| 摘要：對數(shù)學(xué)的本質(zhì)應(yīng)該怎樣認(rèn)識，這不僅是數(shù)學(xué)哲學(xué)的一個基本問題，而且是一個具有時代性、前瞻性、發(fā)展性、綜合性的數(shù)學(xué)哲學(xué)核心問題．對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識不應(yīng)該從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度退縮到方法論的一個狹隘的層面，而應(yīng)該從更廣闊的、更為多樣的角度進(jìn)行透視．林夏水先生的"數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)"的見解，忽略了數(shù)學(xué)的非演繹性和非算法性，因而無法完全概括數(shù)學(xué)的本質(zhì)．在數(shù)學(xué)深刻的思想與知識變革過程中，"數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)"的觀點是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的恰當(dāng)定位． 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)的本質(zhì)；演算；模式 中圖分類號：G40-02 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1004-9894（2003）03-0037-05 黃光榮老師在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》上發(fā)表的"對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識"[1]一文中，談到對林夏水先生在《哲學(xué)研究》上發(fā)表的"論數(shù)學(xué)的本質(zhì)"[2]一文的一些看法．緊接著，林夏水先生就撰文對這篇文章提出了爭鳴意見[3]．由于什么是數(shù)學(xué)的本質(zhì)這樣的問題一直是筆者關(guān)心的一個課題，筆者就再次認(rèn)真地拜讀了林夏水先生發(fā)表在《哲學(xué)研究》上的原文．通過學(xué)習(xí)和思考，本著學(xué)術(shù)爭鳴的科學(xué)態(tài)度，這里就文[2]中的一些主要論點提出一些商榷意見，并在這些問題上表明自己的見解．不妥之處，還請林先生指教． 1 探討數(shù)學(xué)的本質(zhì)應(yīng)采取什么樣的研究路線 文[2]一開頭就對從認(rèn)識論的角度探討數(shù)學(xué)本質(zhì)問題提出了異議，這就涉及到探討數(shù)學(xué)的本質(zhì)究竟應(yīng)該采取什么樣的研究路線的問題．文[2]認(rèn)為隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展暴露出不同時代的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家從認(rèn)識論角度看待數(shù)學(xué)的片面性和局限性．這一見解當(dāng)然是無可置疑的，因為每個時代對數(shù)學(xué)的認(rèn)識都只能是那個時代特定的數(shù)學(xué)研究水平，數(shù)學(xué)發(fā)展方向，數(shù)學(xué)思想、方法，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)甚至數(shù)學(xué)思維旨趣的產(chǎn)物．但問題在于這種歷史的局限性并不意味著從認(rèn)識論探討數(shù)學(xué)本質(zhì)問題這一研究路線是不可行的．與文[2]另尋它途的觀點不同，筆者認(rèn)為，正是因為不同時代數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家的見解有其片面性和局限性，才更需要我們進(jìn)一步地從認(rèn)識論角度去探討數(shù)學(xué)的本質(zhì)．這就正如關(guān)于哲學(xué)的許多基本問題一樣，從來就不可能在任何時代獲得一勞永逸的、終結(jié)性的、不可變更的答案．哲學(xué)的基本問題都是歷久彌新的，隨著人類認(rèn)識的進(jìn)步，對這些問題的回答也將有新的方法和途徑．我們不能因為哲學(xué)家對許多哲學(xué)基本問題的認(rèn)識有局限性和片面性，就予以放棄或加以消解． 在我們看來，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識不僅不應(yīng)該從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度（即本體論、認(rèn)識論和方法論）退縮到方法論的一個狹隘的層面，而是應(yīng)該更進(jìn)一步地，從更廣闊的、更為多樣的（全方位）的角度進(jìn)行透視．