秦農序
科學Sciences導讀：公號對話框發送“數學學派”獲取18k字14圖21頁PDF近代數學13個學派。關鍵詞：數字學派(school of mathematics )。QinlongGEcai微信被封，轉向自用、科普文章、學術論文OAJ電子刊免費開放獲取。
網文歸檔，科學Sciences?20201016Fri數學是科學之母。科學思想、科學理論、技術測量、工程技術等等，都離不開數學。如果沒有數學認知，那將止步于語文思辨，陷入初級認知和主觀思想的自我漩渦而止步不前。這里串講一下數學流派，尤其是十大學派和三大學派。介紹二十世紀中前期的近代數學流派之前，我想先提一下數學的“學派”。數學學派比數學流派要多的多。一個學派往往是很多知名的數學家在一個共同的地方，做出一系列的研究，并堅持一定的學派風格。在《基礎教育百科全書·數學卷》提到的數學學派有：伊奧尼亞學派、畢達哥拉斯學派、詭辯學派、智人學派、埃利亞學派、原子論學派、雅典學派、柏拉圖學派、亞里士多德學派、亞歷山大里亞學派、哥廷根學派、柏林學派、彼得堡學派、意大利代數幾何學派、法國函數論學派、直覺主義學派、邏輯主義學派、形式主義學派、普林斯頓學派、莫斯科學派、函數論學派、拓撲學派、劍橋分析學派、波蘭學派、華沙學派、利沃夫學派、布爾巴基學派等。可以看到，中世紀以前的數學學派和哲學學派幾乎是重合的。通過學習《西方哲學史》可以了解到很多相關的東西。數學本身源于自然哲學。當數學科學逐漸從哲學中分離出來，但是數學基礎仍然帶有濃厚的哲學味。關于每個學派，都有一段很長的故事，其中的每個數學家都有很多激動人心的作品，和帶有傳奇色彩的故事。看M.克萊因的四卷本《古今數學思想》和E.T貝爾的《數學精英》，我們可以了解到很多數學家的故事。直至近代，通過參閱《當代數學精英－菲爾茨獎獲得者傳》，和《當代數學大師:沃爾夫數學獎得主及其建樹與見解》等書，可以對20世紀以來的數學有大概的了解。莫斯科學派和哥廷根學派都曾經云集過一大批著名的數學家，有長久的數學歷史傳統和深刻的數學文化。關于哥廷根學派：哥廷根學派是在世界數學科學的發展中長期占主導地位的學派，該學派堅持數學的統一性，思想反映了數學的本質，促進了數學的發展。高斯開始了哥廷根數學學派的起始時代，他把現代數學提到一個新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比繼承了高斯的工作，在代數、幾何、數論和分析領域做出了貢獻，克萊因和希爾伯特使德國哥廷根數學學派進入了全盛時期，哥廷根大學因而也成為數學研究和教育的國際中心。哥廷根學派是世界數學家的搖籃和圣地，但希特勒的上臺，使它受到致命的打擊。大批猶太血統的科學家被迫亡命美國，哥廷根數學學派解體。【1】【1】『注』這里只需列出一張從德國(包括奧地利、匈牙利)到美國避難的數學家和物理學家的部分名單，就可見人材轉移之一斑了。愛因斯坦(1879～1955，偉大的物理學家)；弗蘭克(J．Franck，1882～1964．1925年獲諾貝爾物理學獎)；馮·諾依曼(1903～1957，杰出數學家之一)；柯朗(1888～1972，哥廷根數學研究所負責人)；哥德爾(1906～1976，數理邏輯學家)；諾特(1882～1935，抽象代數奠基人之一)；費勒(W．Feller，1906～1970，隨機過程論的創始人之一)；阿廷(1896～1962，抽象代數奠基人之一)；費里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，應用數學家)；外爾(1885～1955，杰出的數學家之一)；德恩(1878～1952，希爾伯特第3問題解決者)；此外還有波利亞、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)等等。
