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哲學方面

自一九00直到一九一○這些年，懷特海和我把我們大部分的時間都用于后來所成的《數學原理》。雖然這部著作的第三卷到一九一三年才出版，我們在這部書里的任務（除去校對）是在一九一○年完成的，我們在那一年把全部稿子交給了劍橋大學出版社。我在一九○二年五月二十三日寫完的《數學的原理》結果變成了其后那部著作的一個粗糙、很不成熟的草稿。可是，《數學的原理》和《數學原理》不同之點是，《數學的原理》是包含著和別的一些數學哲理的爭論。

我們所想解決的問題有兩種：哲學的與數學的。大致說來，懷特海把哲學問題留給我。至于數學問題，記號法大部分是懷特海創制的，（引用皮亞諾者除外）。關于級數大部分的工作是我做的，其余是懷特海做的。但是這只是指初稿。每一部分都是弄過三次。我們兩個人不管是誰擬出一個初稿的時候，他就把這個初稿送交另一個人，這一個人通常是把它大加修改。然后，原來擬初稿的人再把它最后定稿。這三卷書幾乎沒有一行不是合作的成品。

《數學原理》的主要目的是說明整個純粹數學是從純乎是邏輯的前提推出來的，并且只使用以邏輯術語說明的概念。這當然和康德的學說正是相反。一開始我以為這部書是用以駁斥"那個強詞奪理的庸人"的一個插話，這個對康德的稱呼是佐治·坎特說的?？蔡貫楸硎镜酶鞔_一點，又說："他不大懂得數學"。但是后來這部書向兩個不同的方向發展了。在數學方面，整個新的題目出現了，包含新的記號法在內，有了這種新的記號法，就可以把從前用散漫粗疏的普通語言所對待的事物，用符號來處理。在哲學方面，有兩種相反的發展，一種是愉快的，一種是不愉快的。愉快的是，所需要的那套邏輯機構結果是比我所想象的要小。特別是，結果知道類是不必要的了。在《數學的原理》里有許多是討論一的類和多的類二者之間的區別。關于這一點的全部討論，以及那本書里很多復雜的論證，證明是不必要的。結果是，那本書寫成后好象是缺乏高深的哲理，難解是高深的最明顯的特點。

那個不愉快的方面確實是很不愉快的。自亞里士多德以來，無論哪一學派的邏輯學家，從他們所公認的前提似乎可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病，但是指不出糾正的方法是什么。在一九○一年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。我把這件倒運的事告訴了懷特海，他引了一句話："愉快自信的清晨不再來"，我卻不能得到安慰。

坎特證明沒有最大的基數。我是把坎特的這個證明細想了一番之后，發現了上述的那個矛盾的。我腦筋簡單，以為世界上所有的事物的數目一定是可能有的最大數目了。我把他的證明用于這個數目，看一看怎么樣。這個辦法使我考慮一個特殊的類。我順著以前看起來好象是適當的路線去思索，我覺得一個類有時候是，有時候又不是它自己的一個項。舉例來說，匙子這個類不是另一個匙子。但是，不是匙子的那些事物的這個類卻是不是匙子的那些事物之一。似乎有些例子不是負的：例如，所有類這個類是一個類。把坎特的論證加以應用，使我考慮不是自己的項的那些類。好象這些類一定成一類。我問我自己，這一個類是不是它自己的一項。如果它是它自己的一項，它一定具有這個類的分明的特性，這個特性就不是這個類的一項。如果這個類不是它自己的一項，它就一定不具有這個類的分明的特性，所以就一定是它自己的一項。這樣說來，二者之中無論那一個，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾。

最初我以為在我的推理的里面必是有怎么一種小小的錯誤。在一種邏輯的顯微鏡下我檢查了每一步，可是我發現不出有什么不對來。我給弗雷格寫了一封信，把這件事告訴了他。他回答說，算術發生了動搖，他并且說，他看出他的第五個定律是不能成立的。這個矛盾使弗雷格十分煩惱，他放棄了從邏輯演繹出算術的企圖，直到那個時候為止，他本是一生致力于此的。就象遇到無理數的畢達哥拉斯的門徒們一樣，弗雷格逃到幾何學里去了，顯然他以為直到那個時候，他一生的事業是走錯了路。至于我呢，我覺得毛病是在邏輯，而不在數學，邏輯非加以改造不可。由于發現了一個秘訣，我的這個意見得到了證實，用這個秘訣可以制造出簡直是無限數目的矛盾來。

對于這個情形，哲學家和數學家們有各種不同的反應。班格萊是不喜歡數理邏輯的，他曾非難數理邏輯，以為它是不能有結果的。他高興地說："它不是不能有結果的了，它產生了矛盾。"這話的確是很好，但是并不能解決問題。一些別的不贊成佐治·坎特的數學家采取三月兔的解決辦法："這個我膩煩了，我們還是換個題目罷"。我覺得這也不妥當。但是后來有些人認真想解決這個問題，那些人懂得數理邏輯，并且知道確有用邏輯解決的必要。其中第一個人是F．Ｐ．萊穆塞。

不幸他死得早，沒有完成他的工作。但是在《數學原理》出版以前的那些年，我不曉得后來對解決這個問題所做的努力。

我實際上是獨自在那里納悶。

有一些更老的悖論（其中有一些是為希臘人所知道的）我覺得引起了類似的問題，雖然我以后的一些作者認為這些悖論是另外的一種。其中最著名的是那個關于克利特人艾皮米尼地斯的悖論。他說所有的克利特人都是說謊的人。這就使人問，他說這話，他是不是不說謊。如果一個人說："我是說謊呢"，這就是這個悖論所表現的最簡單的形式。如果他是說謊，那么他是說謊就是一個謊，因此他就是說實話；但是如果他是說實話，他就是說謊，因為那是他說他正在做的事。這樣，矛盾就是不能避免的。圣保羅曾經提到過這個悖論①?？墒撬麑τ谶@個悖論的邏輯方面并沒有興趣。他所感興趣的是，這個悖論證明異教徒是壞的。但是數學家們可以把這些難以索解的問題打發開，以為是和他們的科目毫無關系，雖然他們不能把是否有一個最大的基數或最大的序數這些問題置之于不顧，這兩個問題都使他們陷入矛盾。關于最大序數的矛盾是在我發現我的矛盾之前被布拉力福爾提發現的。但是他的這件事是復雜得多，因此我也就以為在推理上是有些小小的錯誤。無論如何，因為他的矛盾遠不象我的矛盾那么簡單，乍一看來好象摧毀的力量不是那么大?？墒牵Y果我不得不承認其嚴重是一樣的。

