如果 是某向量空間的基，那么可通過下列做法找到該向量空間中的 個兩兩正交的向量 ：
1 二維平面
下面以在 中尋找兩個正交的向量為例，來解釋下施密特正交化是如何推導出來的。
1.1 思路
讓我們從思路說起，比如想尋找 中的兩個正交向量，需要先知道 的一個基，也就是下圖中的兩個向量：
只要將其中一個向量對另外一個向量進行投影，就可以完成正交化：
下面來進行代數推導，假設基為 ：
任選其一作為 ，比如選 ：
將 向 進行投影，其垂線就是要求的 ：
如果知道了 的投影：
那么根據向量減法的幾何意義可知： 其中的投影向量可以如下計算： （上述的計算是這樣的， 根據點積的定義有：
所以：
2.1 任意的平面
之前的推導是在 中完成的，實際上該結論在任意平面上也是成立的，比如已知三維向量空間中某平面以及它的基 ，下面是示意圖：
如果想在該平面中找到兩個正交的向量，那么根據施密特正交化，可算出：
可以分兩步來驗算：
（1）驗算 和 是否正交。計算兩者點積：
（2）驗算 和 是否在 和 的張成空間中。根據施密特正交化的計算方法：
下面是在 中尋找三個兩兩正交的向量的例子，這樣可以進一步理解施密特正交化的推導。
3.1 思路
思路還是很簡單，比如想尋找 中的三個兩兩正交向量，需要先知道 的一個基，也就是下圖中的三個向量：
先按照之前介紹的，將其中任意兩個向量正交化：
然后向這兩個正交向量的張成空間作垂線，從而得到三個正交向量：
下面來進行代數推導，假設基為 、 和 ：
任選兩個向量，按照之前介紹的將其中任意兩個向量正交化，得到 和 ：
再將 作 張成平面的垂線就得到 ：
要求出 只需要知道 的投影：
然后根據向量減法的幾何意義可知： 從幾何上可以看出，該投影向量是由 在 上的投影向量和 在 上的投影向量線性組合而成：
即：
