為什么形而上學需要邏輯學而數學則不需要（此文觀點很顛覆！）
作者簡介：（美）克尼里斯·德·瓦（Cornelis de Waal）教授是皮爾士編輯項目的副編輯，他在這個項目中負責《查爾斯·S.皮爾士著作》一書的編輯，這套長達30卷的巨著現正由印第安納大學出版社出版發行。他撰寫了幾部有關美國哲學的專著，其中的《論皮爾士》一書已出版中文譯本（郝長樨譯，中華書局2003年版）。目前他正在與中國社會科學院的江怡研究員合作，從事皮爾士主要作品的英漢對照本的翻譯出版工作。克尼里斯·德·瓦教授現任印第安納大學和普度大學（Indiana University－Purdue University Indianapolis）哲學系教授，并任該校研究生的“美國哲學”項目主任。關于這一項目的詳情，可以通過amphil iupui.edu與德·瓦教授本人聯系。——譯者原發期刊：《世界哲學》2005 年第 06 期 第 96-104 頁關鍵詞：皮爾士/ 數學/ 形而上學/ 邏輯學/ 實證科學/ 日常邏輯/ 學院邏輯/摘要：本文對皮爾士有關數學、形而上學和邏輯學之間關系的理論進行了辯護。與常識觀點不同，皮爾士認為，以學院邏輯為主的邏輯學是一門實證科學，它的任務在于對思想進行有效控制，以便獲得真理。數學不需要這樣的邏輯學，因為數學不是一種實證科學，它所關注的不是實證事實或真理，而是精確、清晰和連貫。數學是對經驗事實的理想化，因而它首先需要的是想象力、專注力和概括力。在皮爾士看來，科學的形而上學應該是一種探討經驗事實的實證科學，它需要邏輯學尤其是學院邏輯來加以控制，因而形而上學需要邏輯學。我在這里捍衛的觀點是（我認為這也是皮爾士的觀點），形而上學需要以邏輯學為基礎，而數學則不需要。根據皮爾士的觀點，形而上學非常依賴邏輯學。不了解邏輯規則的形而上學家必定會誤入歧途，因為他很容易癡迷于自己輝煌的思辨。有意思的是，正是出于保留這種輝煌的思辨的需要，才促使皮爾士對數學采取了完全相反的觀點。數學不應該以邏輯學為基礎，因為如果這樣做的話，對數學家來說將是一種過分的限制，并因此阻礙研究的道路。可以說，數學不需要邏輯學。的確，邏輯學可以為數學家提供有趣的資料，但是量子力學、象棋規則和柯尼斯堡的七座橋（seven bridges of Knigsberg，一種數學難題——譯者注）也都能夠做到這一點。然而，數學并不依靠邏輯學來確保自己推論的正確性。我們將表明，在與邏輯學的關系上，數學和形而上學之間是有區別的，這種區別是由這兩門學科所犯錯誤的不同直接造成的，而這些錯誤是由兩門學科的不同性質導致的。形而上學是一種實證科學，邏輯學也是，但是數學不是實證科學。
為了進一步證實和說明這一點，我們有必要對數學、形而上學和邏輯學之間的關系作一番廣泛的探討。為了很好地領會皮爾士對形而上學、邏輯學和數學之間關系的理解，為了很好地領會在這方面他與人們已經普遍接受的觀點之間的區別，我們將首先簡要地考察一下奧古斯特·孔德對科學的劃分，在皮爾士的時代，孔德對科學的劃分被認為是一種具有代表性的標準觀點，如果不是一種范式的話。接下來，我將大體上介紹一下皮爾士自己對科學的劃分，指出皮爾士與孔德之間的區別。在對這些背景知識作一番勾勒之后，我將詳細地敘述皮爾士所理解的數學、邏輯學和形而上學，以及它們之間的相互關系。我們將論證，為什么形而上學需要邏輯學，而數學不需要，另外，我們還將表明，數學和邏輯學在與形而上學的關系上有什么不同。從某種意義上說，皮爾士對科學的劃分是對孔德在他的六卷本《實證哲學教程》（1830—1842）（以后簡稱《教程》）中闡述的科學劃分的回應。因為不滿于對不可觀察的和不可證實的原因的解釋，孔德將實證哲學（或者實證科學）嚴格限定在對現象的描述上。如同他在《教程》中所說的那樣，“直到最終進入一種實證的狀態，人類的心靈才不再徒勞無益地探索絕對的觀念、宇宙的起源和歸宿，以及現象的原因，并將自身應用于對它們的規律的研究上，——也就是說，應用于對它們與連續性和相似性的永恒關系的研究上。”（注：《奧古斯特·孔德的實證哲學》第2卷，哈里特·馬蒂諾譯，倫敦：約翰·查普曼出版社，1853年版，第1—2頁。自此以后，該書將用PP來指代，冒號前后分別代表卷數和頁碼。）