在《數學的原理》里我并沒有公然說我已經找到了一個解決的方法。我在那本書的序言里說："發表一本包含那么許多未曾解決的爭論的書，我的解釋是，經過研究，在第十章中所討論的矛盾，我看不出最近有得到適當解決的希望，對于類的性質最近也沒有希望看得更深更透。有些解決的辦法曾使我得到一時的滿足。后來常常發現這些解決的辦法是有錯誤的。這種發現使人覺得，好象是較長時間的思索也許可以得出一些表面看來是滿意的學說，有了這些學說，問題就顯露不出來了。因為這個道理，只把困難說出來，比等下去一直到我相信一個幾乎一定是錯誤的學說中有真理，好象是要更好一點。"在討論矛盾的那一章之末我說："上面所說的矛盾不包含特殊的哲學。這種矛盾是直接起源于常識。這種矛盾唯一解決的辦法是放棄某種常識的假定。只有以矛盾為滋養的黑格爾哲學才能不關心，因為它處處遇到與此類似的問題。在任何別的學說里，這樣一個正面的挑戰要求你做出一個答覆，否則就是自己承認沒有辦法。幸而，就我所知，在《數學的原理》的任何別的部分，沒有別的與此類似的困難出現。"在書后的附錄里我提出類型說可以給予一個言之成理的解釋。最后我深信這個學說會解決這個問題，但是在我從事寫作《數學的原理》的時候，我只把這個學說弄得粗具規模。

這個學說在此情形之下是不能勝任的。我在那個時候所得到的結論表現在這本書的最后一段里："總括起來說，看來第十章的那個特別的矛盾是被類型說解決了。只是，至少有一種很類似的矛盾大概是不能用這種學說解決的。看來所有邏輯的對象或所有命題，全體包含一種基本的邏輯上的困難。這種困難的完滿解決是什么，我還沒有發現到；但是因為它影響推理的基礎，我懇切盼望所有治邏輯學的人對它加意研究。"

《數學的原理》寫完之后，我準備決意對于這些悖論找到一個解決。我覺得這幾乎是對我個人的一個挑戰，而且，如果勢不得已，我就要花掉我整個的余年來應戰。但是有兩個理由我以為這是極其不愉快的。第一，我覺得這整個問題是無足重輕的。我極不愿意把注意力集中在一件并不見得實在是有趣的事情上。第二，恁其我怎么努力，我沒有進展。一九○三年和一九○四年這一整個時期，我差不多完全是致力于這一件事，但是毫不成功。我第一個成就是一九○五年春季的敘述學說。這個學說我將在下文談到。在表面上看，這是和這些矛盾沒有關系的，但是后來一種沒有想到的關系出現了。最后，我看得十分清楚，類型說的某種形式是極關緊要的。我現在不著重來講在《數學原理》里講到的那個學說的特殊形式。但是我仍全然深信，沒有這個學說的某種形式，這些悖論就無法解決。

正當我在尋求一個解決辦法的時候，我覺得如果這個解決完全令人滿意，那就必須有三個條件。其中的第一個是絕對必要的，那就是，這些矛盾必須消失。第二個條件最好具備，雖然在邏輯上不是非此不可，那就是，這個解決應該盡可能使數學原樣不動。第三個條件不容易說得正確，那就是，這個解決仔細想來應該投合一種東西，我們姑名之為"邏輯的常識"，那就是說，它最終應該象是我們一直所期待的。在這三個條件之中，第一個當然是大家所公認的。可是第二個是為一個很大的學派所否認的，他們認為分析的很大一部分是不正確的。那些以善用邏輯而自滿的人以為第三個條件是不重要的。舉例來說，奎尹教授曾制作出一些體系來。我很佩服這些體系的巧妙，但是我無法認為這些體系能夠令人滿意，因為這些體系好象專是為此創造出來的，就是一個最巧妙的邏輯學家，如果他不曾知道這些矛盾，也是想不到這些體系的。但是，關于這一個問題已經出現了大量而且很深奧的文獻，其細微的地方我就不再多說了。

撇開困難的專門細節不談，我們可以把類型說的梗概說一說。也許研究這個學說的最好的辦法是考查一個"類"的意義是什么。我們先用一個平凡的例子來說明。假定飯后請你吃飯的主人在三種甜食里面請你挑選，要你吃一種或兩種，或三種都吃，隨你的意。你可以有多少辦法呢？你可以都謝絕。這是一種辦法。你可以在甜食之中取一種。這有三種不同的可能的辦法，所以你又有三種選擇。你可以選得甜食之中的兩種。這又可能有三種辦法。或者三種甜食你都要。這給你一個最后的可能性。這樣說來，可能性的總數是八，也就是２３。不難把這個程序歸納成通則。假定在你面前有ｎ那么多的東西，你想知道在ｎ之中一個不選，或選幾個，或者都要，一共有多少選擇。你就要知道，辦法的數目是２n。用邏輯的語言來說：一個有ｎ項的類有２n那么多的次一級的類。如果ｎ是無限的，這一個命題仍然是正確的?？蔡厮C明的是，即使在這一個例子中，２n是大于ｎ。如果像我那樣把這個應用于宇宙中的一切事物，我們就得到這樣一個結論：事物的類是多于事物。因此類就不是"事物"。但是，因為沒人十分懂得這句話里"事物"這個字是什么意思，把我們所已經證明出來的東西很確切地說出來是不很容易的。我所不能不得出來的結論是：類不過是說話時的一種方便而已。在我寫作《數學的原理》的時候，關于類這個問題我已經有些覺得沒有辦法。可是，我那時候表達意思所用的語言，我現在想來，是不應該那么有實在論的色彩的（實在論是取經院哲學上的意義）。我在那本書的序文中曾這樣說：

