問題引入：

分析：第一問，根據知條件列出兩個距離的等量關系整理可得出軌跡方程；

第二問，可設M（4,m），分直線AB的k存在與k不存在兩種情況處理：

當k不存在時，求出A，B兩點坐標，易知k₁+k₂=k₃

當k存在時，設直線AB：y=k（x-1），聯立直線與曲線方程。對于k₁+k2，強行用韋達定理表示出來，結合k₃的表達式，發現k1+k2=k3成立，

綜上可知：k1+k2=k3，此題證明結束。

點評：此題計算量偏大，并且斜率之間的關系不易發覺。需要扎實的計算功底，并且在計算之前要有大膽的設想！通過本文的總結，應該對這類題型做到未卜先知！

反思：本題中的三個斜率滿足k1+k2=k3，也就是說k1，k2，k3成等差數列。這么整齊的結果，是出題人有意為之？還是橢圓本來具有的性質？

很多同學已經猜到，老師既然這么問，答案一定是后者。

沒有錯，這道題目中的直線l=4，其實是橢圓的右準線，x=a^2/c，而F點是它的右焦點。我們有這樣的結論：

過橢圓的右焦點F做直線AB，交橢圓于A，B兩點，則在直線x=a^2/c上任意一點P，對弦AB端點以及F的連線的斜率成等差數列。

PA，PF，PB三條直線的斜率成等差數列。

同樣的結論可以推廣到橢圓的左焦點與左準線的情況；也可以推廣到拋物線和雙曲線的情況！

練習題：

這里只說此題的第一問，此題是我們結論中的情況，過焦點和準線的情況。由于直線PA,直線PF,直線PB斜率成等差數列。同時，過的定點是橢圓的右焦點，定直線是x=4，所以4=a^2/c，題中的B點坐標暴露了a=2的事實，可以輕松求出c=1，橢圓方程即可求出！當然，作為一道大題來講，必要的式子還要列出來的，本文只提供一個快解。詳細過程可以“搜題”軟件。

講到這里，很多同學會感覺到很神奇，如此隨意的幾個點，竟然可以做出如此有美感的結論！

我們并未結束。

還有更精彩的結論，如果要求定點是焦點，定直線是準線，那就太瞧不起圓錐曲線了！

橢圓：

過x軸上一定點Q（t，0）的直線交橢圓于A，B兩點，則在直線x=c^2/t上任意一點P，對弦AB端點以及F的連線的斜率成等差數列。

PA，PF，PB三條直線的斜率成等差數列。

雙曲線：

過x軸上一定點Q（t，0）的直線交雙曲線于A，B兩點，則在直線x=c^2/t上任意一點P，對弦AB端點以及F的連線的斜率成等差數列。

PA，PF，PB三條直線的斜率成等差數列。

拋物線：

過x軸上一定點Q（t，0）的直線交拋物線于A，B兩點，則在直線x=-t上任意一點P，對弦AB端點以及F的連線的斜率成等差數列。

例題：

分析：第一問，雖然也是固定的結論，由于今天重點介紹斜率等差的問題，今天就不詳細展開第一問了，參考答案即可。今后會在圖文中以專題的形式呈現。

第二問，很多同學已經知道答案了，它們會成等差數列。當然畢竟這是一道大題，我們給出這道題的答案，希望同學們自己動手再做一遍，好處有兩個：一、對今天所講結論進行證明；二、這道題全篇沒有一個確定的點或線，都是字母，如果這道題的過程能獨立書寫，那么其他相似問題一定會得滿分！