這里簡要地從數(shù)學(xué)哲學(xué)的新發(fā)展和數(shù)學(xué)的社會文化研究2個角度做一分析． 20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入一個新的歷史時期．?dāng)?shù)學(xué)從追求一勞永逸的終極性目標(biāo)并擁有一成不變的、形而上學(xué)的、絕對永恒的知識體系及其價值，轉(zhuǎn)化為追求分解了的、可實現(xiàn)的子目標(biāo)和按邏輯程式、知識法則和思維方法所設(shè)置的各種可能的、多樣化的理論框架．相應(yīng)地，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究也逐步展現(xiàn)出許多不同于其傳統(tǒng)范式的新特征．鄭毓信教授把數(shù)學(xué)哲學(xué)新的研究路線和數(shù)學(xué)范式的這種轉(zhuǎn)變概括為以下4個方面："（1）研究立場的轉(zhuǎn)移，即從嚴(yán)重分離轉(zhuǎn)移到與實際數(shù)學(xué)活動的密切結(jié)合．（2）對于數(shù)學(xué)史的高度重視．（3）研究問題的轉(zhuǎn)移．（4）動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀對于靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀的取代．"[4]數(shù)學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的新范式不僅極大地豐富了數(shù)學(xué)的本體論內(nèi)涵，而且深刻地變革了關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的傳統(tǒng)觀念，體現(xiàn)了人類思想的新價值，開拓了人類理性認(rèn)識的新維度．這些新的轉(zhuǎn)變以及數(shù)學(xué)研究展現(xiàn)的新特征給我們的啟示是，探討數(shù)學(xué)本質(zhì)必須著眼于當(dāng)代數(shù)學(xué)的實際研究，必須與數(shù)學(xué)的各種對象、關(guān)系及結(jié)構(gòu)的分析相結(jié)合．只有置身于當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展的真實語境之中，才可能獲得關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的較為全面的認(rèn)識． 數(shù)學(xué)的社會-文化研究是一個比數(shù)學(xué)哲學(xué)更為寬廣的透視數(shù)學(xué)本質(zhì)的視角．?dāng)?shù)學(xué)的社會-文化研究所意欲表達(dá)的是一種廣泛意義下的數(shù)學(xué)觀念，即不僅超越把數(shù)學(xué)視為一門科學(xué)體系的單純的科學(xué)主義觀念，而且超越把數(shù)學(xué)作為以本體論、認(rèn)識論、方法論為主線的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀念，而把數(shù)學(xué)置身于其真實的歷史情景和語境中以及迅猛變革的現(xiàn)實社會文化背景之中，從更為廣闊的視角去透視數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的社會意義和文化含義．從宏觀角度探討數(shù)學(xué)自身作為人類整體文化有機(jī)組成部分的內(nèi)在本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律，并進(jìn)而考察數(shù)學(xué)與社會及其文化的相互關(guān)系的作用形式．簡而言之，數(shù)學(xué)文化旨在對數(shù)學(xué)的意義、本質(zhì)和價值進(jìn)行重新估計和詮釋．這種理性重建是數(shù)學(xué)觀念演變史上的一次具有深遠(yuǎn)歷史意義的、革命性的范式轉(zhuǎn)換，即從對數(shù)學(xué)的單純的科學(xué)性（特別是其自然科學(xué)性）理解中擺脫出來，代之以數(shù)學(xué)與其它科學(xué)關(guān)系的視角（不僅包括自然科學(xué)，還包括人文、社會科學(xué)等）以及實際的數(shù)學(xué)活動（特別是數(shù)學(xué)的前沿探索）等．20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)除了自身的長足進(jìn)步以外，在人文、社會科學(xué)研究中的應(yīng)用價值日益增強(qiáng)，誕生了大量的交叉學(xué)科和跨學(xué)科研究領(lǐng)域．