"討論難以界說的東西（占哲學邏輯的主要部分）是想法子把這些實體看得清楚，也是使別人看明白這些實體，這樣，我們的心理也許對于這些實體有一種認識，和認識紅的顏色或菠蘿的味道一樣。凡我們獲得難以界說的東西主要是在分析過程中必然留有殘余的時候（現在所說的例子就是如此），知道一定有這樣的實體往往比實際上覺察到這些實體要容易一些；有一種過程，這種過程和發現海王星的過程相類似，只是有一個不同之點，就是，用精神的望遠鏡來尋求那個已經推論出來的實體，這個最后的階段往往是從事這件事情最困難的部分。關于類這個例子，我不得不坦白地說，我沒有看出有任何概念可以滿足類這個概念的必要條件。在第十章中所討論的矛盾，證明有些東西不大對，但是，這究竟是什么我一直看不出來。"

我現在對于這件事的說法應該有些不同了。我應該說，假定有任何命題函數，比如說fx，那么x的值就有一個相當的范圍，就這個值的范圍來說，這個函數是"有意義的"，也就是說，不是真就是偽。如果ａ是在這個范圍之中，fa就是一個命題，這個命題不是真就是偽。除了用一個常數代替x這個變數以外，關于一個命題函數，還有兩件事可做：一件是說它永遠是真；另一件是說它有時是真。"如果x是人，x就不免于死"這一個命題函數永遠是真；"x是人"這一個命題函數有時是真。所以關于一個命題函數有三件事情可做：第一是用一個常數來代替變數；第二是對于這個函數的一切值加以斷定；第三是對于一些值，或者至少一個值，加以斷定。

命題函數本身只是一個式子而已。它并不對于什么加以斷定或否定。同樣，一個類不過是一個式子而已。它只是談使這個函數為真的變數的那些值的一種方便方法而已。

關于上面所說解決這個問題所需要的三個必要條件之中的第三個條件，我曾提出來一個學說，這個學說好象是不合別的那些邏輯學家的意的?？墒窃谖铱磥?，這個學說仍然是正確的。這個學說可以述之如下：當我對于一個fx函數的一切值加以斷定的時候，我斷定的若要明確，x所能采取的值就必須是明確的。那就是說，x所可能有的值必須有一個總體。

如果我現在進而創立以那個總體來說明的新的值，這個總體好象就因此擴大了，而且與它有關的新的值也就因此和那個擴大了的總體有了關系。但是，因為新的值不能不包括在這個總體之中，這個總體就永遠追不上這些新的值，這個過程就好象你想要跳到你的頭的影子上。我們用那個關于說謊的人的悖論最能簡單地對于這一點加以說明。那個說謊的人說：

"不論我說什么都是假的"。事實上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。我們不能不把涉及命題總體的命題和不涉及命題總體的命題加以區分。那些涉及命題總體的命題決不能是那個總體之中的份子。第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其余仿此，以至無窮。所以我們那位說謊的人現在就不能不說："現在就是肯定一個第一級的偽命題，這是偽的。"但這本身是一個第二級的命題。

所以他不是說出任何第一級的命題。因此他所說的簡直就是偽的，說它也是真的這種議論不攻自破。這種論證完全可以用于任何高一級的命題。

我們可以發見，在一切邏輯的悖論里都有一種反身的自指，這種反身自指應該根據同樣的理由加以指斥。那就是說，它包含講那個總體的某種東西（這種東西又是總體中的一份子）。如果這個總體已經固定了，這種東西才有明確的意義。

我不能不坦白地說，這個學說還沒有獲得廣泛的承認。但是我還沒有見到能使我信服的反對這個學說的論證。

前面曾經提過的敘述學說是在發表于一九○五年《心》學報的我的一篇文章《論指示》中第一次提出的。那時的那位編輯人覺得這個學說很不合理，他請我重加考慮，不要要求照原樣發表。但是，我相信這個學說是正確的，我拒絕讓步。

這個學說后來得到普遍的承認，大家以為這是我對于邏輯最重要的貢獻。的確，現在那些不相信名稱和別的字之間是有區別的人對于這個學說是有一種反應。但是我認為只有在那些沒有弄過數理邏輯的人之中才有這種反應?？偠灾?，我在他們的批評里看不出任何正確性來。可是我承認，也許名稱學說要比我有一個時期所想的稍微難一點。可是我暫時把這些困難擱下不管，來講一講普通所用的日常語言。

我曾取"斯考特"這個名稱和"《威弗雷》的作者"這個敘述之間的對比來作我的論證之用。"斯考特是《威弗雷》的作者"這個命題是表示一個同一性，不表示一個同義反復。

佐治第四想知道斯考特是不是《威弗雷》的作者，可是他并不想知道斯考特是不是斯考特。雖然這使每一個未曾研究過邏輯的人都能了解，對于邏輯學家卻是一個謎。邏輯學家們認為（也可以說從前認為），如果兩種措辭是指一種東西，包含其一措辭的一個命題就永遠可以被包含另一種措辭的一個命題所代替，而不失其為真，如果原來那個命題是真，或不失其為偽，如果原來那個命題是偽。但是，我們已經說過，用"斯考特"代替了"《威弗雷》的作者"之后，你可以把一個真命題變成一個偽命題。這表明不能不把一個名稱和一個敘述加以區別："斯考特"是一個名稱，可是"《威弗雷》的作者"就是一個敘述。

名稱與敘述之間另外一種重要的分別是，如果一個名稱沒有所指，它在一個命題里就沒有意義，而一個敘述卻不受這種限制。我對麥農的工作原是表很大的敬意的，他卻看不出這種區別來。他曾經指出，我們可以提出一些命題來，其邏輯的主辭是"金山"，雖則金山并不存在。他的持論是，如果你說金山并不存在，顯然你所說的有一種東西是不存在的，也就是說，金山：所以金山一定是存在于柏拉圖哲學里某種渺茫的有的世界之中，因為，若不是如此，你的那個金山不存在的命題就是沒有意義的。我老實說，在我想出敘述學說以前，我覺得麥農這種論證是令人信服的。這個學說的要點是，雖然"金山"在文法上可以是一個有意義的命題的主辭，這樣一個命題，如果正確地分析了以后，就沒有這樣一個主辭了。"金山不存在"這個命題就變成了"就x的一切值來說，’x是金的而且是一座山’這個命題函項是偽的"。"斯考特是《威弗雷》的作者"這個命題變成了"就x的一切值來說，’x寫了《威弗雷》’等于’x是斯考特’。"在這里，"《威弗雷》的作者"的字樣就不再出現了。

