三角形中三邊的三個中點、三個高的垂足和高的交點到各頂點的線段的三個中點在一個圓上。
此圓早已為歐拉（1765年）所知，但K·費爾巴哈（Karl Feuerbach，1800 – 1834年）（畫家A·費爾巴哈（Anselm feuerbach）的叔父）于1822年再度發現該圓后，通常都稱其為費爾巴哈圓。盡管它也通過其它許多有意義的點又通過上述這些點，但該圓仍以九點圓知名。
此題的證明分兩步。第一步證明外接于各邊中點所決定的三角形的圓通過三個高的垂足；第二步證明外接于三個高的垂足所決定的三角形的圓通過三條高的交點（垂心）到各頂點的線段的各中點。
I．設ABC為已知三角形，A′，B′，C′分別為BC，CA，AB各邊的中點。設H為高AH的垂足（見圖1），那么HA′B′C′ 是梯形（A′B′ 作為三角形ABC中位線等于AB21；HC′ 作為以AB為直徑的泰勒斯（Thales）圓的半徑也等于AB21）。這個梯形便是一個圓的內接四邊形（見圖2）。由此，所有高的垂足在三角形A′B′C′ 的外接圓Γ上。
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II．設三角形ABC的各高為AH，BK，CL，它們的交點為O。現將證明各高的交點（垂心）到三個頂點的線段（如OC線段）的中點也在圓F上。為此目的，研究高的垂足亦為H，K，L的三角形OBC（見圖3）。根據I，外接這個三角形的三垂足所決定的三角形HKL的圓Γ過這個三角形各邊中點，即過OB和OC的中點，這就完成了證明。
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推論：費爾巴哈圓的中心F落在歐拉線OU的中點，費爾巴哈圓的半徑f等于三角形ABC外接圓半徑的一半。
費爾巴哈圓的弦HA′ 和KB′ 的垂直平分線作為梯形UOHA′ 和UOKB′ 的中位線，通過OU的中點這一事實是這些命題中的第一命題的來由；而內接于費爾巴哈圓的三角形A′B′C′ 的各邊長是三角形ABC的各邊長的一半這一事實是命題中的第二命題的來由。