所有的科學(xué)（包括自然科學(xué)與人文、社會科學(xué)）都需要數(shù)學(xué)為其提供模式、語言與方法，這一普遍的"數(shù)學(xué)化"趨勢為數(shù)學(xué)文化的理論建構(gòu)提供了豐厚的素材，也使數(shù)學(xué)的科學(xué)文化本體論意義發(fā)生泛化，數(shù)學(xué)從其理論與應(yīng)用等多個層面獲得了超越科學(xué)文化的含義．?dāng)?shù)學(xué)文化的研究的深入開展，需要從真（對應(yīng)于科學(xué)性及其價值）、善（對應(yīng)于社會性及其價值）、美（對應(yīng)于藝術(shù)性及其價值）3個基本層面及其相互關(guān)系深入探討數(shù)學(xué)的科學(xué)性質(zhì)、社會屬性和藝術(shù)本質(zhì)以及數(shù)學(xué)與科學(xué)、社會、藝術(shù)的互動關(guān)系．只有這樣，才能獲得對數(shù)學(xué)本質(zhì)比較全面的認(rèn)識． 2 "數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)"能夠概括數(shù)學(xué)的本質(zhì)嗎 文[2]的一個主要工作是通過在方法層面對數(shù)學(xué)演與算的辯證關(guān)系的討論，得出"數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)"的結(jié)論．但即使在這個層面上，我們也不能認(rèn)同文[2]對數(shù)學(xué)本質(zhì)的概括．因為從數(shù)學(xué)方法論的結(jié)構(gòu)看，是由各種不同的辯證關(guān)系構(gòu)成的．例如有限與無限、連續(xù)與離散、具體與抽象、質(zhì)量與數(shù)量、局部與整體、演繹與歸納、邏輯與直覺等，而不僅限于演與算這一對關(guān)系．以下對其某些論證和結(jié)論進(jìn)行一些質(zhì)疑性分析． 從邏輯的角度看，"數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)"的結(jié)論既有定義過寬的缺點，又有定義過窄的缺陷．定義過寬表現(xiàn)在：演繹法固然是數(shù)學(xué)采用的一種邏輯方法，但如果完全把數(shù)學(xué)看作是關(guān)于演繹的科學(xué)，那其實就把邏輯也包含在內(nèi)了．演算只是數(shù)學(xué)研究方法的一種，這一方法也不是數(shù)學(xué)所獨有的．從更廣泛的領(lǐng)域看，自然科學(xué)、人文社會科學(xué)的研究也都不同程度地采用數(shù)學(xué)和邏輯的方法．正如實驗是生物學(xué)的一個基本方法，但我們?nèi)绻焉飳W(xué)的本質(zhì)理解成是一門實驗的科學(xué)，那無疑就沒有概括出生物學(xué)的特點．實際上，化學(xué)、物理學(xué)等自然科學(xué)也都采用實驗的方法．所以，"數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)"就不能認(rèn)為很好地概括了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，因為它的定義項過于寬泛了．而定義過窄表現(xiàn)在2方面：一方面僅僅注意到數(shù)學(xué)的演繹性、算法性的一面，而忽略了數(shù)學(xué)的非演繹性、非算法性一面．僅從方法論和思維的角度看，邏輯思維方法和非邏輯思維方法（如直覺）都是數(shù)學(xué)研究的有效方法．"算"這一概念（按文[2]，算表示計算或算法）是無法完全概括數(shù)學(xué)的非演繹性和非證明性特征的（如果按文[2]，把"演"對應(yīng)于推理和證明的話）．如果數(shù)學(xué)可以歸結(jié)為"演與算"，那計算機(jī)就是水平最高的數(shù)學(xué)家了．我們必須注意到數(shù)學(xué)的非算法特征．英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家彭羅斯認(rèn)為非算法化才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)[5]． 具體來看，"計算表征了數(shù)學(xué)經(jīng)驗知識的特點"，"可以用'演'來反映數(shù)學(xué)知識的演繹性．因此，我們可以用'演算'來反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的經(jīng)驗性和演繹性．"[6]按文[2]的觀點，"計算"概念和"演繹"概念分別表示數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性和演繹性2個側(cè)面．然而，這種劃分過于簡單和機(jī)械了．計算并不僅僅停留在經(jīng)驗層面，數(shù)學(xué)中有些計算根本就沒有任何經(jīng)驗背景．