這個學說還弄明白了"存在"是什么意思。"《威弗雷》的作者存在"意思是說"有一個ｃ的值，就這一個值來說，ｘ寫了《威弗雷》’永遠等于’x是ｃ’這一個命題函項是真的。"

從這個意義來說，存在只能用來說一個敘述，而且，經過了分析之后，就可以見出是一個命題函項的例子，至少就變項的一個值來說是真的。我們可以說"《威弗雷》的作者存在"，我們也可以說"斯考特是《威弗雷》的作者"，但是"斯考特存在"是不正確的說法。這種說法最多能解釋為有這種意思："名叫斯考特的那個人存在"，但是"名叫斯考特的那個人"是一個敘述，不是一個名稱。凡是把一個名稱適當地當做一個名稱用的時候，說"它存在"是不正確的。

敘述學說的主要之點是，一個短語對于一句話的意思可以有所貢獻，若是單獨用的時候就完全不具有任何意義。就敘述來說，關于這一點有精確的證明：如果"《威弗雷》的作者"是指"斯考特"以外的什么東西，"斯考特是《威弗雷》的作者"就是偽的，實際上這個命題并不偽。如果"《威弗雷》的作者"是指斯考特，"斯考特是《威弗雷》的作者"就是同義反復，而實際上并非如此。所以，"《威弗雷》的作者"既不指"斯考特"，也不指什么別的東西。那就是說，"《威弗雷》的作者"什么也不指。證訖。

大家只從哲學的觀點來看《數學原理》，懷特海和我對此都表失望。對于關于矛盾的討論和是否普通數學是從純乎邏輯的前提正確地演繹出來的問題，大家很有興趣，但是對于這部書里所發現的數學技巧，大家是不感興趣的。我從前知道只有六個人讀了這部書的后面幾部分。其中三個是波蘭人，后來（我相信）被希特勒給清算掉了。另外三個是得克薩斯州人，后來被同化得很滿意。甚至有些人，他們所研究的問題和我們的問題完全一樣，認為不值得查一查《數學原理》關于這些問題是怎么說的。我舉兩個例子：大約在《數學原理》出版十年之后，《數學紀事》發表了一篇長文，其中一些結果我們在我們的書里的第四部分不約而同早已經弄出來了。這篇文章里有些錯誤，我們卻避免了，可是沒有一個正確的地方不是我們已經發表過的。這篇文章的作者顯然完全不知道他的這種工作早已經有人先他而為之了。第二個例子是在我在加利福尼亞大學和萊申巴赫同事的時候出現的。他告訴我，他有一項發明，他把數學歸納法引伸了。他名之為"超限歸納法"。我對他說，這個問題是在《數學原理》的第三卷里充分討論過的。過了一個星期，他對我說，他已經證實了這一點。我想在本章里盡可能不過于專門，從數學的觀點，不從哲學的觀點，把《數學原理》我認為重要的幾方面解釋一下。

我先從一個問題著手，這是一個哲學上的問題，也同樣是一個數學上的問題，就是，關系的重要性。在我的論萊布尼茨的書里，我曾著重討論過有關系的事實和命題的重要性，和這些相對立的是由本體--和--屬性而成的事實和由主辭--和--賓辭而成的命題。我發現對關系所持的偏見在哲學和數學里是發生了不良影響的。正象萊布尼茨未獲成功的努力一樣，布爾的數理邏輯是討論類的包含的，而且只是三段論法的一種發展。皮爾斯曾弄出一種關系邏輯，但他是把關系當作一種由雙而成的類。這在技術上是可能的，但是并不自然而然地把注意力引向重要的東西。在關系邏輯里重要的東西是與類邏輯不同的東西。關于關系，我在哲學方面的意見有助于使我著重一種東西，這種東西結果變得極為有用。

在那個時候，我幾乎是只把關系認做是內包。我想到了這樣一些句子："ｘ在ｙ之前"、"ｘ大于ｙ"、"ｘ在ｙ之北"。那時我覺得（我現在確是仍然覺得），雖然從一種形式算法的觀點來看我們可以把關系當做一套有序的偶，可是使這一套成為一個統一體的只是內包。當然，類也是如此。使一個類成為一個統一體的只有那個為類中的各項所共具、又為各項所特有的內包。凡是我們對付一個類，其中的項我們無法列舉的時候，上面所講的道理是顯而易見的。就無限的類來說，無法列舉是很明顯的，可是大多數有限的類也正是如此。舉例來說，誰能列舉蠼螋這個類其中的各項呢？雖然如此，我們還是可以說出一些關于一切蠼螋的命題來（或真或偽），我們之所以能夠如此，乃是由于使這個類所以能夠成立的內包。以上所說各點也一樣可以用于關系。關于時間上的次序，我們有很多事情可說，因為我們懂得"在先"這個字的意思，雖然ｘ在ｙ之先這樣的ｘ，ｙ一切的偶我們是無法列舉的。但是對于關系是偶的類這種見解還有一個反對的議論：這些偶必須是有序的偶，那就是說，我們必須能夠分別ｘ，ｙ這個偶和ｙ，ｘ這個偶。若是不藉內包上的某種關系，這是做不到的。只要我們只限于類和賓辭，就不可能解釋次序，或把一個有序的偶和無序的一個兩項的類加以區分。