關于莫斯科學派：百年來，蘇俄涌現了上百位世界一流的數學家，其中如魯金，亞歷山德羅夫，柯爾莫戈羅夫，蓋爾范德，沙法列維奇，阿洛爾德，諾維可夫，李雅普洛夫，菲赫金哥爾茨，科瓦列夫斯卡婭等都是響當當的數學大師。而這些優秀數學家則大多畢業于莫斯科大學。莫斯科大學所涌現的優秀數學家其數量之多，質量之高，恐怕除了19世紀末20世紀初的哥廷根大學。在20世紀就再也沒有哪個大學敢與之相比了，即使是赫赫有名的普林斯頓大學也沒有出過這么多的優秀數學家，莫斯科大學是當之無愧的世界第一數學強校。莫斯科學派我最欣賞里面的阿諾爾德。他寫的書都深入淺出，把高深的數學理論用簡單的數學語言寫出來，并舉出很多生活中的實例，與數學理論相聯系。他是個對數學理解非常深刻的數學家。看他的作品非常的享受，如《常微分方程》、《動力系統》、《經典力學的數學方法》。關于中國數學學派：很遺憾的是中國還未嘗有過什么著名的數學學派，更不談流派了。中國的數學發展，需要更多人投入和奮斗。沒有數學理論，科學、技術、專業都無法形成高級認知、理論表達。下面要談到的數學十三大流派中，涉及了很多當時世界上一流的數學家，邏輯學家，哲學家。他們為數學基礎的完善做出了巨大的貢獻，在這里我們向他們致以崇高的敬意。德國19世紀20年代到20世紀20年代，由高斯創始，黎曼、克萊因、希爾伯特等人發展致盛，在世界數學史中長期占主導地位的學派。哥廷根學派強調數學的統一性，重視純粹數學和應用數學，將數學理論與近代工程技術緊密結合。哥廷根學派“兵多將廣”且代代相接，學科齊全且長期保持著高度創造力。然而到20世紀30年代，納粹執政后的瘋狂民族主義導致該學派日漸衰退。高斯早年就學于哥廷根，并在哥廷根擔任天文臺臺長和天文學教授，其《算術研究》和《曲面的一般研究》分別成為數論和微分幾何的奠基著作。黎曼也曾就讀哥廷根大學，1851年獲博士學位，后留校任教授。黎曼是復變函數論的創始人之一，以他名字命名的黎曼積分、黎曼曲面、黎曼幾何分別推動了積分理論、拓撲學和幾何學的發展。克萊因1886年受聘于哥廷根大學，為學派的組織健全、人員匯集和理論發展做了大量工作。例如組織了許多討論班，造成相互合作、民主自由的學術氣氛；在《新的幾何研究成果的比較分析》中提出的“埃爾朗根綱領”，成為數學統一性的代表作，影響了學派的后繼工作。希爾伯特1895年應召到哥廷根后，在代數數論、幾何基礎、分析學、理論物理和數學基礎等方面做出巨大貢獻。希爾伯特注重數學與物理等學科的聯系，他新的統一觀點促進了20世紀數學的進展。諾特1916年到哥廷根后，創立了抽象代數學。并主持有關討論班，培養了大量近現代數學家，進而影響到法、蘇、美、英國的數學發展。哥廷根學派的沒落，是受到德國對猶太裔的排斥，這讓其他國家，尤其是美國人撿了大便宜：希特勒的種族主義，驅趕猶太裔數學家，葬送了帝國的數學中心。只剩下了實用技術。19世紀下半葉到20世紀初，德國柏林興起的數學學派，其代表人物為外爾斯特拉斯、弗羅貝尼烏斯、基靈等人。柏林學派主要從事數學分析、符號代數和幾何基礎方面的研究。雖然柏林學派不受限于共同的研究方向，但有著一致的哲學觀點，指導研究工作。1856年，外爾斯特拉斯受聘到柏林大學執教，在數學分析的嚴密化方面做出了重要貢獻，給出連續、一致收斂等基本概念及其應用；在橢圓函數、行列式、線性代數、變分法等領域也取得豐富成果，成為該學派的帶頭人。1867年，弗羅貝尼烏斯和基靈進入柏林大學學習，在外爾斯特拉斯指導下獲博士學位。弗羅貝尼烏斯繼承了外爾斯特拉斯有關初等因子的理論，獨立引入符號矩陣代數，創造了型的符號代數。基靈則對外爾斯特拉斯有關幾何基礎方面，做出了獨特的研究，創立了李代數的結構理論和環與代數的結構理論。19世紀下半葉到20世紀初，在俄國圣彼得堡城興起的學派，其代表人物為切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人。彼得堡學派的主要特征是數學理論與實際應用緊密地結合，并在應用數學中做出了較大貢獻。切比雪夫作為學派的創始人，一生在數論、概率論、函數逼進論、機械原理和積分學等領域共發表70余篇論文；自1847年起一直在圣彼得堡大學任教，培養出大批優秀學生并逐漸形成了學派。馬爾可夫早年在圣彼得堡大學受教于切比雪夫，后留校任教授。他的《差分學》和《概率論》已成為經典著作，其中馬爾可夫過程也已發展成概率論的一個新分支。同樣作為切比雪夫學生的李亞普諾夫，在概率論中給出了中心極限定理的簡潔證明，并對運動穩定性理論提出許多新的解決方法。彼得堡學派是俄國(蘇聯)最早的數學學派，對蘇聯近代數學的發展產生過巨大影響。20世紀中，圣彼得堡(列寧格勒)又出現了坎托羅維奇等現代數學家，他們在繼承和發展彼得堡學派的理論及傳統方面做出了的貢獻。19世紀60年代興起于意大利，由布廖斯基、貝蒂和克雷莫納“掌門”。該學派的工作在性質上屬于古典代數幾何，有著自己的風格和研究主題，代表了代數幾何發展中的幾何傾向，對意大利數學的全面發展有深遠影響。19世紀50年代開始，意大利數學家與歐洲數學有了廣泛交流，使意大利擺脫了閉塞落后的局面。1863年，波倫亞大學的數學教授克雷莫納給出平面曲線一般變換理論的闡述，此后又發展了被稱為克雷莫納變換：任意維射影空間的射影平面與有理平面的雙有理變換理論。