線性規劃，非線性規劃，無約束優化方法，約束優化方法，幾何規劃，整數規劃，多目標規劃，動態規劃-策略迭代法，不動點算法，組合最優化-網絡流，投入產出分析等。
* 軍事運籌學：徹斯特方程，對抗模擬，對策論，最優化等。
* 馬爾可夫決策過程 * 搜索論 * 排隊論 * 庫存論 * 決策分析 * 可靠性數學理論 * 計算機模擬 * 統籌學 * 優選學
◆ 數學物理
◆ 控制理論
◆ 信息論
◆ 理論計算機科學
◆ 模糊性數學
