三角形的全等和等腰三角形的性質：
1．復習全等三角形的判定定理及相關性質；
2．理解并掌握等腰三角形的性質定理及推論，能夠運用其解決簡單的幾何問題．(重點，難點)
例1.如圖，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列結論錯誤的是( )
A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠D＝∠B D．AC＝BC
解析：由△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，AC和CA是公共邊，可知∠1和∠2，∠D和∠B是對應角．全等三角形的對應角相等，對應邊相等，因而前三個選項一定正確．AC和BC不是對應邊，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是對應角，∴∠1＝∠2，∠D＝∠B，∴AC和CA是對應邊，而不是BC，∴A、B、C正確，錯誤的結論是D.故選D.
方法總結：本題主要考查了全等三角形的性質；根據已知條件正確確定對應邊、對應角是解決本題的關鍵．
例2.如圖，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，則∠BCD＝( )
A．80° B．100° C．140° D．160°
解析：先根據已知和四邊形的內角和為360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度數，再根據等腰三角形的性質可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，從而得到∠BCD的值．∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝280°.∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝280°÷2＝140°，故選C.
方法總結：求角的度數時，①在等腰三角形中，一定要考慮三角形內角和定理；②有平行線時，要考慮平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補；③兩條相交直線中，對頂角相等，互為鄰補角的兩角之和等于180°.
例3.如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度數。
解析：根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根據直角三角形兩銳角互余求出∠DCE，根據角平分線的定義求出∠ACB，再根據等腰三角形兩底角相等列式進行計算即可求出∠BAC.
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，
∴∠CDE＝55°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°.
方法總結：利用等腰三角形“三線合一”的性質進行計算，有兩種類型：一是求邊長，求邊長時應利用等腰三角形的底邊上的中線與其他兩線互相重合；二是求角度的大小，求角度時，應利用等腰三角形的頂角的平分線或底邊上的高與其他兩線互相重合．
例4.如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC上任意一點，延長BA到E使得AE＝AD，連接DE，求證：DE⊥BC.
等邊三角形的性質：
1．進一步學習等腰三角形的相關性質，了解等腰三角形兩底角的角平分線(兩腰上的高，中線)的性質；
2．學習等邊三角形的性質，并能夠運用其解決問題．(重點、難點)
例1.如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數．
解析：因為△ABC三個內角為60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度數，因為BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度數，利用外角性質即可求出∠CED的度數．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法總結：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內角都是60°，這個性質常常應用在求三角形角度的問題上，所以必須熟練掌握．
例2.△ABC為正三角形，點M是邊BC上任意一點，點N是邊CA上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點，求∠BQM的度數．
解析：先根據已知條件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根據全等三角形的性質求得∠AQN＝∠ABC＝60°.
方法總結：等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般是利用等邊三角形的性質探究三角形全等．
等腰三角形的判定與反證法：
1．掌握等腰三角形的判定定理并學會運用；(重點)
2．理解并掌握反證法的思想，能夠運用反證法進行證明．
例1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．
解析：根據直角三角形兩銳角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根據三角形外角的性質求得∠CEF＝∠CFE，根據等角對等邊求得CE＝CF，從而求得△CEF是等腰三角形．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB邊上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分線，
∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形．
方法總結：“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結論不一定成立．
例2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求證：△DEF是等腰三角形；
(2)當∠A＝50°時，求∠DEF的度數．
解析：(1)根據等邊對等角可得∠B＝∠C，利用“邊角邊”證明△BDE和△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE＝EF，再根據等腰三角形的定義證明即可；(2)根據全等三角形對應角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的內角和定理和平角的定義求出∠B＝∠DEF.
方法總結：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
例3.求證：△ABC中不能有兩個鈍角．
解析：用反證法證明，假設△ABC中能有兩個鈍角，得出的結論與三角形的內角和定理相矛盾，所以原命題正確．
證明：假設△ABC中能有兩個鈍角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，與三角形的內角和為180°矛盾，所以假設不成立，因此原命題正確，即△ABC中不能有兩個鈍角．
方法總結：本題結合三角形內角和定理考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：(1)假設結論不成立；(2)從假設出發推出矛盾；(3)假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況．如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
等邊三角形的判定：
1．學習并掌握等邊三角形的判定方法，能夠運用等邊三角形的性質和判定解決問題；(重點、難點)
例1.已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足關系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，試說明△ABC是等邊三角形．
解析：把已知的關系式化為兩個完全平方的和等于0的形式求解．
解：移項得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，
∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，
∴a＝b＝c.
故△ABC是等邊三角形．
方法總結：(1)幾個非負數的和為零，那么每一個非負數都等于零；(2)有兩邊相等的三角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
例2.如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC.試判定△ODE的形狀，并說明你的理由．
解析：根據平行線的性質及等邊三角形的性質可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根據三角形內角和定理得∠DOE＝60°，從而可得△ODE是等邊三角形．
解：△ODE是等邊三角形，
理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.
∴△ODE是等邊三角形．
方法總結：證明一個三角形是等邊三角形時，如果較易求出角的度數，那么就可以分別求出這個三角形的三個角都等于60°，從而判定這個三角形是等邊三角形．
例3. 如圖，在△EBD中，EB＝ED，點C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長線上一點，AB＝BC.試判斷△ABC的形狀，并證明你的結論．
解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根據等邊對等角及三角形外角性質，可求得∠CBE＝1/2∠ECB.再由BE⊥CE，根據三角形內角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，從而得出△ABC是等邊三角形．
解：△ABC是等邊三角形．
理由如下：
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠D.