他的一系列工作成為意大利代數幾何研究的起點，并激發了許多數學家的研究。19世紀90年代后，意大利第二代代數幾何學家成長起來，其中塞格雷于1894年擴展應用了曲線族中曲線在一條曲線上截得點的線性系的思想，啟示后人發現許多新的雙有理不變性質。19世紀末卡斯泰爾諾沃與恩里克斯開始合作，以線性系為中心概念進行研究。利用克雷莫納變換奠定了代數曲面中曲線的線性系理論，并對曲面分類理論進行了深刻的研究。塞維里師從塞格雷，完善了代數曲面雙有理不變量理論，并推廣到任意維代數族上。他還建立了代數幾何中的基礎理論，為代數曲面上零維團鏈理論打下了基礎。19世紀末興起于法國巴黎高等師范學校，以阿達馬、波萊爾、貝爾、勒貝格等人為代表。法國數學在18世紀末到19世紀30年代，在分析、幾何和數學物理方面取得巨大成就。19世紀末法國數學重新崛起，阿達馬在函數論領域做了開創性工作，成為學派的精神領袖，并在20世紀初開辦討論班，培養了一批優秀數學家。波萊爾1897年任巴黎高等帥范學校講師，其《函數論教程》闡述了測度理論，并給出覆蓋定理的一個新證明。他編輯的“函數論著作叢書”先后出版約50本，其中包含了將集合論用于實變函數論和復變函數論的新思想。1899年貝爾研究了連續函數的極限函數的特殊問題，并發展了半連續概念，此后集中研究非連續函數，成為實變函數論的開拓者之一。1897年勒貝格畢業于巴黎高等師范學校，兩年后開始發表有關函數分類的文章，1902年在博士論文《積分、長度與面積》中詳細闡述了勒貝格積分概念，成為現代積分論的開端。后又在《積分與原函數的探索》中證明了有界函數黎曼可積的充分必要條件是不連續點構成一個零測度集，完全解決了黎曼可積性問題，為實變函數論打下堅實的基礎。在20世紀初，法國函數論學派吸引了世界各地的學生，推動了世界函數論的發展。第一次世界大戰使法國科學研究遭受重創，函數論學派的沒落。法國數學在戰后逐漸轉向應用領域和公理化方法。美國數學在19世紀后期才逐漸與歐洲數學接軌，而普林斯頓學派于20世紀初興起于美國普林斯頓，并一直延續到20世紀50年代，以范因、維布倫、外爾、莫爾斯等人為代表。普林斯頓學派既在微分幾何與拓撲學的傳統優勢中引進新的工具，又開拓數學物理等新領域。以優勢學科帶動其他學科全面發展，以數學理論研究推動科學應用，并廣泛開展國際交流與合作，是現代數學的發展的一種非常成功的模式。普林斯頓作為世界新的數學中心，得益于德國對猶太裔的排斥，更多詳情可參考：6個研究員，1個世界級數學中心，長盛不衰的普林斯頓。20世紀初的蘇聯在莫斯科創立的學派，又細分為兩個側重不同的學派：由葉戈洛夫和盧津創始，柯爾莫哥洛夫等人發揚光大的函數論學派；以亞歷山德羅夫、烏雷松、龐特里亞金等人為代表拓撲學派。莫斯科學派直接代表了蘇聯近現代數學發展的水平。盧津是葉戈洛夫的學生，曾到法國和德國學習，后在莫斯科大學講座實變函數論，并寫有實變函數論教科書。他曾證明可測函數的構造等定理。柯爾莫哥洛夫在數論方面做了大量工作，并應用實變函數論和測度論將概率論建立在嚴格的數學基礎上。亞歷山德羅夫和烏雷松也都是盧津的學生，早年從事函數論研究，后轉向拓撲學，成為20世紀該學科的先驅。烏雷松開創了維數理論的研究，為發展一般拓撲學做出了杰出貢獻。龐特里亞金參加了亞歷山德羅夫組織的拓撲學討論班，他寫了幾本重要的拓撲學專著，且在應用數學領域取得較大成就。莫斯科學派將函數論作為工具，在拓撲學、微分方程、概率論等幾個方面都獲得長足發展，其中有較著名數學成果的還有索伯列夫的現代微分方程理論、辛欽的概率研究、蓋爾范德的泛函分析與代數成就等。近年來莫斯科數學界仍然新人輩出，在他們中諾維科夫和馬爾庫利斯分別榮獲1970年和1978年度菲爾茲獎。20世紀上半葉以英國劍橋大學為中心興起，以哈代和李特爾伍德為代表的學派。劍橋大學自牛頓時代開始一直是英國的數學中心，而數學在其教學體制中又占有重要地位。1837年，劍橋數學雜志創刊，供年輕數學家發表研究成果。19世紀下半葉，凱萊、福賽思、霍布森等人的工作成為劍橋分析研究的先驅，哈代1900年畢業于劍橋大學三一學院，后留校執教，他的《純粹數學教程》是一本嚴格的初等分析教程，產生了較大影響。1910年，李特爾伍德成為哈代的同事，1912年開始與哈代聯名發表論文，35年中在丟番圖逼近、數的加性和積性理論、黎曼函數、不等式、積分、三角級數等分析領域合作論文近100篇。