數(shù)學是利用符號語言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間等概念的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。
數(shù)學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產(chǎn)生。數(shù)學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。
基礎(chǔ)數(shù)學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環(huán)。對數(shù)學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學文本便可觀見，而在古希臘那里有更為嚴謹?shù)奶幚怼哪菚r開始，數(shù)學的發(fā)展便持續(xù)不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因為新的科學發(fā)現(xiàn)和數(shù)學革新兩者的交互，致使數(shù)學的加速發(fā)展，直至今日。數(shù)學并成為許多國家及地區(qū)的教育范疇中的一部分。
今日，數(shù)學使用在不同的領(lǐng)域中，包括科學、工程、醫(yī)學和經(jīng)濟學等。數(shù)學對這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學，有時亦會激起新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，并導致全新學科的發(fā)展，例如物理學的實質(zhì)性發(fā)展中建立的某些理論激發(fā)數(shù)學家對于某些問題的不同角度的思考。數(shù)學家也研究純數(shù)學，就是數(shù)學本身的實質(zhì)性內(nèi)容，而不以任何實際應(yīng)用為目標。雖然許多研究以純數(shù)學開始，但其過程中也發(fā)現(xiàn)許多應(yīng)用之處。
西方語言中“數(shù)學”一詞源自于古希臘語的μ?θημα（máthēma），其有“學習”、“學問”、“科學”，以及另外還有個較狹義且技術(shù)性的意思－“數(shù)學研究”，即使在其語源內(nèi)。其形容詞μαθηματικ??（mathēmatikós），意思為和學習有關(guān)的或用功的，亦會被用來指數(shù)學的。其在英語中表面上的復數(shù)形式，及在法語中的表面復數(shù)形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數(shù)mathematica，由西塞羅譯自希臘文復數(shù)τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指“萬物皆數(shù)”的概念。
漢字表示的“數(shù)學”一詞大約產(chǎn)生于中國宋元時期。多指象數(shù)之學，但有時也含有今天上的數(shù)學意義，例如，秦九韶的《數(shù)學九章》（《永樂大典》記，即《數(shù)書九章》也被宋代周密所著的《癸辛雜識》記為《數(shù)學大略》）、《數(shù)學通軌》（明代柯尚遷著）、《數(shù)學鑰》（清代杜知耕著）、《數(shù)學拾遺》（清代丁取忠撰）。直到1939年，經(jīng)過中國數(shù)學名詞審查委員會研究“算學”與“數(shù)學”兩詞的使用狀況后，確認以“數(shù)學”表示今天意義上的數(shù)學含義。
數(shù)學有著久遠的歷史。它被認為起源于人類早期的生產(chǎn)活動：中國古代的六藝之一就有“數(shù)”，數(shù)學一詞在西方有希臘語詞源μαθηματικ??（mathematikós），意思是“學問的基礎(chǔ)”，源于μ?θημα（máthema，“科學，知識，學問”）。史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質(zhì)的多少、時間的長短等抽象的數(shù)量關(guān)系，比如時間單位有日、季節(jié)和年等。算術(shù)（加減乘除）也自然而然地產(chǎn)生了。古代的石碑及泥版亦證實了當時已有幾何的知識。
瑪雅數(shù)字
更進一步則需要寫作或其他可記錄數(shù)字的系統(tǒng)，如符木或于印加帝國內(nèi)用來儲存數(shù)據(jù)的奇普。歷史上曾有過許多不同的記數(shù)系統(tǒng)。在最初有歷史記錄的時候，數(shù)學內(nèi)的主要原理是為了做稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)計算，為了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測量土地，以及為了預(yù)測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學對數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時間方面的研究。