又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.
∴∠ECB＝2∠D.
∵BE＝DE，
∴∠CBE＝∠D.
∴∠ECB＝2∠CBE.
∴∠CBE＝1/2∠ECB.
∵BE⊥CE，
∴∠CEB＝90°.
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，
∴∠ECB＋1/2∠ECB＋90°＝180°，
∴∠ECB＝60°.
又∵AB＝BC，
∴△ABC是等邊三角形．
方法總結：(1)已知一個三角形中兩邊相等，要證明這個三角形是等邊三角形，有兩種思考方法：①證明另一邊也與這兩邊相等；②證明這個三角形中有一個角等于60°.(2)已知一個三角形中有一個角等于60°，要證明這個三角形是等邊三角形，有兩種思考方法：①證明另外兩個角也等于60°；②證明這個三角形中有兩邊相等．
直角三角形的性質與判定：
1．復習直角三角形的相關知識，歸納并掌握直角三角形的性質和判定；
2．學習并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運用其解決問題．(重點，難點)
例1.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
解析：由直角三角形內角和為180°求得三角形的每一個角的度數，再判斷其形狀．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，同理，B，C中均為直角三角形，D選項中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個角沒有90°角，故不是直角三角形．故選D.
方法總結：在判定一個三角形是否為直角三角形時要注意直角三角形中有一個內角為90°.
例2.如圖，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝1/4AD，求證：CE⊥EF.
證明：連接CF，設正方形的邊長為4.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∵點E為AB中點，AF＝1/4AD，
∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.
由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，
∴∠FEC＝90°，即EF⊥CE.
方法總結：利用勾股定理的逆定理可以判斷一個三角形是否為直角三角形，所以此定理也是判定垂直關系的一個主要方法．
例3.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四邊形ABCD的面積．
解析：連接AC，根據已知條件運用勾股定理的逆定理可證△ACD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將△ABC和△ACD這兩個直角三角形的面積求出，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積．
方法總結：此題將求四邊形面積的問題轉化為求兩個直角三角形面積和的問題，既考查了對勾股定理逆定理的掌握情況，又體現了轉化思想在解題時的應用．
直角三角形全等的判定：
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜邊、直角邊”；(重點)
2．經歷探究“斜邊、直角邊”判定方法的過程，能運用“斜邊、直角邊”判定方法解決有關問題．(難點)
例1.如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.
解析：根據“HL”證Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根據“HL”證Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后證明BC＝BE.
證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.
即BC＝BE.
方法總結：證明線段相等可通過證明三角形全等解決．直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．
例2.如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q兩點分別在線段AC和過點A且垂直于AC的射線AM上運動，且點P不與點A，C重合．那么當點P運動到什么位置時，才能使△ABC與△APQ全等？
解析：本題要分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP＝BC＝10，可據此求出P點的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP＝AC，P、C重合，不合題意．
解：根據三角形全等的判定方法HL可知：
①當P運動到AP＝BC時，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
∴在Rt△ABC與Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；
②當P運動到與C點重合時，AP＝AC，不合題意．
綜上所述，當點P運動到距離點A為10時，△ABC與△APQ全等．
方法總結：判定三角形全等的關鍵是找對應邊和對應角，由于本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解．
例3.如圖，CD⊥AB于D點，BE⊥AC于E點，BE，CD交于O點，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.
解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根據AAS證得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可證得OB＝OC.
溫馨提示：全等的證明方法較多，同學們好好練習~
線段的垂直平分線：
1．掌握線段垂直平分線的性質；(重點)
2．探索并總結出線段垂直平分線的性質，能運用其性質解答簡單的問題．(難點)
例1.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.
求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根據AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答；(2)根據線段垂直平分線的性質判斷出AB＝BF即可．
證明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中點，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE是線段AF的垂直平分線，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．
例2.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關系．
解析：先利用角平分線的性質得出DE＝DF，再證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.
方法總結：當一條直線上有兩點都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時常需利用此性質進行線段相等關系的轉化．
角平分線：
1．復習角平分線的相關知識，探究歸納角平分線的性質和判定定理；(重點)
2．能夠運用角平分線的性質和判定定理解決問題．(難點)
例1.如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F.求證：CE＝CF.
解析：由角平分線上的性質可得DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．
方法總結：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質是判定線段相等的主要依據，可作為判定三角形全等的條件．
例2.如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．
解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分線的判定可知AD是∠BAC的平分線．
方法總結：證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內部到角兩邊距離相等的點在角平分線上．
例3.如圖，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點D.求證：AD是∠BAC的平分線．
解析：分別過點D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，然后利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知DE＝DG，再利用到角兩邊距離相等的點在角平分線上來證明．
證明：分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G.
∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，
∴DE＝DF.同理DG＝DF，
∴DE＝DG，
∴點D在∠BAC的平分線上，
∴AD是∠BAC的平分線．
方法總結：在遇到角平分線的問題時，往往過角平分線上的一點作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質解決問題．
例4.在△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝70°，則∠BOC的度數為( )
A．110°
B．125°
C．130°
D．140°
解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O是內心，即三條角平分線的交點AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝1/2∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝1/2∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，∠BOC＝180°－55°＝125°，故選B.
方法總結：由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是內心，再利用三角形內角和定理即可求出∠BOC的度數．