1913年，哈代發現了印度天才數學家拉馬努金，并與拉馬努金在素數分布、加性數論、廣義超幾何級數、橢圓函數、發散級數等方面也有成功的合作。在此期間，哈代和李特爾伍德的教學激發了許多學生對分析學的興趣。到20世紀30年代，兩人共同主持的聯合討論班培養了遍及世界各地的學生，也為訪回劍橋的數學家提供了學習良機，比如著名的數學家楊、托德、華羅庚、烏拉姆等人。劍橋分析學派將嚴密化的分析及積分方程、測度等工具用于數論、函數論研究，發展起圓法等重要的分析方法，并解決了一大批數學問題。這種將純粹數學與應用數學互相補允、共同發展的風格擴大到分析學的研究領域，促進了數學各分支的協調發展。波蘭學派興起于兩次世界大戰間，依據地點一般又細分為華沙學派和利沃夫學派。華沙學派以1920年創刊的《數學基礎》雜志為形成標志；利沃夫學派則以1929年創刊的《數學研究》雜志為代表。兩學派的成員分別在兩份雜志上發表文章，兩份雜志也因此成為了國際上重要的數學雜志。謝爾品斯基、尼謝夫斯基、馬祖爾克維奇是波蘭學派的創始人。他們都曾在華沙大學工作，一起創辦了《數學基礎》，貢獻領域主要在集合論和拓撲學。同時非常注意科學團體的組織建設，以學派刊物為中心，吸引和培養了一大批優秀的數學家。利沃夫學派的代表人物是巴拿赫、施坦豪斯、庫拉托夫斯基、烏拉姆等人，他們先后學習或執教于利沃夫技術大學，主要是對泛函分析學科的創立和發展做出了貢該。學派常在一個“蘇格蘭咖啡館”中聚會，提出和討論數學問題，其中不乏影響到20世紀后半葉數學發展的問題。除此之外，波蘭學派的成員還遍及克拉克夫和波茲南，也促進了波蘭數學會及其他科學機構的組建。由于第二次世界大戰納粹的占領，波蘭學派隨之衰退，幸好戰后得到數度復興。20世紀30年代出現于法國，由一群青年數學家組成，借用尼古拉·布爾巴基為集體的筆名，發表數學論文和有關數學基礎問題的專著。這群青年在廣泛深入地研究現代數學本質的基礎上，提出用數學結構的觀點對各數學分支進行統一處理，并為此撰寫了鴻篇巨著《數學原理》。該書自1939年開始出版以來，已先后出版了近40卷，并陸續被譯成英、日、俄等多國文字。同時，還發表500多篇綜述當代數學各個領域重大成果的文章。因為第一次世界大戰，戰后的法國數學界，出現了青黃不接的局面：老一輩數學家對當代數學所知甚少，年輕大學生的求知欲得不到滿足。于是，1934年冬，一些高等師范學校畢業的年輕數學家自發地組織起來，約定1935年7月在巴黎召開第一次布爾巴基大會，并計劃編寫《數學原理》。這些年輕的數學家包括韋伊、迪厄多內、嘉當、謝瓦萊、德爾薩特等人，成了布爾巴基學派的第一批主要成員。該組織每年舉行數次討論班式的聚會，探討數學發展動向，運用公理化方法研究整個數學的基礎和本質。會議沒有任何程序，參加者可自由地踴躍發言。學派中的成員被要求必須具備較高的數學造詣和獨立解決問題的能力，且對自己研究的課題懷有強烈的興趣。他們治學態度嚴謹，對一部著作要經過反復修改，直到大家基本滿意。因此一本書從動筆到正式出版平均要8一10年。為了保持組織的青春活力，學派中有個不成文的規定：凡年滿50歲者必須退出。有許多學派的老一代成為了國際著名的數學家，較年輕的也有不少是優秀的數學家，如獲得過國際數學家大會頒發的菲爾茲獎的施瓦爾茨、塞爾、格羅騰迪克等人。《數學原理》博大精深常，書中堅持嚴格的公理化原則，并使用新穎獨特的名詞術語，其理論體系以“分析的基本結構”為基礎，內容包括集合論、代數學、一般拓撲學、實變函數論、拓撲向量空間、積分論。此外，還有李群與李代數、交換代數、譜理論、微分流形與解析流形等分冊，書中強調數學是一門統一的結構性科學，具有三種基本結構：代數結構、序結構和拓撲結構。數學中的不同分支都是其組成部分。該觀點對于豐富人們對數學的認識，推動數學的發展有重要意義，同時也影響了世界各國的數學教育。20世紀初，直覺主義學派、邏輯主義學派和形式主義學派這3個學派，都是為解決數學基礎爭論而建立起來的。對于這三個學派，可參考閱讀：現代數學三大學派：“八仙過海，各顯神通”，解決數學基礎問題。二十世紀中前期的三大數學流派簡介
邏輯主義、形式主義和直覺主義三大數學流派是圍繞數學的哲學基礎問題，進行的不同探討而形成，主要是在1900年到1930年這三十年間。代表人物有羅素、希爾伯特、布勞威爾。