所有這些都是我們在《數學原理》里所發展出來的關系算法的哲學背景。我們不得不把各種概念用符號來表示，這些概念在以前是數理邏輯學家們沒有弄得顯著的。這些概念中最重要的是：（１）由一些項而成的類，這些項對于一個既定的ｙ項有Ｒ關系；（２）由一些項而成的類，對于這些項一個既定的ｘ項有Ｒ關系；（３）關系的"范圍"，這個范圍是由一個類而成，這個類中所有的項對于某種什么東西有Ｒ關系；（４）Ｒ的"相反范圍"，這個范圍是由一個類而成，某種什么東西對于這個類中所有的項有Ｒ關系；（５）Ｒ的"領域"，這個領域是由上面所說的那種"范圍"和"相反范圍"而成；（６）一種Ｒ關系的"反面"，這是ｘ和ｙ之間有Ｒ關系的時候，ｙ和ｘ之間所具的一種關系；（７）Ｒ和Ｓ兩種關系的"關系產物"，這是有一個ｙ中項的時候，ｘ和ｚ之間的一種關系，ｘ對于ｙ有Ｒ關系，ｙ對于ｚ有Ｓ關系；（８）復數，界說如下：有既定的某ａ類，我們形成一個由若干項而成的類，所有這些項對于ａ的某項有Ｒ關系。我們可以看一看人與人的關系來作以上各種概念的例子。舉例來說，假定Ｒ是父母與子女的關系。那么，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；

（３）是所有那些有子女的人的類；（４）是所有那些有父母的人的類，那就是說，除了亞當和夏娃以外，每人都包括在內；

（５）"父母"關系的領域包括每個人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）"的父母"這種關系的反面是"的子女"那么一種關系；（７）"祖父母"是父母與父母的關系產物，"弟兄或ae?妹"是"子女"與"父母"的關系產物，"堂兄弟或弟兄或ae?妹"是孫和祖父母的關系產物，余可以類推；

（８）"伊通學院學生的父母"是按這一個意義來說的復數。

不同種類的關系有不同種類的用處。我們可以先講一種關系，這種關系產生一種東西，我名之曰"敘述函項"。這是最多只有一項對于既定的一項所能有的一種關系。這種關系產生用單數的"ｔｈｅ"這個字的短語，如"ｔｈｅfａｔｈｅｒofｘ"（ｘ的父親），"ｔｈｅｄｏｕ－ｂｌｅofｘ"（ｘ的兩倍），"ｔｈｅｓｉｎｅofｘ"（ｘ的正弦），以及數學中所有的普通函數。這種函項只能由我名之曰"一對多"的那種關系產生出來，也就是最多一項對于任何別的一項所能有的那種關系。舉例來說，如果你正在談一個信基督教的國家，你可以說"ｘ的妻"，但是如果用于一個一夫多妻制的國家，這一個短語的意思就不明確了。在數學里你可以說"ｘ的平方"，但是不能說"ｘ的平方根"，因為ｘ有兩個平方根。前面所列的表里的"范圍"、"相反范圍"和"領域"都產生敘述函項。

第二種極其重要的關系是在兩個類之間建立一種相互關系的那種關系。這種關系我名之曰"一對一"的關系。這是這樣一種關系，在這種關系中，不僅最多只有一個對于一個既定的ｙ有Ｒ關系的ｘ，而且最多也只有一個ｙ，對于這個ｙ一個既定的ｘ有Ｒ關系。舉一個例子：禁止一夫多妻的婚姻。

凡是在兩個類之間有這樣一種相互關系存在，這兩個類的項的數目就是一樣的。舉例來說：不用計算我們就知道妻的數目和夫的數目是一樣的，人的鼻子的數目和人的數目是一樣的。有一種特殊形式的相互關系，這種關系也是極其重要的。

這種相互關系的起因是：有兩個類是Ｐ和Ｑ兩個關系的領域，并且在它們之間有一種相互關系，凡是兩個項有Ｐ這種關系的時候，它們的相關者就有Ｑ這種關系，反之亦然。結過婚的官吏的位次和他們的妻的位次就是一個例子。如果這些妻不和貴族有關系，或者如果這些官吏不是主教，這些妻的位次就和丈夫的位次是一樣的。這種產生相互關系的東西名曰"次序的相互關系產生者"，因為不管在Ｐ領域中的各項有怎么一種次序，這種次序總保存在Ｑ領域中的它們的相關者中。

第三種重要的關系類型是產生系列的一種關系。"系列"是一個舊的，人人都熟悉的名辭，但我認為我是給這個辭以一個確切意義的第一個人。一個系列就是一個組，包含若干項，這些項有一個次序，這個次序來源于一種關系，這種關系具有三種性質：（ａ）這種關系一定是不對稱的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關系，ｙ對ｘ就沒有這種關系；（ｂ）它一定是及物的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關系，并且ｙ對ｚ有這種關系，ｘ對ｚ就有這種關系；（ｃ）它一定是連接的，那就是說，如果ｘ和ｙ是這種關系領域中的任何不同的兩項，那么，不是ｘ對于ｙ有這種關系，就是ｙ對于ｘ有這種關系。如果一種關系具備了這三種性質，它就把它領域中的各項排列在一個系列中。

所有這些性質都很容易用人與人關系的例子來說明?！ふ伞し蜻@種關系是不對稱的，因為如果Ａ是Ｂ的丈夫，Ｂ就不是Ａ的丈夫。相反，配偶就是對稱的。祖先是及物的，因為Ａ的一個祖先的一個祖先是Ａ的一個祖先；但是·父·親是不及物的。在一個系列關系所必具的三個性質之中，祖先具備兩個，不具備第三個，"連接"，那個性質，因為，并不是任何兩個人之中，一個一定是另一個的祖先。另外一方面，舉例來說，如果我們看一看一個皇室的王位繼承，兒子總是繼承父親，僅限于這個王系的祖先關系是連接的，所以這些國王形成一個系列。

上面這三種關系是邏輯和普通數學之間過渡的極為重要的關系。

現在我想進而把幾種發展的大意說一說，以上所講的邏輯上的那一套對于這些發展是很有用的。但是在講之前，我先說幾句概括的話。

在我年輕的時候，人家告訴我說，數學是關于數目和量的科學，另一種說法是，數學是關于數目和度量的科學。這一個定義失之過于狹隘。第一：在傳統的數學里所講的那些很多不同種類的數目只占數學方法所應用到的那個范圍的一小部分，并且，為建立算術的基礎我們所不能不有的推理是和數目沒有很密切的關系的。第二：在講算術和算術的緒論的時候，我們不可忘記，有些定理對于有限的和無限的類或數來說都一樣是真的。只要可能，我們不應該只為前者對于這些定理加以證明。說得更普通一些，如果在比較普遍的范圍內我們可以證明一些定理，我們認為，在特殊某類的實例中對于這些定理加以證明是一件耗費時間的事。第三：算術中的一些傳統的形式定律，即，結合定律，

