人類經歷矇昧無知逐步到文明時代，每一個領域的第一里程碑都耗費了極長時間。對于一個兒童來講，終于理解“數量概念”，跨出了抽象思維的一大步，其意義和難度來講，不亞于人類登月之創舉。
人類的思維演化，具有“不可逆”的過程，一旦進化了，就不會在退到矇昧時代去思考問題。所以，對于成人來講，孩子就是另一種他們不可理解的生物，為什么理解“12345678910”就這么費勁呢？雖然自己也同樣經歷過認識數字的過程，但是成人早就忘記自己的思維過程是怎樣的了，在元認知方面（思考自己思考過程的能力）也并非大部分人長項。
今天我要來講講孩子是怎么理解“數量”的，這個過程都需要經歷什么，要掌握哪些概念，幫家長來分析一下，應該如何做數學啟蒙。
第一個概念：表征
最初孩子從日常生活中接觸到數字，他們從三塊糖，三個碗，三級臺階中，開始理解事物具有某種共性。他們開始理解“更多”的意義，如果經常性進行一一對應，通過這種配對他們開始學會“數數”，這也是計數的第一步。通常父母發現，孩子有時候能夠比較數字大小，甚至2，3歲孩子，媽媽也會發現指著一堆2個物體，一堆3個物體，孩子可以分辨出3個物體的一堆更多，但是問2和3哪個大，就分辨不清，只能靠50%的正確率來猜測了。
這個最初階段，父母往往會產生一些錯覺，以為孩子認識數字了，接下去就可以開始教加減法了。且慢，先看看接下去會發生什么吧～
關于數量表征，可以看這篇文章：
第二個概念：順序
在學會“數數”后，孩子可能在數我跳了幾個格子的時候發現，必須先數4，才有5，他們開始去記住這些數字的固定順序。我們要注意，孩子能夠背出1-100，并不代表孩子理解了數字的順序，我們所指的“順序”亦包含了大小的序列，即，孩子知道后面出現的數字比前一個數字大1，而要知道這點，孩子必須把數字始終與其對應的物體數量關聯起來。所以，我們可以這樣理解，“數數字”與“計數數量”是截然不同的。
第三個概念：守恒性
對于“數量”的理解，首先是理解基數，基數五大原則告訴我們，“計數數量”時，不僅需要一一對應去數，更需要不受“干擾”的數，不論物體怎么排列，數量是不會變化的。今天孩子正兒八經坐在教室里數10顆珠子，明天，當我們讓孩子數數街上白色的汽車有幾輛時，可能就尷尬地發現孩子重復在數，或者漏掉。當我們把一堆糖果分散放著的時候，雖然數量沒有變，但是孩子偏偏認為這堆糖果變多了。這些都需要較長的時間，才能讓兒童理解，守恒性之重要。
關于“基數五大原則”，請看：
珠心算與計數問題：學會了奔跑忘記了爬行人類就是一種善于進化的生物
第四個概念：集合
很多孩子可能在父母的熏陶下，2歲多就開始數數了，但是成人可能沒有察覺到一點的是，盡管孩子嘴上在數，甚至對于3-4歲的孩子來講，要求一一對應數也并不困難，但是他們并不“走心”，因為他們其實并不知道自己數到最后的這個數字就是代表這堆物體的集合。年幼的孩子還沒有這個概念，要把數字與物體數量聯結起來。如果孩子沒有把5和5個物體這個集合聯結起來理解的話，那么他們始終不能真正理解5+4=？的問題。
下面這個故事來自于《學生是如何學習的——課堂中的數學》一書
幼兒園小朋友對下面這個問題的回答：“如果你有四塊巧克力，別人又給了你三塊，現在你一共有多少塊巧克力？”
Alex皺了下眉，然后說“7”。當問他是如何算出來的時候，他說：“4+4是8（一個手伸出四個手指，另一個手也伸出四個手指來表示）。但是我們只需要加三個（從一只手收回一個手指來表示），所以我得到7，7比8少1。所以答案是7.”