到了16世紀，算術(shù)、初等代數(shù)以及三角學等初等數(shù)學已大體完備。17世紀變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換，微積分的概念也在此時形成。隨著數(shù)學轉(zhuǎn)向形式化，為研究數(shù)學基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始發(fā)展。數(shù)學的重心從求解實際問題轉(zhuǎn)變到對一般形式上的思考。從古至今，數(shù)學便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，兩者的發(fā)展都受惠于彼此。在歷史上有著許多數(shù)學發(fā)現(xiàn)，并且直至今日都不斷地有新的發(fā)現(xiàn)。據(jù)Mikhail B. Sevryuk于美國數(shù)學會通報2006年1月的期刊中所說，“存放于數(shù)學評論數(shù)據(jù)庫中論文和書籍的數(shù)量自1940年（數(shù)學評論的創(chuàng)刊年份）現(xiàn)已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份。此一學海的絕大部分為新的數(shù)學定理及其證明。”
每當有涉及數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及變化等方面的困難問題時，通常就需要用到數(shù)學工具去解決問題，而這往往也拓展了數(shù)學的研究范疇。一開始，數(shù)學的運用可見于貿(mào)易、土地測量及之后的天文學。今日，所有的科學都存在著值得數(shù)學家研究的問題，且數(shù)學本身亦給出了許多的問題。牛頓和萊布尼茲是微積分的發(fā)明者，費曼發(fā)明了費曼路徑積分，這是推理及物理洞察二者的產(chǎn)物，而今日的弦理論亦引申出新的數(shù)學。一些數(shù)學只和生成它的領(lǐng)域有關(guān)，且用來解答此領(lǐng)域的更多問題。但一般被一領(lǐng)域生成的數(shù)學在其他許多領(lǐng)域內(nèi)也十分有用，且可以成為一般的數(shù)學概念。即使是“最純的”數(shù)學通常亦有實際的用途，此一非比尋常的事實，被1963年諾貝爾物理獎得主維格納稱為“數(shù)學在自然科學中不可想像的有效性”。
如同大多數(shù)的研究領(lǐng)域，科學知識的爆發(fā)導致了數(shù)學的專業(yè)化。主要的分歧為純數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學。在應(yīng)用數(shù)學內(nèi)，又被分成兩大領(lǐng)域，并且變成了它們自身的學科——統(tǒng)計學和計算機科學。許多數(shù)學家談?wù)摂?shù)學的優(yōu)美，其內(nèi)在的美學及美。“簡單”和“一般化”即為美的一種。另外亦包括巧妙的證明，如歐幾里得對存在無限多素數(shù)的證明；又或者是加快計算的數(shù)值方法，如快速傅里葉變換。高德菲·哈羅德·哈代在《一個數(shù)學家的自白》一書中表明他相信單單是美學上的意義，就已經(jīng)足夠作為純數(shù)學研究的正當理由。
我們現(xiàn)今所使用的大部分數(shù)學符號在16世紀后才被發(fā)明出來的。在此之前，數(shù)學以文字的形式書寫出來，這種形式會限制了數(shù)學的發(fā)展。現(xiàn)今的符號使得數(shù)學對于專家而言更容易掌握，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現(xiàn)今的數(shù)學符號有明確的語法，并且有效地對訊息作編碼，這是其他書寫方式難以做到的。符號化和形式化使得數(shù)學迅速發(fā)展，并幫助各個科學領(lǐng)域建立基礎(chǔ)支撐理論。
數(shù)學語言亦對初學者而言感到困難。如“或”和“只”這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者的，如“開放”和“域”等字在數(shù)學里有著特別的意思。數(shù)學術(shù)語亦包括如“同胚”及“可積性”等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術(shù)語是有其原因的：數(shù)學需要比日常用語更多的精確性。數(shù)學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹”。但在現(xiàn)實應(yīng)用中，舍棄一些嚴謹性往往會得到更好的結(jié)果。