例如康托的無窮集合論的運(yùn)算，是與有限的現(xiàn)實世界完全無關(guān)的．而有些計算可能具有強(qiáng)烈的證明性質(zhì)，如數(shù)論中的一些計算，本身就是證明的一部分．而演繹也有其經(jīng)驗性的背景．從算法化的現(xiàn)代發(fā)展來看，是與計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的，算法化的理論背景是推理的機(jī)器化和程序化．從這個意義上講，演與算實現(xiàn)了某種統(tǒng)一．然而，問題是，按照哥德爾不完全性定理，形式化是有其內(nèi)在局限性的．哥德爾定理告訴我們，數(shù)學(xué)認(rèn)識活動和數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)決不是形式化、算法化、程序化、機(jī)械化所能完全概括的．?dāng)?shù)學(xué)固有的非算法本質(zhì)表明，人類思維和精神是不可能被電腦完全模擬的，從而數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)真理也絕不僅限于用形式化方式加以表征．就獲得數(shù)學(xué)真理的方式和數(shù)學(xué)的知識建構(gòu)過程來看，形式化和非形式化都是極其有效的手段．?dāng)?shù)學(xué)并不完全被蘊(yùn)含在形式化的邏輯框架內(nèi)，非形式化常常是開辟數(shù)學(xué)研究新境界的銳利武器．?dāng)?shù)學(xué)家Magnus這樣論述道："人類的智慧要優(yōu)于任何可以想象到的計算機(jī)……我們的數(shù)學(xué)能力，為我們在自然界中所處的特殊地位提供了也許是最簡單，也是最強(qiáng)有力的，非形而上學(xué)的證據(jù)．"[6]在數(shù)學(xué)史上，從來都不存在"定義+公理+推理=定理"的純粹演繹模式．在構(gòu)造性、算法化與形式化之外有著廣袤的數(shù)學(xué)疆域．如何對非形式化的本質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)概括就是一個數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該回答的理論課題．然而，演與算卻無法對數(shù)學(xué)的非形式化特征做出較好的解釋． 從數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展看，"數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)"的表述能否反映數(shù)學(xué)從初等到高等的深刻思想演變呢？從19世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)發(fā)生了深刻的變革．例如代數(shù)學(xué)從研究方程到研究各種結(jié)構(gòu)，還有關(guān)于數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)主義思想，如何從"演算"中看出來呢？事實上，正是關(guān)于不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的研究，關(guān)于不同數(shù)學(xué)對象之間關(guān)系的研究，使數(shù)學(xué)超越了"演與算"的范疇．再如，數(shù)學(xué)對機(jī)會、可能性、變化和復(fù)雜系統(tǒng)的研究，對突變現(xiàn)象、模糊現(xiàn)象、混沌和分形現(xiàn)象的研究等都是演算無法概括的． 所以，與僅僅停留在演算的形式表象上相比，演什么？算什么？這樣的問題才是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家最關(guān)心的．"數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)"丟掉了數(shù)學(xué)對象的特征和性質(zhì)，掩蓋了數(shù)學(xué)科學(xué)性的許多豐富內(nèi)在特征（如數(shù)學(xué)思維與方法的多樣性、動態(tài)性和發(fā)展性，如想象、直覺、猜測、假設(shè)、檢驗、試錯、歸納、試驗等），也忽略了數(shù)學(xué)的文化屬性和社會屬性，忽視了數(shù)學(xué)作為一種人類文化創(chuàng)造的特征．所以，"數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)"的表述就無法完全概括數(shù)學(xué)的本質(zhì)． 3 關(guān)于兩個具體觀點的質(zhì)疑 文[2]中的一些具體觀點也有值得商榷之處． 第一，關(guān)于數(shù)學(xué)與現(xiàn)實、實踐的關(guān)系問題．