十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響導致了第三次數學危機。羅素悖論使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派。集合論在19世紀末由康托建立后，集合概念成為最基本、應用最廣的一個概念，人們曾經相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。1900 年，在巴黎召開的國際數學家大會上，龐加萊曾滿懷信心的說：“ 現在我們可以說，完全的嚴格化已經達到了。” 可是這話說出后還不到3 年，英國數學家羅素于1902年給德國數學家弗雷格的信中提出一個集合悖論，使數學基礎發生動搖，用弗雷格的話說：“突然它的一塊基石崩塌下來了。”羅素的集合悖論：
集合可以分為兩類：第一類集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如當時人們經常說的“所有集合所成的集合”；第二類集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直線上點的集合。顯然，一個集合必須是并且只能是這兩類集合中的一類。
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的元素所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。
在某個城市中有一位理發師，他是這樣說的：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，這位理發師能不能給他自己刮臉？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。集合論中為什么會產生矛盾這個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬于數學哲學的范疇。從1900年到1930年的30年間，許多數學家卷入了一場關于數學哲學基礎的討論，并逐漸形成不同的數學基礎學派的爭論，主要有邏輯主義、形式主義和直覺主義三個學派。在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在于證明“數學和邏輯是全等的”這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則推導出來。
邏輯主義的形成究其本原可以追溯到萊布尼茲時代，他把邏輯學想象成一種普遍的科學，這種科學包括構成其它所有科學的基礎的一些原則，這種邏輯學先于一切科學的觀點，即是邏輯主義思想原則的萌芽。但他并未能開展這一方面的工作。到了19 世紀，戴德金、弗雷格和皮亞諾等人繼承萊氏先志，逐步發揮，并且都取得了不小的成就。邏輯主義的主要代表人物是英國著名的數學家、哲學家和邏輯學家羅素，他與懷特海于1913年完成了邏輯主義的經典代表作---《數學原理》。作者企圖在這3卷本的數學巨著中向人們說明：全部數學可以以一個邏輯公理系統嚴格推導出來，也就是說可以從邏輯概念出發用明顯的定義得出數學概念；由邏輯命題開始用純邏輯的演繹推得數學定理。從而，使全部數學都可以從基本的邏輯概念和邏輯規則而推導出來。這樣，就可以把數學看成是邏輯學延伸或分支。所以，羅素說：“邏輯學是數學的青年時代，而數學是邏輯學的壯年時代。”、“數學即邏輯。”羅素在他的《數理哲學導論》一書中進一步的闡述了他的主張：“ 通過分析來達到越來越大的抽象性和邏輯簡單性，要研究我們能否找到更為一般的思想原則，以這些思想和原則出發能使現在作為出發點的東西得以被定義和演繹出來” 。那么是什么樣的思想原則？羅素接著說：“ 應當以一些已被普遍承認了的邏輯的前提出發，再經過演繹而達到那些明顯的屬于數學的結果。” 即把數學化歸于邏輯，這是他的基本觀點。在《數學原理》中，羅素和懷特海曾通過純邏輯的途徑再加上集合論的選擇公理和無窮公理把當時的數學嚴格的推導了出來，獲得成功。故羅素宣稱：“ 從邏輯中展開純數學的工作，已由懷特海和我在《數學原理》中詳細的做了出來。” 但是，事實并非如此，羅素從一個邏輯系統推導數學時使用了集合論的選擇公理和無窮公理，這是不可缺的，否則不能完成。不用無窮公理則自然數系統就無法構造，更不要說全部數學了。所以，羅素并沒有將數學化歸為邏輯，而是化歸為集合論。要從邏輯推出全部數學，就必須發展集合論，而集合論是自相矛盾的，沒有相容性的，但是，在邏輯系統中是不允許有矛盾的，因此，必須排除悖論。可后來羅素與懷特海所做的工作并沒有很好的解決這個問題，進而遭遇了不少困難。