（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）

交互定律，

ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ

和分配定律

ａ×（ｂ＋ｃ）＝（ａ×ｂ）＋（ａ×ｃ）

我們認為證實這些定律是我們的目的的一部分。初學數學的人只學了這些定律而無證明，要不然，如果有證明，他們是用數學歸納法，因此只對于有限數是有效的。加法和乘法上的普遍定義假定因數的數目是有限的。我們竭力想去掉包括以上所說那一種在內的一些限制。

用所謂"選擇"的方法，我們可以把乘法擴展到無限多的因數。用選舉議會的議員這個例子最容易使我們明白選擇這個概念是什么。假定在該國家里每一個選舉出來的議員必須是選民中的一員，整個議會就是自選民而來的一個所謂"選擇"。大意是這樣：如果有一個由若干類而成的類，那若干類中沒有一個是零，選擇就是一種關系，從每類中挑出一個項來做那類的"代表"。這樣做法的數目（假定沒有一項為兩類所共有）就是這些類的數目的積數。舉例來說，假定我們有三個類，第一個是由ｘ１，ｘ２，ｘ３而成，第二個由ｙ１，ｙ２，ｙ３而成，第三個由ｚ１，ｚ２，ｚ３而成，凡是包含一個ｘ，一個ｙ和一個ｚ的類就是自三類的類而來的一個選擇。無論哪一個讀者都不難弄明白有二十七種辦法來做這種選擇。

在我們采用了這種乘法的定義之后，我們遇到了一種沒有想到的困難。如果類的數目是無限的，好象我們就無法確知選擇是可能的。如果這些類的數目是有限的，我們可以從每一類里任意挑出一個代表來，在大選里就是這樣；但是，如果這些類的數目是無限的，我們就無法有無限數目的任意的挑選，并且我們不能確知可以做出一個選擇來，除非有一個內包來得到所希望的結果。我舉一個例子：從前有一個百萬富翁，他買了無數雙鞋，并且，只要他買一雙鞋，他也買一雙襪子。我們可以作一個選擇，從每雙鞋里挑一只，因為我們總是可以挑右鞋或者挑左鞋。所以，就鞋來說，選擇是存在的。但是，論到襪子，因為沒有左右之分，我們就不能用這個選擇的規則。如果我們想從襪子之中能夠加以選擇，我們就不能不采取一種精密得多的方法。例如，我們可以找出一個特點來，在每雙襪子中有一只比另一只更近于這個特點。

這樣，我們從每一雙里挑選那一只比較近于這個特點的襪子，我們就選擇出來了一套。我曾有一次把這一個謎說給在三一學院教職員餐桌偶爾坐在我一邊的一位德國數學家聽，可是他唯一的評語是："為什么說百萬富翁？"

有些人以為，不言而喻，如果這些類之中沒有一個是零，從每類中選擇出一個來就一定是可能的。另有一些人則認為不然。關于這一點，皮亞諾說得最好："這一個原則正確不正確呢？我們的意見是沒有價值的。"我們對于我們所謂"乘法公理"所下的界說是：這是假定永遠可能從一組若干類中的每一個（這些類沒有一個是零）選出一個代表來。我們找不到贊成或反對這個公理的論證，因此我們把這一個公理明白地包括在應用這個公理的任何定理的假定中。在我們遇到這一個問題的同時，載爾美樂提出了他所說的"選擇原理"，這是一個略為不同但在邏輯上相等的假定。他和一些別的人把它看做是一個自明的真理。因為我們并不采取這一個意見，我們盡力尋求一些方法來對付乘法而不假定這個公理是真的。

選擇的邏輯學說無論在哪一點上都不依賴"數目"這個概念，在《數學原理》里我們是在給"數目"下界說之前提出來選擇學說的。這種意思也可以用于另一個極其重要的概念，也就是，在普通語言里用"等等"這些字所表示C的那個概念。

假定你想用"父母"這個概念來說明"祖先"這個概念。

你可以說，Ａ是Ｚ的祖先，如果Ａ是Ｂ的父（或母）親，Ｂ是Ｃ的父（或母）親，等等，并且這樣在有限的多少步之后，你達到Ｙ這個人，他是Ｚ的父（或母）親。這都沒有問題，只是有一件，這里邊包含"有限的"這幾個字，這幾個字不能不加以界說。只有用一個完全一般的概念的特殊應用，給"有限的"下定義才是可能的，就是，從任何既定的關系而來的祖先關系那個概念。這個祖先關系概念最初是弗雷格遠在一八七九年發展出來的，但是直到懷特海和我發展出這個概念來的時候，弗雷格的工作一直沒有為世人所注意。我們想加以界說的這個概念可以初步解釋如下：如果ｘ對于ｙ具有Ｒ關系，我們姑且把ｘ到ｙ這一步稱為"Ｒ步"。你可以從ｙ到ｚ再走一Ｒ步。凡是通過從ｘ開始的那些Ｒ步你所能達到的東西，我們都說成為關于Ｒ的ｘ的"后代"。我們不能說凡是通過一個"有限數目的Ｒ步"你所能達到的東西，因為我們還沒有對于"有限"這個辭加以界說。我們只有借"后代"這個概念才能給它下一個界說。關于Ｒ的ｘ的后代可以界說如下：我們先給關于Ｒ的一個"世傳的"類下一個界說。