在對實證哲學進行了這樣的一番界定之后，孔德接下來將科學化分為抽象科學和具體科學兩種形式。第一種科學的目的在于發現我們所接觸到的現象中所存在的規則（或規律），第二種科學的目的在于研究這些規則如何被應用于特殊事例。根據孔德的方案，抽象的科學包括數學、天文學、物理學、化學、生物學和社會學，其中每后一種科學都依賴于前一種科學的原則。社會學所關注的是生物實體之間的關系問題，因而它依賴于生物學的發現；生物學的研究對象是物理客體，因而它依賴于物理學的發現；而物理學探討的是能夠被計算、被排列和被度量的對象，因而它依賴于數學的發現。這樣，在孔德看來，數學就是一種實證的科學。它像物理學和生物學一樣，同樣單純地關注對現象的描述。孔德認為，幾何學和力學應該“被看作是真正的自然科學，它們像其他科學一樣，是以觀察為基礎的，盡管通過對現象的極度簡化，它們也能夠被系統化， 從而達到一種更為完美的程度。”（PP 1:33）孔德繼續論證說，幾何學和力學所研究的現象“是所有現象中最一般的、最簡單的和最抽象的——這些現象不可還原為其他現象，它們也完全獨立于其他現象。”（PP 1:33）因此，在對科學的分類中，幾何學和力學應該被放在第一位。孔德之所以這樣安排數學在科學中的地位，一部分是由于他的實證主義觀點，一部分是出于他對數學本質的看法。對于孔德來說，數學是一種度量的科學，或者說，既然每種度量都會轉化成為數，因而數學是一種有關數的科學。在《教程》中，孔德解釋說，數學的對象是“對數量的間接度量，它試圖根據存在于它們之間的精確關系來確定彼此的數量關系。”（PP 1:38）由于數學是有關度量的最一般理論，因而任何對能夠被度量的現象的研究都要依賴于數學。如同孔德所說的那樣，“任何研究都會最終歸結為數的問題。”（PP 1:42）孔德將數學劃分為具體數學和抽象數學兩種形式。對于孔德來說，具體數學中所得出的結論仍然要依據所考察對象的性質，因而對象不同，結論也會不同。相反，在抽象數學中，結論完全獨立于所考察的對象。比如，在具體數學中，兩個雨滴加在一塊得到的仍然是一個雨滴，只不過是一個大一點的雨滴。相反在抽象數學中，一加一總是等于二，無論我們是將兩個雨滴相加，還是將兩件雨衣相加。孔德的觀點是很明確的，對他來說，數學是一種實證的或經驗的科學，它以最抽象的方式思考現象之間的數量關系。假定實證科學把現象之間的連續性和相似性的關系作為自己的唯一目標，那么，在孔德看來，由于數學恰好適合于量化這些關系，數學就成為了“整個自然哲學的真正基礎”。（PP 1：32）與孔德不同，皮爾士認為，數學不是一種實證科學。實際上，皮爾士正是通過嚴格區分了數學和實證科學，而開始了自己對科學的劃分。對皮爾士來說，實證科學是那些對事實問題做出論斷的科學，也就是說，實證科學試圖發現那些推理所無法獨自預見的結果，在這一點上皮爾士和孔德的觀點是一致的。但是，在皮爾士看來，數學不是一種實證科學，因為它并不關注實證事實。相反，數學僅僅局限于從完全假定的解釋中得出必然的結論，而毫不關心這些解釋是否能夠應用于實際的事物。實證科學中最為基本的是哲學，而皮爾士將哲學從專門科學中區分出來。各種專門科學，比如量子力學和分子生物學，要求專門的背景知識和專門的設備，而哲學研究的是那些每個人都會接觸到的實在的各個方面。皮爾士認為，哲學“滿足于對日常生活事實的更為廣泛的考察和比較，對于每個成熟的和健全的人來說，這些事實在他生活的每時每刻都是在場的。”（EP2：146）（注：《皮爾士精要》，皮爾士編輯項目編著，布盧明頓，1998年版。） 哲學不需要專門的設備、技術和背景知識。皮爾士又將哲學細分為現象學（皮爾士稱之為phaneroscopy）、規范科學（美學、倫理學和邏輯學）和形而上學。現象學研究的是我們在諸如感知、推理和做夢時呈現在我們心靈中的一切現象。規范科學則是將這些現象與某種理想聯系起來。對美學來說，這種理想就是美，對于倫理學來說，這種理想就是善，而對于邏輯學來說，這種理想便是真。最后一種哲學形式即形而上學，它試圖闡發一種對宇宙的總體觀念，以便為各種專門科學提供某種基礎。對皮爾士來說，形而上學非常接近于世界觀（Weltanshauung）。與孔德不同，在皮爾士看來，形而上學是一種實證科學。