文[2]認(rèn)為"最古老的算術(shù)和幾何學(xué)產(chǎn)生于日常生活、生產(chǎn)中的技術(shù)和測量"，這一觀點是不全面的，也有些簡單化．固然，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生有日常生活和生產(chǎn)的背景和基礎(chǔ)，但對數(shù)學(xué)淵源的問題我們還要看得更深入一些．遠(yuǎn)古人類特有的思想范式、思維結(jié)構(gòu)和文化習(xí)性不可不查．這就是其神秘主義的、巫術(shù)化的、原始宗教的文化底蘊(yùn)和背景．考察數(shù)學(xué)的起源，這是一個不可忽視的角度．例如中國古代各種算經(jīng)大多都有關(guān)于占卜、占星等方面的內(nèi)容．而《周易》更是以其"像數(shù)神秘主義"而著稱．與此相關(guān)的，文[2]的"數(shù)學(xué)作為對客觀事物的一種認(rèn)識"的觀點也是偏頗的．事實上，不僅當(dāng)代數(shù)學(xué)的認(rèn)識對象遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止是客觀事物了，即使在古希臘、中國古代、古巴比倫、古印度等，數(shù)學(xué)的研究對象也不局限于客觀事物．對于古人來說，數(shù)學(xué)不僅是與自然物打交道的一種工具或手段，而且具有慰藉人的心靈、陶冶人的智慧和性情的功能．如果僅從數(shù)學(xué)與客觀事物的關(guān)系看，數(shù)學(xué)對客觀事物的研究采取的是抽象化、理想化的方法．在當(dāng)代數(shù)學(xué)研究過程中，其理論建構(gòu)、理論思維、形式化、虛擬化，認(rèn)識對象遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了客觀事物．?dāng)?shù)學(xué)認(rèn)識并不是完全被動地保持著與客觀事物的關(guān)系，而是具有其理論建構(gòu)的自主性．?dāng)?shù)學(xué)的客觀性也因此獲得了新的異于物質(zhì)客觀性的意義．波普爾認(rèn)為數(shù)學(xué)屬于"世界3"，有其自身的不以人的意志為轉(zhuǎn)移的精神產(chǎn)品的客觀性．波普爾論證說："也許可以說，一個數(shù)系是人的創(chuàng)造或發(fā)明，而不是它們的發(fā)現(xiàn)．但是奇數(shù)和偶數(shù)、可除數(shù)和素數(shù)之間的區(qū)別是一個發(fā)現(xiàn)：一旦數(shù)系存在，作為構(gòu)成這個系統(tǒng)的（意想不到的）結(jié)果，客觀上就有這些獨特的數(shù)字集合；而它們的性質(zhì)就會被人發(fā)現(xiàn)．"[7]這一見解是很發(fā)人深思的． 第二，對于"數(shù)學(xué)知識是通過實踐而獲得的"和"對于'不可判定命題'的真假，只有訴諸實踐檢驗"的見解的質(zhì)疑．?dāng)?shù)學(xué)是其歷史發(fā)展過程的產(chǎn)物，其理論化的程度與實踐之間是有距離的．不可否認(rèn)，實踐永遠(yuǎn)都是任何真理檢驗的最終標(biāo)準(zhǔn)．但是問題在于，這種理論上的實踐觀在有限的科學(xué)活動中還有一個可行性和可能性的問題．首先，如果是可判定命題，如已經(jīng)經(jīng)過證明的命題，而不是"不可判定命題"，是否就不用實踐檢驗了．換句話說，如果實踐可以作為數(shù)學(xué)命題正確性的標(biāo)準(zhǔn)，那數(shù)學(xué)證明的意義和價值又何在呢？如果實踐檢驗不能取代數(shù)學(xué)證明，那實踐又為什么可以作為"不可判定命題"的檢驗標(biāo)準(zhǔn)呢？這是否構(gòu)成了數(shù)學(xué)真理檢驗的雙重標(biāo)準(zhǔn)呢？是否混淆了數(shù)學(xué)自身的標(biāo)準(zhǔn)和實踐標(biāo)準(zhǔn)呢？其實，所謂"可判定命題"和"不可判定命題"的劃分，只是對特定的形式化公理體系而言的，并沒有絕對的界限和標(biāo)準(zhǔn)．其次，用實踐作為驗證具有重言式性質(zhì)的數(shù)學(xué)命題是否符合科學(xué)證明的邏輯？由于實踐過程只能提供有限的、個別的、具體的事實和證據(jù)，所以在有限場合使用歸納法對數(shù)學(xué)命題而言應(yīng)該只具有例證的功能，而不能看作對數(shù)學(xué)命題的真假性的嚴(yán)格判斷．再次，實踐標(biāo)準(zhǔn)有其內(nèi)在的局限性和相對性．"不可判定命題"的實踐檢驗很有可能并不具備實際操作性．例如對被馮·諾伊曼稱為多次抽象的數(shù)學(xué)對象和理論，其現(xiàn)實與經(jīng)驗背景已無法追溯的時候，如何用實踐對這些理論進(jìn)行檢驗？在這種情況下，數(shù)學(xué)命題的判斷就更需要建立起自己的標(biāo)準(zhǔn)．李浙生的分析是有道理的："數(shù)學(xué)是一門高度抽象的科學(xué)，數(shù)學(xué)真理的判定有著明顯的特點．