這是有這樣性質的一個類：凡是從這個類的一項通過一Ｒ步所達到的東西就又是這個類的一項。舉例來說，"斯密"這個名稱的性質是在父子關系中世傳的，人性這種性質是在父母對子女的關系中世傳的。"如果ｙ屬于ｘ所屬于的每個關于Ｒ的世傳的類，ｙ就屬于關于Ｒ的ｘ的后代"，我現在說明這是什么意思。現在讓我們把這個應用于普通的整數，用一個數目對于它下面緊接著的那個數目的關系來代替Ｒ。如果我們現在看一看關于這一個數目的０的后代，顯然１是屬于這個后代，因為１＝０＋１；而且，因為１屬于０的后代，２也是如此；而且，因為２是如此，３也就是如此。這樣下去，我們就得到一整套都屬于０的后代的數目。我們可以把用所謂"數學歸納法"的證明應用于所有這些數目。數學歸納法是這樣一個原理：如果一個性質屬于０，并且屬于有這個性質的任何數目下面緊接著的那個數目，那么，這個性質就屬于所有的有限數。把"有限"數說明為０的后代，這是這個定義的直接結果。從前大家以為數學歸納法是一個原理，因為從前以為一切數目一定是有限的。這是一個錯誤。數學歸納法不是一個原理，而是一個定義。對于有些數目來說它是正確的，對于另一些數目來說它是不正確的。凡它能適用的數目就是有限數。舉例來說，把１加到一個有限數上，這個有限數就增加了；一個無限數就不是這樣。

整個這個祖先關系學說不但對于數目說來是十分重要的。因為這個理由，我們在提出數的定義來以前就創立了這個學說。

現在我來講一個東西，我名之為"關系算術"，這占了《數學原理》第二卷的后半本的篇幅。從數學的觀點來看，這是我對于這部書最重要的貢獻。我所說的"關系數"是一種完全新的數，普通數是這種數的一種極其特殊化的例子。我發現，一切能用于普通序數的那些形式定律都能用于這一種一般得多的數。我也發現，關系數對于了解結構是很要緊的。

有些辭（"結構"就是其中的一個），正如"等等"或者"系列"，雖然為人用得慣熟，卻無確切的意義。借關系算術，"結構"這個概念就可以精確地加以界說。

這一個問題里的基本定義是前面已經提到過的"次序的類似"或"相似"的定義。凡和關系有關的地方，這種東西所起的作用正和類似在類與類之間所起的作用是一樣的。類與類之間的類似就是一個一對一的關系的存在，把一類的每一項和另一類中的相關者連結到一起。Ｐ和Ｑ兩種關系之間的次序的類似就是指，有Ｐ領域對Ｑ領域的那么一個相互關系產生者，凡是兩項有Ｐ關系，它們的相關者就有Ｑ關系，反之亦然。讓我們舉一個例證：假定Ｐ是已婚的政府官員的位次關系，Ｑ是他們的妻子的位次關系，妻和丈夫的關系就使Ｐ領域和Ｑ領域有這樣的相互關系：只要是這些妻們有Ｑ關系，他們的丈夫就有Ｐ關系，反之亦然。當Ｐ和Ｑ兩種關系在次序上是類似的時候，如果Ｓ是產生相互關系作用的那個關系，Ｑ就是Ｓ和Ｐ的關系產物，而且是Ｓ的倒轉。例如，在上面所舉的那個例證中，如果ｘ和ｙ是兩個妻，并且ｘ對ｙ有Ｑ關系，而且，如果Ｓ是妻對丈夫的關系，那么，ｘ就是對ｙ的丈夫有Ｐ關系那樣一個男人的妻，那就是說，Ｑ和Ｓ與Ｐ的關系產物是同一關系，并且是Ｓ的倒轉；Ｓ的倒轉就是丈夫對妻的關系。凡Ｐ和Ｑ是系列關系的時候，它們的相似在于它們的各項可以發生相互關系而不變換次序。但是相似這個概念可以用于一切有領域的關系，也就是，可以用于一切關系，在這種關系中，范圍和倒轉范圍是一種類型。

我們現在說，一個Ｐ關系的關系數就是那些在次序上和Ｐ相類似的關系的類。這正有類于用次序的類似代替類的類似，用關系代替類的基數算術。加法、乘法和指數的定義有點兒類乎基數算術里的定義。加法和乘法都遵循結合定律。分配定律在一種形式中是適用的，但是，普通說來，在另一種形式中是不適用的。除了有關的關系的領域是有限的，交互定律是不適用的。舉例來說，今有象自然數的系列的一個系列，在這個系列上加上兩項。如果你把這兩項加在開頭的地方，這個新的系列就象是那個舊的系列；可是，如果你把這兩項加在末尾，這個新的系列就不同了。無論什么時候，如果ｘ對ｙ有Ｐ關系，或ｘ對ｙ有Ｑ關系，或ｘ屬于Ｐ的領域，ｙ屬于Ｑ的領域，那么，Ｐ和Ｑ兩種關系之和就可以說是能適用于ｘ與ｙ之間的一種關系。根據這一個定義，一般說來，Ｐ與Ｑ之和跟Ｑ與Ｐ之和不同。不僅一般的關系數是如此，而且序數也是如此，如果其中之一或二者是無限的。

序數是關系數的次一級的類，也就是能適用于"次序整然的"系列，"次序整然的"系列其性質是：其中任何有若干項的次一級的類有一個第一項?？蔡卦芯窟^超限序數，但是，據我所知，一般的關系數是在《數學原理》中第一次加以界說和研究的。

一兩個例證也許對于我們有幫助。假定你有若干對成一其個系列，你想按照上面解釋選擇公理的意思從這些對里形成一系列的選擇。這個程序和基數算術里的程序十分近似，只是有一點不同，就是，我們現在是想把這些選擇排成一個次序，而以前我們只是把它們算做一個類。此外又假定，正如我們討論類的選擇的時候那樣，我們有三個組，（ｘ１，ｘ２，ｘ３）、（ｙ１，ｙ２，ｙ３）和（ｚ１，ｚ２，ｚ３），我們想從這些里邊弄出一個選擇的系列來。這有種種辦法。也許最簡單的辦法是這樣：任何包含ｘ１的選擇出現在任何不包含的選擇之先。在二者都包含ｘ１或都不包含ｘ１的那些選擇之中，那些包含ｙ１的選擇出現在不包含ｙ１的選擇之先。在二者都包含或都不包含ｘ１和ｙ１的那些選擇之中，那些包含ｚ１的選擇出現在那些不包含ｚ１的選擇之先。我們為尾數２和尾數３立下類似的規則。這樣我們就得到所有可能有的選擇，排成一個系列，這個系列的開頭是（ｘ１，ｙ１，ｚ１），最后是（ｘ３，ｙ３，ｚ３）。顯然這個系列是有二十七項，但是這里二十七這些數目已經不是象我們從前那個例子里的那樣一個基數，而是一個序數了，也就是說，是特別一種關系數。由于在那些選擇之中建立了一個次序，它和一個基數是有區別的，一個基數并不建立一個次序。只要我們只限于有限數，在序數與基數之間是沒有重要的形式上的分別的；但是，有了無限數的時候，由于交互定律不起作用，其間的分別就變得重要了。