數學基礎學家一般都不接受“數學就是邏輯”的觀點；同樣也不能接受“一切數學思維都是邏輯思維”的說法。但是，盡管如此。羅素與懷特海合著的《數學原理》一書在20世紀的科學技術發展中影響很大。它以當時最嚴格的形式化的符號語言來陳述作者建立的邏輯體系、定義和定理，從而標志符號邏輯方法的成功。并顯示了數學的邏輯基礎研究的意義，因而進一步的顯示了現代邏輯的科學意義。《數學原理》一書成為名著。盡管邏輯主義的主張不能實現，邏輯主義的數學觀不能為數學基礎學者所廣泛接受，但此書在方法論上的意義是不可忽視的。他們相當成功的把古典數學納入了一個統一的公理系統，使之能從幾個邏輯概念和公理出發，再加上集合論的無窮公理就能推出康托集合論、一般算術和大部分數學來。這把邏輯推理發展到前所未有的高度，使人們看到，在數理邏輯演算的基礎上能夠推演出許多數學內容來，形成了集合論公理系統的邏輯體系，這在邏輯史上是一件大事，對數理邏輯后來的發展起了決定作用，是近代公理方法的一個重要起點。一般認為形式主義的奠基人是希爾伯特，并把希爾伯特的數學觀和數學基礎稱作為“形式主義”，羅素和布勞威爾都稱希爾伯特為形式主義的代表人物，但他們是指希爾伯特奠定數學基礎的形式化方法，不一定是指他的某種主張。而希爾伯特本人并不自命為形式主義者，他的學生貝爾奈斯也不認為希爾伯特是形式主義者。希爾伯特建議兩條最基本的原則：
一、形式主義原則：所有符號（如x,e,π…）完全看做沒有意義的內容，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式對象，研究它們的結構性質；
二、有限主義原則，即總能在有限機械步驟之內驗證形式理論之內一串公式是否一個證明。應用數學方法于這樣一個形式理論，避免涉及無窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個思想是只應用靠得住的方法，因為要證明數學或其一部分無矛盾的方法是大家公認可靠的，整個數學才有牢固的基礎。
形式主義理論體系是在非歐幾何產生之后，在數學和數學哲學研究中彌漫的“重建數學基礎”的氣氛中形成的。當非歐幾何得到人們的承認，亦即當得出互相矛盾的定理的兩種幾何都證明了不自相矛盾的時候，人們便要問：數學的真理體現在那里？試想，一種幾何說，過直線外一點只能作一條直線不與原有的直線相交；另一種幾何說，過直線外一點至少可作兩條直線不與原有的直線相交；還有一種幾何說：過直線外一點不可以做任何直線于原有的直線不相交。這三種幾何不是互相打架了嗎？理應至少有兩個是錯誤的，為什么三個幾何都成立呢？德國著名數學家希爾伯特主張，保衛經典數學和經典的數學方法，并且發展他們。他認為，經典數學，包括由于集合論的出現而發展起來的新的數學方向，都是人類最有價值的精神財富；為了在數學中避免出現悖論，就設法絕對的證明數學的無矛盾性，使數學奠定在嚴格的公理化的基礎上，數學的公理和邏輯推理就像天文學家手中的望遠鏡那樣重要，是不能丟棄的。為了實現這一目的，希爾伯特在1922 年提出了著名的希爾伯特計劃。希爾伯特計劃的主要思想就是：奠定一門數學的基礎，應該嚴格的、數學的證明這門數學的協調性（即無矛盾性或一致性、相容性）；希爾伯特計劃的數學內容就是數理邏輯中的證明論。希爾伯特與貝爾奈斯合著的兩卷《數學基礎》是希爾伯特計劃的代表作。希爾伯特計劃，將各門數學形式化，構成形式系統，然后用一種初等方法證明各個形式系統的相容性，即無矛盾性，從而導出全部數學的無矛盾性。他區分了3種數學理論：1.直觀的非形式化的數學理論；2.將第一種數學理論形式化，構成一個形式系統，把直觀數學理論中的基本概念轉換為形式系統中的初始符號，命題轉換為符號公式，推演規則轉換為符號公式之間的變形關系，證明轉換為符號公式的有窮序列；3.是描述和研究第二種數學理論的，稱為元數學、證明論或元理論。元數學是以形式系統為研究對象的一門新數學，它包括對形式系統的描述、定義，也包括對形式系統性質的研究。形式主義的提出是數學發展史上最重要的轉折點，它標志著元數學的建立。從此，數學的發展進入研究形式系統的新階段。這里我們要說明一點：形式主義和邏輯主義一樣，都從公理系統出發，不同點是：邏輯主義者當追到邏輯公理系統時，不再持有原來的對公理體系的觀點，而要求邏輯公理系統具有內容，而且想方設法探求邏輯規律的真理性究竟體現在什么地方，形式主義者則不然，他們認為數學的公理系統或邏輯的公理系統，其中基本概念都是沒有意義的，其公理也只是一行行的符號，無所謂真假，只要能夠證明該公理系統是相容的，不互相矛盾的，該公理系統便得承認，它便代表某一方面的真理。