Sean舉起一只手的四個手指，然后低聲說，“4，再加3個，5，6，7”，Sean用正常的音調說“7”。當問他是如何算出來的時候，Sean能夠清楚地表達他的策略，他說，“我從4開始，然后數5，6，7”（當他往上數的時候，輕輕地敲了三下桌子，表示他在最初的集合中增加的數量）。
對于幼兒園老師來講，兩個孩子的表現都非常棒，都體現了很好的數感，但是他們可能并不知道兩個孩子在思維層面上的差異。這本書中詳細分析了象Alex和Sean這樣的五歲兒童在這個問題中能夠表現出來的最核心的五個部分，我現在用下圖來表示：
第四個概念極為重要，當孩子可以在最后一個物體的“計數”和整個集合的“數量”之間形成聯系，他們才開始真正理解數字是不同于他們日常所說的其他物體的“名稱”。歸根結底，孩子們需要既能理解10由10個物體（10個1）構成，又可以看成一個整體，一個集合（即1個10）。
第五個概念：抽象
可以想象，孩子需要經歷多長時間，才能掌握上面四個概念，而期間，還有一個滲透在各個時期的重要概念在悄悄演化，這就是“抽象”能力。看上面的基數五大原則中最后一項是：適用于任何數量的集合物體。簡單來講，就是指“什么東西是可數的”，我們需要提供很多經驗給孩子，來擴大他們對此的理解，不僅僅是三個蘋果可以數，拍三下手也可數，聽到“咄咄咄”的敲門聲也可以數，這件事完全可以在學齡前完成，如果你并不急于教孩子加減法的話，其實你有足夠多的時間讓孩子接觸各種不同物體的數數，以便于他們可以從中抽象出計數的抽象原則。
在《如何培養學生的數感》一書中，史蒂夫（1983）提出了可數物體的概念，區分了五個難度等級：
感知單元：分散的可數物體，如孩子們會樹一堆紐扣。
圖像單元：不能實際應用，但是可以通過回憶或想象進行計數的物體（如孩子們在家所養的寵物）
行為單元：具體行為動作，如“手指的動作或上樓梯的動作”。
語言單元：讀數字的聲音（如讀8，9，10時所發出的聲音，根據聲音知道數了三個數字）。
抽象單元：要求孩子們為給定的數字和物體進行配對。
在我的數學微課中，為了統一三個階段在計數上的概念，便于將不同題型融會貫通，我則是從六個維度上來談數量的表征與類比的。
第六個概念：結構
對數的理解是一個漫長而漸進的過程，發展到這里，對于一般兒童來講至少需要1-2年時間，也就是說假如你3歲開始讓孩子懵懵懂懂接觸數字，直到5歲的時候，他們才弄懂了“數字”與“數量”的區別，要是象上面故事中Alex或Sean那樣可以清晰說出自己思考過程的，則還需要在這兩年里有較好的元認知能力的發展，同時還有關于語言能力的發展等等，兒童并非按部就班地在發展各個領域，他們總是穿插著不同能力以不同的速度在往前進，能力相互之間還會有影響與互補。
如果我們希望兒童在學齡后可以輕松搞定四則運算，甚至各種各樣的附加題，參加奧數競賽。就先不要急于將孩子投入題海中，這里有一個關鍵性概念需要好好搞清楚：結構。
并不是到了運算里面，我們才來談結構，事實上，當兒童開始接觸數量概念的時候，就已經在結構中了。我們前面談到集合概念，當兒童知道5不僅僅是數五個物體，5本身就是一個整體，一個集合的時候，他們的思維就已經在心理層面上勾畫“數的結構”了，而這部分通過成人以圖式的方式展示出來，兒童就可以逐步內化，并形成自己的心理意象了。
有一個標志性的心理意象就是“數軸”，關于數軸可以有各種各樣的表示方法，并不一定是水平線，兒童在頭腦中假如具有數字不僅僅是一個固定的點，而且仿佛有一根線，數字之間是串聯的，可以通過移動使得數量變化，他們可以通過空間的表征，來理解物理上的增減意味著空間上的前后、上下或左右移動。這被稱之為真正的“心理運算”。
到了這里，孩子們已經具有真正進行符號計算的能力了，而關于計算，才剛剛開始，我們將在以后繼續介紹，兒童在加減法領域里，是如何一步步走過來的，他們必須先從1-10開始，從＋1開始，到＋2，如同今天我們看到的以上分解，兒童從開始理解從一個數字往上累加計數開始，到他們知道14+13=27，整個過程中，可分解的單元。
當你熟知這些細節的時候，你就有足夠信心和能力，開啟你的家庭數學啟蒙之路了～