嚴謹是數(shù)學證明中很重要且基本的一部分。數(shù)學家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免依著不可靠的直觀而推出錯誤的“定理”，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過許多的例子。在數(shù)學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論證，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義，到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數(shù)學家們則持續(xù)地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計算難以被驗證時，其證明亦很難說是足夠地嚴謹。
公理在傳統(tǒng)的思想中是“不證自明的真理”，但這種想法是有問題的。在形式上，公理只是一串符號，其只對可以由公理系統(tǒng)導出的公式之內(nèi)容有意義。希爾伯特計劃即是想將所有的數(shù)學放在堅固的公理基礎(chǔ)上，但依據(jù)哥德爾不完備定理，每一相容且能蘊涵皮亞諾公理的公理系統(tǒng)必含有一不可決定的公式；因而所有數(shù)學的最終公理化是不可能的。盡管如此，數(shù)學常常被想像成只是某種公理化的集合論，在此意義下，所有數(shù)學敘述或證明都可以寫成集合論的公式。
卡爾·弗里德里希·高斯稱數(shù)學為“科學的皇后”。在拉丁原文Regina Scientiarum，以及其德語K?nigin der Wissenschaften中，對應(yīng)于“科學”的單字的意思皆為知識（領(lǐng)域）。而實際上，science一詞在英語內(nèi)本來就是這個意思，且無疑問地數(shù)學在此意義下確實是一門“科學”。將科學限定在自然科學則是在此之后的事。若認為科學是只指物理的世界時，則數(shù)學，或至少是純數(shù)學，不會是一門科學。愛因斯坦曾如此描述：“數(shù)學定律越和現(xiàn)實有關(guān)，它們越不確定；若它們越是確定的話，它們和現(xiàn)實越不會有關(guān)。”
卡爾·弗里德里希·高斯
許多哲學家相信數(shù)學在經(jīng)驗上不具可否證性，且因此不是卡爾·波普爾所定義的科學。但在1930年代時，在數(shù)理邏輯上的重大進展顯示數(shù)學不能歸并至邏輯內(nèi)，且波普爾推斷“大部分的數(shù)學定律，如物理及生物學一樣，是假設(shè)演繹的：純數(shù)學因此變得更接近其假設(shè)為猜測的自然科學，比它現(xiàn)在看起來更接近。”然而，其他的思想家，如較著名的拉卡托斯，便提供了一個關(guān)于數(shù)學本身的可否證性版本。
另一觀點則為某些科學領(lǐng)域（如理論物理）是其公理為嘗試著符合現(xiàn)實的數(shù)學。而事實上，理論物理學家齊曼（John Ziman）即認為科學是一種公眾知識，因此亦包含著數(shù)學。在任何的情況下，數(shù)學和物理科學的許多領(lǐng)域都有著很多相同的地方，尤其是從假設(shè)所得的邏輯推論之探索。直覺和實驗在數(shù)學和科學的猜想建構(gòu)上皆扮演著重要的角色。實驗數(shù)學在數(shù)學中的重要性正持續(xù)地在增加，且計算和模擬在科學及數(shù)學中所扮演的角色也越來越加重，減輕了數(shù)學不使用科學方法的缺點。在史蒂芬·沃爾夫勒姆2002年的著作《一種新科學》中他提出，計算數(shù)學應(yīng)被視為其自身的一科學領(lǐng)域來探索。
數(shù)學家對此的態(tài)度并不一致。一些研究應(yīng)用數(shù)學的數(shù)學家覺得他們是科學家，而那些研究純數(shù)學的數(shù)學家則時常覺得他們是在一門較接近邏輯的領(lǐng)域內(nèi)工作，且因此基本上是個哲學家。許多數(shù)學家認為稱他們的工作是一種科學，是低估了其美學方面的重要性，以及其做為七大博雅教育之一的歷史；另外亦有人認為若忽略其與科學之間的關(guān)聯(lián)，是假裝沒看到數(shù)學和其在科學與工程之間的交互促進了許多在數(shù)學上的發(fā)展此一事實。這兩種觀點之間的差異在哲學上產(chǎn)生了數(shù)學是“被創(chuàng)造”（如藝術(shù)）或是“被發(fā)現(xiàn)”（如科學）的爭議。大學院系劃分中常見“科學和數(shù)學系”，這指出了這兩個領(lǐng)域被看作有緊密聯(lián)系而非同一。實際上，數(shù)學家通常會在大體上與科學家合作，但在細節(jié)上卻會分開。這亦是數(shù)學哲學眾多議題的其中一個。
早期的數(shù)學完全著重在演算實際運算的需要上，有如反映在中國算盤上的一般