連邏輯公理系統也認為是沒有內容的，不能由內容方面保證其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作為真理所在了。希爾伯特原來設想，數學的相容性證明可以限于有窮的構造性方法范圍之內。但是研究表現，這個范圍應當加以擴充。哥德爾的不完備性定理說，“任何一個相容的數學形式化理論中，只要它強到足以在其中定義自然數的概念，就可以在其中構造在體系中既不能證明也不能否證的命題。” 、“任何相容的形式體系不能用于證明它本身的相容性”。這個定理徹底粉碎了希爾伯特的形式主義理想。但是希爾伯特的數學基礎思想卻發展了元數學，這就把形式心理學向前推進了一步，促進了數學的發展。元數學（證明論）已發展為數理邏輯的四大分支之一。形式主義的代表人物有美國數學家魯濱遜和柯恩等人。他們認為：數學應該被看作一種純粹的紙上符號游戲，對這種形式的唯一要求是不會導致矛盾。但是，這種形式主義思想顯然與希爾伯特的主張是不同的。直覺主義的奠基者和代表人物是荷蘭數學家布勞威爾。在數學哲學中，直覺主義，或者新直覺主義 (對應于前直覺主義),是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價于它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對于直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造，還有什么其它法則可以用作真實性的檢驗（如同直覺主義者會爭論的一樣)？這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。例如，說A 或 B, 對于一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。特別的有，排中律, A 或非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否定。(參看直覺邏輯.)直覺主義也拒絕實際無窮的抽象；也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為構造主義集合論和構造主義分析。直覺主義的思想可以追溯到亞里士多德時期，亞里士多德是歷史上第一位反對實無窮，只承認潛無窮的哲學家。直覺主義的哲學觀點則是直接淵源于康德和布勞威爾的自然數源于“原始直覺”，即是康德的“自然數是從時間的直覺推演出來”的主張。19世紀的克羅內克強調能行性，說當時好些定理都只是符號的游戲，沒有實際意義。他認為：“上帝創造了自然數，別的都是人造的。而整數在直觀上是清楚的，故可以接受，其他則是可疑。” 其意是說，只有自然數是真實存在，其余都只是人為做出的一些文字符號罷了。他還主張在自然數的基礎上來構造整個數學。20 世紀初，龐加萊亦持自然數為最基本的直觀及潛無窮的主張。其他如包瑞爾、勒貝格、魯金等半直覺主義或法國經驗主義亦強調能行性的觀念。他們公開否認選擇公理，認為根據選擇公理而作的集合，根本沒有能行性，不能承認其存在。他們提出能行性的概念，沒有能行性的便不承認其存在。他們都是直覺主義的先驅。所有這一切，都為布勞威爾的直覺主義提供了直接的前提，布勞威爾集其先驅們之大成，系統的提供了直覺主義的主張。直覺主義的奠基人和代表人物是荷蘭數學家布勞威爾, 從1907 年布勞威爾的博士論文《數學的基礎》開始，直覺主義者逐步系統的闡述了他們的數學觀和重建數學基礎的主張。他提出一個著名的口號：“存在即是被構造。”他認為，人們對數學的認識不依賴于邏輯和語言經驗，而是“原始直覺”（即人皆有的一種能力），純粹數學是“心智的數學構造自身”、是“反身的構造”，它“開始于自然數”，而不是集合論。這種數學構造之成為構造，與這種構造物的性質無關，與其本身是否獨立于人們的知識無關，與人們所持的哲學觀點也無關。構造物應該怎樣就怎樣，數學判斷應該是永恒的真理。因此，布勞威爾不承認有客觀存在的、封閉的和已完成的實無窮體系。實無窮論者認為“ 自然數全體” 就是指自然數集{0，1，2，3，……} ，這是一個確實存在了的完成了的集合，可以而且應該作為數學研究的對象。潛無窮論者否認實無窮，認為無窮只是潛在的，并不是已完成了的封閉實體，只是就其發展來說是無窮的。在他們看來，自然,0，1，2，3，……只能是永遠處于不斷被構造和生成的過程，而不是完成了的、封閉實體。