在形而上學之后便是各種專門科學，皮爾士將這些專門科學大體上劃分為自然科學和精神科學。接下來的問題是，數學如何與包括邏輯學和形而上學在內的實證科學相關聯。多年以來，人們一直試圖使數學建立在邏輯學、形而上學、現象學甚至心理學的基礎之上。為了了解這些觀點，讓我們簡要地對它們作一番考察：1.數學應該以邏輯學為基礎，這是邏輯主義的核心主張。根據其嚴格的闡釋，邏輯主義堅持，數學的公理可以從一套原始的、純邏輯的公理中演繹出來，數學實際上是邏輯學的一種合理延伸。也有人持一種相對溫和的立場，（例如）認為只有數的理論奠基于邏輯學之上。（注：參見蘇珊·哈克：《皮爾士與邏輯主義：初步說明》，載《皮爾士學會通訊》1993年第29期，第33—56頁。文中，蘇珊·哈克將皮爾士看作是一個溫和的邏輯主義者。另外，參見內森·豪澤：《論〈皮爾士與邏輯主義〉——對哈克的回應》，載同期《皮爾士學會通訊》，第57—67頁。） 然而，甚至在一種非常直觀的層面上，數學也似乎依賴邏輯學，因為任何數學的證明都似乎依靠邏輯學來確證自己的有效性。2.有人認為，如果說一切事物都奠基于形而上學之上的話，那么數學應該以形而上學為基礎。形而上學常常被看作是對第一原則的研究，或者根據另一種觀點，形而上學是對存在的最為抽象的研究。根據第一種闡釋，數學原則或者說是第一原則，因而是形而上學的一部分，或者說數學原則是派生出來的原則，因而是以形而上學為基礎的。根據第二種闡釋，由于數學對象屬于某種存在物，因而形而上學被看作是數學的基礎。3.還有一部分人傾向于將現象學看作是數學的基礎。如果說現象學是對呈現在我們心靈中的現象（無論是真實的現象還是虛假的現象，比如，夢境也屬于現象）的研究的話，那么，我們就很難否認，數學對象也屬于某種現象學的對象。4.最后，也有人認為，由于數學是一種精神的產物，因而它應該以心理學這門具體科學為基礎，而心理學是研究精神的運作方式，研究它的能力和局限性的。然而，我們也可以認為，在數學問題上堅持心理主義的大部分人，他們之所以這樣做，乃是因為他們（不言而喻地）將一種邏輯學上的心理主義和另一種認為邏輯學是數學基礎的觀點結合在了一起，在這種情況下，這后一種觀點也就會蛻變為第一種觀點。為了考察皮爾士是如何看待數學、邏輯學和形而上學之間的關系的，我將首先詳細地描述，在皮爾士看來，數學、邏輯學和形而上學分別代表了什么。然而，由于它們都被皮爾士看作是科學，因而，我們有必要首先討論一下皮爾士對科學的理解。對于皮爾士來說，科學并非是一種系統的知識總體，也不是一種被稱為“科學方法”的特殊方法。在他看來，科學應該是某種態度，也就是說，科學是“某種對知識的忘我的、審慎的和終生的追求；是一種對真理的獻身，而所謂的真理，它不是那種人類當下看到的真理，而是那種它還無法看到的真理。”（R 1126：08）（注：所有對皮爾士哈佛手稿的引用都根據羅賓（Robin）的目錄數碼，后面是德克薩斯技術大學的實用主義研究院所設置的頁碼。頁碼相當精確地反映了《皮爾士論文集》中手稿的順序，這里所說的論文集指的是33盤縮微膠片（劍橋，馬薩諸塞：哈佛大學圖書館，1963—1970）。另見理查德·羅賓：《皮爾士注解目錄》（阿姆赫斯特：馬薩諸塞大學出版社，1967年版）。） 如同皮爾士在其他地方所表述的那樣，科學不應該是“某種已經被確認的真理的系統匯總”，而應該是“科學倡導者的科學活動”（R17：06）。因此，在皮爾士看來，“科學”這個術語指的是任何一種活動，在這種活動中，追求科學的人出于某種真誠的欲望，試圖發現問題的真正答案。在一種更為有限的意義上，科學僅僅指的是那些單純追求真理的活動。這樣的話，偵破某宗謀殺案可以被看作是一種科學，但是，它不屬于那種有限意義上的科學，因為它對真相的探索是出于某種較為次要的目的，也就是說，它不過是想通過發現兇手從而確保正義的實現。皮爾士對數學的界定起始于他父親所下的定義，他父親將數學定義為“推演出必然結論的科學。”（注：本杰明·皮爾士：《直線結合代數》，華盛頓特區，1870年版，第一節。） 在1895年左右，皮爾士談到了這一定義和他自己的定義之間的關系：“我在這里所提倡的定義與我父親的定義有所區別，這種區別僅僅在于，在我看來，數學不僅包括從假設中演繹出結論，而且還應包括對假設的架構。”