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作者：張活富 容山中學
編輯：吳志峰
審核：王常斌
最值嵌套問題也稱復合最值問題，即最大值和最小值互相嵌套求最值問題，是近幾年高考題、競賽題的熱門考點。此類問題抽象度高，知識涉獵面廣，技巧性強，要求學生又靈活的思維，往往是教師教學的重點，也是學生學習的難點。具體而言，此類問題的解答常需要結合分類討論、數形結合、轉化與化歸的數學思想，利用基本不等式、待定系數法、構造函數等技巧。下面以2022年佛山一模數學第16題為例談一下個人的思考
點評：本題本質上就是基于平面幾何與向量的二元最值嵌套問題。其中可以視“動點”是主元，視“角”是輔元，則有以上解法，即先將式子視作關于主元的一元二次函數，利用函數性質求解最小值；再將式子視作關于輔元的函數，利用三角函數求解最小值，則得結果。此題解答上結合了數形結合、轉化與化歸兩種數學思想。
評點：本題是與正、余弦函數有關的二元最值嵌套問題，利用“數學結構”和“換元”思想，結合三角恒等變換中的“化一”公式化簡、三角函數值的有界性進行求解。
點評：本題條件呈現了相關變量的良好“對稱性”，所以可以考慮視其中一個變量為“常量”，實現從三變量到二變量的轉變；再從“和”、“積”的定量聯想到構造一元二次方程并利用根的存在判定定理得到最值。而實際上，利用一元二次方程根的存在判定定理求解最值是最值求解的一種重要手段，如在分式最值求解中。
變式3.
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