布勞威爾對數學對象的觀點直接導出了他對數學所用的邏輯觀點；認為“ 邏輯不是發現真理的絕對可靠的工具” ，并認為，在真正的數學證明中不能使用排中律，因為排中律和其他經典邏輯規律是從有窮集抽象出來的規律，因此不能無限制的使用到無窮集上去。同樣不能使用反證法。直覺主義對20世紀數學的發展產生很大的影響。本世紀30年代以后，由于哥德爾的工作，許多數學家開始重視直覺主義。數學家們紛紛嘗試用構造法建立實數理論、數學分析以至全部數學，得出不少重要結果。構造性數學已經成為數學科學中一個重要的數學學科群體，與計算機科學密切相關。1967年，美國數學家畢肖普完成并出版《構造性分析》一書，開始了直覺主義學派的構造主義時期。歷史證明，三大流派都有各自的優點和缺陷，但是他們彌補了數學基礎的很多不足，為數學的嚴密性提供了更加精確的符號和語言。而更為專業的前十大流派則代表了數學專業學者的中流砥柱。希望中國數學可以真正發展起來。--------------------
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1. 原究盡數學. 近代數學史上的13個學派. [EB/OL], 百家號, https://baijiahao.baidu.com/s?id=1668112478745604755,發布時間：05-3018:53; visit date:2020-10-16-Fri.
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x. 秦隴紀. 西方哲學與人工智能、計算機; 人工智能達特茅斯夏季研究項目提案(1955年8月31日)中英對照版; 人工智能研究現狀及教育應用; 計算機操作系統的演進、譜系和產品發展史; 數據科學與大數據技術專業概論; 文本數據溯源與簡化. [EB/OL], 數據簡化DataSimp(公號), https://dsc.datasimp.org/, http://www.datasimp.org,2017-06-06.
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秦農跋
科學傳入中國一百多年，大眾沒有普遍接受。國人對自然和社會的各種認知，依然停留在語言思維層次；而各種訴求均直奔結果，忽視基礎、過程和環境。四百年前的歐洲人膚淺地盲信盲從一言蔽之的思辨道理，如神話傳說、宗教信條、世俗權威、家庭說教等故事來認知世界；而哥白尼、牛頓、馬可尼、特里維西克、法拉第、麥克斯韋、居里夫婦、愛因斯坦等理性之人，分析具體現象、確定問題、測量數據，用數學表達出一定理論學說、發掘一定自然規律。1687年7月5日，艾薩克·牛頓(Isaac Newton)闡述三大運動定律的《自然哲學的數學原理》(Mathematical Principles of Nature Philosophy現常簡稱《原理》)出版，完成近代科學革命，奠定古典物理和現代工程學基礎。近四百年，牛頓等科學家引領的自然科學研究，使西方文明從古希臘、文藝復興后脫胎換骨，開啟人類文明最強引擎，引領人類認知快速發展。
數學是科學之母。科學的目標是找到一定的自然社會規律；科學的方法是觀察、測量和驗證；科學的精神是假設、證明和質疑；科學理論的本質是科學家對自然社會做出定性又定量的數學描述和解釋；科學實驗是驗證一定現象背后的確定規律或理論假說，由針對性的觀察、測量技術支持，科學和技術是相輔相成、不可分割的。而技術的本質是物理化學類機械工具技能，不是語言文字和思想意識。
科學是建立在數學和測量數據基礎之上璀璨的人類文明，但有其范圍并非萬能。人類認知的高級階段是在道德、哲學、數學、邏輯、數據等思維層次，對初級的感覺、情緒、外表、印象、語言、記憶等自然社會現象認知，做出更為深刻、理性、智慧和長久的判斷和總結。高級認知對錯交織但形態穩定，主要存在于宗教、藝術、技術、科學等領域，并且不能替代低級認知。若無數學理論支持的科學認知，僅有語言思維來總結自然社會現象，將止步于寬泛膚淺的語言思辨道理。基礎教育如果停留在語言道理或代替設計實驗、工程實踐的文化知識，則會形成新的認知愚昧。但若罔顧人情社會，用科技手段無所不做、走向某些錯誤極端，將付出更加沉重的代價。不論什么認知和思想，都不能代替或凌駕于現實世界和自然人。
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