（R 18:02）不必說，架構假設與證明定理是完全不同的事情。皮爾士對數學定義的引申符合他對科學的一般看法，在他看來，科學是那些被發現問題的真實答案的欲望所驅使的人們的活動。這意味著，從根本上來說，數學便是數學家的所作所為，而數學家的活動絕不僅限于推演必然的結論。推演必然的結論最多只是數學的一部分，皮爾士敏銳地觀察到，有那么一批有才華的和頗有影響力的數學家，它們在這方面做得特別糟糕，而且那些頗有力量的數學觀念長期得不到證實，或者說，作為這些數學觀念基礎的證據后來證明是虛妄的，甚至當時就是虛假的。為了確定皮爾士對數學的定義，我們不妨略微回溯一下歷史，看看數學是如何與實證科學相聯系的。對于皮爾士來說，作為一種理論科學的數學要落后于作為實踐科學的數學。在似乎是《數學的新原理》的草稿文本中，皮爾士說：“數學家的任務在于獲得精確的觀念和假設，在初次架構這些觀念和假設的時候，他受到了某個實際問題的啟發，然后他描繪出它們的因果關系，最后進行概括。”（R 188：02）這樣，當物理學家、氣象學者或經濟學家遇到某個復雜問題的時候，就會叫數學家過來幫忙。皮爾士認為，這個時候數學家的任務在于，“想象一種不同于真實事態的理想事態，與真實事態相比，這種理想事態必須更為簡單，但是也不能與真實事態完全不同，從而影響對所提問題的實際解答。”（R 165a：67，著重號為后加）因而，數學就為科學家提供了一個框架模式，可以把它看作是代表了正在研究的現象；它不是去研究帶有一切偶然細節的現象本身，而是僅僅研究這個模式。通過將科學定義為一種從業者的活動，皮爾士就在很大程度上將科學的劃分歸結為一種勞動的分工。基于對科學的這種態度，皮爾士認為，數學家最適合于將有關經驗研究所產生的實證事實的松散理論，轉化為緊湊的數學模式：經驗結果必須被簡化和概括，并從事實中分離出來，使之成為完善的觀念，然后才可用于數學的目的。簡而言之，這些經驗結果必須加以修改，以適應數學和數學家的能力。只有數學家才清楚這些能力是什么，因此，架構數學假設的任務必須由數學家來完成。（R 17：06及其后）那么，一個合格的數學家應該具備哪些能力呢？根據皮爾士的觀點，一個合格的數學家應該具備三種智力品格，即，想象力、專注力和概括力。皮爾士認為，想象力是“向自己清楚地構想復雜結構的能力”；專注力是“抓住一個問題，將它轉化為一種用來研究的便利的形式，弄清楚它的要點，準確地確定它所包含的和沒有包含的內容的能力”；概括力指的是這樣一種能力，它能夠使我們“認識到，乍看起來是一堆錯綜復雜的事實的東西，實際上是一個和諧的和可理解整體的某個片斷。”（R 252：20）（注：這三種智力品格大體上與皮爾士有關觀念的看法相一致。如同皮爾士在《心靈的規律》一文中所說的那樣：“三種要素構成了一個觀念。第一種要素是觀念作為一種情感的內在品格。第二種是它用以影響其他觀念的那種能力……第三種要素是一種觀念促成其他觀念的傾向。”（CP第6卷，第135頁，1892年版）） 在皮爾士看來，概括力是“一個數學家的首要能力，”（R278a：91）而且也是一項最難獲得的技能。皮爾士強調想象力、專注力和概括力，這與那種認為數學的首要任務是提供證明的觀點大相徑庭的。前面我們描述了數學模式是如何出現的，并對數學態度提出了一些看法，接下來我們描述一下純數學。皮爾士將純數學定義為“對理想事態的精確研究。”（R 165a：68）（注：皮爾士附帶提到，這種有關數學的觀念是與他父親的定義相一致的。他說：“在1870年，本杰明·皮爾士將數學定義為‘推演必然結論的科學’。除了從完滿的知識中，我們無法推演出必然的結論，而任何關于實在世界的知識都不可能是完滿的，因此，根據這一定義，數學必須無一例外地與假設相關聯。”（R 15：11及其后）） 也就是說，拋開那些推動研究的實際動機，聚精會神地研究模式本身，忽略這些模式與外在于它們的事情的任何關系，不顧研究者的任何動機，而完全單純地研究模式本身。一般說來，純數學青睞那些能夠從中推演出大量結論的模式。（R 14：29）特別需要指出的是，那些受到數錢和丈量土地等行為激發的模式產生了大量的純數學。如同對數學和實證科學之間關系的探討所表明的那樣，在科學中所遇到的現象是數學觀念和理論的重要來源。