羅巴切夫斯基非歐幾何
人們開始嘗試通過其他的途徑，尋求對平行公設進行更加合理的解釋。最簡潔的方法就是取消這個公設：如果能夠借助其他五公公理和四個公設證明平行公設，那么，這個公設就沒有單獨設立的必要了。意大利數學家薩謝利（1667-1733）獨具匠心，希望借助反證法來證明平行公設。他的證明思路是這樣的，先用與平行公設有本質不同的命題來代替這個公設，也就是分別考慮兩種情況：一種情況是過直線外一點不存在平行線，另一種情況是過直線外一點存在兩條以上平行線。在這個基礎上進行邏輯推理，如果得到了荒謬的結論就等價地證明了平行公設。薩謝利推導出了一些有意義的命題，比如，三角形內角和小于兩個直角之和。他認為其中的有些命題是荒謬的，于是他認為完成了對平行公設的證明，并于1733年著書《歐幾里得無懈可擊》。
可是，后來數學家們經過認真分析發現，薩謝利得到的那些命題既不矛盾，也不荒謬。這個發現啟發數學家們思考，是否可以用其他的命題來替代第五公設呢？是否可以建立起與歐幾里得幾何不同的新的幾何呢？這個想法是非常大膽的，我們曾多次談到，從數學的創立開始，人們就對數學所研究對象的存在形式爭論不休，爭論在本質上分兩派：一派是從柏拉圖開始，認為數學所研究的對象是先驗的，因此數學所研究的對象是人們依賴經驗抽象出來的，因此數學家的工作是去創造數學方法并合理地描述大自然。可是，現在數學家要在完全沒有背景的前提下，違反常規地創造數學了。這樣創造出來的數學能夠找到物理世界中的現實意義嗎？反之，有沒有這樣的可能，幾千年來人們已經熟視無睹，認為是常規的那些知識恰恰不是常規呢？我們來分析下面的邏輯推理是否成立。
假定我們可知的空間范圍是有限的。在可知的空間范圍內兩條直線是不相交的，可是我們卻無法知道這兩條直線是否永遠不相交。這個設想是現實的，古希臘學者愛拉托色尼在計算地球的周長時就曾經假設：太陽的光線是平行地照在大地上地。在浩瀚無垠的宇宙，太陽只能被看做一個點，因此照射在地球上的太陽光線是來源于一個點，雖然如此，我們任然認為在“可知的空間范圍”內太陽的光線是平行的，否則就無法進行科學研究。對于這樣的基于經驗的，合理的想法，如何才能抽象為數學研究的對象呢？
高斯
德國偉大的數學家高斯（1777-1855）在1799年就確幸平行公設不可能用其他公理和公設推理得到，他1824年給德國數學家托利努斯（1794-1874）的信中寫道：
“假定三角形內角和小于180度將導出一種奇怪的幾何，它與我們的歐幾里得幾何非常不同，但卻是完全相容的，我已經將它發展得令自己完全滿意了。它的定理看來是矛盾的，但是，如果你從開始的不習慣到對它心平氣和和深入思考，就會發現這里并沒有什么不可思議的東西”
高斯非常清楚，三角形內角和小于180度的假設需要在很大范圍內才能夠驗證，于是他利用三座山進行測量，可是得到的結果是180度15分，比180度還要大。雖然結果并不能說明什么，但是高斯的思考是非常有價值的，我們需要把幾何學的研究從書齋利延申到自然界?？上У氖?，高斯對發表研究成果非常謹慎，他一直遵循“寧可少一些，但要好一些”的原則，因此他的這些研究結果一直到他去世后才被整理發表，這比其他兩位非歐幾何的創始人，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（1793-1856）和匈牙利數學家波爾約（1802-1860）有關結果的發表要晚近三十年。
羅巴切夫斯基
羅巴切夫斯基于1826年首次發表了他的新學說，雖然一開始人們并不理解，但是他堅持不懈地進行研究和著作，他執著的學術精神得到后人的高度贊揚。波爾約的父親是高斯的密友，波爾約于1823年得到關于非歐的基本原理，于1832年在他父親著作的附錄中發表了他的研究結果。后來，人們稱這種非歐幾何為羅巴切夫斯基幾何，或者羅巴切夫斯基-波爾約幾何。從數學構造考慮，1871年德國數學家F.克萊因（1849-1925）稱這類幾何為雙曲幾何。
我們已經說過，這類幾何的特征是假定可認知的世界是有限的，在這個假設條件下 關于平行線的基本邏輯可以表述如下：
如圖（1）所示
圖（1）
橢圓內是我們可知的世界，對于給定直線a外一點A，過A作直線的垂線交直線于B，記A到垂足B的距離為d。這樣，可以把所有過A點的直線分為兩類：一類與直線a不相交，一類與直線a相交。令這兩類的直線的邊界為直線c和直線c’，由距離的對稱性可以推出邊界線關于垂線對稱，即兩個邊界線與垂線的夾角相等，設這個夾角為α并稱這個夾角為平行角。
如果平行角α為銳角，由定義可以知道，凡是與垂線的夾角大于平行角的直線都與直線a不相交，都是直線a的平行線，因此過直線外一點將有無數多條直線與已知直線平行。隨著距離d縮小，平行角α逐漸增大，當距離d趨近0時，平行角α趨近直角。如果平行角α為直角，則直線c和c’重合，這就得到歐幾里得平行公設，也就是說，在這個時候過直線外一點只有一條平行線與已知直線平行。
顯然，如果平行角α為銳角，三角形內角和將小于180度；并且，在這個幾何中，兩個三角形相似則必然全等。但是，除了與平行線有關的命題之外，羅巴切夫斯基幾何的其他許多命題與歐幾里得幾何是一致的。從上面的分析也可以看到，只有在非常大的范圍，即距離d很大時，羅巴切夫斯基幾何才會與歐幾里得幾何有所區別，所以，當年高斯沒有測量出這兩種幾何差別的原因，一方面可能是因為測量誤差，一方面也可能是因為他選擇的三個山頭的距離還是太近。
