初中幾何定值問題：定平方和5例
題目1：如圖， OA、OB是圓O任意兩條半徑，過B作BE丄OA于E，作0 P丄AB于P， 則定值0P2+ EP2 為（R2）。
解題思路：設圓O的半徑為R。已知OP丄AB，故P為AB之中點，EP為Rt△BEA斜邊上的中線，故EP = PB = PA。所以OP2 + EP2 = OP2 +PB2 = R2。
題目2：如圖1，圓0的半徑為R，AB、CD是圓0的任意兩條弦且AB丄CD于M。
求證AB 2+（CM-DM）2為定值。
解題思路：圖2，連接BO并延長交圓于E，連接AE，則∠EAB = 90°，EA // CD，四邊形 AECD為等腰梯形，EC = AD。
作EF⊥CD，則四邊形 AEFM為矩形，CF= DM(軸對稱)，EA = FM = CD-CF-DM = CM-DM。
根據鉤股定理：EB2 = AB2 + EA2。
4 R2 = AB2 +（CM-DM）2。
故AB2+（CM-DM）2= 4 R2，為定值。
題目3：如圖，點P是圓0直徑AB上的任意一點，過點P的弦CD和AB相交成45°夾角。
求證PC2+PD2有定值。
解題思路：詳見圓中與直徑成45°的弦：AP 2+ BP 2=2R 2
題目4：如圖1，已知等邊△ABC內接于半徑為1的圓0，P是圓0上任意一點，求證PA2+ PB2 + PC2為定值。
解題思路：圖2，作CD⊥BP交其延長線于D， ∠CPD = 60°。通過鉤股定理得BC2= PB2+ PC2+ PB· PC。
2BC2 = 2PB2+ 2PC2+ 2PB·PC…… ①
又根據托勒密定理得PA = PB + PC，
PA2= PB2+ PC2 + 2PB·PC…… ②。
用①－②得2BC2－PA2 = PB2+ PC2，
故PA2 + PB2+ PC2 = 2 BC2……③
又知圓內接正三角形的邊長與半徑R的關系為
邊長= √3 R，代入③式則
PA2 + PB2 + PC2= 6。
（有關知識參考等邊三角形外接圓的幾個性質 等邊三角形外接圓的幾個性質 ）
題目5：如圖，內接于圓0的四邊形ABCD的對角線AC與BD垂直相交于K，設圓的半徑為R，求證 AK2+ BK2 + CK2+ DK2是定值。
解題思路：應用知識點①對角線互相垂直的四邊形叫垂美四邊形，其兩組對邊的平方和相等；②相交弦定理。
圖2，過圓心分別作兩條弦的垂線，垂足E、F分別是兩弦的中點，連接OA(R)，則
AK· C K = BK· DK…… ①
AE = 1 /2 AC = 1／2(AK + CK)…… ②
OE = FK = 1／2(DK－BK)…… ③
根據鉤股定理得：
A02 = R2 = AE2 + OE2 。
將 ①②③式代入最后得：AK2+ BK2 + CK2 + DK2 = 4 R2，為定值。
總結：以上圓的定值問題均與圓半徑掛鉤，雖然有些題目未提半徑，但是我們知道圓半徑是一個重要的固定的參數。