從更一般的意義上來說，在皮爾士看來，為數學家提供觀念的是經驗。拿“面”、“線”、“點”、“直線”（皮爾士也稱為射線）和“平面”等數學概念來說。根據皮爾士的說法：幾何學的面要比任何一片金箔還要薄，它就像沒入水中的石頭和在其之上的水之間的縫隙那樣薄。幾何學的線要比蜘蛛絲還要細，它就像部分沒入水中的石頭與水和空氣之間的裂縫那樣窄。幾何學的點要比針尖還要小，它就像四個嚴絲合縫的物體之間的縫隙那樣小。……從一條線的末端透視空中的一個點所得到的形象便是一條直線或射線……一個面，無論我們如何滑動和翻轉甚至顛倒，它都保持不變，這樣的一個面便是幾何學的平面。（R 94：56）因此，對皮爾士來說，數學對象都來源于經驗，并根據經驗得到精確的界定。然而同時，數學并不關心實證事實，在這一點上數學非常不同于實證科學。數學家將數學看作是一個虛構的世界，他們試圖表明，在這些虛構的世界中如何運用其中的規則進行推論。最后， 數學假設“是一種純粹的心靈創造物，它僅僅包括數學家的觀念或者夢想，它所關注的只是精確、清晰和連貫。”（R 17：07）對于皮爾士來說，邏輯學針對的是事實問題，它最關心的是，前提是真實的而結論是否是虛假的問題。在科學研究的語境中，也就是說，當我們試圖發現某個事情的時候，這就成為了一種規范科學。我們贊同這樣的理論，即，認為前提是真實的而結論是虛假的情況是不可能的。我們反對這樣的理論，即，認為真實的前提和虛假的結論能夠共存。由于我們如何進行研究是一種自愿的選擇，因而這種贊同或反對的態度是一種道德上的贊同或反對。（注：皮爾士：《論文集》，8卷，查爾斯·哈茨霍恩、保羅·韋斯和亞瑟·伯克斯編，哈佛大學出版社，1931—1958年版，第5卷，第130頁。自此以后，該書將用CP來指代。） 實際上，皮爾士認為，與本能相對的理性能夠進行自我批評和自我控制，這是理性的巨大優勢所在。簡要地說，不存在我們本能地不信任的本能，但的確存在遭到推理本身譴責的推理。（R 832:02）由于邏輯學在它所贊同的和它所譴責的之間作了區分，它實際上通過一種二分法將命題分成了好的和壞的兩種。假如邏輯學的目的是再現某種東西，那么以上的區分就轉化成了真實的（好的再現）與虛假的（壞的再現）之間的區分。因為邏輯學研究好的方法是為了通過推理來發現實證真理，所以邏輯學并不僅僅局限于對演繹推理的研究，它還包括對歸納推理和假說推理（abduction）的研究。由于演繹推理能夠導致確定的結論，因而演繹推理通常被看作是邏輯學的核心或者推論的范式，但實際上，演繹推理無法單獨導致任何實證的知識。因此，對于聲稱是形而上學或專門科學之基礎的邏輯學來說，研究歸納推理和假說推理就是至關重要的。總之，對于皮爾士來說，邏輯學是一種規范科學。拿皮爾士的話來說，邏輯學是“有關如何控制思想的原則的科學，它是為了進行自我控制，也為了獲得真理。”（R 655:26，1910）“為了真理”這個短語至關重要，它表明，與數學不同，邏輯學屈從于實在，而且正因為如此，邏輯學是一種規范科學。此外，作為規范科學，邏輯學與諸如箭術科學（研究如何用弓箭最大程度地射中目標的學問）存在根本的區別。箭術科學研究的是射箭的技藝，而邏輯學研究的是推理的技藝。當然，對推理技藝的研究不應該混同于推理技藝本身。而且，對推理技藝的研究不見得會提高一個人的推理能力。實際上，皮爾士對研究邏輯學的好處深表懷疑。在1894年出版的邏輯學著作《如何推理》一書中，皮爾士坦率地說：“在所有科學中，邏輯學產生的思想最為貧乏。”（R 413，p.239）鑒于以上所描述的有關數學和邏輯學的觀點，自然會出現二者之間的關系問題。乍看起來有以下三種可能的選項：第一，邏輯學的規律源自數學。第二，與第一種選項相反，所有的數學歸根結底都源自邏輯學的規律。第三，數學以一種與其他實證科學相同的連接方式與邏輯學相關聯。邏輯學的規律源自數學的觀點很難自圓其說，因為數學和邏輯學（起碼根據皮爾士的解釋）是性質截然不同的兩門學科。邏輯學研究的是我們應該如何進行推理，以便使我們的思想與實證真理相符合，而數學對實證真理不感興趣。這樣就很難看出數學如何能夠成為邏輯學的基礎。