判定數(shù)學(xué)真理，從來有2個標(biāo)準(zhǔn)：邏輯標(biāo)準(zhǔn)和實踐標(biāo)準(zhǔn)．所謂邏輯標(biāo)準(zhǔn)就是用邏輯方法證明數(shù)學(xué)理論的真理性．邏輯證明有2個方面、2種方法，用演繹推理證明數(shù)學(xué)定理的正確性，用模型方法證明數(shù)學(xué)理論的相容性．19世紀(jì)，非歐幾何的出現(xiàn)標(biāo)志著：數(shù)學(xué)擺脫了直接經(jīng)驗的束縛，進(jìn)入了理性自由創(chuàng)造的新時期．這時，已經(jīng)不可能用實踐來制定數(shù)學(xué)真理，邏輯成了檢驗數(shù)學(xué)理論的唯一標(biāo)準(zhǔn)．"[9]盡管我們不贊同上述邏輯是檢驗數(shù)學(xué)理論的唯一標(biāo)準(zhǔn)的說法，但我們必須看到，隨著數(shù)學(xué)進(jìn)一步抽象化，數(shù)學(xué)已逐步形成了自己的真理檢驗標(biāo)準(zhǔn)．我們也應(yīng)該看到，雖然對于數(shù)學(xué)的真理性而言，數(shù)學(xué)自身的標(biāo)準(zhǔn)與實踐性標(biāo)準(zhǔn)可能在數(shù)學(xué)特定的歷史發(fā)展時期內(nèi)是有距離的，但當(dāng)數(shù)學(xué)發(fā)展到較為完善的階段，也就是當(dāng)數(shù)學(xué)的"真"與"善"達(dá)到某種程度的統(tǒng)一的時候，2者就會表現(xiàn)出一致的、相互符合的趨勢． 4 數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和結(jié)構(gòu)的科學(xué) 綜上，筆者認(rèn)為，關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題是一個具有時代性、前瞻性、發(fā)展性、綜合性的數(shù)學(xué)哲學(xué)核心問題．在數(shù)學(xué)的任何發(fā)展階段都不可能有固定的、永恒不變的答案，這應(yīng)該成為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一條認(rèn)識論原則．單純片面地從某個角度去看數(shù)學(xué)的本質(zhì)都會是有失偏頗的．正如傳統(tǒng)的本體論角度無法提供關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的真知灼見一樣（如柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀），要想全面、深刻的認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，就必須在哲學(xué)層面（包括本體論、認(rèn)識論和方法論）和社會-文化層面上進(jìn)行辯證、綜合、系統(tǒng)地分析和探索．而且這種分析必須與數(shù)學(xué)實體性、本體論、認(rèn)識論和知識論的探討相結(jié)合，必須結(jié)合20世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的新發(fā)展．實際數(shù)學(xué)活動的特點是其開放性、發(fā)展性、有限性、變動性、甚至是革命性的． 從數(shù)學(xué)哲學(xué)的歷史發(fā)展看，關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識首先是一個本體論和認(rèn)識論問題．柏拉圖試圖通過設(shè)立一個"理念世界"來回答關(guān)于數(shù)學(xué)本體論的存在性和真理性問題，但19世紀(jì)以來一系列的數(shù)學(xué)變革摧毀了數(shù)學(xué)柏拉圖主義[9]．著名數(shù)學(xué)家貝爾奈斯主張"放棄絕對的柏拉圖主義"，采用"有限制的柏拉圖主義"[10]．這實際上已經(jīng)把強(qiáng)意義下的柏拉圖主義給消解了．關(guān)于數(shù)學(xué)真理，人們也已經(jīng)獲得了更多的超越柏拉圖主義和形而上學(xué)的認(rèn)識．這些都為從本體論、認(rèn)識論角度重新認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)奠定了堅實的基礎(chǔ)． 從本體論意義上探討數(shù)學(xué)本質(zhì)新的構(gòu)成可能性是從結(jié)構(gòu)、模式、形式系統(tǒng)等思想的產(chǎn)生開始的．在已有的各種從本體論和認(rèn)識論的角度對數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行的哲學(xué)概括中，"數(shù)學(xué)是關(guān)于模式或結(jié)構(gòu)的科學(xué)"這一表述是迄今對數(shù)學(xué)本質(zhì)概括得比較準(zhǔn)確、全面和具有動態(tài)性的刻畫．