在證明關系算術的形式定律的時候，我們常常有機會討論系列的系列的系列。用下面這個實例，你在心中就可以得到一個具體形像：假定你要把一些磚堆積起來，而且，為的是把這件事說得更有趣，假定這是些金磚，你是在諾克司堡工作。我現在假定你先弄成一行磚，把每一塊磚放在前一塊的正東；你然后再弄一行，和第一行接觸，但是是在第一行的正北；這樣下去，你弄了許多行，到適當的程度而止。然后你在第一層的上面弄第二層，在第二層的上面弄第三層，這樣下去，直到所有的磚都堆完為止。那么每一行就是一個系列，每一層是一個系列的系列，這一整堆是一個系列的系列的系列。我們可以用符號把這個過程代表如下：假定Ｐ是上層對下層的關系；Ｐ的領域是由各層而成；每一層是一系列的行。假定Ｑ１是最高一層各行南對北的關系，Ｑ２是第二層各行的這種關系，其余類推。Ｑ的領域是一系列的行。在最高一層最南邊的一行中，東對西的關系，我們稱之為Ｒ１１；在最高一層的第二行中，東對西的關系，我們稱之為Ｒ１２；其余類推，最后是Ｒｍｍ，假定ｍ是層的數目，ｎ是每一層中行的數目。在這一個實例中，我是假定層數和行數是有限的，但是這是一個完全不必要的限制，有這一個限制只是為把這個實例弄得簡單一點。在普通的語言里，所有這些都頗為復雜而冗長，但是用其符號來就變得簡易了。假定E是ｘ對Ｐ的關系（這個關系就是ｘ是Ｐ的領域的一項）。那么，F３就是F和F和F的關系產物。舉例來說，單個的磚是對Ｐ有F３關系的一些項，那就是說，每個磚是Ｐ的領域的一項的領域的一項的領域的一項。在證明加法和乘法的結合定律的時候，我們需要這樣的系列的系列的系列。

如果兩個關系數在次序上類似，我們可以說，它們產生相同的"結構"，但結構是略比這個更為廣泛的概念，因為它不限于二的關系，那就是說，二項之間的關系。在幾何學里，三項或四項之間的關系是很重要的，懷特海原要在《數學原理》的第四卷里討論這些關系。但是他做了不少預備工作之后，他的興趣松懈下來，他放棄了這計劃，而走向哲學去了。

可是不難看出結構這個概念如何可以一般化。假定Ｐ和Ｑ已經不是二的關系，而是三的關系，這樣的關系有許多通俗的例子，如，"在……之間"和"嫉妒"。關于Ｐ和Ｑ，我們可以說它們有相同的結構，如果能使它們有相互關系，凡在那個次序里ｘｙｚ有Ｐ關系的時候，它們的相關者在相同的次序里就有Ｑ關系，反之亦然。結構之為重要是有經驗上的原因的，但是它的重要性也有純粹是邏輯上的原因。如果兩個關系有相同的結構，它們的邏輯上的性質是同一的，只是有一件：有賴于它們的領域的項的那些性質要除外。我所謂"邏輯的性質"是指能用邏輯術語表示的那些性質，不只是指能用邏輯證明的那些性質。對于系列關系加以界說的那三個特征就是一個例子，就是說，它們是不對稱的、及物的、連接的。這些特征可以用邏輯術語表示出來；如果一個關系有其中之一的任何特征，每個在次序上和它類似的關系就也有這一個特征。每個關系數，不管是有限的或是無限的，是有這個數的任何關系的一個邏輯的性質。大體說來，凡關于一個關系你所能講的話，不提有這個關系的各項，也不談任何不能用邏輯術語表示的性質，都完全能適用于任何與你著手的關系相類似的關系。邏輯的和別的性質之間的區別是很重要的。舉例來說，如果Ｐ是顏色之間的一種關系（例如虹里顏色的次序），是顏色之間的一種關系這么一個性質不屬于在次序上與Ｐ類似的一切關系；但是是系列的那樣的一個性質卻是如此。再舉一個較為復雜的例子：留聲機器和灌片時原來的音樂在它們的邏輯的性質方面是分辯不出來的，雖然這兩種東西所由成的實際材料是很不同的。

另一個實例也許能幫助我們把結構這個概念解釋明白。

假定你知道某種語言的文句構造上的規則，但是，除了用于邏輯的一些字以外，你一個字也不認識，并且假定有人給了你用這種文字寫出來的一個句子：這句話可以有的不同的意義是什么呢？這些意義的相同之點是什么呢？只要能使這整個句子具有意義（也就是說，在邏輯上講得通），你對于每個單個的字可以賦予任何意義。那么，這句話就有很多可能的意義，也說不定是無限多，但是它們都有相同的邏輯結構。如果你的語言具備某些邏輯上的必要條件，使你的一些句子為真的那些事實也就有相同的結構。

我認為關系算術是重要的，這不只是因為它是一個有趣的通則，也是因為它給人以對付結構所必需的一種符號技術。

我一直認為，不熟悉數理邏輯的人很不容易了解"結構"的意義，而且，因為有這一種困難，在試圖了解經驗的世界的時候，他們很容易走錯了路。僅是因為這個道理，關系算術這一個學說至今不大為世人所注意，我對此覺得十分惋惜。

我之知道這個學說沒有完全被人所忽略，是因為我在一九五六年出乎意料之外接到了柏林漢布特大學俞爾根·斯密教授的一封信。他告訴我，這個學說的一些部分在所謂"辭典編輯問題"中曾經用過，這個問題是在于規定一種語言中字的字母排列，這種語言的字母是無限的。