有人可能反駁說，邏輯論證至少是數學論證的子集，也就是說，是一些關心實際的事實而不僅僅是可能性的論證，但是，這需要表明，這種子集是如何與更廣泛的數學領域相區別的，而且這只有通過介紹邏輯學和數學之間的不同之處才能做到。邏輯學不可能來自任何的數學原則，就它的性質來說，數學不可能在實證的東西和可能的東西之間做出區分。而且，這樣的路徑也不符合皮爾士對數學的理解，在皮爾士看來，數學是對我們所遇到的現象的某些方面和關系的理想化。只有數學與實證事實有關系才談得上數學是邏輯這門實證科學的基礎。因此，數學只能是一種派生的科學而不是基礎的科學。我們能夠反過來，說所有數學都來源于邏輯原則嗎？這是邏輯主義者的觀點。皮爾士同樣反對這第二種選項。這種邏輯主義的觀點將會使數學成為一種實證科學，而且也沒有恰當理由可以說明為什么我們應當把數學限制為可以派生于原則的東西，而這樣的原則又是用來足以可能地保證我們的觀念代表了實證真理。這第二種觀點尤其成問題。皮爾士反復強調，實證真理不是數學所追求的目標。我們再看第三種觀點，我認為這也是皮爾士的一種觀點。在這里，邏輯學和數學之間的關系無異于其他實證科學與數學的關系。如同我在前面所提到的那樣，專門科學求助于數學，以便用較簡單的但仍然具有代表性的數學模式來取代復雜的問題。正是通過這種方式，產生了科學的數學分支，比如物理學、化學和經濟學。因此，像物理學家和經濟學家那樣，邏輯學家也向數學家尋求幫助。數學家吸收邏輯學家向他提供的材料，力圖將它轉化成某種理想事態，剔除掉所有的偶然因素，用一種較為簡單的關系取代復雜的關系，這種簡單的關系雖然是虛假的，但適合于當前問題的解決。接下來，數學家研究這種隨后的理想狀態，來看看其中有什么真實的東西。數學家甚至走得更遠，他試圖對這種理想狀態的某些特征作一些改變，看看它能夠通向何處。存在這樣一個經典的例子，雖然不是在邏輯學中而是在算術中，那便是這樣一個大膽的想法：負1 的平方根的確有一個確定的解，這個想法導致了一種迷人的和富有成效的虛數概念。皮爾士對數學的考察路徑明顯表明了邏輯主義的錯繆之處。邏輯主義的捍衛者將形式邏輯或數理邏輯看作是最基本的數學原則的來源。但是，乍聽起來也許有些奇怪，數理邏輯并非真正的邏輯學，如同數理經濟學并不是真正的經濟學；它是應用數學的一個分支。數理經濟學并不關心經濟現象，它所關心的是一套公理和可容許的推論規則，這些公理和原則再現了經濟學家遇到的特定問題，這種再現雖然明顯是虛假的，但非常有益。比如，傳統的經濟學模式樂于假定這樣一種狀態：很多自私自利的原子個體在市場中行動，雖然市場包含這么多行動者，他們都無意影響商品的價格，但是，市場完全是透明的。我們都知道，經濟并非真的像這樣運作。數理邏輯也與這有些類似。舉一個很清楚的例子，實質蘊涵與人們實際上應該如何運用條件相去甚遠，如同無摩擦的表面和實際的表面、透明的市場和實際的供求狀況一樣大相徑庭。如同數學物理學和數理經濟學一樣，數理邏輯探討的是對邏輯學家有益的理想狀態，正像數學對物理學和經濟學的貢獻對物理學和經濟學家有所幫助一樣。單純對模式進行研究，只是對它們進行實驗和概括，而不關心實證事實，這隨后將我們帶入純數學的王國。簡要地說，數理邏輯是一種數學理論。因此，將數學奠基在數理邏輯之上，遠不是將數學奠基于邏輯學之上，這不過是將數學奠基在自身之上。簡而言之，邏輯主義是一種謬誤，它將邏輯學和數學混在了一起，或者說，把邏輯學與數理邏輯等同起來。對邏輯學和數學之間關系的論述提出了一個問題，那就是，數學家是否可以避免邏輯學。在數學中我們顯然在進行推理，定理的證明是數學的主要部分，盡管絕不是數學的全部，因此，數學奠基于邏輯學之上似乎是很自然的事情。在討論這個問題之前，對日常邏輯（logica utens）和學院邏輯（logica docens）作一番區分將是有幫助的。日常邏輯指的是一種推理的自然能力，學院邏輯[也被稱為習得邏輯（acquired logic）]指的是對正確推論規則的研究。數學顯然依賴于我們推理的自然能力，因為在數學中我們的確是在進行推理。真正的問題是，數學能否避免學院邏輯，也就是說，能否避免一種有關正確推論規則的單獨理論。皮爾士的回答大致如下：在我們的推理有可能出現錯誤的地方，學院邏輯就會加入進來，它將促使我們探究錯誤是何以出現的。我們可以運用這種探究的結果來決定如何糾正錯誤或者將來如何避免錯誤的發生。