彭賽列閉合定理背景下的圓錐曲線內接
三角形之內切圓半徑問題
河北省張家口市 趙彥青 趙永明
浙江溫州 陳佳文
廣東深圳 楊 俊
陜西省澄城縣莊頭中學 魏拴文
湖北省陽新縣高級中學 鄒生書
解析：依題意，圓C2 圓心位置和半徑大小確定，△PAB既是拋物線的內接三角形又是這個圓的外切三角形，且這樣的△PAB有無數個，故可以考慮用特殊化方法求解。
△PAB 的一個特殊情形是：點P與原點重合，邊AB與x 軸垂直，如圖所示。
法1：解析法
點評：解析法得出的是關于半徑的一元三次方程，而幾何法得出的是關于半徑的一元二次方程。這里幾何解法起到了降次化簡的作用。
問題2（由2021年八省聯考第7題改編而成）
說明：這個問題是河北省張家口市的趙彥青和趙永明兩個老師根據2021年八省聯考第7題改編而成的，如果用常規解法求解非常困難。如果不知道本題的命題背景，解答此題就象丈二和尚摸不著頭腦。趙彥青老師指出這個問題及問題1的命題背景都是彭賽列閉合定理（文章后面有介紹），根據彭賽列閉合定理，如果圓錐曲線存在一個內接三角形使得某個給定的圓為其內切圓，則該圓錐曲線上存在無數個內接三角形均以這個圓為內切圓。也就說，圓是確定的，滿足題意的三角形有無數個。于是，我們可以突破題目條件的束縛，尋找更加特殊的既內接于拋物線又外切于圓的三角形。象問題1一樣，顯然，最特殊的三角形就是：一個頂點是拋物頂點，其對邊與x軸垂直的等腰三角形。于是有如下解法：
解：用幾何法
根據彭賽列閉合定理，取特殊△ABC,使點C 與原點重合，邊AB與x 軸垂直，如圖所示。
設A(m,n)，則m=2-r，又點A在拋物線上，
解析：根據彭賽列閉合定理，取特殊△ABC,使點C為橢圓的右頂點，對邊AB與x軸垂直，如圖所示。
設A(m,n)，則m=2-r，又點A在橢圓上，將其坐標代入橢圓方程得
下附：彭賽列閉合定理(來源于網絡)
平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內接另一條圓錐曲線，則此封閉多邊形內接的圓錐曲線上每一個點都是滿足這樣（切、內外接）性質的封閉多邊形的頂點，且所有滿足此性質的封閉多邊形的邊數相同。
最簡明的彭賽列閉合定理表示為：一個三角形外接于一個圓，內切一個圓，則外接圓可以有無數個內接三角形滿足其內切圓為上述的同一個。
彭賽列閉合定理展示了基于圓錐曲線關系上的一種“群結構”（group structure）關系——“彭賽列結構”（Poncelet type），表示為：有一個滿一種結構的關系存在，則所有都滿足這種結構的關系都存在，可以擴展為更為高維的概念，彭賽列閉合定理只是這種結構關系的其中一種。
1746年，英國數學家Chapple發現了這樣一個性質：設兩圓圓心距d，大圓半徑R，小圓半徑r，在滿足公式d2=R2—2Rr（即后來被熟知的平面幾何歐拉定理公式）時，以R為外接圓半徑，以r 為內切圓半徑的三角形有無窮多個，這是第一個已知的“彭賽列結構”。
1813年，拿破侖對俄戰爭后，彭賽列被囚禁在俄羅斯的薩拉托夫，并在監獄中發現了這樣一個里程碑級的射影性質，他的第一個證明是一個某種意義上分析式證明。
1822年彭賽列在其出版的“Traitédes propriétés projectives des figures”中給出了另一個純粹的幾何、綜合性的證明。
1828年，雅可比（Jacobi）對橢圓函數利用“積分定理”（addition theorem）完成了該定理的另一種證明，從本質上來說，“積分定理”等價于彭賽列定理，其均揭示了橢圓曲線中存在的一種“群結構”性質。
證明：當封閉多邊形邊數n=3時
n=3彭賽列閉合定理證明
△ABC內接一條圓錐曲線，內切一條圓錐曲線，△DEF外接于外錐線，其DE、DF與內錐線相切，則EF也與內錐線相切。
證明：根據帕斯卡定理知EC∩BF∩MN=P（DE∩AB=M，DF∩AC=N），則觀察彩色凹六邊形EMBCNF，由布列安桑定理（逆）知EF與內錐線相切，得證。
當封閉多邊形邊數n=4時
n=4彭賽列閉合定理證明
四邊形ABCD外接一圓錐曲線，內切一圓錐曲線，則有四邊形A'B'C'D'同樣內接及外切這兩條圓錐曲線。
證明：在異于題設所在平面的空間上取一投影點，將右圖（左上）中的AB、CD和AD、BC分別射影為一對平行線（右圖右上），則四邊形ABCD為平行四邊形，且根據對稱性知此時兩條圓錐曲線被射影為中心重合的形式，其中心為平行四邊形中心O，再將其外圓錐曲線仿射為圓（右圖下），因圓內接平行四邊形都為矩形，故利用蒙日圓性質知存在矩形A'B'C'D'滿足這樣的切接關系，逆射影回原題設，得證。
形式多樣的彭賽列閉合定理
雙曲線形式