著名數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家懷特海在其"數(shù)學(xué)與善"的講演中把數(shù)學(xué)看作是對各種類型的模式進(jìn)行理智地分析的活動，認(rèn)為"數(shù)學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強(qiáng)有力的技術(shù)"[11]．《今日數(shù)學(xué)》、《明日數(shù)學(xué)》的主編、美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩論述到："數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)家們尋求存在于數(shù)量、空間、科學(xué)、計算機(jī)乃至想象之中的模式．"[12]麥克萊恩在"數(shù)學(xué)模型--對數(shù)學(xué)哲學(xué)的一個概述"一文中論述到："數(shù)學(xué)在于對形式結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)現(xiàn)，而形式結(jié)構(gòu)則反映了客觀世界和人類在這個世界里的實踐活動．強(qiáng)調(diào)的是那些具有廣泛應(yīng)用和深刻反映現(xiàn)實世界某一方面的結(jié)構(gòu)……換句話說，數(shù)學(xué)研究相互關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)．"[13]A.Albert認(rèn)為："數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)的科學(xué)．當(dāng)直覺和未經(jīng)分析的經(jīng)驗表明在許多不同的背景下存在著共同的結(jié)構(gòu)特征時，數(shù)學(xué)就有了任務(wù)，這就是以精確的和客觀的形式，系統(tǒng)地闡明基本的結(jié)構(gòu)特征．"[12] "數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和結(jié)構(gòu)的科學(xué)"的表述，不僅能較好地解釋數(shù)學(xué)的演繹性與經(jīng)驗性、理論性與現(xiàn)實性的辯證關(guān)系，而且更重要的是這一表述把握住了20世紀(jì)以來數(shù)學(xué)發(fā)展的脈搏，具有強(qiáng)烈的時代特色．法國著名的布爾巴基學(xué)派提出的結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)思想正是適應(yīng)當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)實要求的產(chǎn)物．布爾巴基致力于尋求數(shù)學(xué)新的統(tǒng)一性的理論基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想，通過對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的分析，重新整合龐雜多樣的數(shù)學(xué)分支，以代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為核心結(jié)構(gòu)，通過各種復(fù)合、引進(jìn)新的關(guān)系等方法，把數(shù)學(xué)的各個分支納入數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密體系中．布爾巴基的代表人物之一狄奧多涅在"布爾巴基的數(shù)學(xué)哲學(xué)"一文中指出："真正的數(shù)學(xué)的認(rèn)識論或數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該以數(shù)學(xué)家具體的研究方式為其主題．"[14]模式和結(jié)構(gòu)的概念所具有的高度的概括性和層次性，包含了從抽象理論到現(xiàn)實經(jīng)驗之間的各種"譜系"．無論是對于數(shù)學(xué)的語言（符號、形式等）、理論結(jié)構(gòu)，還是對于數(shù)學(xué)的科學(xué)工具性、應(yīng)用性，都有很好的解釋功能． 當(dāng)然，正如我們所倡導(dǎo)的，探討數(shù)學(xué)的本質(zhì)應(yīng)該設(shè)立多個視角．我們也應(yīng)看到，"數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)"表述也有其局限性，這就是沒有充分揭示關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法論特征．