愛因斯坦把人類思維帶到一個類似魔幻的場景。在那個環境下，時間可以倒流，空間是彎曲的，人類可以到遠離自己有幾萬光年跨度的地方旅行。
而這些突破常人思維的推論，可以說基本源于非歐幾何。
歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設，前面已經介紹過了。在這里，我們特別提出第五公設。如下圖所示，直線a、b被直線c所截，在截線一側的；兩個同側內角∠a+∠β<180°，那么直線a、b在向右側無限延長一定會相交。一些數學家后來證明了這條公設和“過已知直線外的一個已知點只能作一條直線和已知直線平行”實際上是等價的命題。
長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設相比，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見。有些數學家還特別注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中遲遲地到了第二十九個命題中才用到，而且此后再也不用了。這也就是說，在歐幾里得的《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。因此，一些數學家提出：第五公設能不能不作為公設而作為定理？能不能依靠其他公設和命題來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的長達兩千年的關于“平行線理論”的討論。
幾何原本
在這漫長的討論過程中，雖然耗費了許多數學家的精力，但是一直沒有取得任何的結果。有些數學家在證明第五公設的時候，使用的論據實際上都是在假定第五公設成立的前提下才成立的。如果第五公設不成立，那么這些定理也不成立。因此，這些數學家在證明第五公設的時候，就犯了邏輯上循環論證的錯誤。
由于證明第五公設的問題始終沒有解決，人們逐漸懷疑證明的路子走得對不對：第五公設到底能不能證明？
羅巴切夫斯基
到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他放棄了歐氏平行公理而提出了一個和歐氏平行公理相矛盾的命題：“過不在已知直線上的一點，可以引不止一條而至少是兩條直線和已知直線平行”，他用這個命題來代替第五公設，然后把歐幾里得的其它公設、公理、定義以及跟第五公設沒有關系的定理（比如前26個定理）作為一個公理系統展開一系列的邏輯推理。他認為如果這個系統中出現矛盾，這就等于用反證法證明了第五公設。但是他在極為深入細致地進行推理的過程中，得出了一個一個在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個極為重要的結論：
第一，第五公設不能證明；
第二，在新的公理系統中展開的一連串的推理，得到的一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，形成了新的理論。這個新的理論象歐氏幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。
這種幾何學被叫做羅巴切夫斯基幾何，簡稱做羅氏幾何，屬于人們通稱的非歐幾里得幾何的一種。
從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。
幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時匈牙利的鮑耶·雅諾什（1802-1860），也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中，他也遭到了家庭、社會的冷漠對待，他的父親鮑耶·法爾卡什（1775-1856）是一個數學家，認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但是鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何而辛勤地工作，終于在1882年，在他父親的一本著作里，以附錄的方式發表了研究結果。
高斯
那個時代被譽為“數學王子'的高斯也發現第五公設不能證明，并且研究了非歐幾何。但是，高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，一直不敢公開發表自已的研究成果，只是在書信中給自己的朋友表示了自已的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。
二、羅氏幾何與黎曼幾何
非歐幾何學是一門大的數學分支，一般來說，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是就羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎氏幾何這兩種幾何。
不同的幾何
羅氏幾何學的公理系統和歐氏幾何學不同的地方僅僅是把歐氏平行公理用“從直線外一點，至少可以作兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理絕大部分相同。由于平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐幾里得幾何內容不同的新的幾何命題。兩條直線或者相交或者平行。如果平行，它們在一側漸近地逼近，而在另一側則無限地分離。
