數學廣角——鴿巢問題
第一課時 創作人：王玉環
課 題：鴿巢問題
教學內容：教材第68-70頁例1、例2，及“做一做”的第1題，及第71頁練習十三的1-2題。
教學目標：
1、知識與技能：了解“鴿巢問題”的特點，理解“鴿巢原理”的含義。使學生學會用此原理解決簡單的實際問題。
2、過程與方法：經歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法，滲透數形結合的思想。
3、情感、態度和價值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發學生的學習興趣，使學生感受數學的魅力。
教學重難點：
重點：引導學生把具體問題轉化成“鴿巢問題”。
難點：找出“鴿巢問題”解決的竅門進行反復推理。
教學準備：課件。
教學過程：
一．情境導入
二、探究新知
1.教學例1.(課件出示例題1情境圖）
思考問題：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有1個筆筒里至少有2支鉛筆。為什么呢？“總有”和“至少”是什么意思？
學生通過操作發現規律→理解關鍵詞的含義→探究證明→認識“鴿巢問題”的學習過程來解決問題。
(1)操作發現規律：通過吧4支鉛筆放進3個筆筒中，可以發現：不管怎么放，總有1鴿筆筒里至少有2支鉛筆。
(2)理解關鍵詞的含義：“總有”和“至少”是指把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，一定有1個筆筒里的鉛筆數大于或等于2支。
(3)探究證明。
方法一：用“枚舉法”證明。 方法二：用“分解法”證明。把4分解成3個數。
由圖可知，把4分解成3個數，與枚舉法相似，也有4中情況，每一種情況分得的3個數中，至少有1個數是不小于2的數。
方法三：用“假設法”證明。
通過以上幾種方法證明都可以發現：把4只鉛筆放進3個筆筒中，無論怎么放，總有1個筆筒里至少放進2只鉛筆。
（4）認識“鴿巢問題”
像上面的問題就是“鴿巢問題”，也叫“抽屜問題”。在這里，4支鉛筆是要分放的物體，就相當于4只“鴿子”，“3個筆筒”就相當于3個“鴿巢”或“抽屜”，把此問題用“鴿巢問題”的語言描述就是把4只鴿子放進3個籠子，總有1個籠子里至少有2只鴿子。
這里的“總有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鴿子最多的那個“籠子”里鴿子“最少”的個數。
小結：只要放的鉛筆數比筆筒的數量多，就總有1個筆筒里至少放進2支鉛筆。
如果放的鉛筆數比筆筒的數量多2，那么總有1個筆筒至少放2支鉛筆；如果放的鉛筆比筆筒的數量多3，那么總有1個筆筒里至少放2只鉛筆
小結：只要放的鉛筆數比筆筒的數量多，就總有1個筆筒里至少放2支鉛筆。
（5）歸納總結：鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜里（m>n，且n是非零自然數），那么一定有一個抽屜里至少放進了放進了2個物體。
2、教學例2(課件出示例題2情境圖）
思考問題：
（一）把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有1個抽屜里至少有3本書。為什么呢？
（二）如果有8本書會怎樣呢？10本書呢？
學生通過“探究證明→得出結論”的學習過程來解決問題（一）。（1）探究證明。
方法一：用數的分解法證明。
把7分解成3個數的和。把7本書放進3個抽屜里，共有如下8種情況：
由圖可知，每種情況分得的3個數中，至少有1個數不小于3，也就是每種分法中最多那個數最小是3，即總有1個抽屜至少放進3本書。
方法二：用假設法證明。
把7本書平均分成3份，7÷3=2（本）......1（本），若每個抽屜放2本，則還剩1本。如果把剩下的這1本書放進任意1個抽屜中，那么這個抽屜里就有3本書。
（2）得出結論。
通過以上兩種方法都可以發現：7本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進3本書。
學生通過“假設分析法→歸納總結”的學習過程來解決問題（二）。
（1）用假設法分析。
8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分別放進其中2個抽屜中，使其中2個抽屜都變成3本，因此把8本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進3本書。
10÷3=3（本）......1（本），把10本書放進3個抽屜中，不管怎么放，總有1個抽屜里至少放進4本書。
（2）歸納總結：
綜合上面兩種情況，要把a本書放進3個抽屜里，如果a÷3=b（本）......1（本）或a÷3=b（本）......2（本），那么一定有1個抽屜里至少放進（b+1）本書。
鴿巢原理（二）：古國把多與kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數，n是非0的自然數），那么一定有一個抽屜中至少放進了（k+1)個物體。
三、鞏固練習
1、完成教材第70頁的“做一做”第1題。 學生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。
2、完成教材第71頁練習十三的1-2題。 學生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。
四、課堂總結：
通過今天的學習你有什么收獲？
你能在生活中找出這樣的例子嗎？
板書設計：
7÷2=2......1 要把a個物體放進n個抽屜
8÷3=2......2 如果a÷n=b......c(c不等于0)
10÷3=3......1 那么一定有個抽屜至少放（b+10）個物體
課后反思：培養學生的問題意識，借助直觀操作和假設法，將問題轉化成“有余數的除法”形式，可以使學生更好地理解“抽屜原理的一般思路”
