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千禧之交，量子計算機橫空出世。任何名詞，前面加上量子，就有兩個特點：高端和看不懂。本文為了避免看不懂的情況，特意在量子糾錯中間加了兩個字“怎么”，緩沖一下。我假設讀者已經有一些量子力學基礎，比如知道疊加態是什么。如果您沒看過量子力學，又覺得本文有趣的話，請一定告訴我。

經典糾錯

想了解量子糾錯（quantum error correction），不妨先來看看經典糾錯（classical error correction）。自從Shanon發明比特（bit）以后，經典編碼或者經典糾錯就存在了。儲存和發送信息依賴物理媒介來完成，這個過程總是有可能出錯的。為了保證信息的完整，我們需要一些冗余來告訴我們有沒有出錯，哪里出錯了。我們現在經常討論的5G，6G技術，其實也是糾錯碼的一種。不同的糾錯碼，代表著不同的設計冗余的方式。這里我用一個簡單的例子，重復碼（repetition code），來說明經典糾錯是如何實現的。

每當我們想發送一個比特，我們都重復三次。這樣1就變成了111，0就變成了000。有一個邏輯比特的信息和兩個比特的冗余。如果其中一個出錯了，比如111變成了110，我們就說第三個比特出錯了，1變成了0。我們糾正回111，并得到一邏輯比特的信息，也就是1.

那讀者可能會問，如果兩個比特錯了怎么辦呢？比如000的前兩個比特出錯了，就會變成110，那樣我們讀取的時候就會誤認為第三個比特出錯，糾正成111，并得到錯誤的邏輯比特信息1而不是0. 這怎么辦呢？

答案就是涼拌，不去管它。這是有數學道理的。在上面的例子里，我們可以看出來重復碼可以糾正任何單個的錯誤，但是不能糾正兩個或以上的錯誤。如果每個物理比特的出錯概率是p，那么同時出現兩個錯誤的概率是3p^2，同時出現三個錯誤的概率是p^3。也就是說，解碼錯誤的概率正比于p的二次方。重復碼利用出錯概率為p的物理比特創造了一個出錯概率為p^2的邏輯比特。這可是指數型的降低，如果把邏輯比特作為物理比特再次使用重復碼，這個出錯概率很快就會降為0.

經典v.s.量子

重復碼率很簡單，也很低效，因為只有一個邏輯比特。隨著經典編碼的發展，現在的編碼方式的表現要好得多了。通過這個簡單的例子，我們看到了經典糾錯的幾個特性：

比特是離散的，只有1和0兩個取值，也只有一種錯誤，就是翻轉。
可以測量每個物理比特的信息
可以復制物理比特

如果大家了解過一些量子物理的話，就知道以上三點都是量子世界里不允許的。

首先，在量子的世界里，態可以是疊加的。一只貓不一定非得是黑貓或者白貓，而可以同時是黑貓和白貓，各有一定的概率。量子疊加態就是說這兩個狀態以一定的概率同時存在。

因為量子態包含了概率的問題，不同的概率就意味著是不同的態。也就是說系數和的任何微小變化都是一個錯誤，而不像經典世界里只有0變成1，1變成0。量子態是連續的。

再說測量。處于量子疊加態的貓儲存了信息，也就是這個概率。為了保護這個信息，我們要不先測量一下準不準？可是量子態一經過測量就會以相應的概率塌縮到一個本征態。我們一去觀察這個貓，只會看到一種顏色的貓，而且這只貓會一直保持這個顏色，原來的概率信息丟失了。也就是說，一旦測量，我們就損壞了要保存的信息。可是不測量，我們從哪里得到信息來糾錯呢？

最后就是量子不可克隆原理了。比特和羊都可以克隆，量子態不行。量子態只可以從一個物理量子比特轉移到另一個物理量子比特，但原來物理量子比特上的信息就會消失。不管如何變化，一個量子態都不能復制成兩個量子態。別問為什么，量子的世界就是這么霸道！