同一直線的兩條垂線，它們是離散的。
三角形兩邊中點的連線常和底邊是離散的。
三角形各內角之和總小于兩個直角，而且不同的三角形有不同的內角和。
任何凸四邊形的內角和小于四個直角，因此，不存在矩形。
三角形面積和兩直角跟它的內角和的差成正比。如果以S（△）表示三角形的面積，以a、b、c分別表示三角形的三個內角，那么
S（△）=K（Π-a-b-c）。
這里，Π-a-b-c叫做“虧損”。可以看到，三角形內角和對x的虧損因它的面積增大而增大。
另一方面，我們知道，羅氏幾何除了一個平行公理之外采用了歐氏幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐氏幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐氏幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，它們都相應地含有新的意義。
羅氏幾何中的一些幾何事實沒有象歐氏幾何那樣容易被人們接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐氏幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的。
德國數學家克萊因（1849-1925）就提出了一個簡單的模型，他的主要想法是，利用歐氏幾何中的元素，然后對其中某些元素給予新的約定，并說明它們之間的關系。因為這種幾何只是用另外的觀點和字眼來描述通常的歐氏幾何中的元素，因此，它和歐氏幾何一樣是正確的。
克萊因
克萊因的羅氏幾何模型是：在普通的歐氏平面上取一個圓，而且只考慮圓的內部。我們約定把圓的這個內部叫做“平面”（它起著羅氏平面的作用，圓內的點叫做羅氏點）。把圓的弦叫做“羅氏直線”（弦和圓周的交點除外）。此外，連接這平面上兩點的“直線”以及求兩條“直線”的交點那么就和歐氏幾何中的情形相同。下面這個圖就能說明這個模型。通過已知點A而且不和巳知弦BC相交的弦至少有兩條（比如過B和C的兩條弦。因為規定把弦和B9圓的交點除外，所以它們和BC沒有交點），這和羅氏平行公理“過不在已知直線上的一點至少可以引兩條直線不與已知直線相交。”是一致的。
黎氏幾何是德國數學家黎曼（1826-1866）創立的。他在1851年所作的一篇論文“論幾何學作為基礎的假設”中明確提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的另一片廣闊的領域。后來就叫做黎曼幾何學，也叫黎氏幾何學。
黎曼
我們知道，歐氏幾何、羅氏幾何中關于結合公理、順序公現、連續公理以及合同公理都是相同的，只是平行公理不一致。歐氏幾何的平行公理是“過線外一點在平面上有且僅有一條直線與巳知直線平行。”羅氏幾何的平行公理是“過直線外一點在平面上至少存在兩條直線和已知直線平行。”那么是否存在這樣的幾何，這種幾何規定；過線外一點在平面上不能作直線和已知直線平行？黎曼幾何學就回答了這個問題。
在黎曼幾何中的一條基本規定是；在同一平面內任何兩條直線都有公共點，這個事實我們可以從三度空間中的二度球面來進行觀察。如右圖所示，在這個球面上我們把“直線'規定是這個球面的大圓，這樣的直線是封閉的。在這種幾何里，就這個圖來說，任意兩條“直線”必然相交。因此，過一定直線外一點，永遠都不能作直線”平行于這條定直線。此外，在球面上任意兩點間的距離是過這兩點的大圓上介于這兩點間比較短的弧的弧長，這也是過這兩點的一切弧中最短的弧（這和歐氏幾何中平面上任意兩點間的直線距離最短是吻合的）。
在黎曼幾何中有一個重要結論，就是“三角形的三個內角和大于180”。這是因為在這種幾何里，“直線”是球面上的大圓弧，球面上三條這樣的直線可以構成一個三角形。例如，在左圖的球面上過北極N和南極S的兩條大圓弧（也叫做子午線），和赤道圍成一個三角形，也就是圖中的△NAB。我們知道，子午線是垂直于赤道的，因此，這樣的球面三角形的三個角中巳經有了兩個直角，再加上第三個角，三角形的內角和就大于180°。這是黎曼幾何中的一個重要的結論。
近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是一種黎曼幾何。愛因斯坦在狹義相對論里主要和基本的命題是：空間和時間有不可分割的密切關系。而在廣義相對論里放棄了關于時空的均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的區域里以一定的近似性而均勻的，但是整個卻不是均勻的，只是在微小的區域內以一定的近似性而均勻的時空的觀念。在物理學中的這種解釋，恰恰是和“在無窮小范圍內”歐氏幾何式的黎曼空間的觀念相似的。這個廣義相對論里的時空就可以解釋為一種黎曼空間。
此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數論等方面。
黎曼幾何和歐氏幾何、羅氏幾何是三種各有區別的幾何。這三種幾何學各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小不近不遠的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐氏幾何學是適用的；在宇宙空間中（或在原子核世界中）羅氏幾何更符合于客觀實際，在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎氏幾何就更適用了。