因此，我們必須詢問在數學中錯誤是如何產生的，并看一看，它們是否需要一種學院邏輯。雖然數學家的任務是推演出必然的結論，但是這并不意味著在數學中不會犯錯誤。當兩個人被要求將一長串數字相加的時候，幾乎可以肯定地說，錯誤會出現，有可能得到兩個不同的答案，而且兩個答案都可能是錯誤的。然而，重要的是要了解，這是些什么樣的錯誤。它們是這樣的一些錯誤：計算者一看到這些錯誤，就欣然承認它們是錯誤的。而且，在這種情況下，正是算術規則本身，而不是發現邏輯學原則被違反這一情況，才使計算者相信自己犯了一個錯誤，并說明如何去糾正這個錯誤。我們甚至可以進一步說，在這類情形中引入邏輯既沒有什么啟發性作用也不能達到預期目標。出于同樣的理由，向射手灌輸一些分析力學的理論和規律也達不到什么預期的目標，而且還可能對他的目標有所損害。它只能造成混亂，而不會有所增益。由于以上提到的這些錯誤屬于我們在數學中遇到的那類錯誤，因而數學家不需要學院邏輯。數學中的錯誤總是局限于它們在其中出現的模式中，糾正這些錯誤的方式便是進行更多的數學工作。數學家不需要某種獨立的邏輯學科學，來確保他們的證明的正確性。我們將會看到，對于形而上學來說，情形就大不一樣了。由于敏感地意識到形而上學所面臨的凄慘境況，皮爾士不同意孔德對形而上學的激烈拒斥。對皮爾士來說，問題不在于我們是否應該擁有形而上學（我們每個人都有形而上學傾向，無論我們需要還是拒絕）問題在于，我們是讓我們的形而上學處于潛意識狀態，還是將它們明確展示出來，以便得到詳細考察。比如，我們不應該像不少形而上學的抨擊者那樣，盲目地假定存在著某些個體，而應該追問更為基本的問題，即是否有某種嚴格意義上的個體存在。在探討這類問題的時候，我們應該小心翼翼，如同探討諸如兩個質量不同的物體在以不同的速度下落時是否會加速這樣的問題那樣。皮爾士贊同孔德的這個觀點，認為在目前的情況下，形而上學對科學是有害的。但是，在皮爾士看來，主要的問題不在于像孔德所說的那樣從事形而上學，而在于沒有科學地從事形而上學，或者說根本就沒有從事形而上學。對科學有害的是那種壞的形而上學，只有真正地從事形而上學，才能避免壞的形而上學。皮爾士敏銳地注意到：只有當（科學家）向自己允諾說不再作任何形而上學的假設時，他們才越有可能滑入形而上學的泥潭，因為，一個人不可能控制和批判他無意中所作的事情。（CP 2.121）就像皮爾士所認識到的那樣，形而上學研究的是“實在和實在客體的最一般特征。”（CP 6.6）因此，形而上學探討實證事實。而且，它是一門經驗科學；這門科學不同于各種專門科學，它研究的是“各種現象，這些現象滲透到每個人的經驗的所有方面，以至于他們通常不會給予特別的關注。”（CP 6.2）形而上學的目的是一種世界觀（Weltans chauung），它可以發展出一套普遍的體系，所有可能的事實都可以在其中占據某個位置。從這種意義上說，形而上學可以成為各種專門科學的路標。皮爾士有關形而上學的看法說明，在對科學的分類中，他何以將形而上學放在現象學和邏輯學的后面。首先，作為一種探討實證事實的經驗科學，形而上學必須以現象學為基礎。其次，作為一種在探討構成其研究領域的實證事實的過程中需要自我控制和自我批判的科學，形而上學必須以邏輯學為基礎。這種對邏輯學的依賴大致上可以歸結為這樣一種觀點，即，像物理學或文藝復興的研究一樣，形而上學也應該以科學的態度來加以研究。比如，在從事形而上學的過程中，我們應該遵循這樣一條原則，即，凡是能夠通過經驗的方式解決的問題就不要通過先驗的方式解決。對這條原則的慣常違反已經使得形而上學成為了一種妨礙科學而不是推動科學的學科，并使形而上學家受到了科學家的責難。在詳細闡述形而上學和邏輯學的關系之前，我們首先談一談形而上學同數學的關系，同時也要記住我們在前面提到的邏輯學和數學的區別。從歷史的觀點看，在形而上學和數學之間一直存在著很大的關聯性，因為在數學中的新發現常常會導致形而上學的新觀念，或者說，形而上學觀念是對數學概念的順應。如同皮爾士簡明地和反復地指出的那樣，“形而上學是對數學的模仿。”比如說，形而上學曾長期以歐幾里得的第一部書為范型，認為所有的結論都可以從少數幾個簡單的公理中完美地推論出來。