而文[2]探討數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法論定位恰恰是在這個方向上的一種努力，這一點是應(yīng)該充分肯定的． 參考文獻(xiàn)： [1] 黃光榮．對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（2）：21-23． [2] 林夏水．論數(shù)學(xué)的本質(zhì)[J]．哲學(xué)研究，2000，（9）：66，70． [3] 林夏水．?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)·認(rèn)識論·數(shù)學(xué)觀[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（3）：26-30． [4] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)哲學(xué)：20世紀(jì)末的回顧與展望[J]．哲學(xué)研究，2000，（10）：76-77． [5] [英]彭羅斯．皇帝新腦[M]．長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1996．479． [6] [美]Wilhelm Magnus．?dāng)?shù)學(xué)的意義：在全部人類活動中數(shù)學(xué)家占有的份額[J]．?dāng)?shù)學(xué)譯林，1997，（3）：243． [7] 紀(jì)樹立．科學(xué)知識進(jìn)化論--波普爾科學(xué)哲學(xué)選集[M]．北京：三聯(lián)書店，1987．412． [8] 李浙生．論數(shù)學(xué)真理的判定[J]．南京大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），1994，（3）：38-46． [9] 黃秦安．柏拉圖主義數(shù)學(xué)真理的神學(xué)化及其解構(gòu)[J]．陜西師范大學(xué)學(xué)報，2000，（3）：57． [10] Pau Bernays. Philosophy of mathematics [M]. INC: RENTICE-HALL, 1964. 277. [11] 林夏水．?dāng)?shù)學(xué)哲學(xué)譯文集[M]．北京：知識出版社，1986．350． [12] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)教育哲學(xué)[M]．成都：四川教育出版社，2001．12，13． [13] 鄧東皋．?dāng)?shù)學(xué)與文化[M]．北京：北京大學(xué)出版社，1990．121． [14] [法]布爾巴基．?dāng)?shù)學(xué)的建筑[M]．南京：江蘇教育出版社，1999．187． How Should We Recognize the Essence of Mathematics HUANG Qin-an (Faculty of Mathematics and Information Science, Shanxi Normal University, Shanxi Xi'an 710062, China) Abstract: How should we recognize the essence of mathematics, it was not only a basic issue of the philosophy of mathematics, but also an important thesis related to what kind of view of mathematics education should be established. The outlook that "mathematics should be a science of deduction and algorithm" which was posed by Professor Lin couldn't be regarded as a satisfied generalization on the essence of mathematics because. In the transformation of mathematical thought and knowledge, the notion that "mathematics should be a science of pattern" was the suitable description about the essence of mathematics. Key words: the essence of mathematics; deduction and algorithm; pattern | 