如上所述，數(shù)學主要的學科最先產(chǎn)生于商業(yè)上計算的需要、了解數(shù)字間的關(guān)系、測量土地及預(yù)測天文事件。這四種需要大致地與數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及變化（即算術(shù)、代數(shù)、幾何及分析）等數(shù)學上廣泛的子領(lǐng)域相關(guān)連著。除了上述主要的關(guān)注之外，亦有用來探索由數(shù)學核心至其他領(lǐng)域上之間的連結(jié)的子領(lǐng)域：至邏輯、至集合論（基礎(chǔ)）、至不同科學的經(jīng)驗上的數(shù)學（應(yīng)用數(shù)學）、及較近代的至不確定性的嚴格研究。
為了闡明數(shù)學基礎(chǔ)，數(shù)學邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來。
數(shù)學邏輯專注于將數(shù)學置在一堅固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的結(jié)果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理所屬的領(lǐng)域，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明而又為真的定理。現(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關(guān)連性，千禧年大獎難題中的P/NP問題就是理論計算機科學中的著名問題。
數(shù)量的研究起于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)及整數(shù)與被描述在算術(shù)內(nèi)的自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運算。整數(shù)更深的性質(zhì)于數(shù)論中有詳細的研究，此一理論包括了如費馬最后定理等著名的結(jié)果。數(shù)論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生素數(shù)猜想及哥德巴赫猜想。
當數(shù)系更進一步發(fā)展時，整數(shù)被視為有理數(shù)的子集，而有理數(shù)則包含于實數(shù)中，連續(xù)的量即是以實數(shù)來表示的。實數(shù)則可以被進一步廣義化成復數(shù)。數(shù)的進一步廣義化可以持續(xù)至包含四元數(shù)及八元數(shù)。從自然數(shù)亦可以推廣到超限數(shù)，它形式化了計數(shù)至無限的這一概念。另一個研究的領(lǐng)域為大小，這個導致了基數(shù)和之后對無限的另外一種概念：阿列夫數(shù)，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
許多如數(shù)及函數(shù)的集合等數(shù)學物件都有著內(nèi)含的結(jié)構(gòu)。這些物件的結(jié)構(gòu)性質(zhì)被探討于群、環(huán)、域等抽象系統(tǒng)中，該些物件事實上也就是這樣的系統(tǒng)。此為代數(shù)的領(lǐng)域。在此有一個很重要的概念，即廣義化至矢量空間的矢量，它于線性代數(shù)中被研究。矢量的研究結(jié)合了數(shù)學的三個基本領(lǐng)域：數(shù)量、結(jié)構(gòu)及空間。矢量分析則將其擴展至第四個基本的領(lǐng)域內(nèi)，即變化。
創(chuàng)立于二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：純粹數(shù)學，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。 結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。 布爾巴基學派認為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群，環(huán)，域……），序結(jié)構(gòu)（偏序，全序……），拓撲結(jié)構(gòu)（鄰域，極限，連通性，維數(shù)……）。
空間的研究源自于幾何－尤其是歐幾里得幾何。三角學則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有著名的勾股定理。現(xiàn)今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾里得幾何（其在廣義相對論中扮演著核心的角色）及拓撲學。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的微積分等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來研究空間、結(jié)構(gòu)及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數(shù)學中有著最大進展的領(lǐng)域，并包含有存在已久的龐加萊猜想，以及有爭議的四色定理。龐加萊猜想已在2006年確認由俄羅斯數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼證明，而四色定理已在1976年由凱尼斯·阿佩爾和沃夫?qū)す嫌秒娔X證明，而從來沒有由人力來驗證過。