霸道的世界里期待著英雄的出現。

量子糾錯

1980年左右，費曼等提出了量子計算機的概念：既然自然界是量子的，為什么不用一個量子計算機來解決自然界的各種難題？理想是美好的，現實保持沉默了十幾年，大家都不知道量子計算機能用來干什么。直到1994年，Peter Shor提出了質數分解算法。將RSA加密算法依賴的大數分解問題從原來的指數解法降低到只需要多項式的時間。RSA之所以安全就是打賭人們下輩子也解不出來這個算法，可是Shor說，我這輩子就可以解出來。Shor算法一出，其他各種算法也層出不窮，紛紛證明了量子計算機的優勢和潛能。理論上的進步可喜可賀，可是這些算法都是理想算法，基于可以無限供應的完美的量子比特。實驗室里是造不出來的，其實理論上也做不出來。噪聲是量子控制的必然產物，那怎么克服上文提到的三個障礙來進行糾錯呢？

英雄再次登場，在接下來的1995年Shor提出來Shor's 9-qubit Code。

Shor把一個邏輯量子比特的信息編碼在九個物理量子比特的糾纏中。九個量子比特的希爾伯特空間的維度是，Shor從中選取以下兩個態來作為邏輯量子比特的基態。

測量這些算符不會改變邏輯態的信息。比如測量Z_1Z_2，也就是測量前兩個物理比特的Pauli Z，它只會告訴我們這兩個物理比特是否是一致的。而不管是000還是111，前兩個都是一致的，因此所有的邏輯態都會給出一樣的結果。

假設錯誤出現了呢？比如一個X error出現在第二個比特上。那邏輯態就會變成

這時如果我們測量Z_1Z_2，它就會告訴我們前兩個比特是不一致的。進一步測量Z_2Z_3，我們發現第二個和第三個比特也是不一致的。根據少數服從多數的原則，我們推測第二個比特發生了翻轉，也就是X_2 error，并予以糾正，恢復原來的邏輯態。

初步了解了Shor's code的儲存、測量、和糾錯過程。現在我們復盤一下，它是如何克服之前提到的三個困難的。

復盤

在量子態里，任何微小的變化都意味著出錯了。但是在上面的例子里，我們只糾正了翻轉錯誤X。另外還有沒提到的相位錯誤Z。只要能糾正X和Z錯誤，我們就能糾正所有的錯誤。因為，，和構成了一組完備的基，足以描述的任何演化。這可以認為是一個數字化量子計算機的過程：系數的連續演化變成了離散的態。（我想說明這只是數字化糾錯的過程，量子態還是連續的。）

Shor也實現了測量，為什么態不塌縮呢？嚴格來說，這是因為選取的邏輯態本身就是本征態。別的態會塌縮成本征態，可本征態不會再次塌縮。也可以用形象的話來說明，用測量算符舉一個例子。通過測量，我們只能知道前兩個比特是否一致，這對邏輯態和來說是沒有區別的。也就是說，不管測量結果如何，不管前兩個比特是否一致，我們都無法區分邏輯態是處于邏輯態還是邏輯態。因為我們沒有得到任何關于邏輯態的信息，因此這個測量不會損壞信息。我們只是測量是否出錯，并予以糾正。

最后，Shor也沒有克隆量子態。雖然使用了9個物理比特，這里也只有一個邏輯態，只是它儲存在了九個物理比特的糾纏中。

Shor's Code打開了量子糾錯的大門，也給量子計算提供了希望和動力。隨后各種糾錯碼如雨后春筍般出現，比如玻色子碼，穩定子碼等等。穩定子碼又包括拓撲碼和低密度奇偶驗證碼（LDPC code）。實驗上也迅速發展，近期已經實現了Bacon Shor Code，是Shor Code的變種，可以同時糾正X和Z錯誤并儲存一個邏輯態。

文章篇幅有限，敬請期待下期“toric code：甜甜圈如何成為網紅”

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