斯賓諾莎的《倫理學》也是一個很有說服力的例證，皮爾士對它的評價明確地顯示了皮爾士在有關數學及其與形而上學的關系上的不同觀念：他的《倫理學》是從定理中推論出來的，它的證明一直是數學家們的笑柄。但是，如果你要進入斯賓諾莎的鮮活的思想之流的話，你必須深入到這些表面論證的下面。你將會發現，在闡發一種絕對觀念（這種絕對觀念非常類似于數學家的可度量的絕對）的過程中，斯賓諾莎運用了某種數學的風格。因此，他看起來像一個數學思想家，并非像他自己和他的信徒們所認為的那樣以一種無效的、形式的方式，而是實質上在一種崇高的、生動的和有價值的意義上。（注：皮爾士：《〈國家〉論文集》，4卷本，肯尼思·L·凱特納和詹姆士·E·庫克編纂并注解，拉伯克：德克薩斯技術出版社，1978—1981年版，第2卷，第86頁，1894年。）對皮爾士來說，與專門的科學相比，形而上學的結論在很大程度上是未曾受到經驗檢驗的，因而，形而上學嚴重地依賴必然的推論，以防止誤入歧途。因此，形而上學也就嚴重依賴數學，因為數學恰好是那種專門從事必然推論的科學。然而，如同皮爾士對斯賓諾莎的探討所揭示的那樣，數學應該在廣泛的意義上來加以理解。就像前面所表明的那樣，根據這種寬泛的解釋，數學家的主要任務并非是產生證明，而是對復雜的事實進行簡化，將這些事實還原為某種形態，這種形態能夠促進對事實的研究，而且仍然具有代表性。為了做到這一點，數學家需要訴諸于三種主要的智力品格：想象力、專注力和概括力。在皮爾士看來，通常被看作是數學的全部意圖的證明“不過是數學家的戰車碾過的道路。”（注：1894年11月24日，在美國數學學會一次會議的發言中，皮爾士生動地提出了這一觀點。當時擔任秘書的托馬斯·S·菲斯克對此作了描述：“在會上，C.S.皮爾士就數學的本質作了精彩的演說，他指出，對數學家來說，最基本的智力品格是，‘專注力、想象力和概括力。’然后，在經過了一會兒戲劇性的沉默之后，他喊道：‘我聽到過有人說證明了嗎？’‘啊，我的朋友，’他補充說‘證明不過是數學家的戰車碾過的道路。’”（轉引自雷蒙德·克萊爾·阿奇博爾德：《美國數學學會五十周年：1888—1938》，紐約，1938年版，第7頁。）） 在皮爾士看來，斯賓諾莎屬于那種相信數學完全是關于嚴格證明的哲學家，這就是為什么皮爾士指責斯賓諾莎無法正確地闡釋自己的哲學的原因。（注：比較前面引用的《〈國家〉論文集》，第1卷，第164頁，1892年。） 對皮爾士來說，數學和形而上學之間的關系與其他實證科學同數學的關系沒有什么不同。形而上學家同邏輯學家、經濟學家和天體物理學家一樣，都會求助于數學家。在探討了形而上學和數學之間的關系之后，我們現在可以談一談形而上學與邏輯學的關系。形而上學聲稱自己談論的是真實的世界，這一點至關重要。剛才我們已經談到，形而上學家受益于數學，因為通過利用數學家的專門意見，以這樣一種方式構造事實即以理想的方式做出必然推理，形而上學家能夠使他們的理論保持在正確的路線上。然而，僅僅指出形而上學是一種實證科學而數學不是實證科學這一點是不夠的。形而上學中的錯誤常常不同于在數學中發現的那種錯誤，因為后者可以通過考察與模式相伴而行的規則是否被正確地應用來加以矯正。問題常常是，某些理論或模式是否正確地應用于所討論的實證事實。在這里，與模式相伴而行的規則沒有多少用處，因為它們關心的是模式中的有效步驟，而不是它與外在事實的關系。而且，一般說來，我們本能的日常邏輯對于實際事務具有重要的指導作用，但是與它的自然環境沒有什么關系，因而不值得信賴。因此，當我們試圖確定某種形而上學理論是否充分地再現了形而上學家感興趣的現象時，我們不能依賴我們的日常邏輯。因此，與數學不同，形而上學需要一種學院邏輯（一門關于正確推理的單獨科學）來加以控制，而且，它非常需要。在皮爾士看來，如果沒有學院邏輯，形而上學家就“像浩瀚大海上的一艘船，而且船上沒有人懂航海規則。”（CP 5.368）皮爾士得出結論說，形而上學應該“根據科學的邏輯學來解釋共同的經驗事實。”也就是說，形而上學的確需要一種學院邏輯。（R 472：04，1903）簡而言之，數學在實踐中不需要邏輯學，而形而上學則避免不了邏輯學。
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