了解及描述變化在自然科學里是一普遍的議題，而微積分更為研究變化的有利工具。函數(shù)誕生于此，做為描述一變化的量的核心概念。對于實數(shù)及實變函數(shù)的嚴格研究為實分析，而復分析則為復數(shù)的等價領(lǐng)域。黎曼猜想－數(shù)學最基本的未決問題之一－便是以復分析來描述的。泛函分析注重在函數(shù)的（一般為無限維）空間上。泛函分析的眾多應(yīng)用之一為量子力學。許多的問題很自然地會導出一個量與其變化率之間的關(guān)系，而這在微分方程中被研究。在自然界中的許多現(xiàn)象可以被動力系統(tǒng)所描述；混沌理論則是對系統(tǒng)的既不可預(yù)測而又是決定的行為作明確的描述。
離散數(shù)學是指對理論計算機科學最有用處的數(shù)學領(lǐng)域之總稱，這包含有可計算理論、計算復雜性理論及信息論。可計算理論檢驗電腦的不同理論模型之極限，這包含現(xiàn)知最有力的模型－圖靈機。復雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度；有些問題即使理論是可以以電腦解出來，但卻因為會花費太多的時間或空間而使得其解答仍然不為實際上可行的，盡管電腦硬件的快速進步。最后，信息論專注在可以儲存在特定媒介內(nèi)的數(shù)據(jù)總量，且因此有壓縮及熵等概念。
作為一相對較新的領(lǐng)域，離散數(shù)學有許多基本的未解問題。其中最有名的為P/NP問題－千禧年大獎難題之一。一般相信此問題的解答是否定的。
應(yīng)用數(shù)學思考將抽象的數(shù)學工具運用在解答科學、工商業(yè)及其他領(lǐng)域上之現(xiàn)實問題。應(yīng)用數(shù)學中的一重要領(lǐng)域為統(tǒng)計學，它利用概率論為其工具并允許對含有機會成分的現(xiàn)象進行描述、分析與預(yù)測。大部分的實驗、調(diào)查及觀察研究需要統(tǒng)計對其數(shù)據(jù)的分析。（許多的統(tǒng)計學家并不認為他們是數(shù)學家，而比較覺得是合作團體的一分子。）數(shù)值分析研究有什么計算方法，可以有效地解決那些人力所限而算不出的數(shù)學問題；它亦包含了對計算中舍入誤差或其他來源的誤差之研究。
數(shù)學獎通常和其他科學的獎項分開。數(shù)學上最有名的獎為菲爾茲獎，創(chuàng)立于1936年，每四年頒獎一次。它通常被認為是數(shù)學的諾貝爾獎。另一個國際上主要的獎項為阿貝爾獎，創(chuàng)立于2003年。兩者都頒獎于特定的工作主題，包括數(shù)學新領(lǐng)域的創(chuàng)新或已成熟領(lǐng)域中未解決問題的解答。著名的23個問題，稱為希爾伯特的23個問題，于1900年由德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特所提出。這一連串的問題在數(shù)學家之間有著極高的名望，且至少有九個問題已經(jīng)被解答了出來。另一新的七個重要問題，稱為千禧年大獎難題，發(fā)表于2000年。對其每一個問題的解答都有著一百萬美元的獎金，而當中只有一個問題（黎曼猜想）和希爾伯特的問題重復。
菲爾茲獎，由國際數(shù)學聯(lián)盟的國際數(shù)學家大會頒發(fā)的獎項。每四年頒獎一次，頒給有卓越貢獻的年輕數(shù)學家，每次最多四人得獎。得獎?wù)唔氃谠撃暝┣拔礉M四十歲，是年輕數(shù)學家可以獲得的最大獎項。它是據(jù)加拿大數(shù)學家約翰·查爾斯·菲爾茲的要求設(shè)立的。菲爾茲獎被視為數(shù)學界的諾貝爾獎。
沃爾夫獎，由沃爾夫基金會頒發(fā)，該基金會于1976年在以色列創(chuàng)立，1978年開始頒獎。創(chuàng)始人里卡多·沃爾夫是外交家、實業(yè)家和慈善家。而沃爾夫數(shù)學獎是沃爾夫獎的一個獎項，它和菲爾茲獎被共同譽為數(shù)學家的最高榮譽。
阿貝爾獎，由挪威王室向杰出數(shù)學家頒發(fā)的一種獎項，每年頒發(fā)一次。2001年，為了紀念2002年挪威著名數(shù)學家尼爾斯·亨利克·阿貝爾二百周年誕辰，挪威政府宣布將開始頒發(fā)此種獎金。獎金的數(shù)額大致同諾貝爾獎相近。設(shè)立此獎的一個原因也是因為諾貝爾獎沒有數(shù)學獎項。2001年挪威政府撥款2億挪威克朗作為啟動資金。擴大數(shù)學的影響，吸引年輕人從事數(shù)學研究是設(shè)立阿貝爾獎的主要目的。
